初中數(shù)學(xué)相似三角形的判定定理

1、相似三角形的判定 教學(xué)目標(biāo)1知道相似三角形的定義及有關(guān)概念，知道相似比為1的相似三角形是全等三角形；會(huì)讀、會(huì)用 “”符號(hào)；能準(zhǔn)確寫(xiě)出相似三角形的對(duì)應(yīng)角與對(duì)應(yīng)邊的比例式；2、掌握相似三角形判定的預(yù)備定理及相似三角形的判定定理1；3、綜合運(yùn)用所學(xué)兩個(gè)定理，來(lái)判定三角形相似，計(jì)算相似三角形的邊長(zhǎng).4、了解判定定理1的證題方法與思路，應(yīng)用判定定理l. 一、復(fù)習(xí)1什么叫做全等三角形？它在形狀上、大小上有何特征？ 2兩個(gè)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角有什么關(guān)系？ 3、復(fù)習(xí)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理（文字表述及基本圖形）本節(jié)學(xué)習(xí)相似三角形的定義及相關(guān)判定定理. 二、學(xué)習(xí)新課相似三角形的概念： 我們把對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)

2、邊成比例的兩個(gè)三角形，叫做相似三角形.相似三角形的概念作為相似三角形的判定方法之一.說(shuō)明相似三角形的本質(zhì)特征是“具有相同形狀”，它們的大小不一定相等，這是和全等三角形的重要區(qū)別兩個(gè)三角形形狀相同，就是他們的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例相似比的概念 ：相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比，叫做相似比（或相似系數(shù)） 說(shuō)明兩個(gè)相似三角形的相似比具有順序性 全等三角形的相似比為1，這也說(shuō)明了全等三角形是相似三角形的特殊情形注：在證兩個(gè)三角形相似時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)位置上類(lèi)似地，如果兩個(gè)邊數(shù)相等的多邊形的對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比，叫做相似比.如圖，是相

3、似三角形，則相似可記作.由于，則與的相似比，則與的相似比.猜測(cè)兩個(gè)三角形全等與相似的區(qū)別與聯(lián)系：當(dāng)兩個(gè)相似三角形的相似比時(shí)，這兩個(gè)相似三角形就成為全等三角形，因此全等三角形是相似三角形的特例.想一想：如果，那么與相似嗎？利用相似三角形的定義說(shuō)理.得到相似三角形具有傳遞性（性質(zhì)）如果兩個(gè)三角形分別與同一個(gè)三角形相似，那么這兩個(gè)三角形也相似.思考問(wèn)題：（l）所有等腰三角形都相似嗎？所有等邊三角形呢？為什么？ （2）所有直角三角形都相似嗎？所有等腰直角三角形呢？為什么？ 練習(xí)一：選擇題下列四組圖形，必是相似形的是（）、有一個(gè)角為的兩個(gè)等腰三角形； 、有一個(gè)角為的兩個(gè)等腰梯形；、鄰邊之比都為2:3的兩

4、個(gè)平行四邊形； 、有一個(gè)角為的兩個(gè)等腰三角形.新授2：相似三角形的預(yù)備定理 課本通過(guò)探討的方法，根據(jù)題設(shè)中有平行線(xiàn)的條件，結(jié)合定理的結(jié)論，再根據(jù)三角形的定義，從而得出了這兩個(gè)三角形相似的結(jié)論，這里要強(qiáng)調(diào)的是： （1）本定理的導(dǎo)出不僅復(fù)習(xí)了相似三角形的定義，而且為后面的證明打下了基礎(chǔ)。 （2）由本定理的題設(shè)所構(gòu)成的三角形有三種可能，基本圖形在“平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例”出現(xiàn)過(guò)（3）根據(jù)兩個(gè)三角形相似寫(xiě)對(duì)應(yīng)邊的比例式時(shí)，每個(gè)比的前項(xiàng)是同一個(gè)三角形的三邊，而比的后項(xiàng)是另一個(gè)三角形的三條對(duì)應(yīng)邊，它們的位置不能寫(xiě)錯(cuò)，做題時(shí)務(wù)必要認(rèn)真仔細(xì)，如本定理的比例式，防止出現(xiàn)錯(cuò)誤（4）根據(jù)兩個(gè)三角形相似寫(xiě)對(duì)應(yīng)邊的比例式時(shí)

5、，這兩個(gè)三角形中相等的角所對(duì)的邊就是對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)邊應(yīng)寫(xiě)在對(duì)應(yīng)位置 （5）有平行就有成比例線(xiàn)段，有平行就有相似三角形 我們稱(chēng)由預(yù)備定理得到的相似三角形為“平行線(xiàn)型”的相似三角形.新授3：相似三角形的判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩角與另一個(gè)三角形的兩角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似（兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似）.1.判定兩個(gè)三角形全等的方法有哪幾種？ SAS、ASA、AAS、SSS、HL 2.全等三角形判定中的“對(duì)應(yīng)角相等”及“對(duì)應(yīng)邊相等”的語(yǔ)句，用到三角形相似的判定中應(yīng)如何說(shuō)？ “對(duì)應(yīng)角相等”不變，“對(duì)應(yīng)邊相等”說(shuō)成“對(duì)應(yīng)邊成比例” 3.我們知道，一條邊是寫(xiě)不出比的，那么你能否由“ASA”或“

6、AAS”，采用類(lèi)比的方法，引出一個(gè)關(guān)于三角形相似判定的新的命題呢？ 如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似4.如圖在ABC和 中，ABC和是否相似？ 5.我們現(xiàn)在已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪幾個(gè)判定三角形相似的方法？ 相似三角形的定義，預(yù)備定理 6.根據(jù)本命題條件，探討時(shí)應(yīng)采用哪種方法？為什么？預(yù)備定理，因?yàn)橛枚x條件明顯不夠 7.采用預(yù)備定理，必須構(gòu)造出怎樣的圖形？ 8.應(yīng)如何添加輔助線(xiàn)，才能構(gòu)造出上一問(wèn)的圖形？ （1）在ABC邊AB（或延長(zhǎng)線(xiàn)）上，截取 ，過(guò)D作DEBC交AC于E“作相似證全等” （2）在ABC邊AB（或延長(zhǎng)線(xiàn)上）上，截取，在邊AC（或延長(zhǎng)線(xiàn)上）截取AE

7、=，連結(jié)DE，“作全等，證相似”（教師向?qū)W生解釋清楚“或延長(zhǎng)線(xiàn)”的情況） 三、鞏固練習(xí)1、已知：在ABC和DEF中，A=40, B=80, E=80, F=60.(1)求證: ABCDEF;(2)寫(xiě)出對(duì)應(yīng)邊成比例的式子.2、（1）已知:如圖5-58,直線(xiàn)BE,DC交于A, E=C.求證:DAAC=BAAE. （2）若圖形作以下變化，結(jié)論是否依然成立，請(qǐng)證明.3、已知:如圖,RtABC中, ABC=90,BDAC于D.(1) 圖中有幾個(gè)直角三角形?它們相似嗎?為什么?(2) 用語(yǔ)言敘述第(1)題的結(jié)論:直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似.(3)寫(xiě)出相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的表

8、達(dá)式.四、小結(jié)1、相似三角形的定義，相似比的概念 2、三角形相似與全等的判定方法的類(lèi)比.3、三角形相似的判定定理1，并強(qiáng)調(diào)判定相似需且只需兩個(gè)獨(dú)立條件.4、常用的找對(duì)應(yīng)角的方法：已知角相等;已知角度計(jì)算得出相等的對(duì)應(yīng)角;公共角;對(duì)頂角;同角的余(補(bǔ))角相等.六、說(shuō)明 1、相似三角形的概念是本節(jié)的重點(diǎn)也是本節(jié)的難點(diǎn).相似三角形是研究相似形的最重要和最基本的圖形，是在全等三角形知識(shí)的基礎(chǔ)上的拓廣和發(fā)展，全等形是相似形的特殊情況，研究相似三角形比研究全等三角形更具有一般性.2、相似三角形的預(yù)備定理和相似三角形的判定定理的證明，類(lèi)比全等三角形學(xué)習(xí).3、理解常見(jiàn)圖形，掌握常用的找對(duì)應(yīng)角的方法.相似三角形

9、的判定 教學(xué)目標(biāo)1掌握相似三角形的判定定理2;2、會(huì)運(yùn)用所學(xué)的兩個(gè)定理判定三角形相似，計(jì)算相似三角形的邊長(zhǎng)等.3、了解判定定理2的證題方法與思路, 應(yīng)用判定定理2.一、復(fù)習(xí)引入 1問(wèn)題1：什么叫做相似三角形？它們?cè)谛螤钌?、大小上有何特征？什么叫做相似?結(jié)合圖形復(fù)述相似三角形的預(yù)備定理和判定定理1. 2兩個(gè)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角有什么關(guān)系？ 3.類(lèi)比全等三角形的“邊角邊”，我們來(lái)看問(wèn)題2.本節(jié)學(xué)習(xí)相似三角形判定定理2.問(wèn)題2：如上圖，在和中，如果,那么和相似嗎？分析：（SAS），再利用三角形一邊的平行線(xiàn)判定定理，得到DE/BC，可以轉(zhuǎn)化為相似三角形預(yù)備定理中的平行線(xiàn). 二、新課 新授1：相

10、似三角形的判定定理2的推導(dǎo)及文字和符號(hào)表述.通過(guò)問(wèn)題2，得到相似三角形的判定定理2：如果一個(gè)三角形的兩邊與另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似.簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩個(gè)三角形相似.新授2：相似三角形的判定定理2的應(yīng)用例題1 已知如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，OA=1，0B=1.5,0C=3,OD=2.求證:與是相似三角形.分析：判斷是否有成比例的線(xiàn)段,再利用判定定理2.議一議:圖中是否還有相似三角形?答：?jiǎn)栴}:(1)兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形是否相似?為什么?(2)等腰三角形ABC與等腰三角形DEF有一角相等,這兩個(gè)三角形

11、是否相似?為什么?例題2 已知如圖,點(diǎn)D是的邊AB上的一點(diǎn),且.求證:.分析:已知條件是一個(gè)乘積式,將它改寫(xiě)成比例式,得到,觀(guān)察這個(gè)比例式中的四條線(xiàn)段結(jié)合圖形,可以依據(jù)相似三角形的判定定理2推出結(jié)論.這是比較困難的技巧問(wèn)題,也是證題的關(guān)鍵步驟. 三、鞏固練習(xí)練習(xí)1:書(shū)后練習(xí)24.4(2)/1練習(xí)2：（1）書(shū)后練習(xí)24.4(2)/2（2）D在的ABC邊AB上,且 =ADAB，則ABCACD,理由是 .（3）一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和6,另一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2和4,那么這兩個(gè)直角三角形 相似.(填“一定”、“不一定”或“一定不”)（4）如圖，在中，若，則下列比例式正確的是： 練習(xí)3

12、:補(bǔ)充(1)在和中,則當(dāng)DF=時(shí), .(2)如圖,P為AB上一點(diǎn)(ABAC),要使,可添加一個(gè)條件.(3) 如圖，D是ABC一邊BC上的一點(diǎn)，ABCDBA的條件是( ) (C) (D) （4）如圖，在中，AB=AC，D點(diǎn)是CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，E是BC延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足 =DBCE.求證：（1）ADB EAC （2）若BAC=，求DAE的度數(shù).四、課堂小結(jié)1、三角形相似與全等的判定方法的類(lèi)比.2、三角形相似的判定定理2，并強(qiáng)調(diào)判定相似需且只需兩個(gè)獨(dú)立條件.,強(qiáng)調(diào)對(duì)應(yīng)邊成比例.五、作業(yè)布置書(shū)后練習(xí)1-3，練習(xí)冊(cè)24.4（2）五、教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明 1、相似三角形的判定定理2是本節(jié)的重點(diǎn)也是本節(jié)的難點(diǎn)

13、，證明的導(dǎo)出過(guò)程多多理解，重點(diǎn)理解“角”是“兩條對(duì)應(yīng)邊的夾角”.2、例題及練習(xí)是相似三角形的判定定理2的應(yīng)用，由淺入深，圖形由簡(jiǎn)單到復(fù)雜.（3）相似三角形的判定 教學(xué)目標(biāo)1、掌握相似三角形的判定定理3；2、會(huì)綜合運(yùn)用所學(xué)的三個(gè)定理判定三角形相似，進(jìn)行相關(guān)證明與計(jì)算.4. 了解判定定理3的證題方法與思路, 應(yīng)用判定定理3，如網(wǎng)格問(wèn)題.一、復(fù)習(xí)引入1復(fù)述已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的判定三角形相似的定理. (1)定義法：對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例；(2)預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線(xiàn)截其他兩邊所在的直線(xiàn)，截得的三角形和原三角形相似.(3)判定定理1：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似；(4)判定定理2：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A

14、角相等，兩個(gè)三角形相似.下面學(xué)習(xí)相似三角形判定定理3 二、學(xué)習(xí)新課新授1：相似三角形的判定定理3的推導(dǎo)及文字和符號(hào)表述.問(wèn)題3：類(lèi)比三角形全等的判定，思考猜測(cè)問(wèn)題3.如圖在和中，如果，那么和相似嗎？ 分析： 同樣可以利用相似三角形預(yù)備定理來(lái)證明.通過(guò)問(wèn)題3，又得到相似三角形的判定定理3：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似.簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似.新授2：相似三角形的判定定理3的應(yīng)用例題3 已知如圖，D、E、F分別是的邊BC、CA、AB的中點(diǎn).求證：.（分析：利用中位線(xiàn)的性質(zhì)，可得兩個(gè)三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例，根據(jù)相似三角形的判定定理3，可得

15、兩個(gè)三角形相似）證明：例題4（補(bǔ)充）如圖，在正方形網(wǎng)格上有兩個(gè)三角形和求證： .分析 由條件可考慮三邊是否對(duì)應(yīng)成比例.可設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為1，由勾股定理可求出各自邊長(zhǎng)，再進(jìn)行證明.證明：設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為1，則由勾股定理可求得：，又2，5.，. 三、鞏固練習(xí)練習(xí)1:書(shū)后練習(xí)24.4(3)/1練習(xí)2：（1）書(shū)后練習(xí)24.4(3)/2（2）書(shū)后練習(xí)24.4(3)/3（3）以下各圖放置的小正方形的邊長(zhǎng)都相同，分別以小正方形的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)三角形，則與ABC相似的三角形圖形為（ ） ABCD（4）如圖，是一個(gè)正方形網(wǎng)絡(luò)，里面有許多三角形在下面所列出的各三角形中，與不相似的是.BCDAEFGHK（A）BDE；

16、 （B）BCD；（C）FGH； （D）BFG.四、課堂小結(jié)1、三角形相似與三角形全等的判定方法的類(lèi)比.2、三角形相似的判定定理3，并強(qiáng)調(diào)用判定3證明相需三個(gè)條件,強(qiáng)調(diào)對(duì)應(yīng)邊成比例.3、得到判定三角形相似的方法有：(1)定義法：對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例；(2)預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線(xiàn)截其他兩邊所在的直線(xiàn)，截得的三角形和原三角形相似.(3)判定定理1：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似；(4)判定定理2：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩個(gè)三角形相似(5) 判定定理3：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似.五、說(shuō)明1.相似三角形的判定定理3是本節(jié)的重點(diǎn)，證明的導(dǎo)出過(guò)程要掌握，重點(diǎn)理解三邊對(duì)應(yīng)成比例.2.例題

17、及練習(xí)的教學(xué)是相似三角形的判定定理3的應(yīng)用，建議由淺入深，圖形由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，對(duì)于網(wǎng)格問(wèn)題應(yīng)注意解題方法3.總結(jié)所得到判定三角形相似的方法.24.4（4）相似三角形的判定 教學(xué)目標(biāo)1了解直角三角形相似定理的證明方法并會(huì)應(yīng)用2通過(guò)了解定理的證明方法，提高利用已學(xué)知識(shí)證明新命題的能力3. 了解判定定理的證題方法與思路, 應(yīng)用判定定理.一、復(fù)習(xí)引入 1我們學(xué)習(xí)了幾種判定三角形相似的方法？（5種）2敘述預(yù)備定理、判定定理1、2、3，其中判定定理1、2、3的證明思路是什么？（作相似，證全等；作全等，證相似）3什么是“勾股定理”？什么是比例的合比性質(zhì)?直角三角形全等有特殊的判定定理.同樣我們要探討判定直角三

18、角形相似的特殊定理.下面學(xué)習(xí)直角三角形相似的判定定理. 二、學(xué)習(xí)新課問(wèn)題4：如圖,在中，如果，那么相似嗎？分析： 將已知條件與相似三角形判定定理3的條件比較.新授1：直角三角形相似的判定定理：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似 簡(jiǎn)述為：斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)直角三角形相似.注：直角三角形的判定除了用此判定定理外，還可以用前面所學(xué)的判定定理.新授2：直角三角形相似的判定定理的應(yīng)用.例題4 已知如圖，在四邊形ABCD中，求證： .例題5 已知如圖，,垂足為點(diǎn)D，DE/AC.則圖中共有幾對(duì)相似三角形？請(qǐng)證明. 三、鞏固練

19、習(xí)練習(xí)1：如圖，在中，于D，下列條件:（1）（2）（3） （4），其中一定能判定是直角三角形的共有 （ ）A、3個(gè) B、2個(gè) C、1個(gè) D、0個(gè)練習(xí)4：在中，求證：練習(xí)5：已知，在中，E是BC的中點(diǎn)，DE交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F.求證：.四、小結(jié) 直角三角形相似的判定除了本節(jié)定理外，前面判定任意三角形相似的方法對(duì)直角三角形同樣適用六、教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明 1、直角三角形的判定定理是本節(jié)的重點(diǎn)也是本節(jié)的難點(diǎn)，證明的導(dǎo)出過(guò)程掌握2、例題及練習(xí)的教學(xué)是直角三角形的判定定理的應(yīng)用，建議由淺入深，圖形由簡(jiǎn)單到復(fù)雜.24.4（5）相似三角形的判定 教學(xué)目標(biāo)綜合運(yùn)用所學(xué)判定定理結(jié)合相似三角形的定義進(jìn)行判定或計(jì)算.根據(jù)圖

20、形特征和已知條件選擇判定定理進(jìn)行證明和計(jì)算.一、復(fù)習(xí)引入 主要內(nèi)容是相似三角形的判定定理(其中有任意三角形相似的三個(gè)判定定理和直角三角形相似的判定定理). 二、學(xué)習(xí)新課新授1:1.關(guān)于三角形的判定方法(1)定義法：對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例；(2)預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線(xiàn)和它兩邊(或兩邊延長(zhǎng)線(xiàn))相交，所構(gòu)成的三角形和原三角形相似；(3)判定定理1.兩角對(duì)應(yīng)相等兩三角形相似；(4)判定定理2.兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似；(5)判定定理3.三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩三角形相似；(6)直角三角形相似的判定方法.以上各種判定方法均適用;如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和直角對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似.2.判定定理的適用范圍(1)已知有一角相等時(shí)，可選擇判定定理1與判定定理2.(2)有兩邊對(duì)應(yīng)成比例時(shí)，可選擇判定定理2與判定定理3.(3)直角三角形判定先考慮判定直角三角形相似的方法.還可以考慮一般三角形相似的方法.說(shuō)明一般不用定義來(lái)判定三角形的相似.3.相似三角形與全等三角形判定方法的聯(lián)系全等的判定SASSSSAAS(ASA)直角三角形相似的判定兩邊成比例夾角相等三邊對(duì)應(yīng)成比例兩角相等一直角邊與斜邊對(duì)應(yīng)成比例4、相似三角形的判定定理的作用