奧數(shù)題之盈虧問題.ppt

1、第八次課 盈虧問題、容斥原理、推理問題,第一節(jié) 盈虧問題,例題1 ： 小明的媽媽買回一籃梨，分給全家。如果每人分5個(gè)，就多出10個(gè)；如果每人分6個(gè)，就少2個(gè)。小明全家有多少人？這籃梨有多少個(gè)？,例題2 ： 幼兒園買來一些玩具，如果每班分8個(gè)玩具，則多出2個(gè)玩具；如果每班分10個(gè)玩具，則少12個(gè)玩具。幼兒園有幾個(gè)班？這批玩具有多少個(gè)？,解題規(guī)律：,在日常生活中常有這樣的問題：一定數(shù)量的物品分給一定數(shù)量的人，每人多一些，物品就不夠；每人少一些，物品就有余。盈虧問題就是在已知盈虧的情況下來確定物品總數(shù)和參加分配的人數(shù)。 解答盈虧問題的關(guān)鍵是弄清盈、虧與兩次分得差的關(guān)系。,盈虧問題的數(shù)量關(guān)系是： （1

2、）（盈虧）兩次分配差=份數(shù) （大盈小盈）兩次分配差=份數(shù) （大虧小虧）兩次分配差=份數(shù) （2）每次分得的數(shù)量份數(shù)盈=總數(shù)量 每次分得的數(shù)量份數(shù)虧=總數(shù)量,例3：有一些少先隊(duì)員到山上去種一批樹。如果每人種16棵，還有24棵沒種；如果每人種19棵，還有6棵沒有種。問有多少名少先隊(duì)員？有多少棵樹？,例題4 ： 學(xué)校派一些學(xué)生去搬一批樹苗，如果每人搬6棵，則差4棵；如果每人搬8棵，則差18棵。學(xué)生有幾人？這批樹苗有多少棵？,例5： 少先隊(duì)員去植樹，如果每人挖5個(gè)樹坑，還有3個(gè)坑沒人挖；如果其中2人各挖4個(gè)，其余的人各挖6個(gè)樹坑，就恰好挖完所有樹坑。少先隊(duì)員一共挖多少樹坑？,例題6： 三（1）班學(xué)生去公

3、園劃船，如果每條船坐4人，則少一條船；如果每條船坐6人，則多出4條船。公園里有多少條船？三（1）班有多少學(xué)生？,第二節(jié) 容斥原理,容斥問題涉及到一個(gè)重要原理包含與排除原理，也叫容斥原理。即當(dāng)兩個(gè)計(jì)數(shù)部分有重復(fù)包含時(shí)，為了不重復(fù)計(jì)數(shù)，應(yīng)從它們的和中排除重復(fù)部分。 容斥原理：對(duì)n個(gè)事物，如果采用不同的分類標(biāo)準(zhǔn)，按性質(zhì)a分類與性質(zhì)b分類（如圖），那么具有性質(zhì)a或性質(zhì)b的事物的個(gè)數(shù)=NaNbNab。,例1：一個(gè)班有48人，班主任在班會(huì)上問：“誰做完語文作業(yè)？請(qǐng)舉手！”有37人舉手。又問：“誰做完數(shù)學(xué)作業(yè)？請(qǐng)舉手！”有42人舉手。最后問：“誰語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都沒有做完？”沒有人舉手。求這個(gè)班語文、數(shù)學(xué)作業(yè)

4、都完成的人數(shù)。,例2：某班有36個(gè)同學(xué)在一項(xiàng)測(cè)試中，答對(duì)第一題的有25人，答對(duì)第二題的有23人，兩題都答對(duì)的有15人。問多少個(gè)同學(xué)兩題都答得不對(duì)？,例3：某班有56人，參加語文競(jìng)賽的有28人，參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有27人，如果兩科都沒有參加的有25人，那么同時(shí)參加語文、數(shù)學(xué)兩科競(jìng)賽的有多少人？,例4： 在1到100的自然數(shù)中，既不是5的倍數(shù)也不是6的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？,例5：光明小學(xué)舉辦學(xué)生書法展覽。學(xué)校的櫥窗里展出了每個(gè)年級(jí)學(xué)生的書法作品，其中有24幅不是五年級(jí)的，有22幅不是六年級(jí)的，五、六年級(jí)參展的書法作品共有10幅，其他年級(jí)參展的書法作品共有多少幅？,重疊問題,例題1： 六一兒童節(jié)，學(xué)校門口

5、掛了一行彩旗。小張從前數(shù)起，紅旗是第8面；從后數(shù)起，紅旗是第10面。這行彩旗共多少面？,例題2 ： 同學(xué)們排隊(duì)做操，每行人數(shù)同樣多。小明的位置從左數(shù)起是第4個(gè)，從右數(shù)起是第3個(gè)，從前數(shù)起是第5個(gè)，從后數(shù)起是第6個(gè)。做操的同學(xué)共有多少個(gè)？,例題3： 把兩塊一樣長(zhǎng)的木板像下圖這樣釘在一起成了一塊木板。如果這塊釘在一起的木板長(zhǎng)120厘米，中間重疊部分是16厘米，這兩塊木板各長(zhǎng)多少厘米？,第三節(jié) 推理問題,解數(shù)學(xué)題，從已知條件到未知的結(jié)論，除了計(jì)算外，更重要的一個(gè)方面就是推理。通常，我們把主要依靠推理來解的數(shù)學(xué)題稱為推理問題。 推理問題中的條件繁雜交錯(cuò)，解題時(shí)必須根據(jù)事情的邏輯關(guān)系進(jìn)行合情推理，仔細(xì)分

6、析，尋找突破口，并且可以借助于圖表，步步深入，這樣才能使問題得到較快的解決。,例題1 ： 有8個(gè)球編號(hào)是（1）（8），其中有6個(gè)球一樣重，另外兩個(gè)球都輕1克。為了找出這兩個(gè)輕球，用天平稱了3次，結(jié)果如下： 第一次：（1）+（2）比（3）+（4）重； 第二次：（5）+（6）比（7）+（8）輕； 第三次：（1）+（3）+（5）與（2）+（4） +（8）一樣重。 那么，兩個(gè)輕球分別是幾號(hào)？,分析：,從第一次看，（3）、（4）兩球中有一個(gè)輕；從第二次看，（5）、（6）兩球中有一個(gè)輕；從第三次看，（1）、（3）、（5）中有一個(gè)輕，（2）、（4）、（8）中也有一個(gè)輕。 綜合上面的分析可以推出，兩個(gè)輕球的編

7、號(hào)分別是（4）和（5）。,例題2 ： 一個(gè)正方體6個(gè)面上分別寫著1、2、3、4、5、6。根據(jù)下圖擺放的三種情況，判斷每個(gè)數(shù)字對(duì)面上的數(shù)字是幾。,分析：,如果直接思考哪個(gè)數(shù)字的對(duì)面是幾，有一定的困難。我們可以這樣想：這個(gè)數(shù)字的對(duì)面不會(huì)是幾。 （1）從（A）、（B）兩種擺法中可以看出：4的對(duì)面不會(huì)是2、5，也不會(huì)是1、6，那么，4對(duì)面一定是3； （2）從（B）、（C）兩種擺法中可以看出：1的對(duì)面不會(huì)是4、6，也不會(huì)是2、3，那么，1的對(duì)面一定是5； （3）剩下2的對(duì)面一定是6。,例題3 小英、小明、小亮在一次語文、數(shù)學(xué)、英語三門考試中，每人都獲得了其中的一門第一名，一門第二名和一門第三名。現(xiàn)在只知

8、道小英獲得了語文成績(jī)的第一名，小明獲得了數(shù)學(xué)第二名。獲得英語成績(jī)第一名的是誰？,分析：,因?yàn)樾∮@得了語文第一名，所以，小明獲得的第一名只能是英語或數(shù)學(xué)，而小明已獲得了數(shù)學(xué)第二名，不可能再獲得數(shù)學(xué)第一名，因此，獲得英語第一名的一定是小明。,例題4： 小明看一本書，如果看過的頁數(shù)每天比前一天增加一倍，7天正好看完。已知這本書一共96頁，他第幾天看到了12頁？,分析：,由于他每天看過的頁數(shù)比前一天增加一倍，7天正好看完，也就是說第7天能看到96頁。由此往前推：第6天看到了962=48頁，第5天看到了482=24頁，第4天看到了242=12頁。 所以，他第4天看到了12頁。,例題5：星期一早晨，王老

9、師走進(jìn)教室，發(fā)現(xiàn)教室里的壞桌凳都修好了。傳達(dá)室人員告訴他：這是班里四個(gè)住校學(xué)生中的一個(gè)做的好事。于是，王老師把許兵、李平、劉成、張明這四個(gè)住校學(xué)生找來了解。 （1）許兵說：桌凳不是我修的。 （2）李平說：桌凳是張明修的。 （3）劉成說：桌凳是李平修的。 （4）張明說：我沒有修過桌凳。 后經(jīng)了解，四人中只有一個(gè)人說的是真話。請(qǐng)問：桌凳是誰修的？,例題6：虹橋小學(xué)舉行科技知識(shí)競(jìng)賽，同學(xué)們對(duì)一貫刻苦學(xué)習(xí)、愛好讀書的四名學(xué)生的成績(jī)作了如下估計(jì)： （1）丙得第一，乙得第二。 （2）丙得第二，丁得第三。 （3）甲得第二，丁得第四。 比賽結(jié)果一公布，果然是這四名學(xué)生獲得前4名。但以上三種估計(jì)，每一種只對(duì)了一半錯(cuò)了一半。請(qǐng)問他們各得第幾名？,例題7：張、王、李三個(gè)工人，在甲、乙丙三個(gè)工廠里分別當(dāng)車工、鉗工和電工。 張不在甲廠，王不在乙廠，在甲廠的不是鉗工，在乙廠的是車工，王不是電工。這三個(gè)人分別在哪個(gè)工廠？干什么工作？,例題8：六年級(jí)有四個(gè)班，每個(gè)班都有正、副班長(zhǎng)各一人。平時(shí)召開年