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文檔簡介

1、第4章 粘性流體動力學(xué)基礎(chǔ) 4.1、流體的粘性及其對流動的影響 4.2、雷諾實驗、層流與湍流 4.3、粘性流體的應(yīng)力狀態(tài) 4.4、廣義牛頓內(nèi)摩擦定理(本構(gòu)關(guān)系) 4.5、粘性流體運動方程-Navier-Stokes方程 4.6、流動相似及相似準則*,4.1、流體的粘性及其對流動的影響 1、流體的粘滯性 在靜止狀態(tài)下,流體不能承受剪力。但是在運動狀態(tài)下,流體可以承受剪力,而且對于不同種流體所承受剪力大小是不同的。 流體的粘滯性是指,流體在運動狀態(tài)下抵抗剪切變形能力。 流體的剪切變形是指流體質(zhì)點之間出現(xiàn)相對運動。因此流體的粘滯性是指抵抗流體質(zhì)點之間的相對運動能力。,4.1、流體的粘性及其對流動的影

2、響 流體抵抗剪切變形能力,可通過流層之間的剪切力表現(xiàn)出來。(這個剪切力稱為內(nèi)摩擦力)。流體在流動過程中,必然要克服內(nèi)摩擦力做功,因此流體粘性是流體發(fā)生機械能損失的根源。 牛頓的內(nèi)摩擦定律(Newton,1686年) F=AU/h (U h F),4.1、流體的粘性及其對流動的影響 流層之間的內(nèi)摩擦力與接觸面上的壓力無關(guān)。 設(shè) 表示單位面積上的內(nèi)摩擦力(粘性切應(yīng)力),則 -流體的動力粘性系數(shù)。(量綱、單位) =M/L/T kg/m/s Ns/m2=Pa.s =/-流體的運動粘性系數(shù)(量綱、單位) =L2/T m2/s 水: 1.13910-6 空氣: 1.7810-5,一般流層速度分布不是直線,

3、如圖所示。 y u 0 =du/dy du/dy - 表示單位高度流層的速度增量,稱為速度梯度, 即流體微團剪切變形速度或角變形率。,4.1、流體的粘性及其對流動的影響,4.1 流體的粘性及其對流動的影響,流體切應(yīng)力與速度梯度的一般關(guān)系為: 1 . =0+du/dy,binghan流體,泥漿、血漿、牙膏等 2 . =(du/dy)0.5 ,偽塑性流體,尼龍、橡膠、油漆等 3 . =du/dy ,牛頓流體,水、空氣、汽油、酒精等 4 . =(du/dy)2,脹塑性流體,生面團、濃淀粉糊等 5 . 0,0,理想流體,無粘流體。,2、粘性流體運動特點 自然界中流體都是有粘性的,因此粘性對流體運動的影

4、響是普遍存在的。但對于具體的流動問題,粘性所起的作用并不一定相同。特別是象水和空氣這樣的小粘性流體,對于某些問題忽略粘性的作用可得到滿意的結(jié)果。因此為了簡化起見,提出了理想流體的概念和理論。,4.1、流體的粘性及其對流動的影響,以下用若干流動事例說明粘性流動與無粘流動的差別。 (1)繞過平板的均直流動 當理想流體繞過平板(無厚度)時,平板對流動不產(chǎn)生 任何影響,在平板表面,允許流體質(zhì)點滑過平板,但不允許 穿透平板(通常稱作為不穿透條件)。平板對流動無阻滯作 用,平板阻力為零。,4.1、流體的粘性及其對流動的影響,但如果是粘性流體,情況就不同了。由于存在粘性,緊貼平板表面的流體質(zhì)點粘附在平板上,

5、與平板表面不存在相對運動(既不允許穿透,也不允許滑動),這就是說,在邊界面上流體質(zhì)點必須滿足無滑移條件。隨著離開平板距離的增大,流體速度由壁面處的零值迅速增大到來流的速度。這樣在平板近區(qū)存在著速度梯度很大的流動,因此流層之間的粘性切應(yīng)力就不能忽略,對流動起控制作用。這個區(qū)稱為邊界層區(qū)。平板對流動起阻滯作用,平板的阻力不為零。即,4.1、流體的粘性及其對流動的影響,沿平板的邊界層實驗演示,4.1、流體的粘性及其對流動的影響,無滑移實驗演示,4.1、流體的粘性及其對流動的影響,(2)圓柱繞流 理想流體繞流圓柱時,在圓柱上存在前駐點A,后駐點D,最大速度點B、C。中心流線在前駐點分叉,后駐點匯合。根

6、據(jù)Bernoulli定理,流體質(zhì)點繞過圓柱所經(jīng)歷的過程為:在A-B(C)區(qū),流體質(zhì)點在A點流速為零,壓強最大,以后質(zhì)點的壓強沿程減小,流速沿程增大,到達B點流速最大,壓強最小。該區(qū)屬于增速減壓區(qū),順壓梯度區(qū);在B(C)-D區(qū),流體質(zhì)點的壓強沿程增大,流速沿程減小,到達D點壓強最大,流速為零。,該區(qū)屬于減速增壓區(qū),逆壓梯度區(qū)。在流體質(zhì)點繞過圓柱的過程中,只有動能、壓能的相互轉(zhuǎn)換,而無機械能的損失。在圓柱面上壓強分布對稱,無阻力存在。(著名的達朗貝爾疑題)。,4.1、流體的粘性及其對流動的影響,而粘性流體的繞流,存在很大的差別。由于流體與固壁表面的粘附作用,在物面近區(qū)將產(chǎn)生邊界層,受流體粘性的阻滯

7、作用,流體質(zhì)點在由A點到B點的流程中,將消耗部分動能用之克服摩擦阻力做功,以至使其無法滿足由B點到D點壓力升高的要求,導(dǎo)致流體質(zhì)點在BD流程內(nèi),流經(jīng)一段距離就會將全部動能消耗殆盡(一部分轉(zhuǎn)化為壓能,一部分克服摩擦阻力做功),于是在壁面某點速度變?yōu)榱悖⊿點)。,這種現(xiàn)象稱為邊界層分離,S 這一點稱為分離點,以后流來的流體質(zhì)點將從這里離開物面進入主流場中 。在分離點之間的空腔內(nèi)流體質(zhì)點發(fā)生倒流,從而在圓柱后面形成了旋渦區(qū)。這個旋渦區(qū)的出現(xiàn),使得圓柱壁面壓強分布發(fā)生了變化,前后不對稱(前駐點的壓強要明顯大于后駐點的壓強),因此出現(xiàn)了阻力D。 可見對繞圓球的粘性流動不僅存在摩擦阻力,還存在壓強不平衡造

8、成的壓差阻力,壓差阻力本質(zhì)上仍然是由于粘性造成的。,4.1、流體的粘性及其對流動的影響,繞圓球分離實驗演示(煙線),4.1、流體的粘性及其對流動的影響,粘性流體繞圓柱的數(shù)值模擬1,粘性流體繞圓柱的數(shù)值模擬2,有逆壓梯度時,邊界層變厚并可能分離(低速擴壓段中的邊界層與分離實驗演示:),4.1、流體的粘性及其對流動的影響,無逆壓梯度的平板邊界層沿流向會變厚但不分離,有摩擦阻力(平板邊界層流動實驗演示:),分離的必要條件是:存在粘性和逆壓梯度,粘性對流動的影響小結(jié): (1)粘性摩擦切應(yīng)力與物面的粘附條件(無滑移條件)是粘性流體運動有別與理想流體運動的主要標志。 (2)粘性的存在是產(chǎn)生阻力的主要原因。

9、 (3)粘性邊界層的分離必要條件是,流體的粘性和逆壓梯度。 (4)粘性對于研究阻力、邊界層及其分離、旋渦的擴散等問題起主導(dǎo)作用,不能忽略。,4.1、流體的粘性及其對流動的影響,雷諾(Osborne Reynolds,18421921,英國工程師兼物理學(xué)家,維多利亞大學(xué)(曼徹斯特)教授,最早詳細研究了管道中粘性流體的流動狀態(tài)及其影響因素。,4.2、雷諾實驗、層流與湍流,加大流速或減小粘性時,4.7 層流、紊流及其能量損失,流體運動中的基本型態(tài)(Reynolds轉(zhuǎn)捩試驗) 1880年,O.Reynolds(英國科學(xué)家)用管徑2.54cm、長度1.372m玻璃管進行了著名的流態(tài)轉(zhuǎn)捩試驗,并于1883

10、年在一篇論文中明確指出了管中水流存在層流和紊流(湍流)兩種流態(tài), 層流(Laminar flow) :管中流速小時,水流像一根玻璃柱,清晰透明。 紊流(Turbulent flow):在大流速時,水流渾濁,不再清晰,流速時大時小。 實驗發(fā)現(xiàn),不同的流態(tài)對于流動的摩擦阻力、壓力損失、速度分布等影響很大。,流態(tài)從層流到湍流的過渡稱為轉(zhuǎn)捩。實驗表明流態(tài)的轉(zhuǎn)捩不是單單取決于某一個流動參數(shù)V ,等,而是取決于無量綱的組合量 Re,這就是管道粘性運動的相似參數(shù):雷諾數(shù)。 對圓管流動,當Re2300時為湍流 在非管道流動中,也存在這兩種不同的流態(tài):層流與湍流,從層流到湍流的轉(zhuǎn)捩也與雷諾數(shù)大小有關(guān)。,雷諾數(shù)之

11、所以對流態(tài)起著重要作用,從而對粘性流體運動的其他特性起著重要作用,在于雷諾數(shù)具有很強的物理意義。,4.2、雷諾實驗、層流與湍流,雷諾數(shù)的物理意義:雷諾數(shù)代表作用在流體微團上的慣性力與粘性力之比,慣性力正比于質(zhì)量乘加速度,其中 質(zhì)量正比于: L 3 加速度正比于: V2 L -1 從而慣性力正比于: V2 L2,粘性力正比于剪應(yīng)力乘面積,其中 剪應(yīng)力正比于: V L-1 , 面積正比于: L 2 從而粘性力正比于: VL,因此慣性力與粘性力之比正比于:V L / , 此即雷諾數(shù),4.2、雷諾實驗、層流與湍流,層流與 湍流的對比,管道雷諾實驗,平板邊界層:上: 湍流 下:層流,4.2、雷諾實驗、層

12、流與湍流,湍流的定義 最早對紊流的描述可追溯到意大利文藝復(fù)興時期的科學(xué)和藝術(shù)全才Da Vinci(1452-1519),他對紊流的流動進行了細致的觀察,在一副關(guān)于紊流的名畫中寫到:烏云被狂風(fēng)卷散撕裂,沙粒從海灘上揚起,樹木彎下了腰。,4.7 層流、紊流及其能量損失,紊流是一種雜亂無章、互相混摻,不規(guī)則的隨機運動。 近年的認識: 紊流中即包含著有序的大尺度旋渦結(jié)構(gòu),也包含著無序的、隨機的小尺度旋渦結(jié)構(gòu)。紊流物理量的隨機脈動就是由這些大小不同尺度渦共同作用的結(jié)果。 紊流的擴散性 由于紊流質(zhì)點的脈動和混摻,致使紊流中動量、能量、熱量、質(zhì)量、濃度等物理量的擴散大大增加,明顯大于層流的情況。 紊流能量的

13、耗散性 紊流中的小尺度渦將產(chǎn)生大的瞬時速度梯度,從而引起較大的粘性耗散作用,這是由于紊動渦體產(chǎn)生的,比層流大得多。 在管道紊流中,由于流體質(zhì)點的隨機脈動,致使流層之間的動量發(fā)生不斷的交換,快層流體速度減慢,慢層流體速度增大,造成時均流速分布更加均勻。,4.7 層流、紊流及其能量損失,4.7 層流、紊流及其能量損失,6、Reynolds時均值的概念 考慮到紊流的隨機性,1895年Reynolds首次將瞬時紊流看作為時均運動(描述流動的平均趨勢)+脈動運動(偏離時均運動的程度)。 在紊流場中任一點的瞬時速度u可分解為時均速度脈動速度。,4.7 層流、紊流及其能量損失,式中,時均速度定義為 上式中,

14、均值時間T,要遠小于時均運動的特征時間而又遠大于脈動運動的特征時間。,層流與湍流的區(qū)別 層流 湍流,1. 外觀 2. Re 3. 質(zhì)量與動量交換 4. 速度分布 5. 壁面摩擦應(yīng)力 6. 剪應(yīng)力,流動紊亂不規(guī)則,外表粗糙 較大 宏觀微團縱、橫向大的質(zhì)量、動量交換 較飽滿的對數(shù)分布,壁面附近速度和梯度相對較大 大 牛頓應(yīng)力及雷諾應(yīng)力,色線規(guī)則,流動分層,外表光滑 較小 層間只限于分子間的較小的擴散 較尖瘦的拋物線分布,壁面附近速度和梯度都相對較小 小 牛頓應(yīng)力,4.3、粘性流體的應(yīng)力狀態(tài),1、理想流體和粘性流體作用面受力差別 流體處于靜止狀態(tài),只能承受壓力,幾乎不能承受拉力和剪力,不具有抵抗剪切

15、變形的能力。理想流體在運動狀態(tài)下流體質(zhì)點之間可以存在相對運動,但不具有抵抗剪切變形的能力。因此,作用于流體內(nèi)部任意面上的力只有正(法)向力,無切向力。 粘性流體在運動狀態(tài)下,流體質(zhì)點之間可以存在相對運動,流體具有抵抗剪切變形的能力。因此,作用于流體內(nèi)部任意面上力既有正向力,也有切向力。,2、粘性流體中的應(yīng)力狀態(tài) 在粘性流體運動中,由于存在切向力,過任意一點單位面積上的表面力就不一定垂直于作用面,且各個方向的大小也不一定相等。因此,作用于任意方向微元面積上合應(yīng)力可分解為法向應(yīng)力和切向應(yīng)力。如果作用面的法線方向與坐標軸重合,則合應(yīng)力可分解為三個分量,其中垂直于作用面的為法應(yīng)力,另外兩個與作用面相切

16、為切應(yīng)力,分別平行于另外兩個坐標軸,為切應(yīng)力在坐標軸向的投影分量。,4.3、粘性流體的應(yīng)力狀態(tài),由此可見,用兩個下標可把各個應(yīng)力分量的作用面方位和投影方向表示清楚。其中第一個下標表示作用面的法線方向,第二個下標表示應(yīng)力分量的投影方向。 如,對于x面的合應(yīng)力可表示為: y面的合應(yīng)力表達式為: z面的合應(yīng)力表達式為:,4.3、粘性流體的應(yīng)力狀態(tài),如果在同一點上給定三個相互垂直坐標面上的應(yīng)力,那么過該點任意方向作用面上的應(yīng)力可通過坐標變換唯一確定。,因此,我們把三個坐標面上的九個應(yīng)力分量稱為該點的應(yīng)力狀態(tài),由這九個應(yīng)力分量組成的矩陣稱為應(yīng)力矩陣(或應(yīng)力張量)。根據(jù)剪力互等定理,在這九分量中,只有六個

17、是獨立的,其中三法向應(yīng)力和三個切向應(yīng)力。這個應(yīng)力矩陣是個對稱矩陣。,4.3、粘性流體的應(yīng)力狀態(tài),(1)在理想流體中,不存在切應(yīng)力,三個法向應(yīng)力相等,等于該點壓強的負值。即: (2)在粘性流體中,任意一點的任何三個相互垂直面上的法向應(yīng)力之和為一個不變量,并定義此不變量的平均值為該點的平均壓強的負值。即: (3)在粘性流體中,任意面上的切應(yīng)力一般不為零。,4.3、粘性流體的應(yīng)力狀態(tài),4.4、廣義牛頓內(nèi)摩擦定理(本構(gòu)關(guān)系),Stokes(1845年)根據(jù)牛頓內(nèi)摩擦定理(粘性流體作直線層狀流動時,流層之間的切應(yīng)力與速度梯度成正比)的啟發(fā),并在做了一些合理的假設(shè)之后, 將牛頓內(nèi)摩擦定律進行推廣,提出廣義

18、牛頓內(nèi)摩擦定理-應(yīng)力應(yīng)變率關(guān)系(或稱本構(gòu)關(guān)系):,這個關(guān)系將六個應(yīng)力與微團的變形率直接聯(lián)系(線性關(guān)系)。滿足上述關(guān)系的流體稱為牛頓流體。,對于不可壓縮流體,上述應(yīng)力應(yīng)變率關(guān)系可化簡為:,4.4、廣義牛頓內(nèi)摩擦定理(本構(gòu)關(guān)系),4.5、粘性流體運動方程-Navier-Stokes方程,1、流體運動的基本方程 利用牛頓第二定理推導(dǎo)以應(yīng)力形式表示的流體運動微分方程。像推導(dǎo)歐拉方程一樣,在流場中取一個微元六面體進行分析,以x方向為例,建立運動方程?,F(xiàn)在由于是粘性流體,作用在中心P點處不僅有法向應(yīng)力,而且還有切向應(yīng)力,控制面上的應(yīng)力可用中心點處應(yīng)力泰勒展開表示。,作用在ABCD和ABCD兩個x側(cè)面的法向

19、力差是:,作用在ABBA和CDCD兩個側(cè)面y的x方向切向力差是:,作用在ADAD和BCBC兩個z側(cè)面的x方向切向力差是:,仍然設(shè)單位質(zhì)量徹體力分量為:fx , fy , fz ,按照牛頓第二定律:,是加速度或速度的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)。,4.5、粘性流體運動方程-Navier-Stokes方程,即,將反映粘性應(yīng)力與應(yīng)變率關(guān)系的廣義牛頓內(nèi)摩擦定理代入上式右端,即得到粘性流動的運動方程 NS 方程,當粘性系數(shù)為常數(shù)時,為,4.5、粘性流體運動方程-Navier-Stokes方程,其中 是拉普拉斯算子:,可見,對于理想流右端的粘性項為零,方程化為歐拉方程。,4.5、粘性流體運動方程-Navier-Stokes方

20、程,當不可壓時,根據(jù)連續(xù)方程:,則不可壓粘流的 NS方程寫為:,4.5、粘性流體運動方程-Navier-Stokes方程,不可壓粘流 N-S方程比較簡捷的向量形式:,其中 為速度矢量 為哈密頓算子 為拉普拉斯算子,4.5、粘性流體運動方程-Navier-Stokes方程,與第二章一樣,這個方程中速度的隨體導(dǎo)數(shù)可以加以分解,把渦量分離出來,寫成格羅米柯形式的方程也稱為蘭姆型方程。這樣有利于研究流體的有旋性:,4.5、粘性流體運動方程-Navier-Stokes方程,2、伯努利(Bernoulli)積分 伯努利家族(瑞士)前后四代,數(shù)十人,形成歷史上罕見的數(shù)學(xué)大家族。其中, Bernoulli,

21、Nocholas(尼古拉斯伯努利),1623-1708,瑞士伯努利數(shù)學(xué)家族第一代。Bernoulli, Johann(約翰伯努利),1667-1748,伯努利數(shù)學(xué)家族第二代,提出著名的虛位移原理。Bernoulli, Daniel(丹尼爾伯努利),1700-1782,伯努利數(shù)學(xué)家族第三代, Johann.伯努利的兒子,著有流體動力學(xué)(1738),將微積分方法運用到流體動力學(xué)中,提出著名的伯努利方程。,4.5、粘性流體運動方程- Bernoulli積分,與Bernoulli積分理想流體運動方程類似,積分N-S方程假定: (1)不可壓縮粘性流體;(2)定常流動;(3)質(zhì)量力有勢; (4)沿流線積分

22、。 沿流線積分N-S方程,可推導(dǎo)出粘性不可壓流體的能量方程。與理想流體能量不同的是,方程中多了一項因粘性引起的損失項,表示流體質(zhì)點克服粘性應(yīng)力所消耗的能量。 在粘性不可壓縮定常流動中,任取一條流線,在流線上某處取一微段ds,該處所對應(yīng)的流速為,4.5、粘性流體運動方程- Bernoulli積分,對不可壓N-S方程的三個分量分別乘 dx、dy、dz后相加得:,4.5、粘性流體運動方程- Bernoulli積分,與歐拉方程沿流線積分類似,注意到沿流線有流線方程,設(shè)徹體力有勢,因此有: 不可壓縮流動,有: 粘性項照寫為:,左邊三項之和為:,4.5、粘性流體運動方程- Bernoulli積分,與不可壓

23、理想流體能量微分方程相比,在上式中多了一項與粘性有關(guān)的項,物理上表示單位質(zhì)量流體質(zhì)點克服粘性應(yīng)力所做的功,代表機械能的損失,不可能再被流體質(zhì)點機械運動所利用。故稱其為單位質(zhì)量流體的機械能損失或能量損失。 對于質(zhì)量力只有重力的情況,方程的形式變?yōu)?方程兩邊同除以 g,得到 表示單位重量流體總機械能量沿流線的變化。,從而不可壓N-S方程,在定常沿流線積分為:,4.5、粘性流體運動方程- Bernoulli積分,上式與第二章中得到的有粘性損失一維能量方程形式相同。其中 為單位重量流體所具有的機械能, 是粘性力做功使每單位重量流體損失的能量。,如果令: 方程變?yōu)? 沿著同一條流線積分,得到:,4.5、

24、粘性流體運動方程- Bernoulli積分,上式說明,在粘性流體中,沿同一條流線上單位重量流體的所具有的機械能總是沿程減小的,不能保持守恒(理想流體時,總機械能是保持守恒的,無機械能損失),減小的部分代表流體質(zhì)點克服粘性應(yīng)力做功所消耗的機械能量。粘性流體的Bernoulli積分方程說明,粘性流體在流動中,無論勢能、壓能和動能如何轉(zhuǎn)化,但總機械能是沿程減小的,總是從機械能高的地方流向機械能低的地方。 應(yīng)該指出,由于粘性流體必然存在剪切層是有旋的,上述對N-S方程的積分只能沿流線進行。,4.5、粘性流體運動方程- Bernoulli積分,y1,y2,H1,H2,靜力水頭線,總水頭線,1,2,y,x

25、,本章基本要求 了解流體的粘性及其對流動的影響 了解雷諾實驗、掌握雷諾數(shù)的定義與意義、層流與湍流的 特征與區(qū)別 了解粘性流體的應(yīng)力狀態(tài) 了解廣義牛頓內(nèi)摩擦定理(本構(gòu)關(guān)系) 5. 了解粘性流體運動方程-N-S方程,掌握N-S方程各項所代表的意義,NS方程為非線性偏微分方程,它的求解一般需要借助計算機用數(shù)值方法求解。而在一些簡單的粘流問題上,NS方程也有解析解。 例:求解二維平行壁之間的不可壓粘性流動,二壁固定。,解: 設(shè)流動定常,徹體力可略。 二維不可壓 NS 方程寫為:,3. N-S方程的解析解舉例*,4.5、粘性流體運動方程- N-S方程的解析解舉例*,由于 ,第二個方程化為:,即在流動橫截

26、面壓強不變。又第一個方程化為:,對 y 積分,注意到 不是 y 的函數(shù),對 y 積分時當常數(shù)看,4.5、粘性流體運動方程- N-S方程的解析解舉例*,由邊界條件定常數(shù) C1 和 C2 :y=b 處,vx=0,定得 C10, C2b2/2,于是:,即 vx 在y 向作拋物線分布。中心點流速為: 表明沿x軸 是個負值,即壓強是逐步下降的。一段長度 L 上的壓降是:,這個壓降是用于克服壁面摩擦阻力的。,4.5、粘性流體運動方程- N-S方程的解析解舉例*,管道平均流速為:,壁面摩擦應(yīng)力為:,一段長 L 的壁面上摩擦應(yīng)力是: 兩側(cè)壁面上的總摩擦力是,這個力剛好等于壓降乘以通道面積,說明流動的損失完全消耗在克服壁面摩擦上了

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