機械零件的有限元分析_04.ppt

1、第二章 梁單元,如圖所示，為一簡單平面純彎曲梁單元（只考慮彎曲，不考慮軸向變形）,位移邊界條件（撓度、轉(zhuǎn)角）：,定義位移函數(shù)：,將邊界條件代入可得：,寫成矩陣形式為：,求解上述矩陣方程為：,則位移函數(shù)可表示為：,因此，定義形函數(shù)為：,簡化后得：,則位移函數(shù)可簡化為：,梁單元在局部坐標(biāo)系統(tǒng)中有：,形函數(shù)可變?yōu)椋?引入一量綱變量：,稱為自然坐標(biāo),則形函數(shù)變?yōu)椋?那么，位移函數(shù)可進(jìn)一步表示為：,梁的曲率為：,令：,稱為應(yīng)變矩陣,則：,梁的截面彎矩為：,正應(yīng)力：,梁單元的應(yīng)變能：,其中：,外力做功為：,所以，梁單元剛度矩陣為：,將 B 代入上式可得：,因此，梁單元剛度方程為：,例題1：如圖所示，求中間

2、結(jié)點的撓度和轉(zhuǎn)角以及兩端點的反力與反力矩。,顯然，將整個梁分成兩個梁單元。,單元1與2的剛度矩陣分別為：,整體剛度矩陣為：,整體有限元方程為：,載荷和位移邊界條件：,簡化方程可得：,求解可得：,則反力及反力矩為：,例題2：如圖所示，求撓度、轉(zhuǎn)角以及反力。,可以分成兩個梁單元，一個彈簧單元進(jìn)行求解。,已知：,彈簧單元矩陣：,兩個梁單元矩陣為：,整體有限元方程為：,邊界條件：,邊界條件代入有限元方程，簡化后求解得：,再將求解結(jié)果代入有限元方程，可得反力。,如圖所示，為一考慮軸向變形的平面彎曲梁單元。,這種梁單元相當(dāng)于等截面直桿單元與不考慮軸向變形的純彎曲梁單元的合成。,其單元剛度矩陣 為兩單元的剛

3、度 矩陣疊加，即：,單元剛度方程為：,對于連續(xù)梁單元，只有兩個自由度，即梁端彎矩，有：,其剛度矩陣為：,對于一端剛結(jié)，一端鉸結(jié)，其鉸結(jié)端沒有彎矩，即：,則有：,將上述方程代入剛度矩陣可得其單元剛度矩陣為：,單元剛度方程：,如果梁上作用有分布載荷，如圖所示：,應(yīng)將分布載荷轉(zhuǎn)換為作用于節(jié)點上的集中力與彎矩，用公式表示為：,當(dāng)：,則：,所以：,同樣，如圖所示的分布力可以進(jìn)行等效轉(zhuǎn)換。,例題3，如圖所示，求解懸臂梁右端彎矩與撓度，左端反力與反力矩。,解：很顯然，要將均勻分布力進(jìn)行等效變換，如下圖所示:,其中：,有限元方程為：,力與位移邊界條件為：,方程簡化為：,求解可得：,相應(yīng)節(jié)點力與力矩為：,懸臂梁

4、左端的反力和反力矩為：,平面問題中梁單元的坐標(biāo)變換,按照兩個坐標(biāo)系中位移向量相等效的原則，可以推出坐標(biāo)變換關(guān)系：,寫成矩陣形式：,令：,稱為坐標(biāo)變換矩陣,平面梁單元的剛度矩陣為：,作用力矩陣為：,剛度方程為：,例題4，如圖所示為一剛性梁框架，求解節(jié)點1和2的位移和轉(zhuǎn)角。,解：題目求解主要有以下幾個關(guān)鍵問題：,1、分布力通過形函數(shù)進(jìn)行等效變換； 2、采用考慮軸向變形的彎曲梁單元； 3、梁單元必須將局部坐標(biāo)系下的剛度矩陣變換為整體坐標(biāo)系下的 剛度矩陣； 4、將各個梁單元的整體坐標(biāo)系下的剛度矩陣組裝成整體坐標(biāo)系下 的整體剛度矩陣。,空間梁單元及其坐標(biāo)變換,空間梁單元主要受軸向力、彎矩、扭矩的作用，如圖所示，其整體剛度矩陣可由拉壓桿單元、扭轉(zhuǎn)桿單元、與平面梁單元合并而成。 其中：,為軸向位移，其剛度矩陣為拉壓桿單元的剛度矩陣，即：,為扭轉(zhuǎn)角位移，其剛度矩陣為扭轉(zhuǎn)桿單元的剛度矩陣，即：,屬于xoy 平面內(nèi)梁純彎曲情形，其剛度矩陣為：,屬于xoz 平面內(nèi)梁純彎曲情形，其剛度矩陣為：,按照節(jié)點位移的順序，經(jīng)過組合，可得整體坐標(biāo)系下空間梁單元剛度矩陣為：,空間梁單元坐標(biāo)變換,按照位移向量等效原則，對于節(jié)點1有：,對于節(jié)點2有同樣的矩陣表達(dá)式,其中：,稱為節(jié)點