中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題四幾何探索類問題試題

1、專題四 幾何探索類問題探索類問題是近幾年中考命題的重點(diǎn)，不少省市還作為壓軸的大題。筆者研究了各地中考試卷，對命題特點(diǎn)、解題方法做了一些探討。本文以中考題為例說明之，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考。一、實(shí)驗(yàn)型探索題 例1.等腰三角形是我們熟悉的圖形之一，下面介紹一種等分等腰三角形面積的方法：如圖1，在abc中，abac，把底邊bc分成m等份，連接頂點(diǎn)a和底邊bc各等分點(diǎn)的線段，即可把這個(gè)三角形的面積m等分。圖1 問題提出：任意給定一個(gè)正n邊形，你能把它的面積m等分嗎？ 探究與發(fā)現(xiàn)：為了解決這個(gè)問題，我們先從簡單問題入手怎樣從正三角形的中心（正多邊形的各對稱軸的交點(diǎn)，又稱為正多邊形的中心）引線段，才能將這個(gè)正

2、三角形的面積m等分？ 如果要把正三角形的面積4等分，我們可以先連接正三角形的中心和各頂點(diǎn)（如圖2(1)），這些線段將這個(gè)三角形分成了3個(gè)全等的等腰三角形）；再把所得到的每個(gè)等腰三角形的底邊4等分，連接中心和各邊等分點(diǎn)（如圖2(2)，這些線段把這個(gè)三角形分成了12個(gè)面積相等的小三角形）；最后依次把相鄰的3個(gè)小三角形拼合在一起（如圖2(3)），這樣就能把這個(gè)正三角形的面積4等分了。圖2 （1）實(shí)驗(yàn)與驗(yàn)證：仿照上述方法，利用刻度尺在圖3中畫出一種將正三角形的面積5等分的示意圖。圖3 （2）猜想與證明：怎樣從正三角形的中心引線段，才能將這個(gè)正三角形的面積m等分？敘述你的分法并說明理由。 （3）拓展與延

3、伸：怎樣從正方形（如圖4）的中心引線段，才能將這個(gè)正方形的面積m等分（敘述分法即可，不要求說明理由）？圖4 （4）問題解決：怎樣從正n邊形（如圖5）的中心引線段，才能使這個(gè)正n邊形的面積m等分？（敘述分法，不要求說明理由）圖5 分析：這類問題的特點(diǎn)是先給出一個(gè)解決問題的范例，然后要求解答一個(gè)類似的問題，最后將結(jié)論或方法推廣到一般情況。這類問題文字較多，首先應(yīng)弄清楚哪些是范例，哪些是要求解答的問題，然后詳細(xì)閱讀范例，從中領(lǐng)會(huì)解決問題的方法，并能運(yùn)用這個(gè)方法解決問題。 解：（1）先連接正三角形的中心和各頂點(diǎn)，再把正三角形各邊分別5等分，連接中心和各分點(diǎn)，然后將每3個(gè)相鄰的小三角形拼在一起，就可將正

4、三角形的面積5等分了（圖略）。 （2）先連接正三角形的中心和各頂點(diǎn)，再把正三角形各邊分別m等分，連接中心和各個(gè)分點(diǎn)，然后把每3個(gè)相鄰的小三角形拼合在一起，即可把這個(gè)正三角形的面積m等分了。 理由：每個(gè)小三角形的底和高都相等，因此它們的面積都相等，每3個(gè)拼合在一起的圖形面積當(dāng)然也都相等，即把正三角形的面積m等分。 （3）先連接正方形的中心和各頂點(diǎn)，然后將正方形各邊m等分，連接中心和各分點(diǎn)，再依次將相鄰的4個(gè)小三角形拼合在一起，這就把這個(gè)正方形的面積m等分了。 （4）連接正n邊形的中心和各頂點(diǎn)，然后將這個(gè)正n邊形各邊m等分，再依次將n個(gè)相鄰的小三角形拼在一起，這就將這個(gè)正n邊形的面積m等分了。二、

5、操作型探索題 例2.已知線段ac8，bd6。 （1）已知線段acbd于o（o不與a、b、c、d四點(diǎn)重合），設(shè)圖6（1）、圖6（2）和圖6（3）中的四邊形abcd的面積分別為s1、s2、s3，則s1_，s2_，s3_；圖6 （2）如圖6（4），對于線段ac與線段bd垂直相交（垂足o不與點(diǎn)a、b、c、d重合）的任意情形，請你就四邊形abcd面積的大小提出猜想，并證明你的結(jié)論； （3）當(dāng)線段bd與ac（或ca）的延長線垂直相交時(shí)，猜想順次連接點(diǎn)a、b、c、d所圍成的封閉圖形的面積是多少。 分析：題（1）實(shí)際上是將bd沿ac由下向上移動(dòng)，計(jì)算bc在不同位置時(shí)四邊形abcd的面積，再觀察計(jì)算結(jié)果。題（2

6、）是ac沿bd左右移動(dòng)，計(jì)算四邊形abcd的面積，再觀察計(jì)算結(jié)果。題（3）是在更一般的情況下探索規(guī)律。這種由淺入深的探索方式是中考探索類問題的特點(diǎn)。 解：（1）24 24 24 （2）對于線段ac與線段bd垂直相交（垂足o不與點(diǎn)a、c、b、d重合）的任意情形，四邊形abcd的面積為定值24。證明如下： 顯然， （3）所圍成的封閉圖形的面積仍為24。三、觀察猜想型探索題 例3. 如圖7，正方形abcd的邊cd在正方形efgc的邊ce上，連接be、dg。圖7 （1）觀察并猜想be與dg之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論； （2）圖7中是否存在通過旋轉(zhuǎn)能夠互相重合的三角形？若存在，請說明旋轉(zhuǎn)過程；若不存

7、在，說明理由。 分析：證明題是直接給出結(jié)論，要求尋找結(jié)論成立的理由，而這一類探索題是題目沒有給出結(jié)論，要求自己下結(jié)論，并證明結(jié)論成立。這就要求有較強(qiáng)的觀察猜想能力。 解：（1）bedg，證明如下： 在rtbce和rtdcg中，bccd，cecg， bcedcg。故bedg。 （2）將rtbce繞點(diǎn)c順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，可與rtdcg重合。四、圖形計(jì)數(shù)型探索題 例4.如圖8，在圖（1）中，互不重疊的三角形有4個(gè)，在圖（2）中，互不重疊的三角形有7個(gè)，在圖（3）中，互不重疊的三角形有10個(gè)，則在圖（n）中互不重疊的三角形有_個(gè)（用含n的代數(shù)式表示）。圖8 分析：這類圖形計(jì)數(shù)型探索題有線段計(jì)數(shù)、射線計(jì)數(shù)

8、、角計(jì)數(shù)等。解這類題首先要通過幾個(gè)具體圖形尋找規(guī)律，然后寫出公式，或稱一般表達(dá)式。解題的關(guān)鍵是找規(guī)律。 解：圖（1）：1134；圖（2）：1237；圖（3）：13310。 所以圖（n）中有13n個(gè)互不重疊的三角形，應(yīng)填3n1。五、其他類型探索題 例5.如圖9，已知ac、ab是o的弦，abac。(1)(2)圖9 （1）在圖9（1）中，判斷能否在ab上確定一點(diǎn)e，使得ac2aeab，并說明理由； （2）在圖9（2）中，在條件（1）的結(jié)論下，延長ec到p。連接pb，如果pbpe，試判斷pb和o的位置關(guān)系，并說明理由。 分析：一般的探索題是由特殊到一般，探求結(jié)論的普遍性，而這道題是兩個(gè)小題互相獨(dú)立，只是基本圖形相同。題（1）是作出滿足線段關(guān)系式的圖形，題（2）是判斷圖形中的一些線段的相互關(guān)系。 解：（1）作法有多種，這里舉一例。如