計(jì)算方法實(shí)驗(yàn)報(bào)告

1、計(jì)算方法與實(shí)習(xí)實(shí)驗(yàn)報(bào)告 目錄實(shí)習(xí)題1-13實(shí)習(xí)題2-1（1）4實(shí)習(xí)題3-25實(shí)習(xí)題3-5（1）7實(shí)習(xí)題4-210實(shí)習(xí)題5-111實(shí)習(xí)題614實(shí)習(xí)題1-1用2種不同的順序計(jì)算，分析其誤差的變化。算法1:從n=1開始累加，n逐步增大，直至n=10000算法2:從n=10000開始累加，n逐步減小，直至n=1算法1的Matlab程序如下：m=0;for n=1:10000yl=1/(n.*n);m=m+yl;endformat longm算法1的輸出結(jié)果m=1.8065算法2的Matlab程序如下：m=0;for n=10000:-1:1yl=1/(n.*n);m=m+yl;endformat lo

2、ngm算法2的輸出結(jié)果m=1.8060結(jié)論分析：由運(yùn)行結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)從n=1開始計(jì)算時(shí)，算出結(jié)果為1.8065，而當(dāng)從n=10000開始計(jì)算時(shí)，算出結(jié)果為1.8060.與題中所給結(jié)果相比，可知從n=10000開始計(jì)算時(shí)，所得近似結(jié)果更接近真實(shí)值。原因是從n=1開始算時(shí)，由于被累加的數(shù)是越來越小的，而且開始的幾個(gè)數(shù)比后面的數(shù)大得多，而浮點(diǎn)數(shù)保留位數(shù)有限，因此在累加過程中出現(xiàn)了大數(shù)吃小數(shù)的現(xiàn)象，導(dǎo)致誤差較大。而從n=10000開始累加就很好地避免以上問題，從而能夠更接近精確值。實(shí)習(xí)題2-1（1）用牛頓法求方程的根算法：給定初始值,為根的容許誤差，為的容許誤差，N為迭代次數(shù)的容許值。如果或迭代次數(shù)

3、大于N，則算法失敗，結(jié)束；否則執(zhí)行。計(jì)算。若或N|abs(xl)eps) disp(Newton method failed); break; end d=xl-x0; x0=xl; if(abs(d)eps | abs(func1(xl)delta) break; end end其中函數(shù)體func1.func2為:function y = func1( x )y=x*x-exp(x);endfunction y = func2( x )y=2*x-exp(x);end程序輸出結(jié)果:,分析：給定的初始值是1，根的容許誤差為0.，的容許誤差為10(-10),經(jīng)過6次迭代得到滿足根的容許誤差的結(jié)果

4、。實(shí)習(xí)題3-2用LU分解法解方程組,其中, 算法：將方程組中的分解為,其中為單位下三角矩陣，為上三角矩陣，則方程組化為解2個(gè)方程組，具體算法如下：對計(jì)算 對計(jì)算 對a. 對計(jì)算 b.對 ,對計(jì)算 ,對計(jì)算 注：由于計(jì)算的公式與計(jì)算的公式形式上一樣，故可直接對增廣矩陣施行算法，此時(shí)的第列元素即為。Matlab程序如下：A=48,-24,0,-12;-24,24,12,12;0,6,20,2;-6,6,2,16;b=4;4;-2;-2;m,n=size(A);nb=n+1;Ab=A b;Ab(2:m,1)=Ab(2:m,1)/Ab(1,1);for k=2:m for j=k:nb Ab(k,j)

5、=Ab(k,j)-Ab(k,1:k-1)*Ab(1:k-1,j); end for i=k+1:m Ab(i,k)=(Ab(i,k)-Ab(i,1:k-1)*Ab(1:k-1,k)/Ab(k,k); endendx=zeros(n,1);x(n)=Ab(n,nb)/Ab(n,n);for k=n-1:-1:1 x(k)=(Ab(k,nb)-Ab(k,k+1:n)*x(k+1:n,1)/Ab(k,k);endfor k=1:n fprintf(x%d=%fn,k,x(k);end程序運(yùn)行結(jié)果：x1=0.x2=1.x3=-0.x4=-0.實(shí)習(xí)題3-5（1）分別用雅克比迭代法與高斯賽德爾迭代法解下列

6、方程組：1. 雅克比迭代法算法:設(shè)方程組的系數(shù)矩陣的對角線元素,為迭代次數(shù)容許的最大值，為容許誤差。取初始向量,令。對計(jì)算 如果，則輸出，結(jié)束；否則執(zhí)行。如果,則不收斂，終止程序；否則，轉(zhuǎn)。Matlab程序如下：A=10,-1,2,0;0,8,-1,3;2,-1,10,0;-1,3,-1,11b=-11;-11;6;25eps=1e-6max=100n=length(A);x=zeros(n,1);x1=zeros(n,1);k=0;while(1) x1(1)=(b(1)-A(1,2:n)*x(2:n,1)/A(1,1); for i=2:n-1 x1(i)=(b(i)-A(i,1:i-1)

7、*x(1:i-1,1)-A(i,i+1:n)*x(i+1:n,1)/A(i,i); end x1(n)=(b(n)-A(n,1:n-1)*x(1:n-1,1)/A(n,n); k=k+1; if sum(abs(x1-x)=max fprintf(The ,Method is disconvergentn); break; end x=x1;endif kmax for i=1:n fprintf(x%d = %fn,i,x1(i); endend程序結(jié)果為：（初始設(shè)定迭代次數(shù)容許的最大值100，容許誤差) 迭代次數(shù)為17x1 = -1.x2 = -2.x3 = 0.x4 = 2.2. 高斯賽

8、德爾迭代法算法：設(shè)方程組的系數(shù)矩陣的對角線元素為迭代次數(shù)容許的最大值，為容許誤差。取初始向量,令。對計(jì)算 如果，則輸出，結(jié)束；否則執(zhí)行。如果,則不收斂，終止程序；否則，轉(zhuǎn)。Matlab程序如下：A=10,-1,2,0;0,8,-1,3;2,-1,10,0;-1,3,-1,11b=-11;-11;6;25eps=1e-6max=100n=length(A);x=zeros(n,1);x1=zeros(n,1);k=0;while(1) x1(1)=(b(1)-A(1,2:n)*x(2:n,1)/A(1,1); for i=2:n-1 x1(i)=(b(i)-A(i,1:i-1)*x1(1:i-1

9、,1)-A(i,i+1:n)*x(i+1:n,1)/A(i,i); end x1(n)=(b(n)-A(n,1:n-1)*x1(1:n-1,1)/A(n,n); k=k+1; if sum(abs(x1-x)=max fprintf(The ,Method is disconvergentn); break; end x=x1;endif keps T1=T2; m=2*n+1; x=a:(b-a)/(2*n):b; s=sum(f(x(2:2:m-1); T2=1/2*(T1+h*s); n=n*2;h=h/2;endfprintf(T(%d)=%fn,n,T2);程序運(yùn)行結(jié)果為：T(1024)=1.復(fù)化辛卜生算法：復(fù)化辛卜生公式為計(jì)算過程為：令對 。Matlab程序如下：a=0;b=pi/2;n=2;for i=1:3 x=a:(b-a)/(2*n):b; m=2*n+1; h=(b-a)/n; s=(h/6)*(f(a)+2*sum(f(x(3:2