初中數學-等腰三角形及直角三角形有關定理的證明與運用.ppt

1、初中數學,等腰三角形及直角三 角形有關定理 的證明與運用,一.定理及其證明 二.定理的運用. 三.思考題.,一.定理及其證明 (一)關于等腰三角形,1.定義:有兩邊相等的三角形叫等腰三角形.,2.判定:有兩個角相等的三角形是等腰三角形.,A,B,C,即:在ABC中,若B=C,則AB=AC. 在同一個三角形中，等角對等邊.,D,3.性質: (1).等腰三角形的兩底角相等(等邊對等角),(2).等腰三角形頂角的平分線,底邊上的高,底邊的中線,三線合一.,(3)有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形,(二)關于直角三角形. 1.勾股定理:在直角三角形中,斜邊的平方等于兩直角邊的平和.,如圖;在RtA

2、BC中,C=90.則,證明(法一):(古希臘數學家畢達哥拉斯證法)以三角形兩直角邊的和a+b為邊作正方形DEFH. 在四條邊上分別截取:EQ=FR=HM=DP=a 連結PQ,QR,RM,MP,可證所得四個三角形全等,所以四邊形PQRM為正方形. S大正=4S+S小正,證法(二):(中國古代數學家趙爽的證法)以直角三角形的斜邊為邊作正方形,向里作四個與原直角三角形全等的三角形(略),證法(三):(美國第20任總統(tǒng)伽菲爾德的證法),2.(角的關系)直角三角形兩銳角余.,如圖:以c為直角邊作等腰直角三角形DEF,分別以DF,DE為斜邊作兩個與原三角形全等的直角三角形NDF和MED, 首先可證N,D,

3、M三點共線. 再利用面積可證勾股定理.,3.(邊角關系),直角三角形中,30角所對的直角邊是斜邊的一半.,A,B,C,在RtABC中,C=90,若 B=30,則AC= AB,D,30,30,證明:(講解略寫),4.直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半.,證明:(兩種證法:講解略寫),E,F,二.運用: 例1.如圖,在ABC中,C=90 D,E是AB邊上兩點,且AE=AC, BD=BC,則DCE等于,(A).30 (B).45 (C).60 (D).與A ,B的度數有關,解:AE=AC ,1,2,同理:,注:通過此題熟練等腰三角形三個角之間的關系.,例2:已知等腰直角三角形ABC中,AB=AC=

4、1 ,將三角形沿斜邊上的高AD對折,得三角形ADC,再沿斜邊上的高DE對折,.依次進行,則對折四次后的三角形直角邊長等于,解:對折后的三角形與原三角形都是等腰直角三角形, 它們都是相似三角形, 對折后的三角形的面積總是前一次面積的一半, 對折四次后三角形的面積是原面積的 相似三角形的面積比等于相似比的平方, 第四次后的等腰直角三角形的直角邊為,注:相似三角形的面積比等于相似比的平方,例3.如圖在ABC中,AB=5,AC=6 BC=7,求ABC的面積.,5,6,7,x,7-x,解:過A作ADBC于D,設BD=x, 則DC=7-x,注:一般三角形邊的計算問題通過作高轉化為直角三角形問題.,例4.如

5、圖已知四邊形ABCD中，A=120 ABC=90,AD=3,BC=3 ,BD=7, 求:AB,CD的長,解:過D作BA的垂線交BA的延長線于E, DAB=120 1=60, 2=30,E,1,2,過D作DFBC于F,F,注:將求線段的問題轉化為 解直角三角形問題,例5.如圖,矩形ABCD中，折疊AD邊，使點D落在BC邊上 的F點處，若這痕AE= cm,且 ,求矩形ABCD的周長.,3k,4k,5k,5k,8k,6k,10k,解:由已知設EC=3k,FC=4k, 則:EF=5k, AB=DC=8k,AFE=D=90 1+2=90,1,2,3, 1+3=90,2=3, 而B=C=90 ECFFBA

6、,注:折疊得全等,例6.如圖,梯形ABCD中，ADBC,AB=DC,DBC=45,翻折梯形使點B與點D重合，折痕交AB于F,交BC于E,若AD=2,BC=8,試求BE,EF的長.,G,解:連結AC,由等腰梯形ABCD 得:AC=BD, 過D作DGAC交BC的延長線于G.,則得:平行四邊形ADGC, DG=AC=BD,CG=AD DBG=45 BDG=90.,EF垂直平分BD FEDG,且FE平分BD,BE=EG,(口述求FE),注:梯形問題通過平移對角線或腰將其轉化為三角形問題,例7.在ABC中，ABAC, 求證:CB.,A,B,C,D,1,2,證明: ABAC 在AB線段上截取AD=AC,連

7、結DC,則1=2,ACB1=2ABC ACB ABC,證法(二):(講解略寫),E,注:角的不等問題一般要用三角形的外角性質.邊的不等問題要用三角形任意兩邊之和大于第三邊.,例8.在ABC中，D是BC的中點 EDDF分別交AB,AC于E,F.連結EF. (1)試探究并證明線段EF與BE+FC的長度 關系. (2)若ABC滿足AB=AC,BAC=90 其它條件不變, 則EF 與BE,FC又有什么關系?,H,H,(1)猜想: BE+FCEF 證明:延長FD到點H,使DH=DF 連結BH,又BD=DC,BDH=FDC BDHCDF BH=CF,連結EH,因為ED垂直平分HF EH=EF,在BEH中 BE+BHEH BE+FCEF,(2),總 結 有中點的條件,一般要倍長過中點的線段.利用三角形全等,或等腰三角形或線段的中垂線等性質轉化邊,轉化角; 求線段的長, 可通過作高將問題轉化為直角三角形中的求邊問題; 證明角的不等關系一般要用三角形的外角性