平面線彈性問題的有限元.ppt

1、第三章 平面線彈性問題的有限元,涂國祥,有限元基礎,成都理工大學環(huán)境與土木工程學院,有限單元法的基本原理及步驟,q,如圖所示受其自重作用的等截面直桿，上端固定，下端自由。設單位桿長的重力為q，桿長為L，橫截面面積為A，材料彈性模量為E，試求直桿各橫截面上的應力。,x,o,材料力學解,從直桿任一截面取一微段dx，并令該微段截面上的內力為N(x)，則該微段的伸長量為,第三章 平面線彈性問題的有限元,1,2,3,4,R1,R2,R3,x,R4,i,j,e,ui,uj,有限元解,其中,成直線關系，它們反映了單元的位移形態(tài)，所以稱為形函數(shù)。,單元的位移函數(shù)取,則,記,則,令,寫成矩陣形式,位移列向量,則

2、,第三章 平面線彈性問題的有限元,由幾何方程得：,由于,所以,若記,矩陣B反映了單元應變與節(jié)點位移之間的關系，稱之為應變矩陣,第三章 平面線彈性問題的有限元,由物理方程得：,若記,則,其中,矩陣G反映了單元應力與節(jié)點位移之間的關系，稱之為應力矩陣,第三章 平面線彈性問題的有限元,如果知道節(jié)點位移就可以求出單元應力和應變，如何求節(jié)點位移？,可以利用虛功方程來分析單元得節(jié)點受力與節(jié)點位移的關系,對于單元來說，節(jié)點力為外力,外力所作的虛功為,內力所作的虛功為,根據虛功原理，單元虛功方程為,由于,而假定單元虛應變與節(jié)點位移具有如下關系,第三章 平面線彈性問題的有限元,則,由于節(jié)點虛位移是任意的，所以,

3、若記,則,單元平衡方程,其中矩陣Ke反映了單元的節(jié)點力與節(jié)點位移之間的關系，稱為單元剛度矩陣,其中,（r，si，j；rs時取“”；r s時取“”）,第三章 平面線彈性問題的有限元,則,利用節(jié)點平衡方程，可以建立包括整個結構的以節(jié)點位移為未知量的線性代數(shù)方程組。,節(jié)點1,節(jié)點3,節(jié)點2,節(jié)點4,R,R1,R2,R2,R3,R4,R3,F1,F2,F2,F3,F3,F4,第三章 平面線彈性問題的有限元,單元,1,2,3,4,節(jié)點,寫成矩陣形式,第三章 平面線彈性問題的有限元,對于具體單元，將矩陣升階到44階以后得,第三章 平面線彈性問題的有限元,（r，s1，2，3，4；rs時取“”；r s時取“”

4、）,第三章 平面線彈性問題的有限元,已知u10，修正總體平衡方程得：,解之得：,該結果與材料力學的精確解答相同,第三章 平面線彈性問題的有限元,第三章 平面線彈性問題的有限元,3.1 有限單元法求解過程的一般步驟,1. 研究區(qū)域離散化,就是將所研究問題的區(qū)域劃分成有限大小不等的單元體，并在單元體的指定點設置節(jié)點，把相鄰的單元體在節(jié)點處連接起來組成單元的集合體，以代替所研究問題的原區(qū)域；并以所離散單元節(jié)點處的位移作為基本未知量。,邊坡有限單元模型,第三章 平面線彈性問題的有限元,3.1 有限單元法求解過程的一般步驟,2. 選擇位移模式,離散后，采用節(jié)點位移為基本未知量，因此需要用節(jié)點位移表示單元

5、體的位移。必須對單元中位移分布作出一定的假設，一般假定位移是坐標的某種簡單函數(shù)，這種函數(shù)稱為位移模式或位移函數(shù)。,一般選用多項式（不完全的泰勒級數(shù)）,位移模式節(jié)點位移與單元內任意一點位移的關系式,單元內任意一點的位移列陣,形函數(shù)矩陣 （其元素是位移坐標的函數(shù)）,單元節(jié)點的位移列陣,有限元法比經典的近似法在位移函數(shù)的選取上具有明顯的優(yōu)越性。其中，多項式的項數(shù)為單元的自由度，階數(shù)應含常數(shù)項和線性項。,第三章 平面線彈性問題的有限元,3.1 有限單元法求解過程的一般步驟,3. 單元分析,利用選定的位移模式，可進行單元力學特征分析（即用節(jié)點位移表示單元應變，單元應力，節(jié)點力）,利用幾何方程，導出用節(jié)點

6、位移表示單元應變的公式,利用物理方程，導出用節(jié)點位移表示單元應力的公示,利用虛功原理建立節(jié)點位移與節(jié)點力的關系,第三章 平面線彈性問題的有限元,3.1 有限單元法求解過程的一般步驟,4. 計算節(jié)點荷載,將作用在單元邊界上的表面力以及作用于單元上的體積力、集中力等等效地移植到節(jié)點上，也就是用等效的節(jié)點荷載來替代作用在單元上的力。（移植必須遵循靜力等效或虛功等效原則）,5. 集合所有單元的剛度方程，建立整個結構的平衡方程,總體剛度矩陣,位移列陣（未知量）,荷載列陣（已知量）,第三章 平面線彈性問題的有限元,3.1 有限單元法求解過程的一般步驟,6. 引入位移邊界條件，修正總體平衡方程,7. 解方程

7、，求未知節(jié)點位移及單元應力應變,由于已形成的總體矩陣K為一奇異矩陣，即其不存在逆矩陣K-1。 因此引入位移邊界條件（或約束條件）修正剛度矩陣的奇異性（力學意義：即為消除結構的剛體運動）。,第三章 平面線彈性問題的有限元,3.2 位移模式及單元分析,1. 位移模式,即假定的單元內任意一點位移與坐標X，Y的某種函數(shù)關系式，用以描述單元內部的位移形態(tài)。,三角形的節(jié)點位移,第三章 平面線彈性問題的有限元,根據彈性力學的原理，外力總可以等效地移植到節(jié)點節(jié)點力只要有節(jié)點力就會產生節(jié)點位移。 對于三角形單元，有三個節(jié)點，就有6個位移分量（ui，vi，uj，vj，um，vm，也即有6個自由度），可以求出6個系

8、數(shù)。 我們可以將三角形單元的位移模式假設為：,位移模式為整個單元內位移與坐標的函數(shù)關系， 待定系數(shù)a1，a2，a3，a4，a5，a6可以根據節(jié)點坐標及節(jié)點位移確定。,第三章 平面線彈性問題的有限元,將節(jié)點坐標及對應的節(jié)點位移分量代入位移模式得：,為一線性代數(shù)方程組,由于此方程組得求解較繁，故定義節(jié)點坐標差：,順次輪換，可得另外兩組a，b，c的值。,第三章 平面線彈性問題的有限元,解方程組得：,是三角形單元的面積,令：,則：,簡記,第三章 平面線彈性問題的有限元,設ui1，ujum0，則u（x，y）Ni Ni就表示當節(jié)點i產生單位位移時單元內部產生的位移，所以Ni是形函數(shù)。 從前面可知：三角形的

9、位移模式是線性的位移模式。,有限元的誤差、是否收斂取決于位移模式，為了滿足解的收斂性，位移模式必須滿足三個條件。 位移模式必須包含剛體位移成分。為了描述相鄰單元的位移，一個單元的變形相對另一個單元來說，就是剛體位移。 位移模式應包含單元的常量應變。 即當單元無限小時，應變常應變 位移模式應保證相鄰單元在公共邊界處位移的連續(xù)性。 滿足、 條件，叫完備性單元 滿足為收斂的充分條件。 三個條件同時滿足的單元叫完備協(xié)調單元。,第三章 平面線彈性問題的有限元,可以證明：三節(jié)點三角形單元的位移模式滿足上述條件 設單元的剛體位移為：,將三角形三節(jié)點的位移模式改寫成：,將兩式對比可得：,三節(jié)點三角形的位移模式

10、中含有剛體位移,第三章 平面線彈性問題的有限元,將位移模式代入幾何方程可得,位移模式包含了全部常量應變。,由于所選位移模式為線性位移模式，因而單元上任一直線在位移后仍為一條直線。,第三章 平面線彈性問題的有限元,3.2 位移模式及單元分析,2. 由節(jié)點位移求應變,位移模式的選取已確定了單元內任一點的位移與節(jié)點位移的關系，由幾何方程可得出應變與節(jié)點位移的關系。 對于平面問題有：,對形函數(shù)求偏導得：,（i, j, m）輪換,第三章 平面線彈性問題的有限元,將其代入幾何方程得：,寫成矩陣的形式為：,B中的元素均與三角形單元的幾何性質有關的常量，所以三節(jié)點的三角形單元也叫常應變三角形單元。,第三章 平

11、面線彈性問題的有限元,3. 單元應力分析,也就是,對于平面應力問題,對于平面應變問題，,將換成,將E換成,即可,第三章 平面線彈性問題的有限元,4. 單元節(jié)點力與節(jié)點位移的關系,利用虛功原理建立單元剛度方程,則外力所作虛功：,則應力所作虛功：,由虛功原理得：,假設虛位移與實位移有相同得位移模式，則有：,第三章 平面線彈性問題的有限元,將U*中得元素考慮為常數(shù)，且虛位移可以是任意的，則：,Ke為單元的剛度矩陣。 所謂剛度：就是描述位移和力的關系的參數(shù)。 彈性系數(shù)：用以描述應力與應變得關系。 這里的Ke是一個通用公式，與單元的形狀無關。 對于三節(jié)點的常應變三角形單元：,為一個66階的方陣，它決定于

12、單元的形態(tài)、大小、方位和彈性常數(shù)，與單元的位置無關。,第三章 平面線彈性問題的有限元,將應變矩陣、應力矩陣（彈性矩陣）代入單元剛度矩陣得：,對于平面應變問題，,將換成,將E換成,即可,第三章 平面線彈性問題的有限元,單元剛度矩陣得物理意義,由虛功原理得節(jié)點力與節(jié)點位移的關系,根據矩陣乘法可得,由此可知：單元剛度矩陣的22階子矩陣Krs表示使節(jié)點S（si，j，m）產生單位位移時，在節(jié)點r（r i，j，m ）上所需要施加的節(jié)點力得大小。,第三章 平面線彈性問題的有限元,如果將Krs展開,就是使節(jié)點s產生一個水平單位的位移，在r節(jié)點上所需要施加得垂直力,r,s,第三章 平面線彈性問題的有限元,單元剛

13、度矩陣的特性,a. 對稱性,Ke是對稱矩陣，即KijKji，可以用功的互等原理來證明,Fr,由Fr引起的位移Usr,Fs,由Fs引起的位移Urs,對彈性體有FrUrs FsUsr,對于單元e，在節(jié)點i，j上 FjxUjFiyVi 假定UjVi1 則FjxKji FiyKij KijKji,i,j,Fiy,Vi,Uj,Fjx,b. 奇異性,不存在,是由于沒有引入位移邊界條件的結果。,c. 分塊性,第三章 平面線彈性問題的有限元,3.3 總剛矩陣的形成及其修正,1. 利用節(jié)點平衡組成總剛矩陣,外力節(jié)點力未知的內力 節(jié)點荷載節(jié)點力,（單剛矩陣描述了節(jié)點力與節(jié)點位移的關系）,第三章 平面線彈性問題的有

14、限元,第三章 平面線彈性問題的有限元,根據節(jié)點受力分析可得,R1x，R1y，R2y為約束反力，R2xR3xR4x0,第三章 平面線彈性問題的有限元,以上可以將它們按節(jié)點分單元寫成矩陣形式，即,第三章 平面線彈性問題的有限元,寫成分塊矩陣的形式為：,那么對于節(jié)點力與節(jié)點位移的關系可表示為：,第三章 平面線彈性問題的有限元,將單元剛度矩陣、節(jié)點位移、代入節(jié)點力與節(jié)點荷載的平衡方程得：,第三章 平面線彈性問題的有限元,一般地,如果一個單元組合有n個節(jié)點，m個單元，那么總體剛度矩陣就是m個單剛矩陣由66階升階2n2n階以后疊加的總和。,第三章 平面線彈性問題的有限元,2. 總剛矩陣的形成規(guī)律,Krs當

15、rs時，就是共用節(jié)點的所有單元的單剛矩陣子塊的疊加結果。 Krs當rs時，若rs是結構體的內邊，就是共用rs這條邊的單元的對應的子塊的疊加，如53邊，若rs是外邊，就是使用這個單元的對應子塊，如14邊。 若r、s不同屬于一個單元時，則：Krs0。 總剛矩陣Krs中的兩個腳標，r表示節(jié)點力作用的節(jié)點編號，s表示產生位移的節(jié)點編號，當rs時，該節(jié)點位移與所有共用單元在該節(jié)點的節(jié)點力有關，當rs時，節(jié)點s的位移就與rs所在單元的節(jié)點r的節(jié)點力有關，當r、s不屬于同一單元，則節(jié)點s的位移與節(jié)點r的節(jié)點力沒有直接關系。,第三章 平面線彈性問題的有限元,3. 總剛矩陣的特征,a. 對稱性,KrsKsr,c

16、. 奇異性,不存在,b. 稀疏性,證明,第三章 平面線彈性問題的有限元,4. 位移邊界條件的引入及總剛矩陣的修正,零位移邊界條件，刪除對應的列和行 非零位移邊界條件 兩種方法： a. 一般方法 i）令已知位移u0i對應的荷載：Riu0i； ii）修改總剛矩陣中相應行、列元素，使： KijKji0， Kii1； iii）修改荷載矢量R，令：,b. 主對角線元素優(yōu)先法 i）將與已知節(jié)點位移uiu0對應的總剛矩陣中的主對角線元素Kii乘以一個絕對大的數(shù)，如A1012； ii）將對應荷載項改為AKiiu0； iii）其余各項保持不變。,巖土工程地質問題分析中常用的方法,也是一種常用方法,第三章 平面線

17、彈性問題的有限元,3.4 總剛矩陣存貯,1. 總剛矩陣的存貯方法,根據對稱性，只存貯其下三角部分 根據稀疏性，只存貯非零元素 為了便于研究存貯方法，計算存貯地址 我們引入兩個概念 半帶寬：每一行第一個非零元素到對角線元素之間元素個數(shù)。 行寬：不包括對角線元素的帶寬。 按不同行的不同帶寬的存貯方法，我們稱為變帶寬存貯。 將二維數(shù)組變?yōu)橐痪S數(shù)組存貯。,第三章 平面線彈性問題的有限元,2. 變帶寬一維數(shù)組存貯的實現(xiàn),用一維數(shù)組AK（J）來存貯總剛矩陣的下三角部分的元素。 設每一行對角線在一維數(shù)組的地址為D2 則任一元素KD1D3在一維數(shù)組的地址為： JD2（D1D3）D2D1D3,第三章 平面線彈性

18、問題的有限元,現(xiàn)在要計算主對角線元素的地址D2： 某行主對角線存貯地址該行行寬上行主對角線元素存貯地址1,LA（I）LA（I）LA（I1）1,某行主對角線元素存貯地址,該行行寬,上行主對角線元素存貯地址,下面計算行寬,第三章 平面線彈性問題的有限元,第D1行的行寬：,LA（D1）（D1D3）max,行號,列號,D10，D30 D1D3 （只考慮下三角部分（約束處理后） 按單元計算，逐一搜索比較可得。 也可以這樣計算：先搜索共同此節(jié)點的單元，求此節(jié)點號與共用單元的節(jié)點號之間的差值的最大值。 注意：單元編號時，使單元節(jié)點編號盡量接近，這樣帶寬就盡可能減小。,第三章 平面線彈性問題的有限元,3.4 荷載向節(jié)點的移植,1. 集中荷載的移植,移植后節(jié)點的荷載列陣為：,集中力的移置,第三章 平面線彈性問題的有限元,假設M點發(fā)生的虛位移為：,與之相應的各節(jié)點的虛位移為：,由靜力等效原