正弦、余弦、正切函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用 (4)

1、,用數(shù)學(xué)視覺(jué)觀察世界 用數(shù)學(xué)思維思考世界,應(yīng)用舉例,人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)28.2解直角三角形及其應(yīng)用,在直角三角形中,除直角外,由已知兩元素 求其余未知元素的過(guò)程叫解直角三角形.,1.解直角三角形,(1)三邊之間的關(guān)系:,a2b2c2（勾股定理）；,2.解直角三角形的依據(jù),(2)兩銳角之間的關(guān)系:, A B 90；,(3)邊角之間的關(guān)系:,sinA,(必有一邊),3、如圖，RtABC中，C=90，,（1）若A=30，BC=3，則AC=,（2）若B=60，AC=3，則BC=,（3）若A=，AC=3，則BC=,（4）若A=，BC=m，則AC=,（一）仰角和俯角,鉛直線,水平線,視線,視線,仰角,俯

2、角,在進(jìn)行測(cè)量時(shí)，Zxxk 從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角； 從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角.,例1： 2003年10月15日“神舟”5號(hào)載人航天飛船發(fā)射成功當(dāng)飛船完成變軌后，就在離地球表面350km的圓形軌道上運(yùn)行如圖，當(dāng)飛船運(yùn)行到地球表面上P點(diǎn)的正上方時(shí)，從飛船上最遠(yuǎn)能直接看到地球上的點(diǎn)在什么位置？這樣的最遠(yuǎn)點(diǎn)與P點(diǎn)的距離是多少？（地球半徑約為6 400km，結(jié)果精確到0.1km）,分析：從飛船上能最遠(yuǎn)直接看到的地球上的點(diǎn)，應(yīng)是視線與地球相切時(shí)的切點(diǎn),測(cè)量中的最遠(yuǎn)點(diǎn)問(wèn)題,如圖，O表示地球，點(diǎn)F是飛船的位置， FQ是O的切線，切點(diǎn)Q是從飛船觀測(cè) 地球時(shí)的最遠(yuǎn)點(diǎn)PQ 的長(zhǎng)就是地

3、面 上P、Q兩點(diǎn)間的距離，為計(jì)算PQ 的 長(zhǎng)需先求出POQ（即a）,解：在圖中，F(xiàn)Q是O的切線，F(xiàn)OQ是直角三角形, PQ的長(zhǎng)為,當(dāng)飛船在P點(diǎn)正上方時(shí)，從飛船觀測(cè)地球時(shí)的最遠(yuǎn)點(diǎn)距離P點(diǎn)約2009.6km,COS a = =,OQ,OF,6400,6400+350,0.948,例2: 熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為30，看這棟高樓底部的俯 角為60，熱氣球與高樓的水平距離為120m，這棟高樓有多高（結(jié)果精確到0.1m）,分析：我們知道，在視線與水平線所成的角中視線在水平線上方的是仰角，視線在水平線下方的是俯角，因此，在圖中，a=30,=60,RtABC中，a =30，AD12

4、0， 所以利用解直角三角形的知識(shí)求出 BD；類似地可以求出CD，進(jìn)而求出BC,仰角與俯角,解：如圖，a = 30,= 60， AD120,答：這棟樓高約為277.1m,1. 建筑物BC上有一旗桿AB，由距BC40m的D處觀察旗桿頂部A的仰角54，觀察底部B的仰角為45，求旗桿的高度（精確到0.1m）,解：在等腰三角形BCD中ACD=90,BC=DC=40m,在RtACD中,所以AB=ACBC=55.240=15.2,答：棋桿的高度為15.2m.,練習(xí) 1,AC=DCtanADC,2. 如圖，沿AC方向開(kāi)山修路為了加快施工進(jìn)度，要在小山的另一邊同時(shí)施工，從AC上的一點(diǎn)B取ABD = 140，BD

5、 = 520m，D=50，那么開(kāi)挖點(diǎn)E離D多遠(yuǎn)正好能使A，C，E成一直線（精確到0.1m）,BED=ABDD=90 BDE 是RT,答：開(kāi)挖點(diǎn)E離點(diǎn)D 332.8m正好能使A，C，E成一直線.,解：要使A、C、E在同一直線上，則 ABD是 BDE 的一個(gè)外角, DE=COSBDEBD,總結(jié),1、弄清俯角、仰角的意義，明確各術(shù)語(yǔ)與示 意圖中的什么元素對(duì)應(yīng)，只有明確這些概念， 才能恰當(dāng)?shù)匕褜?shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；,2、認(rèn)真分析題意、畫(huà)圖并找出要求的直角三角 形；,3、選擇合適三角函數(shù)值，使計(jì)算盡可能簡(jiǎn)單；,4、根據(jù)題目中的對(duì)精確度的要求保留，并注 明單位。,指南或指北的方向線與目標(biāo)方向線構(gòu)成小于9

6、00的角,叫做方位角. 如圖：點(diǎn)A在O的北偏東30 點(diǎn)B在點(diǎn)O的南偏西45（西南方向）,（二）方位角,例3如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東34方向上的B處，這時(shí)，海輪所在的B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)（精確到0.01海里）？,解：如圖 ，在RtAPC中，,PCPAcos（9065）,80cos25,800.91,=72.8,在RtBPC中，B34,當(dāng)海輪到達(dá)位于燈塔P的南偏東34方向時(shí)，它距離燈塔P大約130.23海里,65,34,P,B,C,A,海中有一個(gè)小島A，它的周圍8海里范圍內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚(yú)群由西向東航行，

7、在B點(diǎn)測(cè)得小島A在北偏東60方向上，航行12海里到達(dá)D點(diǎn)，這時(shí)測(cè)得小島A在北偏東30方向上，如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，有沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)？,B,A,D,F,60,12,30,練習(xí) 2,B,A,D,F,解：由點(diǎn)A作BD的垂線,交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，垂足為F，AFD=90,由題意圖示可知DAF=30,設(shè)DF= x , AD=2x,則在RtADF中，根據(jù)勾股定理,在RtABF中，,解得x=6,10.4 8沒(méi)有觸礁危險(xiǎn),30,60,修路、挖河、開(kāi)渠和筑壩時(shí)，設(shè)計(jì)圖紙上都要注明斜坡的傾斜程度. 坡面的鉛垂高度（h）和水平長(zhǎng)度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）. 記作i , 即 i = . 坡度通常寫成

8、1m的形式，如 i=16.坡面與 水平面的夾角叫做坡角，記作a，有 i = tan a. 顯然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.,（三）坡度,例4. 如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD（圖中i=1:3是指坡面的鉛直高度DE與水平寬度CE的比），根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求： （1）坡角a和; （2）壩頂寬AD和斜坡AB的長(zhǎng)（精確到0.1m）,解：（1）在RtAFB中，AFB=90,在RtCDE中，CED=90,(1)一段坡面的坡角為60，則坡度i=_；,練習(xí) 3,答案: 米,（3）如圖，直升飛機(jī)在長(zhǎng)400米的跨江大橋AB的上方P點(diǎn)處，且A、B、O三點(diǎn)在一條直線上，在大橋的兩端測(cè)得飛機(jī)的仰角分別為30和45 ，求飛機(jī)的高度PO .,A,B,400米,P,1數(shù)形結(jié)合思想.,方法：把數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成解直角三角形問(wèn)題，如果示意圖不是直角三角形，可添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造出直角三角形.,解題思想與方法小結(jié)：,2方程思想.,3轉(zhuǎn)化（化歸）思想.,課堂小結(jié),1、弄清俯角、仰角、坡度、坡角、水平距離、垂直距離、水位等概念的意義，明確各術(shù)語(yǔ)與示意圖中的什么元素對(duì)應(yīng)，只有明確這些