計算與證明第三章

1、67 概率論計算與證明題 第二章 條件概率與統(tǒng)計獨立性1、字母M，A，X，A，M分別寫在一張卡片上，充分混合后重新排列，問正好得到順序MAAM的概率是多少？2、有三個孩子的家庭中，已知有一個是女孩，求至少有一個男孩的概率。3、若M件產(chǎn)品中包含m件廢品，今在其中任取兩件，求：（1）已知取出的兩件中有一件是廢品的條件下，另一件也是廢品的條件概率；（2）已知兩件中有一件不是廢品的條件下，另一件是廢品的條件概率；（3）取出的兩件中至少有一件是廢品的概率。4、袋中有a只黑球，b吸白球，甲乙丙三人依次從袋中取出一球（取后來放回），試分別求出三人各自取得白球的概率（）。5、從0，1，2，9中隨機地取出兩個數(shù)

2、字，求其和大于10的概率。6、甲袋中有a只白球，b只黑球，乙袋中有吸白球，吸黑球，某人從甲袋中任出兩球投入乙袋，然后在乙袋中任取兩球，問最后取出的兩球全為白球的概率是多少？7、設(shè)的N個袋子，每個袋子中將有a只黑球，b只白球，從第一袋中取出一球放入第二袋中，然后從第二袋中取出一球放入第三袋中，如此下去，問從最后一個袋子中取出黑球的概率是多少？8、投硬幣n回，第一回出正面的概率為c，第二回后每次出現(xiàn)與前一次相同表面的概率為p，求第n回時出正面的概率，并討論當時的情況。9、甲乙兩袋各將一只白球一只黑球，從兩袋中各取出一球相交換放入另一袋中，這樣進行了若干次。以pn，qn，rn分別記在第n次交換后甲袋

3、中將包含兩只白球，一只白球一只黑球，兩只黑球的概率。試導出pn+1，qn+1，rn+1用pn，qn，rn表出的關(guān)系式，利用它們求pn+1，qn+1，rn+1，并討論當時的情況。10、設(shè)一個家庭中有n個小孩的概率為 這里。若認為生一個小孩為男孩可女孩是等可能的，求證一個家庭有個男孩的概率為。11、在上題假設(shè)下：（1）已知家庭中至少有一個男孩，求此家庭至少有兩個男孩的概率；（2）已知家庭中沒有女孩，求正好有一個男孩的概率。12、已知產(chǎn)品中96%是合格品，現(xiàn)有一種簡化的檢查方法，它把真正的合格品確認為合格品的概率為0.98，而誤認廢品為合格品的概率為0.05，求在簡化方法檢查下，合格品的一個產(chǎn)品確實

4、是合格品的概率。13、設(shè)A，B，C三事件相互獨立，求證皆與C獨立。14、若A，B，C相互獨立，則亦相互獨立。15、證明：事件相互獨立的充要條件是下列2n個等式成立：，其中取或。16、若A與B獨立，證明中任何一個事件與中任何一個事件是相互獨立的。17、對同一目標進行三次獨立射擊，第一，二，三次射擊的命中概率分別為0.4，0.5，0.7，試求（1）在這三次射擊中，恰好有一次擊中目標的概率；（2）至少有一次命中目標的概率。18、設(shè)相互獨立，而，試求：（1）所有事件全不發(fā)生的概率；（2）諸事件中至少發(fā)生其一的概率；（3）恰好發(fā)生其一的概率。19、當元件k或元件或都發(fā)生故障時電路斷開，元件k發(fā)生故障的概

5、率等于0.3，而元件k1，k2發(fā)生故障的概率各為.2，求電路斷開的概率。20、說明“重復獨立試驗中，小概率事件必然發(fā)生”的確切意思。21、在第一臺車床上制造一級品零件的概率等于0.7，而在第二臺車床上制造此種零件的概率等于0.8，第一臺車床制造了兩個零件，第二臺制造了三個零件，求所有零件均為一級品的概率。22、擲硬幣出現(xiàn)正面的概率為p，擲了n次，求下列概率：（1）至少出現(xiàn)一次正面；（2）至少出現(xiàn)兩次正面。23、甲，乙，丙三人進行某項比賽，設(shè)三個勝每局的概率相等，比賽規(guī)定先勝三局者為整場比賽的優(yōu)勝者，若甲勝了第一，三局，乙勝了第二局，問丙成為整場比賽優(yōu)勝者的概率是多少？24、甲，乙均有n個硬幣，

6、全部擲完后分別計算擲出的正面數(shù)相等的概率。25、在貝努里試驗中，事件A出現(xiàn)的概率為p，求在n次獨立試驗中事件A出現(xiàn)奇數(shù)次的概率。26、在貝努里試驗中，若A出現(xiàn)的概率為p，求在出現(xiàn)m次A之前出現(xiàn)k次A的概率。27、甲袋中有只白球和一只黑球，乙袋中有N只白球，每次從甲，乙兩袋中分別取出一只球并交換放入另一袋中去，這樣經(jīng)過了n次，問黑球出現(xiàn)在甲袋中的概率是多少？并討論時的情況。28、某交往式計算機有20個終端，這些終端被各單位獨立操作，使用率各為0.7，求有10個或更多個終端同時操作的概率。29、設(shè)每次射擊打中目標的概率等于0.001，如果射擊5000次，試求打中兩彈或兩彈以上的概率。30、假定人在

7、一年365日中的任一日出生的概率是一樣的，在50個人的單位中有兩面三刀個以上的人生于元旦的概率是多少？31、一本500頁的書，共有500個錯字，每個字等可能地出現(xiàn)在每一頁上，試求在給定的一頁上至少有三個錯字的概率。32、某疫苗中所含細菌數(shù)服從普阿松分布，每1毫升中平均含有一個細菌，把這種疫苗放入5只試管中，每試管放2毫升，試求：（1）5只試管中都有細菌的概率；（2）至少有3只試管中有細菌的概率。33、通過某交叉路口的汽車可看作普阿松過程，若在一分鐘內(nèi)沒有車的概率為0.2，求在2分鐘內(nèi)有多于一車的概率。34、若每蠶產(chǎn)n個卵的概率服從普阿松分布，參數(shù)為，而每個卵變?yōu)槌上x的概率為p，且各卵是否變?yōu)槌?/p>

8、蟲彼此間沒有關(guān)系，求每蠶養(yǎng)出k只小蠶的概率。35、某車間宣稱自己產(chǎn)品的合格率超過99%，檢驗售貨員從該車間的10000件產(chǎn)品中抽查了100件，發(fā)現(xiàn)有兩件次品，能否據(jù)此斷定該車間謊報合格率？36、在人群中男人患色盲的占5%，女人患色盲的占0.25%，今任取一人后檢查發(fā)現(xiàn)是一個色盲患者，問它是男人的概率有多大?37、四種種子混在一起，所占的比例是甲：乙：丙：丁=15：20：30：35，各種種子不同的發(fā)芽率是： 2%，3%，4%，5%，已從這批種子中任送一粒觀察,結(jié)果未發(fā)芽，問它是甲類種子的概率是多少?38、對同一目標由3名射手獨立射擊的命中率是0.4、0.5,和0.7，求三人同時各射一以子彈而沒有

9、一發(fā)中靶的概率?39、有兩個袋子，每個袋子裝有a只黑球，b只白球，從第一個中任取一球放入第二個袋中，然后從第二個袋中取出一黑球的概率是多少？40、已知產(chǎn)品中96%是合格的，現(xiàn)有一種簡單的檢查方法，它把真正的合格品確認為合格品的概率為0.98，而誤認廢品為合格品的概率為0.05，求此簡化法檢查下為合格品的一個產(chǎn)品確實是合格品的概率。41、某射手用三支槍各向靶射一發(fā)子彈，假設(shè)三支槍中靶的概率分別為，結(jié)果恰有兩彈中靶，問槍射中的概率為多少?42、已知產(chǎn)品中96%是合格的，現(xiàn)有一種簡化的檢查方法，它把真正的合格品確認為合格品的概率為0.98，而誤認廢品為合格品的概率為0.05,求此簡化法檢查下為合格品

10、的一個產(chǎn)品確實是合格品的概率。43、設(shè)第一個盒子中有兩個白球和一個黑球，第二個盒中有三個白球和一個黑球，第三個盒子中有兩個白球和兩個黑球。此三個盒子外形相同，某人任取一個盒子，再從中任取一個球，求他取得白球的概率。44、用血清蛋白的方法診斷肝癌，令“被檢查者患有肝癌”，“判斷被檢查者患有肝癌”。設(shè)現(xiàn)有一個人診斷患有肝癌，求他確有肝癌的概率。45、一批零件共100個，次品有10個。每次從其中任取1個零件，菜取3次，取出后不放回。示第3次才取得合格品的概率。46、10個零件中有3個次品，7個合格品，每次從其中任取1個零件，共取3次，取后不放回。求：（1）這3次都抽不到合格品的概率；（2）這3次至少

11、有1次抽到合格品的概率。47、一批產(chǎn)品中有15%的次品。進行獨立重復抽樣檢查，問取出的20個樣品中最大可能的次品數(shù)是多少？并求其概率。48、一電話交換臺每分鐘的呼喚次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布。求（1）每分鐘恰有6次呼喚的概率；（2）每分鐘呼喚次數(shù)不超過10的概率。49、有一汽車站有大量汽車通過，設(shè)每輛汽車在一天某段時間出事故的概率為0.0001。在某天該段時間內(nèi)有1000輛汽車通過，求事故次數(shù)不少于的概率。50、某商店出售某種貴重物品，根據(jù)以往的經(jīng)驗，每月銷售量服從參數(shù)的泊松分布。問在月初進貨時，要庫存多少件才能以99。2%的概率充分滿足顧客的需要？51、從某廠產(chǎn)品中任取200件，檢查結(jié)果發(fā)現(xiàn)

12、其中有4件廢品。我們能否認為該產(chǎn)品的廢品率不超過0.005？52、若是三個獨立的事件，則亦是獨立的。53、設(shè)P(A)0，若A與B相互獨立,則P(B|=P(B)。54、若相互獨立，則和及與亦獨立。55、設(shè)P(A)0, P(B)0， 證明A和B相互獨立與A和B互不相容不能同時成立。56、求證：如果，則。57、證明：若事件與事件相互獨立，則事件與事件相互獨立。58、設(shè)A，B，C三事件相互獨立，求證皆與C獨立。59、若A，B，C相互獨立，則亦相互獨立。60、若A與B獨立，證明中任何一個事件與中任何一個事件是相互獨立的。第二章 解答1、解：自左往右數(shù)，排第i個字母的事件為Ai，則，。所以題中欲求的概率為

13、2、解：總場合數(shù)為23=8。設(shè)A=三個孩子中有一女，B=三個孩子中至少有一男，A的有利場合數(shù)為7，AB的有利場合為6，所以題中欲求的概率P（B|A）為.3、解：（1）M件產(chǎn)品中有m件廢品，件正品。設(shè)A=兩件有一件是廢品，B=兩件都是廢品，顯然，則 ， 題中欲求的概率為.（2）設(shè)A=兩件中有一件不是廢品，B=兩件中恰有一件廢品，顯然，則 .題中欲求的概率為.（3）P取出的兩件中至少有一件廢品=.4、解：A=甲取出一球為白球，B=甲取出一球后，乙取出一球為白球，C=甲，乙各取出一球后，丙取出一球為白球。則 甲取出的球可為白球或黑球，利用全概率公式得 1， 乙取球的情況共有四種，由全概率公式得.5、

14、解：設(shè)B=兩數(shù)之和大于10，Ai=第一個數(shù)取到i，。則，;。由全概率公式得欲求的概率為.6、解：設(shè)A1=從甲袋中取出2只白球，A2=從甲袋中取出一只白球一只黑球，A3=從甲袋中取出2只黑球，B=從乙袋中取出2只白球。則由全概率公式得.7、解：A1=從第一袋中取出一球是黑球，Ai=從第一袋中取一球放入第二袋中，再從第袋中取一球放入第i袋中，最后從第i袋中取一球是黑球，。則.一般設(shè)，則，得.由數(shù)學歸納法得 .8、解：設(shè)Ai=第i回出正面，記，則由題意利用全概率公式得 。已知，依次令可得遞推關(guān)系式 解得當時利用等比數(shù)列求和公式得 （*）（1）若，則；（2）若，則當時，；當時，。若，則若，則不存在。（

15、3）若，則由（*）式可得9、解：令分別表示第i次交換后，甲袋中有兩只白球，一白一黑，兩黑球的事件，則由全概率公式得，.這里有，又，所以，同理有，再由得。所以可得遞推關(guān)系式為，初始條件是甲袋一白一黑，乙袋一白一黑，即，由遞推關(guān)系式得，.10、解：設(shè)An=家庭中有n個孩子，n=0,1,2,，B=家庭中有k個男孩。注意到生男孩與生女孩是等可能的，由二項分布得由全概率公式得（其中）11、解：（1）設(shè)A=至少有一男孩，B=至少有2個男孩。，由得 ,.（2）C=家中無女孩=家中無小孩，或家中有n個小孩且都是男孩，n是任意正整數(shù)，則 A1=家中正好有一個男孩=家中只有一個小孩且是男孩，則，且，所以在家中沒有

16、女孩的條件下，正好有一個男孩的條件概率為.12、解：設(shè)A=產(chǎn)品確為合格品，B=檢查后判為合格品。已知，求。由貝葉斯公式得.13、證：（1）， 與C獨立。 （2） AB與C獨立。（3） ，與C獨立。14、證： ，同理可證 ,.又有 ，所以相互獨立。15、證：必要性。事件相互獨立，用歸納法證。不失為一般性，假設(shè)總是前連續(xù)m個集取的形式。當時，。設(shè)當時有,則當時從而有下列2n式成立：,其中取或。 充分性。設(shè)題中條件成立，則, (1). (2) , . (1)+(2)得 。 (3)同理有,兩式相加得. （4）(3)+(4)得。同類似方法可證得獨立性定義中個式子， 相互獨立。16、證： ，同理可得 。證

17、畢。17、解：P三次射擊恰擊中目標一次P至少有一次命中=1-P未擊中一次18、解：（1）P所有的事件全不發(fā)生。（2）P至少發(fā)生其一。（3）P恰好發(fā)生其一。19、解：本題中認為各元件發(fā)生故障是相互獨立的。記=元件發(fā)生故障，=元件發(fā)生故障，=元件發(fā)生故障。則P電路斷開。20、解：以表事件“A于第k次試驗中出現(xiàn)”，由試驗的獨立性得，前n次試驗中A都不出現(xiàn)的概率為。于是前n次試驗中，A至少發(fā)生一次的概率為。這說明當重復試驗的次數(shù)無限增加時，小概率事件A至少發(fā)生一次的概率可以無限地向1靠近，從而可看成是必然要發(fā)生的。21、解：我們認為各車床或同一車床制造的各個零件的好壞是相互獨立的，由此可得。22、解：

18、利用二項分布得 。23、解：（1）設(shè)A，B，C分別表示每局比賽中甲，乙丙獲勝的事件，這是一個的多項分布。欲丙成為整場比賽的優(yōu)勝者，則需在未來的三次中，丙獲勝三次；或在前三次中，丙獲勝兩次乙勝一次，而第四次為丙獲勝。故本題欲求的概率為。24、解：利用兩個的二項分布，得欲副省長的概率為。25、解：事件A出現(xiàn)奇數(shù)次的概率記為b，出現(xiàn)偶數(shù)次的概率記為a，則，。利用，可解得事件A出現(xiàn)奇數(shù)次的概率為。順便得到，事件A出現(xiàn)偶數(shù)次的概率為。26、解：事件“在出現(xiàn)m次之前出現(xiàn)k次A”，相當于事件“在前次試驗中出現(xiàn)k次A，次，而第次出現(xiàn)”，故所求的概率為注：對事件“在出現(xiàn)m次之前出現(xiàn)k次A”，若允許在出現(xiàn)m次之前

19、也可以出現(xiàn)次A，次A等，這就說不通。所以，事件“在出現(xiàn)m次之前出現(xiàn)k次A”的等價事件，是“在出現(xiàn)m次之前恰出現(xiàn)k次A”。而對事件“在出現(xiàn)m次之前出現(xiàn)k次A之前”（記為B）就不一樣，即使在出現(xiàn)m次之前出現(xiàn)了次A，次A等，也可以說事件B發(fā)生，所以事件B是如下諸事件的并事件：“在出現(xiàn)m次之前恰出現(xiàn)i次A”，。27、解：設(shè)經(jīng)n次試驗后，黑球出現(xiàn)在甲袋中，經(jīng)n次試驗后，黑球出現(xiàn)在乙袋中，第n次從黑球所在的袋中取出一個白球。記 。當時，由全概率公式可得遞推關(guān)系式：,即 。初始條件，由遞推關(guān)系式并利用等比級數(shù)求和公式得。若，則時，當時。若，則對任何n有。若，則（N越大，收斂速度越慢）。28、解：P=有10個

20、或更多個終端同時操作=P有10個或不足10個終端不在操作。29、解：利用普阿松逼近定理計算，則打中兩彈或兩終以上的概率為30、解：事件“有兩個以上的人生于元旦”的對立事件是“生于元旦的人不多于兩個”利用的二項分布得欲求的概率為。31、解：每個錯字出現(xiàn)在每頁上的概率為，500個錯字可看成做500次努里試驗，利用普阿松逼近定理計算，得P某頁上至少有三個錯字=1-P某頁上至多有兩個錯字.32、解：每一毫升平均含一個細菌，每2毫升含2個，所以每只試管中含有細菌數(shù)服從的普阿松分布。由此可得P5個試管中都有細菌；P至少有三個試管中有細菌.計算時利用了的二項分布。33、解：設(shè)一分鐘內(nèi)通過某交叉路口的汽車數(shù)服

21、從的普阿松分布，則P1分鐘內(nèi)無車由此得，2分鐘內(nèi)通過的汽車數(shù)服從的普阿松分布，從而2分鐘內(nèi)多于一車的概率為.34、解：若蠶產(chǎn)i個卵，則這i個卵變?yōu)槌上x數(shù)服從概率為的二項分布，所以P蠶養(yǎng)出n只小蠶35、解：假設(shè)產(chǎn)品合格率，不妨設(shè)。現(xiàn)從10000件中抽100件，可視為放回抽樣。而100件產(chǎn)品中次品件數(shù)服從二項分布，利用普阿松逼近定理得，次品件數(shù)不小于兩件的概率為此非小概率事件，所以不能據(jù)此斷定該車間謊報合格率。（注意，這并不代表可據(jù)此斷定，該車間沒有謊報合格率。）36、解: 設(shè)任取一人是男性 任取一人是女性 任取一人檢查患色盲 則 故所求概率為由bayes公式可得37、解：設(shè)分別表示任取一粒種子屬于甲、已、丙、丁的事件。而表示任取一粒種子，它不發(fā)芽的事件，則 又 由Bayes公式，所求概率38、解：記 =第i名射手射中目標，則相互獨立。所求概率39、解：設(shè)從第一個袋子摸出黑球A，從第二個袋中摸出黑球為