高等數(shù)學(xué)課程課件PPT之第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.ppt

1、第一節(jié) 微分中值定理,一、羅爾定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理,看右圖，函數(shù)連續(xù)，且兩端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，除端點(diǎn)外處處有不垂直于x 軸的切線，在C點(diǎn)和D點(diǎn)的切線有何特點(diǎn)？,觀察：,費(fèi)馬（Fermat）引理,通常稱導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)為函數(shù)的駐點(diǎn)（或穩(wěn)定點(diǎn)、臨界點(diǎn)）。,一、羅爾(Rolle)定理,例如,幾何解釋:,證,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,幾何解釋:,證,分析:,弦AB方程為,作輔助函數(shù),拉格朗日中值定理又稱有限增量定理.,拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.,定理,例2,證,例3,證,由上式得,即,即,三、柯西(Cauchy)中值定理,證,作輔助函數(shù),特別地,這時(shí),即為

2、,第二節(jié) 洛必達(dá)法則,證,定義輔助函數(shù),則有,例1,解,例2,解,例3,解,例4,解,例5,解,方法：將它們化為 或 未定式的類型，再求解 .,例6,解,例7,解,注意：洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法，但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好.,例8,解,例9,解,此極限不存在，洛必達(dá)法則失效，但不能由此斷定所求極限不存在。,注意：洛必達(dá)法則的使用條件,第三節(jié) 泰勒公式,一、問(wèn)題的提出 二、泰勒中值定理,一、問(wèn)題的提出 當(dāng)函數(shù)比較復(fù)雜時(shí)，為了便于研究，常用多項(xiàng)式來(lái)近似表達(dá)函數(shù)。,不足:,1、精確度不高；,2、誤差不能估計(jì).,二、泰勒(Taylor)中值定理,證明:,拉格朗日型余項(xiàng),佩亞諾型余項(xiàng)

3、,麥克勞林(Maclaurin)公式,解,代入公式,得,由公式可知,估計(jì)誤差,其誤差,常用函數(shù)的麥克勞林公式,解,3.4 最大值、最小值問(wèn)題,最值的求法,應(yīng)用舉例,返回,一、最值的求法,步驟:,1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);,2.求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,比較大小,那個(gè)大那個(gè)就是最大值,那個(gè)小那個(gè)就是最小值;,注意:如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值,則這個(gè)極值就是最值.(最大值或最小值),二、應(yīng)用舉例,例1,解,計(jì)算,比較得,例2,敵人乘汽車從河的北岸A處以1千米/分鐘的速度向正北逃竄，同時(shí)我軍摩托車從河的南岸B處向正東追擊，速度為2千米/分鐘問(wèn)我軍摩托車何時(shí)射擊最好（相距最近射擊最好）？,解,(1)

4、建立敵我相距函數(shù)關(guān)系,敵我相距函數(shù),得唯一駐點(diǎn),實(shí)際問(wèn)題求最值應(yīng)注意:,(1)建立目標(biāo)函數(shù);,(2)求最值;,例3,某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)租金定為每月180元時(shí)，公寓會(huì)全部租出去當(dāng)租金每月增加10元時(shí)，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費(fèi)20元的整修維護(hù)費(fèi)試問(wèn)房租定為多少可獲得最大收入？,解,設(shè)房租為每月 元，,租出去的房子有 套，,每月總收入為,（唯一駐點(diǎn)）,故每月每套租金為350元時(shí)收入最高。,最大收入為,例4,解,如圖,解得,三、小結(jié),注意最值與極值的區(qū)別.,最值是整體概念而極值是局部概念.,實(shí)際問(wèn)題求最值的步驟.,思考題,思考題解答,結(jié)論不成立.,因?yàn)樽钪迭c(diǎn)不一定

5、是內(nèi)點(diǎn).,例,在 有最小值，但,返回,3.5 曲線的凹凸與拐點(diǎn),曲線凹凸的定義,曲線凹凸的判定,曲線的拐點(diǎn)及其求法,返回,一、曲線凹凸的定義,問(wèn)題:如何研究曲線的彎曲方向?,圖形上任意弧段位 于所張弦的上方,圖形上任意弧段位 于所張弦的下方,定義,二、曲線凹凸的判定,定理1,例1,解,注意到,三、曲線的拐點(diǎn)及其求法,1.定義,注意:拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過(guò)曲線.,2.拐點(diǎn)的求法,證,方法1:,例2,解,凹的,凸的,凹的,拐點(diǎn),拐點(diǎn),方法2:,例3,解,注意:,例4,解,四、小結(jié),曲線的彎曲方向凹凸性;,改變彎曲方向的點(diǎn)拐點(diǎn);,凹凸性的判定.,拐點(diǎn)的求法1, 2.,思考題,思考題解答,例,返回

6、,3.6 函數(shù)圖形的描繪,漸近線的確定,函數(shù)圖形的描繪,返回,一、漸近線,定義:,1.鉛直漸近線,例如,有鉛直漸近線兩條:,2.水平漸近線,例如,有水平漸近線兩條:,3.斜漸近線,斜漸近線求法:,注意:,例1,解,二、圖形描繪的步驟,利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形.,第一步,第二步,第三步,第四步,確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線、斜漸近線以及其他變化趨勢(shì);,第五步,三、作圖舉例,例2,解,非奇非偶函數(shù),且無(wú)對(duì)稱性.,列表確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)和拐點(diǎn):,作圖,例3,解,偶函數(shù), 圖形關(guān)于y軸對(duì)稱.,拐點(diǎn),極大值,列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)與拐點(diǎn):,拐點(diǎn),例4,解,無(wú)奇偶性及周期

7、性.,列表確定函數(shù)升降區(qū)間, 凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)與拐點(diǎn):,拐點(diǎn),極大值,極小值,四、小結(jié),函數(shù)圖形的描繪綜合運(yùn)用函數(shù)性態(tài)的研究,是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的綜合考察.,最大值,最小值,極大值,極小值,拐點(diǎn),凹的,凸的,單增,單減,思考題,思考題解答,返回,3.7 曲 率,弧微分,曲率及其計(jì)算公式,曲率圓與曲率半徑,返回,在實(shí)際生活中,如公路、鐵路的彎道設(shè)計(jì)時(shí),對(duì),于彎曲程度有一定的要求.因?yàn)樵谝欢ǖ乃俣认?彎曲程度越大,轉(zhuǎn)彎時(shí)所產(chǎn)生的離心力就越大,容,易出現(xiàn)翻車,脫軌事故.,此類問(wèn)題反映在數(shù)學(xué)上,歸結(jié)為對(duì)于曲線的,彎曲程度的討論和研究.,一、弧微分,規(guī)定：,單調(diào)增函數(shù),如圖，,弧微分公式,二、曲率及其計(jì)算公式,

8、曲率是描述曲線局部性質(zhì)（彎曲程度）的量。,),),弧段彎曲程度 越大轉(zhuǎn)角越大,轉(zhuǎn)角相同弧段越 短彎曲程度越大,1.曲率的定義,),),（,設(shè)曲線C是光滑的，,（,定義,曲線C在點(diǎn)M處的曲率,2.曲率的計(jì)算公式,(1) 直線的曲率處處為零;,(2) 圓上各點(diǎn)處的曲率等于半徑的倒數(shù),且半徑越小曲率越大.,例1,解,顯然,例2,證,如圖,在緩沖段上,實(shí)際要求,三、曲率圓與曲率半徑,定義,1.曲線上一點(diǎn)處的曲率半徑與曲線在該點(diǎn)處的曲率互為倒數(shù).,注意:,2.曲線上一點(diǎn)處的曲率半徑越大,曲線在該點(diǎn)處的曲率越小(曲線越平坦);曲率半徑越小,曲率越大(曲線越彎曲).,3.曲線上一點(diǎn)處的曲率圓弧可近似代替該點(diǎn)

9、附近曲線弧(稱為曲線在該點(diǎn)附近的二次近似).,例3,解,如圖,受力分析,視飛行員在點(diǎn)o作勻速圓周運(yùn)動(dòng),O點(diǎn)處拋物線軌道的曲率半徑,得曲率為,曲率半徑為,即:飛行員對(duì)座椅的壓力為641.5千克力.,四、小結(jié),運(yùn)用微分學(xué)的理論,研究曲線和曲面的性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支微分幾何學(xué).,基本概念: 弧微分,曲率,曲率圓.,曲線彎曲程度的描述曲率;,曲線弧的近似代替曲率圓(弧).,思考題,橢圓 上哪些點(diǎn)處曲率最大？,思考題解答,要使 最大，,必有 最小，,此時(shí) 最大，,下課了！,下課了！,下課了！下課了！,返回,第十節(jié) 方程的近似解,一、問(wèn)題的提出,二、二分法,三、切線法,一、問(wèn)題的提出,求近似實(shí)根的步驟：,確定根的大致范圍根的隔離,問(wèn)題：高次代數(shù)方程或其他類型的方程求精確根一般比較困難,希望尋求方程近似根的有效計(jì)算方法,以根的隔離區(qū)間的端點(diǎn)作為根的初始近似值，逐步改善根的近似值的精確度，直