第三章 應(yīng)變狀態(tài)理論.ppt

1、第三章 應(yīng)變狀態(tài)理論,2020/8/23,2,外力(或溫度變化)作用下，物體內(nèi)部各部分之間要產(chǎn)生相對運動。物體的這種運動形態(tài)，稱為變形。 本章任務(wù)有兩個： 1、分析一點的應(yīng)變狀態(tài)； 2、建立幾何方程和應(yīng)變協(xié)調(diào)方程。,2020/8/23,3,3.1 位移分量與應(yīng)變分量幾何方程 3.2 一點的形變狀態(tài) 形變張量 3.3 轉(zhuǎn)軸時應(yīng)變分量的變換 3.4 主形變 形變張量不變量 3.5 體應(yīng)變 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,3.1 位移分量與應(yīng)變分量 幾何方程,2020/8/23,5,在外力作用下，物體整體發(fā)生位置和形狀的變化，一般說來各點的位移不同。,2020/8/23,6,如果各點的位移完全相同，物體發(fā)生剛體平移；

2、,如果各點的位移不同，但各點間的相對距離保持不變，物體發(fā)生剛體轉(zhuǎn)動等剛體移動。,2020/8/23,7,如果各點(或部分點）間的相對距離發(fā)生變化，則物體發(fā)生了變形。這種變形一方面表現(xiàn)在微線段長度的變化，稱為線應(yīng)變；一方面表現(xiàn)在微線段間夾角的變化，稱為切應(yīng)變。,2020/8/23,8,我們從物體中取出x方向上長dx的線段PA，變形后為PA，P點的位移為(u,v)，A點 x方向的位移為,y方向上的位移為,dx,dx,2020/8/23,9,PA的正應(yīng)變在小變形時是由x方向的位移所引起的，因此PA正應(yīng)變?yōu)?PA的轉(zhuǎn)角為,dx,dx,2020/8/23,10,我們從物體中取出y方向上長dy的線段PB，

3、變形后為PB，B點y方向的位移為,x 方向上的位移為,PB的正應(yīng)變在小變形時是由y方向的位移所引起的，因此PB正應(yīng)變?yōu)椋?PB的轉(zhuǎn)角為：,2020/8/23,11,線段PA的轉(zhuǎn)角是,線段PB的轉(zhuǎn)角是,于是，直角APB的改變量為,A,有時用張量分量,P,A,B,2020/8/23,12,這樣，平面上一點的變形我們用該點x方向上的正應(yīng)變、y方向上的正應(yīng)變和xy方向構(gòu)成的直角的變化來描述，稱為應(yīng)變分量，也就是所說的幾何方程。 從幾何方程可見，當(dāng)物體的位移分量完全確定時，形變分量即完全確定。,思考題：當(dāng)形變分量完全確定時，位移分量是否能完全確定。,2020/8/23,13,同樣，空間一點的變形我們用該

4、點x、y、z方向上的正應(yīng)變和xy、yz、zx方向構(gòu)成的直角的變化切應(yīng)變來描述。,張量形式為,2020/8/23,14,空間的應(yīng)變分量共九個分量，是一個對稱張量，和應(yīng)力張量一樣，它們遵從坐標(biāo)變換規(guī)則，同樣存在著三個互相垂直的主方向，對應(yīng)的主應(yīng)變值是該張量的特征值。這些互相垂直的主方向構(gòu)成的直角在該應(yīng)變張量的變形時，角度不變，由主平面組成的單元體，由正方體變?yōu)橹苯情L方體。在主方向構(gòu)成的坐標(biāo)系中，張量分量構(gòu)成對角陣，切應(yīng)變分量為零。,2020/8/23,15,物體除形變外，還存在轉(zhuǎn)動、剛體位移： （a）均勻形變：u、v、w是線性函數(shù)，稱為均勻形變； （b）剛體位移：“形變?yōu)榱恪睍r的位移，即是“與形變

5、無關(guān)的位移”； （c）純形變：形變分量不等于零，而轉(zhuǎn)動分量等于零。,3.2 一點的形變狀態(tài)，形變張量,2020/8/23,17,相對位移張量 6個應(yīng)變分量是通過位移分量的9個一階偏導(dǎo)，即： 引入 其中 為那勃勒算子， 是位移矢量，不難 算得 的3個分量為:,2020/8/23,18,這里的 稱為轉(zhuǎn)動矢量，而 ， ， 稱為轉(zhuǎn)動分量。 由此，可將相對位移張量分解為兩個張量： = +,2020/8/23,19,如物體中一點M的形變分量為 則相對位移張量（非對稱）可分解為應(yīng)變張量與轉(zhuǎn)動張量。,上式，等號右邊第一項為對稱張量，表示微元體的純變形，稱為應(yīng)變張量，第二項為反對稱張量，它表示微元體的剛體轉(zhuǎn)動，

6、即表示物體變形后微元體的方位變化。,2020/8/23,20,3.3 轉(zhuǎn)軸時應(yīng)變分量的變換,設(shè)在坐標(biāo)軸oxyz下，物體內(nèi)某一點的6個應(yīng)變分量為 。現(xiàn)使坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)一個角度，新老坐標(biāo)的關(guān)系為： 其中 表示新坐標(biāo)軸對老坐標(biāo)軸的方向余弦。,2020/8/23,21,位移矢量在新坐標(biāo)系中的3個分量 分別為：,其中為3個新坐標(biāo)軸的單位矢量。 利用方向?qū)?shù)公式:,2020/8/23,22,同理，可求其它五個應(yīng)變分量。經(jīng)整理可得：,于是新坐標(biāo)系中的應(yīng)變分量為,2020/8/23,23,同理，可以給出某一點沿任意方向微分線段的伸長率,張量式表示為,3.4 主形變，形變張量不變量,2020/8/23,25,與應(yīng)力

7、狀態(tài)相類似，把切應(yīng)變等于零的面稱為主平面。主平面的法線方向稱為主應(yīng)變方向，主平面上的正應(yīng)變就是主應(yīng)變。同樣存在第一、第二和第三應(yīng)變不變量。,3.5 體應(yīng)變 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,2020/8/23,27,體應(yīng)變：物體變形后單位體積的改變。 如給定的六面體，其微分體積為,其變形后的體積為：,則體應(yīng)變?yōu)?2020/8/23,28,又可表示為：,對于某一初始連續(xù)的物體，按某一應(yīng)變狀態(tài)變形后必須保持其整體性和連續(xù)性，即物體既不開裂，又不重疊，此時所給定的應(yīng)變狀態(tài)是協(xié)調(diào)的，否則是不協(xié)調(diào)的。,2020/8/23,29,從數(shù)學(xué)的觀點說，要求位移函數(shù) 在其定義域內(nèi)為單值連續(xù)函數(shù)。如出現(xiàn)了開裂，位移函數(shù)就會出現(xiàn)間斷；出

8、現(xiàn)了重疊，位移函數(shù)就不可能為單值。因此，為保持物體變形后的連續(xù)性，各應(yīng)變分量之間，必須有一定的關(guān)系。,2020/8/23,30,由前面的討論可知，在小變形情況下的六個應(yīng)變分量是通過六個幾何方程與三個位移函數(shù)相聯(lián)系的。如已知位移分量 ，極易通過幾何方程求得各個應(yīng)變分量。 但反過來，如給定一組應(yīng)變 ，幾何方程是關(guān)于未知位移函數(shù) 的微分方程組，其中包含了六個方程，但僅三個未知函數(shù)。由于方程的個數(shù)超過了未知數(shù)的個數(shù)，如任意給定 ，則幾何方程不一定有解，僅當(dāng) ，滿足某種可積條件，或稱為應(yīng)變協(xié)調(diào)關(guān)系時，才能由幾何幾何方程積分得到單值連續(xù)的位移場。,2020/8/23,31,ij應(yīng)變張量各分量滿足的應(yīng)變協(xié)調(diào)條件：,可看出，前三式分別是xy