數(shù)學(xué)概念的理解與教學(xué).ppt

1、有效教學(xué)的關(guān)鍵,理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué)。 “三個理解”的內(nèi)涵：掌握豐富的數(shù)學(xué)學(xué)科知識；初中數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)體系、教學(xué)重點的知識；學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難點的知識；關(guān)于重點知識的教學(xué)解釋的知識；關(guān)于評估學(xué)生的知識理解水平的知識；等。 特別強調(diào)“內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想方法”的理解，決定了教學(xué)所能達(dá)到的水平和效果。,當(dāng)前概念教學(xué)的問題,不重視章節(jié)起始課的教學(xué)，沒有把本章節(jié)要解決的主要問題、基本過程和主要思想方法等納入教學(xué)任務(wù)中； 概念教學(xué)走過場，常常采用“一個定義，三項注意”的方式，在概念的背景引入上著墨不夠，沒有給學(xué)生提供充分的概括本質(zhì)特征的機會，認(rèn)為讓學(xué)生多做幾道題目更實惠 有些老師不知如何教概念,教概念

2、的意義,李邦河院士：數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧技巧不足道也！ 以解題教學(xué)代替概念教學(xué)的做法嚴(yán)重偏離了數(shù)學(xué)的正軌，必須糾正否則，學(xué)生在數(shù)學(xué)上耗費大量時間、精力，結(jié)果可能是對數(shù)學(xué)的內(nèi)容、方法和意義知之甚少，“數(shù)學(xué)育人”終將落空,概念教學(xué)的核心,概念教學(xué)的核心是概括：將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)家的思維打開，以典型豐富的實例為載體，引導(dǎo)學(xué)生展開觀察、分析各事例的屬性、抽象概括共同本質(zhì)屬性，歸納得出數(shù)學(xué)概念。,概念教學(xué)的基本環(huán)節(jié),典型豐富的具體例證屬性的分析、比較、綜合； 概括共同本質(zhì)特征得到概念的本質(zhì)屬性； 下定義（準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述）；,概念的辨析以實例（正例、反例）為載體分析關(guān)鍵詞的含義； 用

3、概念作判斷的具體事例形成用概念作判斷的具體步驟； 概念的“精致”建立與相關(guān)概念的聯(lián)系。,例1 代數(shù)的核心概念、思想方法,代數(shù)以符號(不定元)代表數(shù)； 代數(shù)學(xué)的根源在于代數(shù)運算； 代數(shù)運算有一系列普遍成立的運算律：交換律、結(jié)合律、分配律、指數(shù)法則； 模式、關(guān)系、函數(shù)：“找規(guī)律”，用代數(shù)符號表征和理解數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、數(shù)量關(guān)系、變化規(guī)律。,代數(shù)學(xué)的基本思想：有系統(tǒng)、有效力地運用數(shù)系的加、乘和指數(shù)運算的運算律，去解決各種各樣的代數(shù)問題： 各種式（整式、分式、根式等）的運算用運算律進(jìn)行“等價變換”；作為數(shù)及其運算的推廣。 方程未知數(shù)、已知數(shù)之間的特定代數(shù)關(guān)系；解方程由代數(shù)方程式確定其中的“未知數(shù)”的值；,解方

4、程的基本原理：運算律對任何數(shù)都成立（通性），所以對“未知數(shù)”也成立、可用。有系統(tǒng)地用運算律化簡所給的方程，從而確定其中的未知數(shù)化未知為已知。 一元一次方程是基礎(chǔ)，其它都用消元、降次轉(zhuǎn)化為一元一次方程。 方程問題，從元的增加、次數(shù)的增加兩個方向，依照由簡到繁、由易到難順次展開。,從代數(shù)式（符號代表數(shù)）、方程（符號代表未知數(shù)）到函數(shù)（符號代表變數(shù)）是一個飛躍，這是看問題角度的根本變化從變化過程中考察規(guī)律，函數(shù)是研究變化規(guī)律的。 一次函數(shù)y=kx+b的變化規(guī)律由誰反映不僅明確x，y的意義，而且明確k，b的意義變化規(guī)律由k，b決定。 其他函數(shù)也類似。,例2 乘法公式的理解及教學(xué)設(shè)計,多項式運算就是含有

5、字母符號的算式之間的運算（字母代表數(shù)，數(shù)滿足運算律，所以字母也滿足運算律）； 兩個多項式的乘積就是用分配律把它歸于單項式的乘積之和來計算，單項式的乘積是用乘法的交換律、結(jié)合律和指數(shù)法則來計算運算法則； 乘法公式是一類特殊的多項式乘法問題，是一個模式。,乘法公式蘊含的思想方法,乘法公式是研究一般多項式乘法基礎(chǔ)上對“特例”的考察，尋找一個模式： 在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，字母a，b，c，d有某些特殊關(guān)系時的特殊形式，即 （1）a=c，b=d時有平方差公式； （2）a=c，b=d時有完全平方和公式；等。 從一般到特殊，歸納的思想，“考察特例”是數(shù)學(xué)研究的“基本套路”。,教學(xué)過

6、程設(shè)計,1復(fù)習(xí)與引入 問題1 前面我們學(xué)習(xí)了單項式、多項式的乘法，你能說說運算法則嗎？這些運算的依據(jù)是什么？ 設(shè)計意圖：回顧運算法則，強化“用運算律計算”的意識。,先行組織者：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，a，b，c，d可以是數(shù)、式或別的什么。數(shù)學(xué)中，經(jīng)常要通過考察特殊情況來獲得對問題的進(jìn)一步認(rèn)識，例如在兩條直線的位置關(guān)系中，我們特別研究了平行、垂直兩種特殊的位置關(guān)系，得到了一些有用的結(jié)論。類似的，在多項式乘法中，也有一些特殊情形值得研究。,2公式的探究 問題2 (x+b)(x+d)可以利用公式直接寫出結(jié)果。它是(a+b)(c+d)在a=c=x時的特例。在(a+b)(c+d)

7、=ac+ad+bc+bd中，你認(rèn)為還有哪些特殊情形？你能得到什么？ 設(shè)計意圖：通過“先行組織者”，滲透從一般到特殊，考察特例，深入認(rèn)識數(shù)學(xué)對象的方法；在讓學(xué)生自主活動之前，先指出已有特例(x+b)(x+d)，使學(xué)生有一個類比對象，明確思考方向。,問題3 請你用自己的語言表述平方差公式、完全平方公式。 設(shè)計意圖：幫助學(xué)生理解公式。 3例題 本環(huán)節(jié)主要目的是通過變式（字母a，b取數(shù)、式等各種變形），讓學(xué)生體會公式在“形式化運算”中的作用。另外，通過適當(dāng)反例，糾正學(xué)生可能的疏忽。最終要讓學(xué)生明確：第一，具備形式(a+b)(ab)或(ab)2，就可以用公式；第二，要注意哪個代表a，哪個代表b。,4公式

8、的多元聯(lián)系表示 問題4 如果a，b表示線段的長，則a2，b2分別表示正方形的面積。你能根據(jù)公式的形式，自己構(gòu)造一個圖形表示上述乘法公式嗎？ 設(shè)計意圖：通過構(gòu)造幾何模型表示公式，以開拓學(xué)生的思路。通過數(shù)形結(jié)合、圖形直觀，以加深理解、增強記憶。,5小結(jié) （1）請你總結(jié)一下本節(jié)課討論問題的基本過程。 設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)“基本套路”，即“多項式乘法（一般）乘法公式（特殊）公式特征分析與相關(guān)知識的聯(lián)系”。 （2）為什么要討論“特殊情形”？是如何得到的？ 設(shè)計意圖：體會“如何提出問題”。,（3）能否循著上述思路，再提出一些值得研究的問題？ 設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生自主研究。必要時可作提示，如公式(a+b)2

9、=a2+2ab+b2中，推廣“次數(shù)”，可以研究(a+b)3，(a+b)4。雖然這不是“課標(biāo)”要求的，但對學(xué)生思維發(fā)展是有好處的。,例3 函數(shù)概念的理解和教學(xué),被扭曲的函數(shù)概念教學(xué)舉例： （1）只在形式化變形上下功夫 如圖所示是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖 像的一部分，圖像過點A(3,0)，對 程軸為x=1，給出下列四個結(jié)論： b4ac，bc0，2a+b=0，a+b+c=0，其中正確的結(jié)論是 。,（2）與平面幾何知識的疊加,(3)將知識點拼湊、疊加，成為一種數(shù)學(xué)游戲 據(jù)稱，這是近幾年中考常見的壓軸題。有評論說：“這樣的題目的特點是通過采用寬入口、低起點、層層遞進(jìn)、逐步提高知識的綜合程度，利用點

10、和線的圖形運動，借助函數(shù)知識來研究圖形在運動變化過程中的數(shù)量關(guān)系，同時滲透多種數(shù)學(xué)思想方法的方式設(shè)計題目的問題，為題目的區(qū)分度奠定了較好的基礎(chǔ)?！?完全離開了函數(shù)的背景，割裂了函數(shù)與客觀世界的天然聯(lián)系。 人為制造，矯揉造作！,關(guān)于函數(shù)概念的理解,說文解字：函信函，傳遞和交流信息的書面形式。引申為（有順序的）對應(yīng)關(guān)系。 函數(shù)的來源：函數(shù)來源于運動，是應(yīng)“科學(xué)的數(shù)學(xué)化”之所需。“數(shù)學(xué)從運動的研究中引出了一個基本概念。在那以后的二百年里，這個概念在幾乎所有的工作中占中心位置，這就是函數(shù)或變量間的關(guān)系的概念?！保∕克萊因）,函數(shù)概念的本質(zhì),函數(shù)概念的本質(zhì)：兩個變量之間的一種特殊的對應(yīng)關(guān)系?！昂瘮?shù)”不是

11、一個數(shù)，而是一個對應(yīng)關(guān)系。 函數(shù)概念所反映的基本思想：運動變化的思想。 教學(xué)的核心任務(wù)：讓學(xué)生體驗“一個量隨著另一個量的變化而變化”的過程只有數(shù)字、圖形游戲是辦不到的。,題目的比較,我們習(xí)以為常的題目： 這樣的題目，只有形式化的訓(xùn)練，主要在代數(shù)運算上下功夫，函數(shù)的味道很淡，“變量”、“運動變化”、“一個量隨另一個量的變化而變化”以及變化過程中“確定的關(guān)系”或“變化規(guī)律”等，都體現(xiàn)得不夠。 換一種方法出題目：,函數(shù)味道很濃，“變量”、“一個量隨另一個量的變化而變化”以及變化過程中“確定的關(guān)系”或“變化規(guī)律”等，都得到充分體現(xiàn)。一定要理解了概念才能回答，如必須真正理解斜率k的實際含義才能回答“是什

12、么原因?qū)е铝怂麄兯嫷膱D像的不同？” 兩種出題方法的教育功能也是不同的后一種方法更有助于學(xué)生理解函數(shù)概念的本質(zhì)；能讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的作用；對學(xué)生能力的培養(yǎng)更全面。,函數(shù)概念的發(fā)展簡史,背景：17世紀(jì)，科學(xué)家們致力于對運動的研究。如計算天體的位置，長距離航海中對經(jīng)度和緯度的測量，炮彈的速度對于高度和射程的影響等。涉及兩個變量之間的關(guān)系，要根據(jù)這種關(guān)系對事物的變化規(guī)律作出判斷，如根據(jù)炮彈的速度推測它能達(dá)到的高度和射程。,萊布尼茲用“函數(shù)”表示隨曲線的變化而改變的幾何量，如坐標(biāo)、切線等。1718年，貝努利強調(diào)函數(shù)要用公式表示。1755年，歐拉將函數(shù)定義為“如果某些變量，以一種方式依賴于另一些變量，我們

13、將前面的變量稱為后面變量的函數(shù)”。 當(dāng)時很多數(shù)學(xué)家對不用公式表示函數(shù)很不習(xí)慣，甚至抱懷疑態(tài)度。,1837年，狄利克雷提出：“如果對于x的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應(yīng)，則y是x的函數(shù)”。 1870年代，隨著集合概念的出現(xiàn)，函數(shù)概念用更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)募吓c對應(yīng)語言表述。 映射的語言定義函數(shù)則是更晚的事情了。,函數(shù)概念的教學(xué)要點,為學(xué)生鋪設(shè)概括函數(shù)概念的通道； 精選實際例子從實例出發(fā)，在函數(shù)概念的引入、表示、性質(zhì)和應(yīng)用等階段都要注意使用實際例子，為學(xué)生提供理解函數(shù)概念的“參照物”。一個好例子勝過一千次說教。 不在字面含義、形式化“應(yīng)用”等方面糾纏，多讓學(xué)生用函數(shù)觀點解釋具體問題。 圍繞運動變化

14、、變量、一個量隨另一個量的變化而變化等，以實例為載體開展教學(xué)，加強思想方法、函數(shù)建模等。,例4 一次函數(shù)的例題教學(xué),一家電信公司給顧客提供兩種上網(wǎng)收費方式：方式A以每分0.1元的價格按上網(wǎng)時間計費；方式B除收月基費20元外，再以每分0.05元的價格按照上網(wǎng)時間計費。如何選擇收費方式能使上網(wǎng)更合算？ 通常的做法：列出函數(shù)解析式，畫出函數(shù)圖像看出相交，再解二元一次方程組得交點坐標(biāo)，結(jié)合圖像，給出回答；或者引入“差額函數(shù)”，借助與x軸的交點作答。,充分挖掘本題的教學(xué)價值,問題1 10分兩種方式收費各多少？20分呢？50分呢？引導(dǎo)學(xué)生采用多種表征方式，用表格法很方便。,問題2 為什么可以用射線表示收費

15、情況？ 問題3 為什么方式A的圖像經(jīng)過原點，而方式B的圖像經(jīng)過點（0，20）？ 問題4 如何找到上網(wǎng)a分時的兩種方式各收費多少？ 問題5 計費方式的哪些方面在表格或圖像中表現(xiàn)出來了？（兩組數(shù)的差是常數(shù)；每多上網(wǎng)1分，就要再付0.1元或0.05元）。,問題6 如果你不常上網(wǎng)，選哪種方式更合算？如果常上網(wǎng)呢？ 問題7 如果你想盡量長時間上網(wǎng)，但又不想讓費用超過40元，該選哪種方式？ 問題8 如果方式A收取基費，或方式B提高基費，對圖像有什么影響？（截距問題） 問題9 如果方式A決定將每分0.1元提高到每分0.15元，它的圖像有什么變化？（斜率問題） 問題10 如果方式A改為不足1分按1分算，請畫出

16、圖像。（階梯形）,問題11 哪種函數(shù)表示法更容易得到收費相等的時間點？ 問題12 哪種函數(shù)表示法更容易看出每分的收費標(biāo)準(zhǔn)？ 問題13 如何從表格中確定收費標(biāo)準(zhǔn)？ 問題14 如何從圖像上確定收費增加快慢？ 問題15 如何從圖像上看出用哪種方式更經(jīng)濟？,例5 平行四邊形的判定,核心：判定與性質(zhì)的邏輯關(guān)系，以此為載體，培養(yǎng)合情推理、邏輯推理的能力 教學(xué)過程的設(shè)計要點： 復(fù)習(xí)怎樣復(fù)習(xí)？不只是羅列知識點 提出判定定理的學(xué)習(xí)任務(wù)，由定義可以判定（講清條件：兩組對邊互相平行），但條件的表現(xiàn)形式是多樣化的，根據(jù)不同條件更靈活地判斷學(xué)習(xí)判定定理的理由,從操作開始，還是從逆命題開始？ 暫時認(rèn)同先操作：操作猜想“兩

17、組對邊相等的四邊形為平行四邊形”證明接著干什么？（與性質(zhì)定理比較） 后續(xù)的猜想，可以從性質(zhì)出發(fā)。如果還不做，則在小結(jié)時無論如何要說。,當(dāng)前存在的問題,沒有關(guān)注思維的自然，邏輯推理能力的培養(yǎng)，停留在“實驗猜想證明應(yīng)用”的模式上。 過度依賴實驗，降低了平面幾何的教育價值。 該推理時不推理，該證明時不證明從一般到特殊、逆命題等，都“該證明”。,例6 用頻率估計概率,如何理解頻率？隨機變量，隨試驗結(jié)果的改變而改變。 概率，隨機的還是確定的？ 事件A出現(xiàn)的概率為0，A是不可能事件嗎？ 事件A出現(xiàn)的概率為1，A是必然事件嗎？,如何理解用頻率估計概率的必要性？,用拋擲硬幣、擲骰子的例子好不好？ 姚明投籃：在

18、姚明罰球出手的一剎那，畫面停止，問“姚明罰進(jìn)的概率有多大？” 接著該干什么？姚明罰球的命中率客觀存在，如果知道該值的大小，對對方球隊決策有幫助。如果該值小，罰球得分的可能性小，可以考慮犯規(guī)后“隨你投”；否則考慮不犯規(guī)。 水到渠成地，提問：“如何求命中率？”,現(xiàn)實中，通過統(tǒng)計歷史的罰球記錄來得到罰球的命中率，即用頻率估計概率。 如果知道一個隨機事件發(fā)生的可能性的大小概率，有助于我們做決策，所以要想辦法知道它。概率的統(tǒng)計定義用頻率估計概率一種得到概率的方法。,正確理解“用頻率估計概率”,一般地，在大量重復(fù)試驗中，如果事件A發(fā)生的頻率m/n會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近，那么事件A發(fā)生的概率P(A)=p。只要試驗的次