2012年上海高考數(shù)學試題理科答案與解析

1、2012上海高考數(shù)學試題（理科）答案與解析一填空題1計算： （為虛數(shù)單位）.【答案】【解析】.【點評】本題著重考查復數(shù)的除法運算，首先，將分子、分母同乘以分母的共軛復數(shù)，將分母實數(shù)化即可.2若集合，則 .【答案】 【解析】根據(jù)集合A ，解得，由，所以.【點評】本題考查集合的概念和性質的運用，同時考查了一元一次不等式和絕對值不等式的解法.解決此類問題，首先分清集合的元素的構成，然后，借助于數(shù)軸或韋恩圖解決.3函數(shù)的值域是 .【答案】 【解析】根據(jù)題目，因為，所以.【點評】本題主要考查行列式的基本運算、三角函數(shù)的范圍、二倍角公式，屬于容易題，難度較小.考綱中明確要求掌握二階行列式的運算性質. 4若

2、是直線的一個法向量，則的傾斜角的大小為 （結果用反三角函數(shù)值表示）.【答案】 【解析】設直線的傾斜角為，則.【點評】本題主要考查直線的方向向量、直線的傾斜角與斜率的關系、反三角函數(shù)的表示.直線的傾斜角的取值情況一定要注意，屬于低檔題，難度較小.5在的二項展開式中，常數(shù)項等于 .【答案】 【解析】根據(jù)所給二項式的構成，構成的常數(shù)項只有一項，就是 .【點評】本題主要考查二項式定理.對于二項式的展開式要清楚，特別注意常數(shù)項的構成.屬于中檔題.6有一列正方體，棱長組成以1為首項、為公比的等比數(shù)列，體積分別記為，則 .【答案】 【解析】由正方體的棱長組成以為首項，為公比的等比數(shù)列，可知它們的體積則組成了

3、一個以1為首項，為公比的等比數(shù)列，因此， .【點評】本題主要考查無窮遞縮等比數(shù)列的極限、等比數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的定義.考查知識較綜合.7已知函數(shù)（為常數(shù)）.若在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是 .【答案】【解析】根據(jù)函數(shù)看出當時函數(shù)增函數(shù)，而已知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以的取值范圍為： .【點評】本題主要考查指數(shù)函數(shù)單調性，復合函數(shù)的單調性的判斷，分類討論在求解數(shù)學問題中的運用.本題容易產(chǎn)生增根，要注意取舍，切勿隨意處理，導致不必要的錯誤.本題屬于中低檔題目，難度適中.8若一個圓錐的側面展開圖是面積為的半圓面，則該圓錐的體積為 .【答案】【解析】根據(jù)該圓錐的底面圓的半徑為，母線長為，根據(jù)條

4、件得到，解得母線長，所以該圓錐的體積為：.【點評】本題主要考查空間幾何體的體積公式和側面展開圖.審清題意，所求的為體積，不是其他的量，分清圖形在展開前后的變化；其次，對空間幾何體的體積公式要記準記牢，屬于中低檔題.9已知是奇函數(shù)，且，若，則 .【答案】 【解析】因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以 .【點評】本題主要考查函數(shù)的奇偶性.在運用此性質解題時要注意：函數(shù)為奇函數(shù)，所以有這個條件的運用，平時要加強這方面的訓練，本題屬于中檔題，難度適中.10如圖，在極坐標系中，過點的直線與極軸的夾角，若將的極坐標方程寫成的形式，則 .【答案】【解析】根據(jù)該直線過點，可以直接寫出代數(shù)形式的方程為：，將此化成極坐標系下的

5、參數(shù)方程即可 ，化簡得.【點評】本題主要考查極坐標系，本部分為選學內容，幾乎年年都有所涉及，題目類型以小題為主，復習時，注意掌握基本規(guī)律和基礎知識即可.對于不常見的曲線的參數(shù)方程不作要求.本題屬于中檔題，難度適中.11三位同學參加跳高、跳遠、鉛球項目的比賽，若每人都選擇其中兩個項目，則有且僅有兩人選擇的項目完全相同的概率是 （結果用最簡分數(shù)表示）.【答案】【解析】一共有27種取法，其中有且只有兩個人選擇相同的項目的取法共有18種，所以根據(jù)古典概型得到此種情況下的概率為.【點評】本題主要考查排列組合概率問題、古典概型.要分清基本事件數(shù)和基本事件總數(shù).本題屬于中檔題.12在平行四邊形中，邊、的長分

6、別為2、1，若、分別是邊、上的點，且滿足，則的取值范圍是 .【答案】【解析】以向量所在直線為軸，以向量所在直線為軸建立平面直角坐標系，如圖所示，因為，所以 設根據(jù)題意，有.所以，所以 【點評】本題主要考查平面向量的基本運算、概念、平面向量的數(shù)量積的運算律.做題時，要切實注意條件的運用.本題屬于中檔題，難度適中.13已知函數(shù)的圖象是折線段，其中、，函數(shù)（）的圖象與軸圍成的圖形的面積為 .【答案】【解析】根據(jù)題意得到，從而得到所以圍成的面積為，所以圍成的圖形的面積為 .【點評】本題主要考查函數(shù)的圖象與性質，函數(shù)的解析式的求解方法、定積分在求解平面圖形中的運用.突出體現(xiàn)數(shù)形結合思想，本題綜合性較強，

7、需要較強的分析問題和解決問題的能力，在以后的練習中加強這方面的訓練，本題屬于中高檔試題，難度較大.14如圖，與是四面體中互相垂直的棱，若，且，其中、為常數(shù)，則四面體的體積的最大值是 .【答案】 【解析】據(jù)題，也就是說，線段的長度是定值，因為棱與棱互相垂直，當時，此時有最大值，此時最大值為：.【點評】本題主要考查空間四面體的體積公式、空間中點線面的關系.本題主要考慮根據(jù)已知條件構造體積表達式，這是解決問題的關鍵，本題綜合性強，運算量較大.屬于中高檔試題.二、選擇題（20分）15若是關于的實系數(shù)方程的一個復數(shù)根，則（ ）A B C D【答案】 B 【解析】根據(jù)實系數(shù)方程的根的特點也是該方程的另一個

8、根，所以，即，故答案選擇B.【點評】本題主要考查實系數(shù)方程的根的問題及其性質、復數(shù)的代數(shù)形式的四則運算，屬于中檔題，注重對基本知識和基本技巧的考查，復習時要特別注意.16在中，若，則的形狀是（ ）A銳角三角形 B直角三角形 C鈍角三角形 D不能確定 【答案】C【解析】由正弦定理，得代入得到，由余弦定理的推理得，所以C為鈍角，所以該三角形為鈍角三角形.故選擇A.【點評】本題主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的運用.主要抓住所給式子的結構來選擇定理，如果出現(xiàn)了角度的正弦值就選擇正弦定理，如果出現(xiàn)角度的余弦值就選擇余弦定理.本題屬于中檔題.17設，隨機變量取值的概率均為，隨機變量取值的概率也均為，若

9、記分別為的方差，則（ ）A B C D與的大小關系與的取值有關【答案】 A【解析】 由隨機變量的取值情況，它們的平均數(shù)分別為：， 且隨機變量的概率都為，所以有. 故選擇A.【點評】本題主要考查離散型隨機變量的期望和方差公式.記牢公式是解決此類問題的前提和基礎，本題屬于中檔題.18設，在中，正數(shù)的個數(shù)是（ ）A25 B50 C75 D100【答案】C【解析】依據(jù)正弦函數(shù)的周期性，可以找其中等于零或者小于零的項.【點評】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質和間接法解題.解決此類問題主要找到規(guī)律，從題目出發(fā)可以看出來相鄰的14項的和為0，這就是規(guī)律，考查綜合分析問題和解決問題的能力.三、解答題（本大題共

10、有5題，滿分74分）19如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，E是PC的中點.已知AB=2，AD=2，PA=2.求：（1）三角形PCD的面積；（6分）（2）異面直線BC與AE所成的角的大小.（6分）解（1）因為PA底面ABCD，所以PACD，又ADCD，所以CD平面PAD， 從而CDPD. 3分ABCDPExyz 因為PD=，CD=2， 所以三角形PCD的面積為. 6分 （2）解法一如圖所示，建立空間直角坐標系， 則B(2, 0, 0)，C(2, 2,0)，E(1, , 1)， ，. 8分 設與的夾角為q，則 ，q=.ABCDPEF 由此可知，異面直線BC與AE所

11、成的角的大小是 12分 解法二取PB中點F，連接EF、AF，則 EFBC，從而AEF（或其補角）是異面直線 BC與AE所成的角 8分 在中，由EF=、AF=、AE=2 知是等腰直角三角形， 所以AEF=. 因此異面直線BC與AE所成的角的大小是 12分【點評】本題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關系，考查空間想象能力和推理論證能力綜合考查空間中兩條異面直線所成的角的求解，同時考查空間幾何體的體積公式的運用.本題源于必修2立體幾何章節(jié)復習題，復習時應注重課本，容易出現(xiàn)找錯角的情況，要考慮全面，考查空間想象能力，屬于中檔題20已知函數(shù). （1）若，求的取值范圍；（6分） （2）若是以2為周期的

12、偶函數(shù)，且當時，有，求函數(shù)的反函數(shù).（8分）解（1）由，得. 由得. 3分 因為，所以，. 由得. 6分 （2）當x1,2時，2-x0,1，因此. 10分由單調性可得.因為，所以所求反函數(shù)是，. 14分【點評】本題主要考查函數(shù)的概念、性質、分段函數(shù)等基礎知識考查數(shù)形結合思想，熟練掌握指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的圖象與性質，屬于中檔題21海事救援船對一艘失事船進行定位：以失事船的當前位置為原點，以正北方向為y軸xOyPA正方向建立平面直角坐標系（以1海里為單位長度），則救援船恰在失事船的正南方向12海里A處，如圖. 現(xiàn)假設：失事船的移動路徑可視為拋物線；定位后救援船即刻沿直線勻速前往救援；救援船

13、出發(fā)小時后，失事船所在位置的橫坐標為. （1）當時，寫出失事船所在位置P的縱坐標. 若此時兩船恰好會合，求救援船速度的大小和方向；（6分） （2）問救援船的時速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）解（1）時，P的橫坐標xP=，代入拋物線方程 中，得P的縱坐標yP=3. 2分 由|AP|=，得救援船速度的大小為海里/時. 4分 由tanOAP=，得OAP=arctan，故救援船速度的方向 為北偏東arctan弧度. 6分 （2）設救援船的時速為海里，經(jīng)過小時追上失事船，此時位置為. 由，整理得.10分 因為，當且僅當=1時等號成立， 所以，即. 因此，救援船的時速至少是25海里才能追上失事船.

14、 14分22在平面直角坐標系中，已知雙曲線. （1）過的左頂點引的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積；（4分） （2）設斜率為1的直線l交于P、Q兩點，若l與圓相切，求證：OPOQ；（6分） （3）設橢圓. 若M、N分別是、上的動點，且OMON，求證：O到直線MN的距離是定值.（6分）解（1）雙曲線，左頂點，漸近線方程：. 過點A與漸近線平行的直線方程為，即. 解方程組，得. 2分 所以所求三角形的面積1為. 4分 （2）設直線PQ的方程是.因直線與已知圓相切， 故，即. 6分 由，得. 設P(x1, y1)、Q(x2, y2)，則. 又2，所以 ，故OPOQ.

15、 10分 （3）當直線ON垂直于x軸時， |ON|=1，|OM|=，則O到直線MN的距離為. 當直線ON不垂直于x軸時， 設直線ON的方程為（顯然），則直線OM的方程為. 由，得，所以.同理. 13分 設O到直線MN的距離為d，因為， 所以，即d=. 綜上，O到直線MN的距離是定值. 16分【點評】本題主要考查雙曲線的概念、標準方程、幾何性質及其直線與雙曲線的關系、橢圓的標準方程和圓的有關性質.特別要注意直線與雙曲線的關系問題，在雙曲線當中，最特殊的為等軸雙曲線，它的離心率為，它的漸近線為，并且相互垂直，這些性質的運用可以大大節(jié)省解題時間，本題屬于中檔題 23對于數(shù)集，其中，定義向量集. 若對

16、于任意，存在，使得，則稱X具有性質P. 例如具有性質P. （1）若x2，且，求x的值；（4分） （2）若X具有性質P，求證：1X，且當xn1時，x1=1；（6分） （3）若X具有性質P，且x1=1，x2=q（q為常數(shù)），求有窮數(shù)列的通項公式.（8分）解（1）選取，Y中與垂直的元素必有形式. 2分 所以x=2b，從而x=4. 4分 （2）證明：取.設滿足. 由得，所以、異號. 因為-1是X中唯一的負數(shù)，所以、中之一為-1，另一為1，故1X. 7分假設，其中，則.選取，并設滿足，即，則、異號，從而、之中恰有一個為-1.若=-1，則2，矛盾；若=-1，則，矛盾.所以x1=1. 10分 （3）解法一猜測，i=1, 2, , n. 12分 記，k=2, 3, , n. 先證明：若具有性質P，則也具有性質P. 任取，、.當、中出現(xiàn)-1時，顯然有滿足； 當且時，、1. 因為具有性質P，所以有，、，使得，從而和中有一個是-1，不妨設=-1.假設且，則.由，得，與矛盾.所以.從而也具有性質P. 15分現(xiàn)用數(shù)學歸納法證明：，i=1, 2, , n.當n=2時，結論顯然成立； 假設n=k時，有性質P，則，i=1, 2, , k； 當n=k+1時，若有性質P，則 也有性質P，所以. 取，并設滿足，即.由此可得s與t中有且只有一個為-1. 若，則1，不可能； 所以，又，