高等數(shù)學課程課件PPT之第三章微分中值定理與導數(shù)的應用.ppt

1、第一節(jié) 微分中值定理,一、羅爾定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理,看右圖，函數(shù)連續(xù)，且兩端點處的函數(shù)值相等，除端點外處處有不垂直于x 軸的切線，在C點和D點的切線有何特點？,觀察：,費馬（Fermat）引理,通常稱導數(shù)等于零的點為函數(shù)的駐點（或穩(wěn)定點、臨界點）。,一、羅爾(Rolle)定理,例如,幾何解釋:,證,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,幾何解釋:,證,分析:,弦AB方程為,作輔助函數(shù),拉格朗日中值定理又稱有限增量定理.,拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.,定理,例2,證,例3,證,由上式得,即,即,三、柯西(Cauchy)中值定理,證,作輔助函數(shù),特別地,這時,即為

2、,第二節(jié) 洛必達法則,證,定義輔助函數(shù),則有,例1,解,例2,解,例3,解,例4,解,例5,解,方法：將它們化為 或 未定式的類型，再求解 .,例6,解,例7,解,注意：洛必達法則是求未定式的一種有效方法，但與其它求極限方法結合使用，效果更好.,例8,解,例9,解,此極限不存在，洛必達法則失效，但不能由此斷定所求極限不存在。,注意：洛必達法則的使用條件,第三節(jié) 泰勒公式,一、問題的提出 二、泰勒中值定理,一、問題的提出 當函數(shù)比較復雜時，為了便于研究，常用多項式來近似表達函數(shù)。,不足:,1、精確度不高；,2、誤差不能估計.,二、泰勒(Taylor)中值定理,證明:,拉格朗日型余項,佩亞諾型余項

3、,麥克勞林(Maclaurin)公式,解,代入公式,得,由公式可知,估計誤差,其誤差,常用函數(shù)的麥克勞林公式,解,3.4 最大值、最小值問題,最值的求法,應用舉例,返回,一、最值的求法,步驟:,1.求駐點和不可導點;,2.求區(qū)間端點及駐點和不可導點的函數(shù)值,比較大小,那個大那個就是最大值,那個小那個就是最小值;,注意:如果區(qū)間內只有一個極值,則這個極值就是最值.(最大值或最小值),二、應用舉例,例1,解,計算,比較得,例2,敵人乘汽車從河的北岸A處以1千米/分鐘的速度向正北逃竄，同時我軍摩托車從河的南岸B處向正東追擊，速度為2千米/分鐘問我軍摩托車何時射擊最好（相距最近射擊最好）？,解,(1)

4、建立敵我相距函數(shù)關系,敵我相距函數(shù),得唯一駐點,實際問題求最值應注意:,(1)建立目標函數(shù);,(2)求最值;,例3,某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當租金定為每月180元時，公寓會全部租出去當租金每月增加10元時，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費20元的整修維護費試問房租定為多少可獲得最大收入？,解,設房租為每月 元，,租出去的房子有 套，,每月總收入為,（唯一駐點）,故每月每套租金為350元時收入最高。,最大收入為,例4,解,如圖,解得,三、小結,注意最值與極值的區(qū)別.,最值是整體概念而極值是局部概念.,實際問題求最值的步驟.,思考題,思考題解答,結論不成立.,因為最值點不一定

5、是內點.,例,在 有最小值，但,返回,3.5 曲線的凹凸與拐點,曲線凹凸的定義,曲線凹凸的判定,曲線的拐點及其求法,返回,一、曲線凹凸的定義,問題:如何研究曲線的彎曲方向?,圖形上任意弧段位 于所張弦的上方,圖形上任意弧段位 于所張弦的下方,定義,二、曲線凹凸的判定,定理1,例1,解,注意到,三、曲線的拐點及其求法,1.定義,注意:拐點處的切線必在拐點處穿過曲線.,2.拐點的求法,證,方法1:,例2,解,凹的,凸的,凹的,拐點,拐點,方法2:,例3,解,注意:,例4,解,四、小結,曲線的彎曲方向凹凸性;,改變彎曲方向的點拐點;,凹凸性的判定.,拐點的求法1, 2.,思考題,思考題解答,例,返回

6、,3.6 函數(shù)圖形的描繪,漸近線的確定,函數(shù)圖形的描繪,返回,一、漸近線,定義:,1.鉛直漸近線,例如,有鉛直漸近線兩條:,2.水平漸近線,例如,有水平漸近線兩條:,3.斜漸近線,斜漸近線求法:,注意:,例1,解,二、圖形描繪的步驟,利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形.,第一步,第二步,第三步,第四步,確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線、斜漸近線以及其他變化趨勢;,第五步,三、作圖舉例,例2,解,非奇非偶函數(shù),且無對稱性.,列表確定函數(shù)單調區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點和拐點:,作圖,例3,解,偶函數(shù), 圖形關于y軸對稱.,拐點,極大值,列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點與拐點:,拐點,例4,解,無奇偶性及周期

7、性.,列表確定函數(shù)升降區(qū)間, 凹凸區(qū)間及極值點與拐點:,拐點,極大值,極小值,四、小結,函數(shù)圖形的描繪綜合運用函數(shù)性態(tài)的研究,是導數(shù)應用的綜合考察.,最大值,最小值,極大值,極小值,拐點,凹的,凸的,單增,單減,思考題,思考題解答,返回,3.7 曲 率,弧微分,曲率及其計算公式,曲率圓與曲率半徑,返回,在實際生活中,如公路、鐵路的彎道設計時,對,于彎曲程度有一定的要求.因為在一定的速度下,彎曲程度越大,轉彎時所產(chǎn)生的離心力就越大,容,易出現(xiàn)翻車,脫軌事故.,此類問題反映在數(shù)學上,歸結為對于曲線的,彎曲程度的討論和研究.,一、弧微分,規(guī)定：,單調增函數(shù),如圖，,弧微分公式,二、曲率及其計算公式,

8、曲率是描述曲線局部性質（彎曲程度）的量。,),),弧段彎曲程度 越大轉角越大,轉角相同弧段越 短彎曲程度越大,1.曲率的定義,),),（,設曲線C是光滑的，,（,定義,曲線C在點M處的曲率,2.曲率的計算公式,(1) 直線的曲率處處為零;,(2) 圓上各點處的曲率等于半徑的倒數(shù),且半徑越小曲率越大.,例1,解,顯然,例2,證,如圖,在緩沖段上,實際要求,三、曲率圓與曲率半徑,定義,1.曲線上一點處的曲率半徑與曲線在該點處的曲率互為倒數(shù).,注意:,2.曲線上一點處的曲率半徑越大,曲線在該點處的曲率越小(曲線越平坦);曲率半徑越小,曲率越大(曲線越彎曲).,3.曲線上一點處的曲率圓弧可近似代替該點

9、附近曲線弧(稱為曲線在該點附近的二次近似).,例3,解,如圖,受力分析,視飛行員在點o作勻速圓周運動,O點處拋物線軌道的曲率半徑,得曲率為,曲率半徑為,即:飛行員對座椅的壓力為641.5千克力.,四、小結,運用微分學的理論,研究曲線和曲面的性質的數(shù)學分支微分幾何學.,基本概念: 弧微分,曲率,曲率圓.,曲線彎曲程度的描述曲率;,曲線弧的近似代替曲率圓(弧).,思考題,橢圓 上哪些點處曲率最大？,思考題解答,要使 最大，,必有 最小，,此時 最大，,下課了！,下課了！,下課了！下課了！,返回,第十節(jié) 方程的近似解,一、問題的提出,二、二分法,三、切線法,一、問題的提出,求近似實根的步驟：,確定根的大致范圍根的隔離,問題：高次代數(shù)方程或其他類型的方程求精確根一般比較困難,希望尋求方程近似根的有效計算方法,以根的隔離區(qū)間的端點作為根的初始近似值，逐步改善根的近似值的精確度，直