數(shù)學(xué)分析中的反例答辯.ppt

1、指導(dǎo)教師：,論文題目:數(shù)學(xué)分析中的反例,論文的結(jié)構(gòu)和主要內(nèi)容,1,2,3,4,5,研究背景和意義,反例在數(shù)學(xué)分析中的作用,典型的反例,常用的構(gòu)造反例的方法,如何利用反例解決常見問題,1.研究背景和意義,背景 縱觀整個數(shù)學(xué)領(lǐng)域各學(xué)科的發(fā)展史可知，數(shù)學(xué)分析是其中一門十分重要的基礎(chǔ)課程，所謂基礎(chǔ)不牢，地動山搖，所以這門課程的學(xué)習(xí)便顯得尤為的重要。因此，反例的研究及其應(yīng)用對于數(shù)學(xué)分析課程中數(shù)學(xué)思想的進(jìn)化有很大的推動力?，F(xiàn)如今，通過對現(xiàn)存的國內(nèi)和國外的各種類型與數(shù)學(xué)分析和反例有關(guān)的文獻(xiàn)研究發(fā)現(xiàn)：這其中的大部分都是針對反例的作用及其構(gòu)造方法的研究，然而這其中又有相當(dāng)大的一部分反例幾乎是沒有經(jīng)過比較正規(guī)系統(tǒng)

2、的總結(jié)，它們大都是繁雜而凌亂的。所以，通過對反例的學(xué)習(xí)以及一些常見問題的分析概括，總結(jié)反例的構(gòu)成與使用方法，并以此為基礎(chǔ)嘗試著自己構(gòu)造反例解決問題，這對于我們的學(xué)習(xí)成果將會產(chǎn)生很大的影響，大多數(shù)時(shí)候這些影響都是好的方面。,意義 數(shù)學(xué)分析這一課程是大學(xué)數(shù)學(xué)必不可少的一門課，且其在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的地位也是舉足輕重的，所以學(xué)好數(shù)學(xué)分析是很具有挑戰(zhàn)性的，這其中反例又發(fā)揮著不可小覷的作用，這里所說的反例是指在數(shù)學(xué)領(lǐng)域使某數(shù)學(xué)命題不成立的例子。在數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)中，反例的存在是證明并修改錯誤的一種方法，通過引入合適的反例能使我們對基本概念及性質(zhì)的理解更加透徹。反證法就是一種很好地利用了舉反例的方法，堪稱反例應(yīng)用

3、的經(jīng)典，也是最能體現(xiàn)反例價(jià)值及意義的。學(xué)會如何構(gòu)造反例是一項(xiàng)重要的數(shù)學(xué)技能，能幫助我們深入理解知識解決問題,誘發(fā)創(chuàng)造力開闊思維，打破思維定勢。該論文主要從反例在數(shù)學(xué)分析中所起的作用出發(fā)，講述一些典型的和常用的反例，還有構(gòu)造反例的方法和技巧，以及怎樣利用反例使問題變得簡單。,2.反例在數(shù)學(xué)分析中的作用,反例在概念學(xué)習(xí)中的作用,幫助掌握基本定理,1 幫助加深對概念的理解 2 能夠準(zhǔn)確把握概念之間的聯(lián)系 3 揭示概念的內(nèi)涵,反例有助于說明公式、法則使用條件的嚴(yán)密性,幫助培養(yǎng)逆向思維提高判斷力,2.1反例在概念學(xué)習(xí)中的作用,反例幫助加深對概念的理解 概念本身就是極具抽象性的，大多數(shù)的時(shí)候我們是很難能夠

4、從直觀的角度去理解其含義的，此時(shí)若以感性認(rèn)識為基礎(chǔ)對概念進(jìn)行理解分析，就能進(jìn)一步深層地得剖析概念的本質(zhì)意義。往往通過列舉或構(gòu)造反例的方式進(jìn)行說明，能夠準(zhǔn)確地區(qū)分開相似并且容易混淆在一起的概念，并且去除掉那些模糊不清的認(rèn)識，更加準(zhǔn)確地把握概念的本質(zhì)，而能夠在更深層次上理解概念的內(nèi)涵。當(dāng)涉及到某某性質(zhì)時(shí)，同樣反例會發(fā)揮很大的作用，幫助我們加深對性質(zhì)的理解和使用。,能夠準(zhǔn)確把握概念之間的聯(lián)系 數(shù)學(xué)分析中的概念繁多,通過列舉反例的方式能夠明確地區(qū)分它們彼此之間的區(qū)別和聯(lián)系,看透其本質(zhì)，據(jù)此能夠提高我們的學(xué)習(xí)能力和理解能力，并且方便記憶和使用。,揭示概念的內(nèi)涵 數(shù)學(xué)分析中很多重要的概念或定義都是以抽象化

5、的數(shù)學(xué)語言形式化來描述的，這樣就導(dǎo)致了我們很難從直觀的角度直接理解其內(nèi)涵。假如用常規(guī)的方式去死記硬背而不能夠充分理解，那么在應(yīng)用的時(shí)候?qū)驗(yàn)楫a(chǎn)生的錯誤認(rèn)識，而得不到正確的解題結(jié)果。很多時(shí)候若機(jī)械地從正面去學(xué)習(xí),但卻不能準(zhǔn)確把握概念的內(nèi)涵,即使對一個概念重復(fù)記憶再多次，也不能發(fā)揮其最佳效果。對于模糊不清甚至是不正確的認(rèn)識和理解,此時(shí)以反例去糾正將會得到意想不到的結(jié)果。,2.2幫助掌握基本定理,在數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)中大多數(shù)的基本定理很多時(shí)候是在指定的條件下和范圍內(nèi)才成立的，而這些有時(shí)在書中并沒有對它們給出十分確切的說法，往往都是以抽象的而又簡單的語言總結(jié)給出，這會在學(xué)習(xí)的時(shí)候比較困難，不能準(zhǔn)確的理解

6、。重視反例可以增加我們對定理的理解，在學(xué)習(xí)命題時(shí)，使用恰當(dāng)?shù)姆蠢齺碚撟C錯誤的命題是非常簡潔、有效的一種方法，這對那些初學(xué)者來說是非常簡潔明了的,更容易理解和把握定理及其基本性質(zhì)，也能使我們養(yǎng)成嚴(yán)密推理、重視條件的習(xí)慣。除此之外在學(xué)習(xí)中常把由歸納總結(jié)的命題誤認(rèn)為是定理,為了糾正這種錯誤,運(yùn)用反例是最為有效的一種方法。,3典型的反例,處處連續(xù)而處處不可導(dǎo)函數(shù) 在數(shù)學(xué)分析中，通常情況下一元函數(shù)在某一點(diǎn)處連續(xù)但是不一定可導(dǎo)，而在這整個的發(fā)展歷程里，數(shù)學(xué)家們一直猜想：連續(xù)函數(shù)在其定義區(qū)間上，至多除去可列個點(diǎn)外都是可導(dǎo)的也就是說，連續(xù)函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)至多是可列多個。隨著級數(shù)理論的發(fā)展，函數(shù)的表示方式被不斷地

7、擴(kuò)展，數(shù)學(xué)家們漸漸地掌握了用函數(shù)項(xiàng)級數(shù)來表示更廣泛的函數(shù)類。在1872年weierstrass利用函數(shù)項(xiàng)級數(shù)第一次構(gòu)造出了一個處處連續(xù)而處處不可導(dǎo)的函數(shù)，至此該函數(shù)成為數(shù)學(xué)分析中一個典型的例子。,4常用的構(gòu)造反例的方法,特例構(gòu)造法 性質(zhì)構(gòu)造法 類比構(gòu)造法 特殊函數(shù)構(gòu)造法,4.1利用特例來構(gòu)造反例,利用特例來構(gòu)造反例的方法實(shí)際上就是對那些經(jīng)典且特別的例子，根據(jù)我們的需要進(jìn)行重組或者改變部分內(nèi)容，使之與題目的要求相呼應(yīng)，繼而以此構(gòu)造出的新反例來解決問題。 例1 是否能夠確定間斷函數(shù)的平方依舊是間斷函數(shù)。 眾所周知絕對值相同而符號相反即互為相反數(shù)的的兩個數(shù),它們的平方是相等的。我們知道狄利克雷函數(shù)是

8、處處不連續(xù)的,利用這個特殊的函數(shù)將其在無理數(shù)點(diǎn)處的函數(shù)值改為-1。,由此得到了所要的反例，簡潔明了的證明間斷函數(shù)的平方不一定是還間斷函數(shù)。 很多時(shí)候特例反例構(gòu)造法是非常好用的一種證明、解題方法，也是我們用的最多的方法，理解和使用起來很方便，解決問題的速度快，在做選擇判斷題時(shí)能夠節(jié)省很多時(shí)間。,4.2利用性質(zhì)來構(gòu)造反例,利用性質(zhì)來構(gòu)造反例的方法是我們比較常用，能夠熟練運(yùn)用的一種方法，就是根據(jù)命題、定理、結(jié)論等的不同性質(zhì)構(gòu)造出有實(shí)際意義的反例，有一定的方法和技巧可循，對我們很有幫助。,我,4.3利用類比的方法構(gòu)造反例,通過類比法構(gòu)造反例的關(guān)鍵在于仔細(xì)觀察命題的成立條件及結(jié)論，以其所表現(xiàn)出來的特點(diǎn)聯(lián)

9、系逆向思維的思考方式，構(gòu)造出與之相反卻類似的例子，這就是類比構(gòu)造法。,3,我,4.4利用特殊函數(shù)來構(gòu)造反例,特殊函數(shù)一般是指數(shù)學(xué)分析中的一些特殊的函數(shù)，例如取整、對數(shù)、指數(shù)、三角函數(shù)等，我們正是利用這些函數(shù)的特殊性構(gòu)造出符合要求的反例達(dá)到目的。,總結(jié),文章中研究的反例，是在已有理論和邏輯推理的基礎(chǔ)上建立的。通過對反例的學(xué)習(xí)增加了我們對知識的理解，并且拓寬了解題思路，活躍了思維，同時(shí)也提高了自身的學(xué)習(xí)、分析與解決問題的能力。數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)中通過反例，可以使我們對某些概念、性質(zhì)及定理的模糊認(rèn)識變得更加清晰 ，加深對教材內(nèi)容的理解 ，熟悉某些重要命題的條件，糾正理解上的偏差。熟練的使用反例可以使一些疑

10、難問題能夠輕松解決，尤其考試的時(shí)候能夠節(jié)省時(shí)間。本文較為系統(tǒng)的概括了數(shù)學(xué)分析中一些典型的反例的應(yīng)用，反例的構(gòu)造方法。因?yàn)樵趯W(xué)習(xí)時(shí)我們往往對一些基本概念和定理的掌握不夠精確，理解的不夠徹底，致使計(jì)算或證明的時(shí)候出現(xiàn)錯誤，通過反例能夠很大程度上避免這一現(xiàn)象。因此，通過反例的引入、構(gòu)造和使用，能夠很好的解決這類的問題，并且反例應(yīng)該是經(jīng)過挑選的，既要簡潔明了又能夠一針見血的說明問題。,文章中研究的反例，是在已有理論和邏輯推理的基礎(chǔ)上建立的。通過對反例的學(xué)習(xí)增加了我們對知識的理解，并且拓寬了解題思路，活躍了思維，同時(shí)也提高了自身的學(xué)習(xí)、分析與解決問題的能力。數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)中通過反例，可以使我們對某些概念、性質(zhì)及定理的模糊認(rèn)識變得更加清晰 ，加深對教材內(nèi)容的理解 ，熟悉某些重要命題的條件，糾正理解上的偏差。熟練的使用反例可以使一些疑難問題能夠輕松解決，尤其考試的時(shí)候能夠節(jié)省時(shí)間。本文較為系統(tǒng)的概括了數(shù)學(xué)分析中一些典型的反例的應(yīng)用，反例的構(gòu)造方法。因?yàn)樵趯W(xué)習(xí)時(shí)我們往往對一些基本概念和定理的掌握不夠精確，理解的不夠徹底，致使計(jì)算或證明的時(shí)候出現(xiàn)錯誤，通過反例能夠很大程度上避免這一現(xiàn)象。因此，通過反例的引入、構(gòu)造和使用，能夠很好的解決這類的