函數(shù)的單調(diào)性奇偶性與周期性知識點(diǎn)與試題

1、.函數(shù)的性質(zhì)知識要點(diǎn)一、 函數(shù)的奇偶性1定義：如果對于函數(shù) f(x) 定義域內(nèi)的任意 x 都有 f( x)= f(x) ，則稱 f(x) 為奇函數(shù)；如果對于函數(shù) f(x) 定義域內(nèi)的任意 x 都有 f( x)=f(x) ，則稱 f(x) 為偶函數(shù)。如果函數(shù) f(x) 不具有上述性質(zhì)， 則 f(x) 不具有奇偶性 .如果函數(shù)同時具有上述兩條性質(zhì)，則 f(x) 既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)。注意：（ 1）函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；（ 2）由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內(nèi)的任意一個x，則 x也一定是定義域內(nèi)的一個自變量（即定義

2、域關(guān)于原點(diǎn)對稱）。2利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：（ 1）首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；（ 2） 確定 f( x)與 f(x) 的關(guān)系；（ 3） 作出相應(yīng)結(jié)論：若f( x) = f(x)或 f( x) f(x) = 0 ，則 f(x) 是偶函數(shù)；若 f( x) = f(x)或 f( x) f(x) = 0 ， f ( x)f ( x)f ( x)f (x)f ( x) 01( f ( x) 0) 則 f(x) 是奇函數(shù)。f ( x)3簡單性質(zhì)：（ 1）圖象的對稱性質(zhì)：一個函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；一個函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于 y 軸對

3、稱；（ 2）設(shè) f(x) ， g(x) 的定義域分別是 D1， D2 那么在它們的公共定義域上：奇 +奇 =奇，奇奇 =偶，偶 +偶 =偶，偶偶 =偶，奇偶 =奇（ 3）任意一個定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)f (x)均可寫成一個奇函數(shù)g (x) 與一個偶函數(shù) h( x)和的形式，則 g( x)f ( x) f ( x) , h( x)f ( x) f (x)。224 奇偶函數(shù)圖象的對稱性(1) 若 yf (ax) 是偶函數(shù)，則f (ax)f (ax)f (2ax)f (x)f ( x) 的圖象關(guān)于直線x a 對稱；(2) 若 yf (bx) 是奇函數(shù)，則f (bx)f (bx)f (2bx)f (

4、 x)f ( x) 的圖象關(guān)于點(diǎn)(b,0) 中心對稱；.5一些重要類型的奇偶函數(shù)：（ 1） 函數(shù) f (x) axa x是偶函數(shù)，函數(shù)f ( x) axa x 是奇函數(shù)；（ 2）函數(shù)axaf (x)aaxxa2 x1 ( a 0 且 a1) 是奇函數(shù)；xa2 x1（ 3）函數(shù)f (x)1x(a0且 a1) 是奇函數(shù)；log a 1x（ 4）函數(shù) f (x)log a ( xx21)(a0 且 a1) 是奇函數(shù)。二、函數(shù)的單調(diào)性1定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f (x)的定義域?yàn)?I ，如果對于定義域 I 內(nèi)的某個區(qū)間D 內(nèi)的任意兩個自變量x， x，當(dāng) x x時，都有f(x)f(x )），那么就說 f

5、(x) 在區(qū)間 D 上是增函數(shù)（減函數(shù)） ；12121212注意：（ 1）函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；（ 2）必須是對于區(qū)間 D 內(nèi)的任意兩個自變量x1， x2；當(dāng) x1x2 時，總有 f(x1)f(x2)（ 3）函數(shù)單調(diào)性的兩個等價形式：f ( x1 )f ( x2 )f (x) 在給定區(qū)間上單調(diào)遞增（遞減） ；x1x20( 0)(x1 x2 ) f ( x1 )f (x2 )0(0)f ( x) 在給定區(qū)間上單調(diào)遞增（遞減） 。2如果函數(shù) y=f(x) 在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x) 在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間 D 叫做

6、 y=f(x) 的單調(diào)區(qū)間。3設(shè)復(fù)合函數(shù) y= fg(x)，其中 u=g(x) , A是 y= fg(x) 定義域的某個區(qū)間， B 是映射 g : x u=g(x)的象集： 若 u=g(x) 在 A 上是增（或減）函數(shù)，y= f(u)在 B 上也是增（或減）函數(shù)，則函數(shù)y= fg(x) 在 A 上是增函數(shù)； 若 u=g(x) 在 A 上是增（或減）函數(shù)，而y= f(u) 在 B 上是減（或增）函數(shù)，則函數(shù)y= fg(x) 在A 上是減函數(shù)，簡稱 “同增異減 ”。4判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟利用定義證明函數(shù)f(x) 在給定的區(qū)間D 上的單調(diào)性的一般步驟：（ 1） 任取 x1， x2 D，且 x1x

7、2 ；（ 2）作差 f(x1) f(x2) ；（ 3）變形（通常是因式分解和配方）；（ 4）定號（即判斷差 f(x1) f(x2) 的正負(fù)）；（ 5） 下結(jié)論（指出函數(shù) f(x) 在給定的區(qū)間D 上的單調(diào)性） 。5簡單性質(zhì)（ 1）奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；（ 2）偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反；（ 3）在公共定義域內(nèi)：增函數(shù)f(x)+ 增函數(shù) g(x) 是增函數(shù)；減函數(shù)f(x)+ 減函數(shù) g(x) 是減函數(shù)；增函數(shù) f(x)-減函數(shù) g(x) 是增函數(shù)；減函數(shù)f(x)- 增函數(shù) g(x) 是減函數(shù)。.三、函數(shù)的最值1定義：最大值：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x) 的定義域?yàn)镮 ，如果存在實(shí)

8、數(shù)M 滿足： 對于任意的x I ，都有 f(x) M； 存在 x0 I ，使得 f(x0) = M 。那么，稱M 是函數(shù) y=f(x) 的最大值。最小值：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x) 的定義域?yàn)镮 ，如果存在實(shí)數(shù)M 滿足： 對于任意的x I ，都有 f(x) M； 存在 x0 I ，使得 f(x0) = M 。那么，稱M 是函數(shù) y=f(x) 的最小值。注意：（ 1）函數(shù)最大（?。┦紫葢?yīng)該是某一個函數(shù)值，即存在x0 I ，使得 f(x0) = M ；（ 2）函數(shù)最大（?。?yīng)該是所有函數(shù)值中最大（小）的，即對于任意的xI ，都有 f(x) M（ f(x) M）。2利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小

9、）值的方法：（ 1）利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（?。┲担唬?2）利用圖象求函數(shù)的最大（?。┲担唬?3） 利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（?。┲担喝绻瘮?shù)y=f(x) 在區(qū)間 a， b 上單調(diào)遞增，在區(qū)間b ，c 上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x) 在 x=b 處有最大值f(b);如果函數(shù)y=f(x) 在區(qū)間 a，b 上單調(diào)遞減，在區(qū)間b ，c 上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x) 在 x=b 處有最小值f(b) ；.函數(shù)的單調(diào)性A 組1下列函數(shù)f(x)中，滿足 “對任意 x1， x2 (0， )，當(dāng) x1 f(x2) ”的是 _ f(x) 1 f(x)( x 1)2x f(x) ex f(x)

10、 ln( x1)2函數(shù)f(x)(x R)的圖象如右圖所示，則函數(shù)g(x)f(log a x)(0 a0) f(x) sinx； f(x) lgx； f(x)ex； f(x) 0(x 0) 1 (x1)6已知函數(shù) f(x) x2， g(x) x 1.(1)若存在 xR 使 f(x)0) 在 (x41 21 2f(x ) f(x )4定義在 R 上的偶函數(shù) f(x)，對任意 x ，x 0， )(x x )，有21x2 x10，則下列結(jié)論正確的是 _ f(3) f( 2) f(1) f(1) f( 2) f(3) f( 2) f(1) f(3) f(3) f(1) f( 2).ax(x0) ，5已知

11、函數(shù) f(x)(x0)(a 3)x 4af( x ) f(x)滿足對任意x1x2，都有120，a1)在區(qū)間 (0， )內(nèi)恒有 f(x)0210試討論函數(shù)y 2(log 1x)2 2log 1x 1 的單調(diào)性22x111已知定義在區(qū)間(0， )上的函數(shù)f(x)滿足 f() f(x1) f(x2)，且當(dāng) x1 時， f(x)0.x2(1)求 f(1) 的值； (2) 判斷 f(x)的單調(diào)性； (3)若 f(3) 1，解不等式f(|x|) 2.x2 ax b，x (0， )，是否存在實(shí)數(shù)a， b，使 f(x)同時滿足下列三個條件：(1) 在12已知： f(x) log 3x(0,1 上是減函數(shù)， (

12、2)在 1， )上是增函數(shù)， (3)f(x) 的最小值是 1.若存在，求出 a、b；若不存在，說明理由.函數(shù)的性質(zhì)A 組1 偶函數(shù)f(x) loga|x b|在 ( ， 0)上 增， f(a1)與 f(b 2)的大小關(guān)系 _2定 在R 上的函數(shù)f(x) 既是奇函數(shù)又是以2 周期的周期函數(shù)， f(1) f(4) f(7) 等于 _3已知定 在R 上的奇函數(shù)f(x) 足 f(x 4) f(x)，且在區(qū) 0,2 上是增函數(shù)， f( 25)、 f(11)、 f(80)的大小關(guān)系 _14已知偶函數(shù)f(x)在區(qū) 0， )上 增加， 足f(2x 1)0 ，若 f( 1) 0，那么關(guān)于x 的不等式xf(x)0

13、的解集是 _5已知函數(shù)f(x)是 ( ， )上的偶函數(shù)，若 于x0，都有 f(x 2) f(x)，且當(dāng) x 0,2) ， f(x) log2(x 1)， f( 2009) f(2010) 的 _.6已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，并且對于定義域內(nèi)任意的1 ，若當(dāng) 2 x3 時， f(x) x，則x，滿足 f(x 2) f( x)f(2009.5) _.7定義在 R 上的函數(shù) f(x) 在(，a上是增函數(shù)，函數(shù)y f(xa)是偶函數(shù)，當(dāng) xa，且 |x a|x2121 a|時，則 f(2a x1) 與 f(x2)的大小關(guān)系為 _8已知函數(shù)f(x)為 R 上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時， f(x) x(x 1)若

14、 f(a) 2，則實(shí)數(shù)a _.9已知定義在 R 上的奇函數(shù) f(x)滿足 f(x4) f(x) ，且在區(qū)間 0,2 上是增函數(shù)若方程f(x) m(m 0)在區(qū)間 8,8 上有四個不同的根 x1， x2， x3， x4，則 x1 x2 x3 x4 _.10已知 f(x)是 R 上的奇函數(shù)，且當(dāng)x ( ， 0)時， f(x) xlg(2 x) ，求 f(x) 的解析式11已知函數(shù) f(x)，當(dāng) x， y R 時，恒有 f(x y) f(x) f(y)(1)求證： f(x)是奇函數(shù)；(2)1，試求 f(x)在區(qū)間 2,6上的最值如果 x R ， f(x)0 ，并且 f(1)212已知函數(shù) f( x)

15、的定義域?yàn)?R，且滿足 f( x2) f(x)(1)求證： f(x)是周期函數(shù)；(2)若 f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)0x1時， f(x)11在0,2010 上的所有 x 的個數(shù)2x，求使 f(x)2.例題 1、函數(shù) f ( x)log 1(sin x cos x) 的單調(diào)遞增區(qū)間是 _22 x是（）例題 2、（ 1）函數(shù) f x x4x1A 、是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)B、是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)C、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D 、既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)（ 2） . 設(shè) f (x)x3log 2 x x2 1 ，則對任意實(shí)數(shù) a, b， a b0是 f (a) f (b) 0 的A 、充分必要條件B 、充分而不

16、必要條件C、必要而不充分條件D 、既不充分也不必要條件55 ，則 x y _ （ 3）已知實(shí)數(shù)x 、 y 滿足x1115x11y45y4515（ 4 ） 已 知f ( x)x 1 x 2 Lx2007 x 1 x 2 L x 2007 （ xR ）， 且f (a23a2)f (a1), 則 a 的值有（）A 、 2 個B、 3 個C、 4 個D、無數(shù)個例題 3、（ 2004 復(fù)旦）若存在M ，使任意tDf ( x) 的定義域），都有f ( x)M，則稱函數(shù)f (x)（ D 為函數(shù)有界 .問函數(shù) f (x)1 sin 1在 x(0, 1) 上是否有界？xx2例題 4、設(shè) f (x)log a (

17、 x2a)loga (x3a) ，其中 a0 且 a1 若在區(qū)間 a3, a4 上 f (x)1恒成立，求a 的取值范圍.課后精練1 已知 f ( x)1 abxlog 3 (3x1) 為偶函數(shù)， g( x)2 xax b 為奇函數(shù)，其中 a, b 為復(fù)數(shù)，221000bk ) 的值是 _則(a k1_.k12 函數(shù) f ( x)sin 2xe|sin xcos x| 的最大值與最小值之差等于1e2 。解： f ( x)sin 2xe|sin x cos x|sin 2x2|sin( x)|時取最大值 1e 2 ，當(dāng) xe4 ，從而當(dāng) x4時取4最小值 0，從而最大值與最小值之差等于1 e 2

18、3函數(shù) f ( x)log 9 ( x8a )在 1，上是增函數(shù)，則 a的取值范圍為。xaa)解析：（ 1） f(x) 在 1， +)上是增函數(shù)，令 f(x 1)f(x 2) log 9(x1+8- x1)log 9 (x2+8- x2得 x1aaa)0+8- x1x 2 +8- x 2即（ x1-x2） (1+ x1x 2 x1-x 20,a-1,a-x 1x2， x2x 13 1 欲使 a-x 1 x2 恒成立，即（ -x1x2） max =-1 1+ x1x 2x1 x2只要 a-1（ -1 應(yīng)檢驗(yàn)）（ 2）欲使 x1時， x+8- ax 0 恒成立 f(x)=log 9(x+8- ax

19、 )在 1,+ ? )上是增函數(shù)則只要當(dāng) x=1 時 ,x+8-a)即可 1+8-a0a04設(shè) f ( x)xsin x ，若 x1, x2,2且 f ( x1 )f (x2 ) ，下列結(jié)論中必定成立的是2A 、 x1x2B、 x1 x20C、 x1x2D、 x12x22解析：答案 D.5.設(shè)集合 M2,0,1, N1,2,3,4,5 ，映射 f: MN 使得對任意的 xM ，都有 xf ( x)xf ( x)是奇數(shù)，則這樣的映射f 的個數(shù)是（ A ）（ A ） 45（ B） 27（C ） 15（ D） 11提示：當(dāng) x2時，xf ( x)xf (x)2f (2)為奇數(shù)，則 f ( 2) 可取

20、 1、3、5，有 3 種取法；當(dāng) x 0時 ， xf(x)xf ( x)f (0)為 奇 數(shù) ， 則 f (0)可 取 1 、 3 、 5 ， 有3 種 取 法 ； 當(dāng) x1 時 ，xf (x)xf (x) 12 f (1) 為奇數(shù)，則f (1) 可取1、 2、 3、 4、 5，有 5種取法。由乘法原理知共有33 545 個映射。b ，它們的圖象在設(shè)函數(shù)f ( x)ln x, g( x)axx 軸上的公共點(diǎn)處有公切線，則當(dāng)x1時，f ( x)與6.x.g( x) 的大小關(guān)系是（）A 、 f ( x)g ( x) B、 f ( x)g(x) C、 f (x)g( x)D 、 f ( x) 與 g

21、( x) 的大小不確定提示：（ B ）。 f ( x) 與 g( x) 的圖象在 x 軸上有公共點(diǎn)(1,0)， g(1)0,即 ab0. f ( x)1, g ( x)ab,由題意 f (1)g (1)1, 即 ab1, a1 , b1 .xx 222令 F ( x)f (x) g( x) ln x( 1 x1 ) ,則 F ( x)1 111 ( 11) 2022xx22x22x F ( x) 在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減.由 F (1) 0 , 當(dāng) x1時,F ( x)0 ,即 f ( x)g( x) .7、 設(shè) x 0, ,y0,1 ，試求函數(shù) f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)si

22、n(1-y)x的最小值。 解 首先，當(dāng) x 0, ,y 0,1 時，f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)sin(1y) x2 y1sin x(1 y) x(1y)2x=(1-y) 2xsin(1y)xsin xy2sin x，令 g(x)=sin xcos x( xtan x),(1y) xx(1y) 2xx, g ( x)x 2( x2當(dāng) x0,時，因?yàn)?cosx0,tanxx ，所以 g ( x)0 ；當(dāng) x,時，因?yàn)?cosx0,tanx0 ，22所以 g ( x)0 ；又因?yàn)?g(x)在 (0, )上連續(xù)，所以g(x) 在 (0, )上單調(diào)遞減。

23、又因?yàn)?(1- y)xxg(x)sin(1y)xsin x0，又因?yàn)閥2sin x0，所以當(dāng) x (0,),y (0,1)時，f(x,y)0.，即y) xxy) 2x(1(1其次，當(dāng) x=0 時， f(x,y)=0 ；當(dāng) x=時， f(x,y)=(1-y)sin(1-y) 0.當(dāng) y=1 時， f(x,y)=-sinx+sinx=0；當(dāng) y=1 時， f(x,y)=sinx0.綜上，當(dāng)且僅當(dāng)x=0 或 y=0 或 x=且 y=1 時， f(x,y) 取最小值 0。8. 設(shè)f ( x)x2a .記 f 1 ( x)f (x) ， f n ( x)f ( f n1 (x)， n2,3,L，MaR

24、對所有正整數(shù)n， f n (0)2. 證明： M2,1.4【證明】（）如果 a2，則 f 1(0)| a |2 ， aM 。（）如果2a1，由題意f 1 (0)a ， f n (0)( f n1(0) 2a , n2,3,L. 則1411 當(dāng) 0a時， f n (0)（n1 ）. 事實(shí)上，當(dāng) n1 時， f 1 (0)a,設(shè) nk 1 時成立422.21211（ k2 為某整數(shù)），則對 nk ，f k(0)f ka.1 (0)242 當(dāng)2 a0時，n(0)（）.事實(shí)上，當(dāng)時，1,設(shè)時成立（fan 1n1f(0)ank1k 2為某整數(shù)），則對 nk ，有| a |af k(0)2aa2a .注意

25、到2a0 時 ,總有f k 1 (0)當(dāng)a22a，即a2aa| a |. 從而有f k (0)| a |.由歸納法，推出2, 1M 。4（ 3）當(dāng) a1時，記 anf n (0) ，則對于任意 n1， ana1且44an1f n1(0)f ( f n (0)f (an )an2a 。對于任意 n1，an1anan2ana (an1)2a1a1, 則 an 1ana1。 所以，2444an1aan 1a1n(a1) 。當(dāng) n2a 時， an 1n(a1)a2aa2 ，即 f n 1 (0)2 。4a144因此 aM 。綜合（） （）（），我們有 M2,1。49 f(x) 在 1,)上單調(diào)遞增，且

26、對任意x,y1,)，都有 f(xy)f(x)f(y) 成立，證明：存在常數(shù)k，使 f(x)kx 在 x1,)上成立解析：設(shè)f (1) k ，則 f (2)f (1)f (1) 2k ，以此類推，用數(shù)學(xué)歸納法不難證明對于x N，有f (x)kx 。設(shè) xQ ，且 x1,，不妨設(shè) xq ,( p, q)1,qpp則 f ( qp)f ( q )f ( q )Lf ( q )pppp1 4 4 4 4 2 4 4 4 4 3p個pf ( q ) ，f ( q )f (q)kqk q ，ppppp對任意 x1,且 x 為無理數(shù)時， 則必存在兩個無限接近的有理數(shù)x1 , x2 ，使 1 x1 xx2 ，

27、由 f (x)在 1,上單調(diào)遞增知， f (x1) f ( x)f (x2 ) ，即 kx1f ( x) kx2，由于 x1 , x2 ，可以從x 左右兩側(cè)無限接近，故f (x)kx 。綜上，存在常數(shù)kf (1)，使得 f (x)kx ，在 x 1,上成立。課后精練1.設(shè)函數(shù)f ( x)3 1xx ，其中0. （ 1）求的取值范圍，使得函數(shù)f ( x) 在 0,) 上是單調(diào)遞.減函數(shù)；（ 2）此單調(diào)性能否擴(kuò)展到整個定義域(,) 上？（ 3）求解不等式 2x3 1x12.解：（ 1）設(shè) 0x1x2，則 f (x1)f (x2 )(x1x2 )1.3 (1 x1)23 1 x13 1 x23 (1

28、 x2)2設(shè) M3(1x1 ) 23 1x13 1x23(1x2 )2，則顯然 M3 . f (x1 )f ( x2 ) 0 ,1111) 上是單調(diào)遞減函數(shù)；,M, 只需要,就能使 f ( x) 在 0,M33（ 2）此單調(diào)性不能擴(kuò)展到整個定義域上，這可由單調(diào)性定義說明之；（ 3 ）構(gòu)造函數(shù)g (x)2x3 1x ，由（ 1）知當(dāng) x0 時， g(x) 是單調(diào)遞增函數(shù)。 g(7)12 ， 2x3 1x12.g(x)g (7) ， x7 ， 所求解集為 (,7) .2.若函數(shù) f (x)1x213 在區(qū)間 a,b上的最小值為2a，最大值為2b，求 a,b.22解顯然，二次函數(shù) f ( x)1x213 在區(qū)間 a,b 上的最值與區(qū)間的取法有關(guān)，因此需要