社會統(tǒng)計學(xué) 第四章 相關(guān)測量法與變量層次

1、1,第四章,相關(guān)測量法與測量層次,相關(guān)測量的六種情況,兩個定類變量 兩個定序變量 兩個定距變量 一個定類變量與定序變量 一個定類變量與定距變量 一個定序變量與定距變量,第一節(jié) 兩個定類變量,Lambda 相關(guān)測量法 基本邏輯是計算以一個定類變量的值來預(yù)測另一個定類變量的值時，如果以眾值作為預(yù)測的準則，可以減除多少誤差。消減的誤差在全部誤差中所占的比例愈大，就表示這兩個變量的相關(guān)越強。 Lambda 相關(guān)測量法有兩種形式。一種是對稱形式，簡寫是系數(shù)，即不分自變量與因變量。另一種是不對稱形式，簡寫是y系數(shù)，即要求一個是自變量，一個是因變量。,系數(shù),E1的定義： 未知y與x有關(guān)之前，如果預(yù)測y值，唯

2、一可資依據(jù)的就是y本身的分布。由于y與x無關(guān)，所以只能根據(jù)y的行邊緣和（與x無關(guān)）去預(yù)測y，也即由y的行邊緣和中最大者眾值，去預(yù)測y，可能性最大。 E1 = n max(n*j) （即總頻次n減去y的行邊緣和中最大者） 分析： （1）E1 = 0 （E1最?。┊?max(n*j) = n 時，E1 = 0。也即眾值極大，異眾比率為0，此時眾值代表性最高，故E1為0。 （2）E 1 = n （E1最大）當 max(n*j) = 0 時，E1 = n。也即眾值為0，異眾比率最大，此時眾值代表性最低，故E1為n。,E2的定義： 當已知y與x有關(guān)之后，如果再去預(yù)測y值，則可借助x預(yù)測y。即用各類x條件

3、下，y的條件分布中的眾值去預(yù)測y，可能性最大。 E2 = n max(nij) 分析： 1）E2 = 0 （即max(nij) = n，即各類x條件下的眾值皆為最大值） 2）E2 = n （即max(nij) = 0，即各類x條件下的眾值皆為最小值）,系數(shù)計算公式,其中，My=Y變量的眾值次數(shù)， Mx=X變量的眾值次數(shù) my=X變量的每個值（類別）之下Y變量的眾值次數(shù) mx=Y變量的每個值（類別）之下X變量的眾值次數(shù),例：對稱與不對稱系數(shù),表 青年人與其知心朋友的志愿,系數(shù)與尤拉Q系數(shù),系數(shù)的缺點,Lambda相關(guān)測量法的特點是以眾值作為預(yù)測的準則，不理會眾值以外的次數(shù)分布。因此，如果全部眾值

4、集中在條件次數(shù)表的同一列或同一行中，則Lambda系數(shù)便會等于0.,tau-y相關(guān)測量法,tau-y是不對稱相關(guān)測量法，這個方法是在計算系數(shù)值時會包括所有的邊緣次數(shù)和條件次數(shù)。,其中： n=全部個案書目， f=某條件次數(shù) Fy=Y變量的某個邊緣次數(shù) Fx=X變量的某個邊緣次數(shù),再以飲食習(xí)慣表為例：,練習(xí)題1,題：以下是某高校對高、低年級學(xué)生求職意愿的抽樣調(diào)查。問：（1）計算不對稱Lambda系數(shù)；（2）計算tau-y系數(shù)；（3）建立條件百分表。,第二節(jié) 兩個定序變量,Gamma系數(shù) 級序相關(guān)法的基本邏輯是要求出；根據(jù)任何兩個個案在某變量上的等級來預(yù)測他們在另一個變量上的等級時，可以減少的誤差是

5、多少。 同序?qū)εc異序?qū)Γ杭僭O(shè)樣本的全部個案數(shù)目是n，就會組成1/2n(n-1)對個案。某對個案在兩個變量上的相對等級時相同，則成為同序?qū)Γ蝗绻遣幌嗤?，則成為異序?qū)Α?同序?qū)εc異序?qū)?同分對,兩個個案在某變量上次序相對，無法分高低，即同分對。通常以Tx代表只在X變量上同分的對數(shù)，以Ty代表只在Y變量上同分的對數(shù)，而以Txy代表在兩個變量上都是同分的對數(shù)。,Gamma系數(shù),Gamma系數(shù)的計算公式如下： 其中：Ns 是同序?qū)?shù)，Nd異序?qū)?shù)。 G的絕對值越大，就表示所犯的錯誤可能性越小，G是負值，則如果知道一對個案在某個變量的相對等級，就應(yīng)該估計他們在另一個變量上的相對等級是相反的。反之亦然。,

6、求下表G系數(shù),G系數(shù)是屬于對稱相關(guān)測量法。如果是非對稱，即一個是自變量，一個是因變量，則適宜于簡化不對稱關(guān)系的薩默斯dy系數(shù)。,薩默斯dy系數(shù),dy的計算公式如下： 其中：Ns 是同序?qū)?shù)，Nd異序?qū)?shù)，Ty是只在因變量上同分的對數(shù)。 假設(shè)積極性等級是x，產(chǎn)量是Y,求dy,計算列聯(lián)表的同序?qū)εc異序?qū)?同序?qū)Γ簄1(n5+n6+n8+n9)+n2(n6+n8)+n4(n8+n9)+n5(n9),異序?qū)Γ簄7(n2+n5+n3+n6)+n4(n2+n3)+n8(n3+n6)+n5(n3),計算列聯(lián)表的同分對,同分對：Tx=n1(n2+n3)+n2(n3)+n4(n5+n6)+n5(n6)+n7(n

7、8+n9)+n8(n9),同分對：,例：計算G系數(shù)與dy系數(shù),婚姻美滿,文化程度,同序?qū)Γ?（30+18+4+7）+8（4+7）+16（18+7）+30（7）=1229 異序?qū)Γ?（8+30+3+4）+18（3+4）+16（8+3）+30（3）=617 同分對：9（16+5）+16（5）+8（30+18）+30（18）+3（4+7）+4（7）=1254 G系數(shù)=0.33 dy系數(shù)=0.22,肯德爾的tau系數(shù),tau系數(shù)的基本邏輯是計算同序?qū)?shù)與異序?qū)?shù)之差在全部的可能對數(shù)中所占的比例。公式如下：,其中m是列聯(lián)表中行數(shù)與列數(shù)中的較小者。,斯皮爾曼rho系數(shù),斯皮爾曼rho系數(shù)的特點是計算每個個

8、案在兩個變量上的等級時，不僅要區(qū)別兩者的高低差異，而且還要計算二者差異的確切數(shù)值。 其中D表示每個個案在兩列級序上的差異值，n表示全部個案數(shù)目。D平方可以避免正負值抵消 rho系數(shù)是對稱相關(guān)測量法，要求同分情況不多，統(tǒng)計值在-1至1之間。其平方值可以有消減誤差比例的意義。,求斯皮爾曼rho系數(shù),第三節(jié) 兩個定距變量,簡單線性回歸分析法 簡單線性回歸時根據(jù)一個直線方程式，以一個自變量X的數(shù)值來預(yù)測一個因變量Y的數(shù)值。目的是要找出一個錯誤最小的方法來預(yù)測因變量的數(shù)值。 其中X是自變量數(shù)值；b成為回歸系數(shù)，表示回歸線的斜率；a是截距，是回歸線與Y軸的交點；是根據(jù)回歸方程所預(yù)測的Y變量值。,最小二乘法

9、,回歸法在繪制回歸線時所根據(jù)的準則是最小二乘法。假定我們根據(jù)一條直線來以自變量X估計因變量的某個值，所估計的值是Y1,而實際上該值是Y2，則誤差便是:e=Y2-Y1 各個e相加起來就是誤差總數(shù)，為防止正負值相抵消的問題，改為e的平方值相加起來，即直線應(yīng)使 最小。,計算公式,斜率 截距 其中X是自變量值， 是自變量的均值，Y是因變量值， 是因變量的均值，n是全部個案數(shù)目。,例1：計算回歸方程,回歸與相關(guān),線性回歸方程不僅具有簡化資料的作用，而且可以推廣應(yīng)用于預(yù)測或估計樣本之外個案的數(shù)值。 回歸系數(shù)（b）表示X對Y的影響有多少，指每增加一個單位的X值時Y值的變化有多大。 B值是表示自變量對因變量的

10、影響的大小與方向，它是不對稱關(guān)系的統(tǒng)計法。 回歸方程不具有消減誤差比例作用，一般在計算回歸方程時須進行相關(guān)系數(shù)測量。如果相關(guān)系數(shù)比較小，消減誤差比例太少，則不適合作線性回歸方程。,積矩相關(guān)測量法,b系數(shù)沒有上限，很少用來比較變量與變量之間的相關(guān)程度。而且容易受到統(tǒng)計單位的影響。 r系數(shù)與b系數(shù)的不同地方，是r系數(shù)假定X與Y的關(guān)系是對稱的，而且r的統(tǒng)計值是-1至1，同時r2具有消減誤差比例的意義。r2稱為決定系數(shù)。,r系數(shù),r系數(shù)計算公式如下： r系數(shù)與簡單線性回歸都是假定X與Y的關(guān)系具有直線的性質(zhì)。如果非直線，就會犯錯誤。,直線與非直線,第四節(jié) 定類變量與定距變量,相關(guān)比率，又稱為eta平方系數(shù)（E2），是以一個定類變量為自變量，來預(yù)測或估計以一個定距變量為因變量的值。 其中，Y是因變量的值， 是因變量的均值； 是自變量值（Xi）上各因變量的均值。,表1 20名學(xué)生的家庭職業(yè)背景對英文水平的影響,英文水平（得分）,非線性