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1、二階常系數(shù)非齊次線性方程,對(duì)應(yīng)齊次方程,通解結(jié)構(gòu),常見(jiàn)類型,難點(diǎn)：如何求特解？,方法：待定系數(shù)法.,自由項(xiàng)為,二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,一、 型,設(shè)非齊方程特解為,代入原方程,綜上討論,注意,上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程（k是重根次數(shù)）.,特別地,例1,解,特征方程,特征根,對(duì)應(yīng)齊次方程通解,代入方程, 得,原方程通解為,求通解,解,特征方程,特征根,齊通解,即,代入（*）式,非齊通解為,例2,分別是,的實(shí)部和虛部,可設(shè),輔助方程,由分解定理,分別是以,為自由項(xiàng)的非齊次線性微分方程的特解,注意,上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程,例3,解,對(duì)應(yīng)齊方通解,作輔助方程

2、,代入上式,所求非齊方程特解為,（取虛部）,原方程通解為,這種方法稱為復(fù)數(shù)法,例4,解,對(duì)應(yīng)齊方通解,作輔助方程,代入輔助方程,所求非齊方程特解為,（取實(shí)部）,原方程通解為,注意,例5,解,對(duì)應(yīng)齊方程通解,用常數(shù)變易法求非齊方程通解,原方程通解為,例6,求通解,解,相應(yīng)齊方程,特征方程,齊通解,先求,的特解,設(shè),代入方程,再求,的特解,考慮輔助方程,可設(shè),代入方程得,取實(shí)部得,原方程的特解,所求通解為,例7,設(shè),具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù),且滿足,求 u 的表達(dá)式,解,記,則,同理,這是一個(gè)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,解得,一鏈條懸掛在一釘子上，起動(dòng)時(shí)一端離釘子8米，另一端離釘子12米，若不計(jì)摩擦力，求此鏈條滑過(guò)釘子所需的時(shí)間,下段重為,解,設(shè)時(shí)刻 t 鏈條下落了 x 米,另設(shè)鏈條單位長(zhǎng)重為,則上段重為,由Newton第二定律,例8,特征方程,特征根,齊通解,特解,故,代入初始條件,解得,三、小結(jié),(待定系數(shù)法),只含上式一項(xiàng)解法：作輔助方程,求特解, 取特解的實(shí)部或虛部, 得原非齊方程特解.,思考題,寫出微分方程,的待定特解的形式.,思考題解答,設(shè)

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