2018屆高三數學一輪復習導數及其應用第四節(jié)導數的綜合應用課件理.pptx

1、理數 課標版,第四節(jié)導數的綜合應用,1.利用導數證明不等式的基本步驟 (1)作差或變形. (2)構造新的函數h(x). (3)對h(x)求導. (4)利用h(x)判斷h(x)的單調性或最值.,教材研讀,(5)下結論.,2.一元三次方程根的個數問題 令f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),則f (x)=3ax2+2bx+c.,方程f (x)=0的判別式=(2b)2-12ac, (1)當0,即b23ac時, f (x)0恒成立, f(x)在R上為增函數,又易知存在x、xR,使f(x)f(x)0,即b23ac時,方程f (x)=0有兩個實根,設為x1,x2(x1m). a.當m0時,方程f(x

2、)=0有一個實根; b.當m=0時,方程f(x)=0有兩個實根; c.當m0時,方程f(x)=0有三個實根; d.當M=0時,方程f(x)=0有兩個實根; e.當M0時,方程f(x)=0有一個實根.,考點一利用導數研究函數的零點或方程的根 典例1(2016北京,20,13分)設函數f(x)=x3+ax2+bx+c. (1)求曲線y=f(x)在點(0, f(0)處的切線方程; (2)設a=b=4.若函數f(x)有三個不同零點,求c的取值范圍;,考點突破,(3)求證:a2-3b0是f(x)有三個不同零點的必要而不充分條件. 解析(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c, 得f (x)=3x2+2a

3、x+b. 因為f(0)=c, f (0)=b, 所以曲線y=f(x)在點(0, f(0)處的切線方程為y=bx+c.(3分),(2)當a=b=4時, f(x)=x3+4x2+4x+c, 所以f (x)=3x2+8x+4. 令f (x)=0,得3x2+8x+4=0, 解得x=-2或x=-.(4分) f(x)與f (x)在區(qū)間(-,+)上的情況如下表:,(6分),所以,當c0且c-0時,存在x1(-4,-2),x2,x3,使 得f(x1)=f(x2)=f(x3)=0. 由f(x)的單調性知,當且僅當c時,函數f(x)=x3+4x2+4x+c有三個不 同零點.(8分),(3)證明:當=4a2-12b

4、0,x(-,+), 此時函數f(x)在區(qū)間(-,+)上單調遞增,所以 f(x)不可能有三個不同零點.(9分),當=4a2-12b=0時, f (x)=3x2+2ax+b只有一個零點,記作x0. 當x(-,x0)時, f (x)0, f(x)在區(qū)間(-,x0)上單調遞增; 當x(x0,+)時, f (x)0, f(x)在區(qū)間(x0,+)上單調遞增. 所以f(x)不可能有三個不同零點.,綜上所述,若函數f(x)有三個不同零點,則必有=4a2-12b0. 故a2-3b0是f(x)有三個不同零點的必要條件.(11分) 當a=b=4,c=0時,a2-3b0, f(x)=x3+4x2+4x=x(x+2)2

5、只有兩個不同零點,所以a2-3b0不是f(x)有三個不同零點的充分條件.(12分) 因此a2-3b0是f(x)有三個不同零點的必要而不充分條件.(13分),方法技巧 利用導數研究方程根的方法 (1)研究方程根的情況,可以通過導數研究函數的單調性、最大值、最小值、變化趨勢等. (2)根據題目要求,畫出函數圖象的走勢規(guī)律,標明函數極(最)值的位置. (3)可以通過數形結合的思想去分析問題,使問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn). 1-1(2015課標,21,12分)已知函數f(x)=x3+ax+,g(x)=-ln x. (1)當a為何值時,x軸為曲線y=f(x)的切線? (2)用minm,n表示m

6、,n中的最小值,設函數h(x)=minf(x),g(x)(x0),討論h(x)零點的個數.,解析(1)設曲線y=f(x)與x軸相切于點(x0,0),則f(x0)=0, f (x0)=0,即 解得x0=,a=-. 因此,當a=-時,x軸為曲線y=f(x)的切線. (2)當x(1,+)時,g(x)=-ln x0,從而h(x)=minf(x),g(x)g(x)0,故h(x)在(1,+)內無零點. 當x=1時,若a-,則f(1)=a+0,h(1)=minf(1),g(1)=g(1)=0,故x=1是h (x)的零點;若a-,則f(1)0,h(1)=minf(1),g(1)=f(1)0,故x=1不是h(x

7、)的 零點.,當x(0,1)時,g(x)=-ln x0,所以只需考慮f(x)在(0,1)內的零點個數. (i)若a-3或a0,則f (x)=3x2+a在(0,1)內無零點,故f(x)在(0,1)內單調.而 f(0)=, f(1)=a+,所以當a-3時, f(x)在(0,1)內有一個零點;當a0時, f(x)在(0,1)內沒有零點. (ii)若-30,即-a0,則f(x)在(0,1)內無零點; 若f =0,即a=-,則f(x)在(0,1)內有唯一零點;,若f -或a-時,h(x)有一個零點;當a=-或a=-時,h(x)有兩個零 點;當-a-時,h(x)有三個零點.,考點二利用導數研究不等式的有關

8、問題 命題角度一證明不等式 典例2(2016課標全國,21,12分)設函數f(x)=ln x-x+1. (1)討論f(x)的單調性; (2)證明當x(1,+)時,11,證明當x(0,1)時,1+(c-1)xcx. 解析(1)由題設知, f(x)的定義域為(0,+), f (x)=-1,令f (x)=0,解得x=1. 當00, f(x)單調遞增;當x1時, f (x)0, f(x)單調遞減. (4分) (2)證明:由(1)知f(x)在x=1處取得最大值,最大值為f(1)=0. 所以當x1時,ln xx-1.,故當x(1,+)時,ln x1,設g(x)=1+(c-1)x-cx, 則g(x)=c-1

9、-cxln c,令g(x)=0, 解得x0=. 當x0,g(x)單調遞增;當xx0時,g(x)0. 所以當x(0,1)時,1+(c-1)xcx.(12分),命題角度二不等式恒成立問題 典例3(2016四川,21,14分)設函數f(x)=ax2-a-ln x,其中aR. (1)討論f(x)的單調性; (2)確定a的所有可能取值,使得f(x)-e1-x在區(qū)間(1,+)內恒成立(e=2.718為自然對數的底數). 解析(1)f (x)=2ax-=(x0). 當a0時, f (x)0時,由f (x)=0,有x=. 此時,當x時, f (x)0, f(x)單調遞增.,(2)令g(x)=-=,s(x)=e

10、x-1-x.則s(x)=ex-1-1. 而當x1時,s(x)0, 所以s(x)在區(qū)間(1,+)內單調遞增. 又由s(1)=0,有s(x)0,從而當x1時,g(x)0.,當a0,x1時, f(x)=a(x2-1)-ln xg(x)在區(qū)間(1,+)內恒成立時,必有a0. 當01. 由(1)有f0, 所以此時f(x)g(x)在區(qū)間(1,+)內不恒成立.,當a時,令h(x)=f(x)-g(x)(x1). 當x1時,h(x)=2ax-+-e1-xx-+- =0. 因此,h(x)在區(qū)間(1,+)內單調遞增.,又因為h(1)=0,所以當x1時,h(x)=f(x)-g(x)0, 即f(x)g(x)恒成立. 綜

11、上,a.,方法技巧 1.利用導數證明不等式的方法 證明f(x)g(x),x(a,b),可以構造函數F(x)=f(x)-g(x),如果F(x)0,則F(x)在(a,b)上是減函數,同時若F(a)0,由減函數的定義可知,x(a,b)時,有F(x)0,即證明了f(x)g(x).,2.利用導數解決不等式的恒成立問題的策略 (1)首先要構造函數,利用導數研究函數的單調性,求出最值,進而得出相應的含參不等式,從而求出參數的取值范圍. (2)也可分離變量,構造函數,直接把問題轉化為函數的最值問題.,2-1已知f(x)=(1-x)ex-1. (1)求函數f(x)的最大值; (2)設g(x)=,x-1,且x0,

12、證明:g(x)0, f(x)單調遞增;當x(0,+)時, f (x)0時, f(x)x.設h(x)=f(x)-x,則h(x)=-xex-1. 當x(-1,0)時,0-x1,0ex1,則0-xex1,從而當x(-1,0)時,h(x)h(0)=0,即g(x)1. 綜上,總有g(x)1.,2-2設函數f(x)=+2ln x. (1)討論函數f(x)的單調性; (2)如果對所有的x1,都有f(x)ax,求a的取值范圍. 解析(1)f(x)的定義域為(0,+), f (x)=, 所以當0時, f (x)0, 故函數f(x)在上單調遞減,在上單調遞增. (2)當x1時, f(x)axa+, 令h(x)=+

13、(x1), 則h(x)=-=,令m(x)=x-xln x-1(x1),則m(x)=-ln x, 顯然,當x1時,m(x)0, 所以m(x)在1,+)上為減函數, 所以m(x)m(1)=0, 因此h(x)0,于是h(x)在1,+)上為減函數, 所以當x=1時,h(x)有最大值h(1)=1,故a1, 即a的取值范圍是1,+).,考點三用導數解決實際生活中的優(yōu)化問題 典例4(2016云南玉溪一中月考)時下網校教學越來越受廣大學生的喜愛,它已經成為學生們課外學習的一種趨勢,假設某網校的套題每日的銷售量y(單位:千套)與銷售價格x(單位:元/套)滿足的關系式為y=+4 (x-6)2,其中2x6,m為常數

14、.已知銷售價格為4元/套時,每日可售出套題21千套. (1)求m的值; (2)假設網校的員工工資、辦公費用等所有開銷折合為每套題2元(只考慮銷售出的套數),試確定銷售價格x的值,使網校每日銷售套題所獲得的利潤最大.(精確到0.1),解析(1)因為x=4時,y=21,所以+16=21,解得m=10. (2)由(1)可知,套題每日的銷售量為y=+4(x-6)2,所以每日銷售套題所獲得的利潤(單位:千元)為f(x)=(x-2)=10+4(x-6)2(x-2)=4x3-56x2+240 x-278(2x6)，,從而f (x)=12x2-112x+240=4(3x-10)(x-6)(20,函數f(x)

15、單調遞增;在上, f (x)0,函數f(x)單調遞減. 所以x=是函數f(x)在(2,6)內的極大值點,也是最大值點,所以當x= 3.3時,函數f(x)取得最大值. 故當銷售價格為3.3元/套時,網校每日銷售套題所獲得的利潤最大.,規(guī)律總結 利用導數解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟 (1)分析實際問題中變量之間的關系,建立實際問題的數學模型,寫出實際問題中變量之間的函數關系式y(tǒng)=f(x); (2)求函數的導數f (x),解方程f (x)=0; (3)比較函數在區(qū)間端點和使f (x)=0的點處的函數值的大小,最大(小)者為最大(小)值; (4)寫出答案.,3-1某食品廠進行蘑菇的深加工,每千克蘑菇的采購成本為20元,并且每千克蘑菇的加工費為t元(t為常數,且2t5).設該食品廠每千克蘑菇的出廠價為x元(25x40),根據市場調查,日銷售量q千克與ex成反比, 當每千克蘑菇的出廠價為30元時,日銷售量為100千克. (1)求該工廠的日利潤y元