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1、專(zhuān)題檢測(cè)(十六) 概率與統(tǒng)計(jì)A卷夯基保分專(zhuān)練一、選擇題1已知數(shù)列an滿(mǎn)足a12,an12an(nN*)若從數(shù)列an的前10項(xiàng)中隨機(jī)抽取一項(xiàng),則該項(xiàng)不小于8的概率是()A.B.C. D.解析:選B由題意可知an2(2)n1,故前10項(xiàng)中,不小于8的只有8,32,128,512,共4項(xiàng),故所求概率是.2(2017湖南五市十校聯(lián)考)在矩形ABCD中,AB2AD,在CD上任取一點(diǎn)P,ABP的最大邊是AB的概率是()A. B.C.1 D.1解析:選D分別以A,B為圓心,AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,交CD于P1,P2,則當(dāng)P在線(xiàn)段P1P2間運(yùn)動(dòng)時(shí),能使得ABP的最大邊是AB,易得1,即ABP的最大邊是AB的概率是
2、1.3(2017天津高考)有5支彩筆(除顏色外無(wú)差別),顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆,則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為()A. B.C. D.解析:選C從5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆,有10種不同取法:(紅,黃),(紅,藍(lán)),(紅,綠),(紅,紫),(黃,藍(lán)),(黃,綠),(黃,紫),(藍(lán),綠),(藍(lán),紫),(綠,紫)而取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的取法有(紅,黃),(紅,藍(lán)),(紅,綠),(紅,紫),共4種,故所求概率P.4(2017惠州三調(diào))齊王與田忌賽馬,田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬,劣于齊王的上等馬,田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬,劣于齊王的
3、中等馬,田忌的下等馬劣于齊王的下等馬,現(xiàn)從雙方的馬匹中各隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場(chǎng)比賽,則田忌獲勝的概率為()A. B.C. D.解析:選A設(shè)田忌的上、中、下三個(gè)等次的馬分別為A,B,C,齊王的上、中、下三個(gè)等次的馬分別為a,b,c,從雙方的馬匹中各隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場(chǎng)比賽的所有可能結(jié)果有Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,共9種,田忌獲勝有Ab,Ac,Bc,共3種,田忌獲勝的概率為.5已知集合A2,3,5,7,從A中隨機(jī)抽取兩個(gè)不同的元素a,b,作為復(fù)數(shù)zabi(i為虛數(shù)單位)的實(shí)部和虛部則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限的概率為()A. B.C. D.解析:選A從集合A2,3,
4、5,7中隨機(jī)抽取兩個(gè)不同的元素a,b,組成復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)有(2,3),(2,5),(2,7),(3,2),(3,5),(3,7),(5,2),(5,3),(5,7),(7,2),(7,3),(7,5),共12種;其中位于第一象限的點(diǎn)有(3,5),(3,7),(5,3),(5,7),(7,3),(7,5),共6種所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限的概率為P.6(2017云南第一次統(tǒng)一檢測(cè))在平面區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)(a,b),則函數(shù)f(x)ax24bx1在區(qū)間1,)上是增函數(shù)的概率為()A. B.C. D.解析:選B不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的AOB的內(nèi)部及邊界AB(不包括邊界OA,O
5、B),則SAOB448.函數(shù)f(x)ax24bx1在區(qū)間1,)上是增函數(shù),則應(yīng)滿(mǎn)足a0且x1,即可得對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖中陰影部分(包括邊界OC,BC,不包括邊界OB),由解得a,b,所以SC OB4,根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式,可知所求的概率P.二、填空題7(2017貴陽(yáng)檢測(cè))同時(shí)擲兩顆骰子,則向上的點(diǎn)數(shù)之和是7的概率是_解析:依題意,記拋擲兩顆骰子向上的點(diǎn)數(shù)分別為a,b,則可得到數(shù)組(a,b)共有6636組,其中滿(mǎn)足ab7的組數(shù)共有6組,分別為(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),因此所求的概率等于.答案:8在長(zhǎng)度為10的線(xiàn)段AB上任取一點(diǎn)C(異于A(yíng),B),
6、則以AC,BC為半徑的兩圓面積之和小于58的概率是_解析:設(shè)ACx,則BC10x,0x10.由題意知,x2(10x)258,即x210x210,解得3x7.故所求的概率為.答案:9(2017福州質(zhì)檢)從集合M(x,y)|(|x|1)2(|y|1)20)的概率為,則k的最大值是_解析:因?yàn)镸(x,y)|(|x|1)2(|y|1)20)的概率為,需1k2,所以k的最大值為2.答案:2三、解答題10聰明花開(kāi)莆仙話(huà)挑戰(zhàn)賽欄目共有五個(gè)項(xiàng)目,分別為“和一斗”“斗麻利”“文儒生”“放獨(dú)步”“正功夫”聰明花開(kāi)欄目組為了解觀(guān)眾對(duì)項(xiàng)目的看法,設(shè)計(jì)了“你最喜歡的項(xiàng)目是哪一個(gè)”的調(diào)查問(wèn)卷(每人只能選一個(gè)項(xiàng)目),對(duì)現(xiàn)場(chǎng)
7、觀(guān)眾進(jìn)行隨機(jī)抽樣調(diào)查,得到如下數(shù)據(jù)(單位:人):和一斗斗麻利文儒生放獨(dú)步正功夫115230115345460(1)在所有參與該問(wèn)卷調(diào)查的人中,用分層抽樣的方法抽取n人座談,其中恰有4人最喜歡“斗麻利”,求n的值及所抽取的人中最喜歡“和一斗”的人數(shù);(2)在(1)中抽取的最喜歡“和一斗”和“斗麻利”的人中,任選2人參加欄目組互動(dòng),求恰有1人最喜歡“和一斗”的概率解:(1)由已知得,解得n22.抽取的人中最喜歡“和一斗”的有1152(人)(2)從(1)中抽取的最喜歡“和一斗”和“斗麻利”的人中,最喜歡“和一斗”的有2人,分別記為A1,A2,最喜歡“斗麻利”的有4人,分別記為B1,B2,B3,B4.
8、從中隨機(jī)抽取2人,所有的可能結(jié)果有:A1,A2,A1,B1,A1,B2,A1,B3,A1,B4,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A2,B4,B1,B2,B1,B3,B1,B4,B2,B3,B2,B4,B3,B4,共15種其中,恰有1人最喜歡“和一斗”的可能結(jié)果有:A1,B1,A1,B2,A1,B3,A1,B4,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A2,B4,共8種故恰有1人最喜歡“和一斗”的概率P.11(2017石家莊一模)某港口有一個(gè)泊位,現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了某月100艘輪船在該泊位??康臅r(shí)間(單位:小時(shí)),如果停靠時(shí)間不足半小時(shí)按半小時(shí)計(jì)時(shí),超過(guò)半小時(shí)不足1小時(shí)按1小時(shí)計(jì)時(shí),依此類(lèi)推,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下
9、表:??繒r(shí)間2.533.544.555.56輪船數(shù)量12121720151383(1)設(shè)該月100艘輪船在該泊位的平均??繒r(shí)間為a小時(shí),求a的值;(2)假定某天只有甲、乙兩艘輪船需要在該泊位??縜小時(shí),且在一晝夜的時(shí)間段中隨機(jī)到達(dá),求這兩艘輪船中至少有一艘在??吭摬次粫r(shí)必須等待的概率解:(1)a(2.5123123.5174204.5155135.5863)4.(2)設(shè)甲船到達(dá)的時(shí)間為x,乙船到達(dá)的時(shí)間為y,則若這兩艘輪船在停靠該泊位時(shí)至少有一艘船需要等待,則|yx|3.841,所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下能認(rèn)為“獲獎(jiǎng)與學(xué)生的文、理科有關(guān)”B卷大題增分專(zhuān)練1某地電影院為了了解當(dāng)?shù)赜?/p>
10、迷對(duì)快要上映的一部電影的票價(jià)的看法,進(jìn)行了一次調(diào)研,得到了票價(jià)x(單位:元)與渴望觀(guān)影人數(shù)y(單位:萬(wàn)人)的結(jié)果如下表:x(單位:元)30405060y(單位:萬(wàn)人)4.5432.5(1)若y與x具有較強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系,試分析y與x之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān);(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程;(3)根據(jù)(2)中求出的線(xiàn)性回歸方程,預(yù)測(cè)票價(jià)定為多少元時(shí),能獲得最大票房收入?yún)⒖脊剑海?解:(1)由表中數(shù)據(jù)易知,y隨x的增大而減小,故y與x之間是負(fù)相關(guān)(2)由表中數(shù)據(jù)可得45,3.5,iyi435,42500,則0.07,3.50.07456.65,所以,所求線(xiàn)性回歸方程
11、為0.07x6.65.(3)根據(jù)(2)中的線(xiàn)性回歸方程,若票價(jià)為x元,則渴望觀(guān)影人數(shù)約為(0.07x6.65)萬(wàn)人,可預(yù)測(cè)票房收入為zx(0.07x6.65)0.07x26.65x0.07(x47.5)2157.937 5,易得,當(dāng)x47.5時(shí),z取得最大值,即票價(jià)定為47.5元時(shí),能獲得最大票房收入2某高中學(xué)校高一年級(jí)學(xué)生某次身體素質(zhì)體能測(cè)試的原始成績(jī)采用百分制,已知所有這些學(xué)生的原始成績(jī)均分布在50,100內(nèi),發(fā)布成績(jī)使用等級(jí)制各等級(jí)劃分標(biāo)準(zhǔn)見(jiàn)圖表規(guī)定:A,B,C三級(jí)為合格等級(jí),D為不合格等級(jí).分?jǐn)?shù)85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等級(jí)ABCD為了解該校高一年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)
12、情況,從中抽取了n名學(xué)生的原始成績(jī)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)按照50,60),60,70),70,80),80,90),90,100的分組作出頻率分布直方圖如圖所示,樣本中原始成績(jī)?cè)?0分及以上的所有數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示(1)求n和頻率分布直方圖中的x,y的值,并估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生成績(jī)是合格等級(jí)的概率;(2)在選取的樣本中,從成績(jī)?yōu)锳,D兩個(gè)等級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研,求至少有一名學(xué)生的成績(jī)是A等級(jí)的概率解:(1)由頻率分布直方圖及莖葉圖中的相關(guān)數(shù)據(jù)可知,樣本容量n50,x0.004,y0.018.因?yàn)槌煽?jī)是合格等級(jí)的頻率為10.1,依據(jù)樣本估計(jì)總體的思想,該校高一年級(jí)學(xué)生成績(jī)是合格等級(jí)的概
13、率是.(2)由頻率分布直方圖及莖葉圖知,A等級(jí)學(xué)生共有3名,D等級(jí)學(xué)生共有0.1505名,記A等級(jí)學(xué)生分別為A1,A2,A3,D等級(jí)學(xué)生分別為D1,D2,D3,D4,D5,則從8名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生的所有情況為A1A2,A1A3,A1D1,A1D2,A1D3,A1D4,A1D5,A2A3,A2D1,A2D2,A2D3,A2D4,A2D5,A3D1,A3D2,A3D3,A3D4,A3D5,D1D2,D1D3,D1D4,D1D5,D2D3,D2D4,D2D5,D3D4,D3D5,D4D5,共28個(gè)基本事件記“至少有一名學(xué)生的成績(jī)是A等級(jí)”為事件E,則其對(duì)立事件的可能結(jié)果為D1D2,D1D3,D
14、1D4,D1D5,D2D3,D2D4,D2D5,D3D4,D3D5,D4D5,共10種所以P(E)1P()1.3傳承傳統(tǒng)文化再掀熱潮,央視科教頻道以詩(shī)詞知識(shí)競(jìng)賽為主的中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)火爆熒屏某機(jī)構(gòu)組織了一場(chǎng)詩(shī)詞知識(shí)競(jìng)賽,將中學(xué)組和大學(xué)組的參賽選手按成績(jī)分為優(yōu)秀、良好、一般三個(gè)等級(jí),從中隨機(jī)抽取100名選手進(jìn)行調(diào)查,如圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的選手等級(jí)與人數(shù)的條形圖(1)若將一般等級(jí)和良好等級(jí)合稱(chēng)為合格等級(jí),根據(jù)已知條件完成下面的22列聯(lián)表,并據(jù)此判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為選手成績(jī)優(yōu)秀與文化程度有關(guān)??jī)?yōu)秀合格總計(jì)大學(xué)組中學(xué)組總計(jì)(2)若參賽選手共6萬(wàn)名,用頻率估計(jì)概率,試估計(jì)其中優(yōu)
15、秀等級(jí)的選手人數(shù);(3)在優(yōu)秀等級(jí)的選手中選取6名,在良好等級(jí)的選手中選取6名,都依次編號(hào)為1,2,3,4,5,6,在選出的6名優(yōu)秀等級(jí)的選手中任取一名,記其編號(hào)為a,在選出的6名良好等級(jí)的選手中任取一名,記其編號(hào)為b,求使得方程組有唯一一組實(shí)數(shù)解(x,y)的概率參考公式:K2,其中nabcd.參考數(shù)據(jù):P(K2k0)0.100.050.01k02.7063.8416.635解:(1)由條形圖可得22列聯(lián)表如下:優(yōu)秀合格總計(jì)大學(xué)組451055中學(xué)組301545總計(jì)7525100所以K2的觀(guān)測(cè)值k3.0303.841,所以不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為選手成績(jī)優(yōu)秀與文化程度有關(guān)(2
16、)由條形圖知,所抽取的100名選手中,優(yōu)秀等級(jí)有75名,所以估計(jì)參賽選手中優(yōu)秀等級(jí)的選手有60 00045 000(名)(3)a可從1,2,3,4,5,6中取,有6種取法,b可從1,2,3,4,5,6中取,有6種取法,共有36組,要使方程組有唯一一組實(shí)數(shù)解,則.易知使成立的a,b滿(mǎn)足的實(shí)數(shù)對(duì)有(1,2),(2,4),(3,6),共3組,故滿(mǎn)足的實(shí)數(shù)對(duì)的組數(shù)為36333.故所求概率P.4交強(qiáng)險(xiǎn)是車(chē)主必須為機(jī)動(dòng)車(chē)購(gòu)買(mǎi)的險(xiǎn)種,若普通6座以下私家車(chē)投保交強(qiáng)險(xiǎn)第一年的費(fèi)用(基準(zhǔn)保費(fèi))統(tǒng)一為a元,在下一年續(xù)保時(shí),實(shí)行的是費(fèi)率浮動(dòng)機(jī)制,且保費(fèi)與上一年度車(chē)輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系發(fā)生交通事故的次數(shù)越多,
17、費(fèi)率也就越高,具體浮動(dòng)情況如下表:交強(qiáng)險(xiǎn)浮動(dòng)因素和費(fèi)率浮動(dòng)比率表浮動(dòng)因素浮動(dòng)比率A1上一個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故下浮10%A2上兩個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故下浮20%A3上三個(gè)及以上年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故下浮30%A4上一個(gè)年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故0%A5上一個(gè)年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任道路交通事故上浮10%A6上一個(gè)年度發(fā)生有責(zé)任道路交通死亡事故上浮30%某機(jī)構(gòu)為了研究某一品牌普通6座以下私家車(chē)的投保情況,隨機(jī)抽取了60輛車(chē)齡已滿(mǎn)三年該品牌同型號(hào)私家車(chē)的下一年續(xù)保時(shí)的情況,統(tǒng)計(jì)得到了下面的表格:類(lèi)型A1A2A3A4A5A6數(shù)量105520155(1)求一輛
18、普通6座以下私家車(chē)在第四年續(xù)保時(shí)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的頻率;(2)某二手車(chē)銷(xiāo)售商專(zhuān)門(mén)銷(xiāo)售這一品牌的二手車(chē),且將下一年的交強(qiáng)險(xiǎn)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的車(chē)輛記為事故車(chē)假設(shè)購(gòu)進(jìn)一輛事故車(chē)虧損5 000元,一輛非事故車(chē)盈利10 000元且各種投保類(lèi)型的頻率與上述機(jī)構(gòu)調(diào)查的頻率一致,完成下列問(wèn)題:若該銷(xiāo)售商店內(nèi)有6輛(車(chē)齡已滿(mǎn)三年)該品牌二手車(chē),某顧客欲在店內(nèi)隨機(jī)挑選2輛車(chē),求這2輛車(chē)恰好有一輛為事故車(chē)的概率;若該銷(xiāo)售商一次購(gòu)進(jìn)120輛(車(chē)齡已滿(mǎn)三年)該品牌二手車(chē),求一輛車(chē)盈利的平均值解:(1)一輛普通6座以下私家車(chē)第四年續(xù)保時(shí)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的頻率為.(2)由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知,該銷(xiāo)售商店內(nèi)的6輛該品牌車(chē)齡已滿(mǎn)三年的二手車(chē)中有2輛事故車(chē),設(shè)為b1,b2,4輛非事故車(chē),設(shè)為a1,a2,a3,a4.從6輛車(chē)中隨機(jī)挑選2輛車(chē)的情況有(b1,b2),(b1,a1),(b1,a2),(b1,a3),(b1,a4),(
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