數學思想方法在小學數學教學中的滲透

1、數學思想方法在小學數學教學中的滲透數學思想方法在小學數學教學中的滲透石柱師范附小陳世林數學思想方法是數學的精髓，在教學過程中滲透數學思想方法，能提高教學效果，提高學生數學素養(yǎng)。數學教學有兩條線，一條是明線即數學知識的教學， 一條是暗線即數學思想方法的教學。對于學習者來說，運用數學方法解決問題的過程就是感性認識不斷積累的過程，當這種積累達到一定程度就會產生飛躍，從而上升為數學思想，一旦數學思想形成之后，便對數學方法起著指導作用。因此，人們通常將數學思想與方法看成一個整體概念數學思想方法。一 、什么是數學思想方法（可從兩方面認識）1、數學思想日本著名數學教育家米山國藏說過： “學生們所學到的數學知

2、識，在進入社會后，幾乎沒有什么機會應用，因而這種作為知識的數學，通常在出校門后不到一兩年就忘掉了然而不管他們從事什么職業(yè)，那種銘刻于頭腦中的數學精神和數學思想方法， 卻長期地在他們的生活和工作中發(fā)揮著作用，使他們受益終身” 。數學思想對數學知識和所使用的方法的本質認識， 是對數學規(guī)律的理性認識。中小學數學教育、教學中傳授的數學思想，應該都是基本數學思想?；緮祵W思想： 指從某些具體數學認識過程中提煉出的一些觀點，它在后繼認識中被反復證實其正確性， 帶有一般意義和相對穩(wěn)定的特征。包括符號化思想、分類思想、集合思想、對應思想、數形結合思想、化歸思想，函數與方程思想，極限思想等。數學思想方法在小學數

3、學教學中的滲透2、數學方法數學方法是數學思想指導下的解決數學問題過程中所運用的具體手段（或途徑）。具體點說是以數學語言為工具進行科學研究的方法。數學思想與數學方法既有區(qū)別又有密切的聯(lián)系。差異性：數學思想具有概括性和普遍性， 而數學方法則具有操作性和具體性。數學思想是數學方法實施的依據， 數學方法是數學思想得以實現的手段。同一性：表現在 “數學思想與數學方法同屬方法論的范疇 ”它們有時是等同的。人們一般將數學思想與數學方法統(tǒng)稱為數學思想方法。二、小學數學教學中應滲透哪些基本數學思想方法。在數學領域中數學思想方法很多， 每一種數學思想方法都閃爍著人類智慧的火花。但小學生的年齡特點決定有些數學思想方

4、法他們不易接受，而且要想把那么多的數學思想方法都滲透給學生也不現實。因此，應該有選擇地滲透一些數學思想方法。（一）符號化思想西方較早地在數學研究中引進了符號， 十六世紀數學家韋達對數學符號作了很多改進，并且第一個有意識地系統(tǒng)地用字母表示已知數、未知數及其乘冪，帶來了代數研究的重大拓展，奠定了符號代數的基礎，后來大數學家笛卡兒對韋達使用的字母又作了改進。 什么是符號化思想呢？用符號化的語言（包括字母、數字、圖形和各種特定的符號）來描述數學的內容，這就是符號化思想。1、符號化思想的含義數學思想方法在小學數學教學中的滲透人們有意識地、普遍地運用符號去概括、表述、研究數學；研究符號能夠生存的條件， 即

5、反復選擇用怎樣的符號才能簡潔、準確地反映數學概念的本質，有利于數學的發(fā)現和發(fā)展，且方便于打字、印刷等等；數學符號經過人工篩選與改造，形成一種約定的、規(guī)范的、形式化的系統(tǒng)。運用一套合適的符號，可以清晰、準確、簡潔地表達數學思想、概念、方法和法則，避免日常語言的繁復、冗長或含混不清，從而簡化數學運算或推理過程，加快數學思維的速度，促進數學思想的交流。 如乘法分配律 (ab)cacbc。這就把復雜的語言文字敘述用簡潔明了的字母公式表示出來，便于記憶、便于運用。正如華羅庚所說的“數學的特點是抽象，正因為如此，用符號表示就更具有廣泛的應用性與優(yōu)越性。 ”2小學數學中常用的數學符號元素符號：表示數和幾何圖

6、形的符號。如：阿拉伯數字；表示數的字母，表示常數的字母；“”表示角，“”表示三角形等。運算符號：如：、。關系符號：表示數、式、圖形或集合之間的關系的符號稱為關系符號。如： =, , , 等。性質符號：表示數或形的性質符號。如：正號“”負號 “”。結合符號：如： () 等。3符號化思想在小學數學教材中的體現。在概念的形成過程中，體現出數學符號對概念本質反映的特點。數學思想方法在小學數學教學中的滲透在表示一些關系式時，滲透符號抽象、簡明、易記的特點。a+b=b+aS=ab教學用字母表示數，體現代數式的特點a2、5 (b+c)、m、-44在教學中滲透符號化思想。 從概念的本質揭示符號的意義。10 以

7、內數的認識。負數的認識。 適當介紹符號的形成過程。 采取適宜方式，幫助學生理解用代數式表示數量關系的概括性。（二） 方程思想1. 什么是方程思想？在解決問題時， 將已知量和未知量之間的數量關系， 通過適當設元建立方程，然后求解使問題得到解決的思維方式。方程思想是解決問題的重要思想方法2. 算術思維與方程思維的特點。算術思維 未知量、已知量地位不同。 思考過程往往是逆向的。方程思維 未知量、已知量地位同等，便于分析數量關系。 具有形式化、一般化的特點。數學思想方法在小學數學教學中的滲透 思考過程往往是順向的。3.克服方程思維學習的障礙。(1)適當加強文字語言與代數式“互譯 ”的訓練。a 列代數式

8、。b 說出代數式表示的具體含義。c 設定字母，列代數式。(2)采用多種方法引導學生找出等量關系。a 直觀呈現數量關系。b 半獨立寫等量關系。c 設定未知量，列方程。（三）化歸思想1. 什么是化歸思想？將待解決的問題， 通過某種轉化過程， 歸結為另一個已解決或較易解決的問題的方法。 化歸思想是數學家最擅長的思想方法。 化歸是數學中最普遍使用的一種思想方法。 它的核心是以可變的觀點對所要解決的問題進行變形， 就是在解決數學問題時， 不是對問題進行直接進攻，而是采取迂回的戰(zhàn)術，通過變形把要解決的問題，化歸為某個已經解決的問題，從而求得原問題的解決。其基本思想是：將待解決的問題甲，通過某種轉化過程，

9、歸結為一個已經解決或者比較容易解決的問題乙，然后通過乙問題的解答返回去求得原問題甲的解答。 這種化歸思想不同于一般所講的“轉化” 、“轉換”，它具有不可逆轉的單向性。它的基本形式有：化難為易，化生為熟，化繁為簡，化整為數學思想方法在小學數學教學中的滲透零，化曲為直等。 在小學數學中蘊藏著各種可運用化歸的方法進行解答的內容，讓學生初步學會化歸的思想方法。2. 化歸思想常用的幾種方法 。（ 1）分割法：把要解決的問題分成若干個小問題，然后逐一求解，達到整個問題解決的方法。（ 2）變形法：對不易直接解決的問題，加以適當變形，實現由難到易的化歸，達到問題解決。（ 3）映射法 ：是指在兩類數學對象或兩個

10、數學集合的元素之間建立某種 “對應關系 ”，通過映射將原來的問題化歸為新問題，在解決新問題的同時，原問題也得以解決。3. 在小學數學教學中滲透化歸思想 。? 明確滲透化歸思想的教材因素。? 數與代數? 幾何圖形面積公式的推導注意在教學中滲透化歸思想。注意應用化歸思想解決教學中的問題。如：教學圓面積的計算方法，這里要推導出圓面積公式，在推導過程中，采用把圓分成若干等份，然后拼成一個近似長方形，從而推導出圓的面積公式。 這里把圓剪拼成近似長方形的過程，就是把曲線形化歸為直線形的過程。 再如平面圖形面積的計算都是利用的化歸思想來解決問題的。（四）分類思想數學思想方法在小學數學教學中的滲透分類是根據教

11、學對象的本質屬性的異同按某種標準，將其劃分為不同種類，即根據教學對象的共同性與差異性，把具有相同屬性的歸入一類，把具有不同屬性的歸入另一類進行分析研究。分類是數學發(fā)現的重要手段，在教學中， 如果對學過的知識恰當地進行分類，就可以使大量紛繁的知識具有條理性。1、滲透分類思想，培養(yǎng)分類的意識每個學生在日常中都具有一定的分類知識， 如人群的分類、 書籍的分類等，我們利用學生的這一認識基礎， 把生活中的分類遷移到數學中來，在教學中進行數學分類思想的滲透，挖掘教材提供的機會，把握滲透的契機。如在五年級 “方程的意義 ”教學中，學生對方程意義的理解就是通過式的二次分類建構對 “相等關系 ”、“含有未知數

12、”的理解，從而把握方程的特質的。 教學時首先出示各種各樣的 “式”，按照式子中有無等號可分為：有等號的式子和不含有等號的式子； 按照式子中是否含有未知數又可分為： 含有未知數和不含有未知數的等式。 進一步分別對每種情況中的第一類進行觀察， 將他們分類， 該如何進行？將有等號的式子按照式子中是否含有未知數， 分成兩類：含有未知數的式子和不含有未知數的式子。將含有未知數的式子按照式子中是否有等號，分成兩類：有等號的式子和沒有等號的式子。此時，滿足方程的二要素便很清楚了：含有未知數、等式。又如，數的整除中對自然數的分類： 按自然數能否被 2 整除可分為奇數和偶數；根據自然數的約數的個數又可分為質數、

13、 1 和合數；數學思想方法在小學數學教學中的滲透而這正是本階段需要學生掌握的重點之一。 通過分類，建構了知識網絡，又突出了學習的重點。結合式的分類、數的分類等教學內容，反復滲透，強化數學分類思想，使學生逐步形成數學學習中的分類的意識。 并能在分類的時候注意一些基本原則，如分類的對象是確定的，標準是統(tǒng)一的，如若不然，對象混雜，標準不一，就會出現遺漏、重復等錯誤。如把自然數分為：合數、零和奇數，就是犯分類標準不一的錯誤。在確定對象和標準之后，還要注意分清層次，不越級討論。2、學習分類方法，增強思維的縝密性在教學中滲透分類思想時， 應讓學生了解， 所謂分類就是選取適當的標準，根據對象的屬性，滿足互斥

14、、無遺漏、最簡便的原則。讓學生認識不同的分類標準會有不同的分類結果， 從而產生新的數學概念和數學知識的結構。 掌握合理的分類方法， 能夠幫助我們理清教學知識中許多 “并聯(lián) ”的問題。分類的方法常有以下幾種：（1）根據數學的概念進行分類有些數學概念是分類給出的。因此在整理時也要分類復習。如：單名數和復名數 ，這是按所帶計量單位的個數進行分類的，牢記分類的標準可以幫助我們掌握它們各自的特點。（2）根據圖形的特征或相互間的關系進行分類如三角形按角分類，有銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。如果以邊的長短關系， 三角形可分為不等邊三角形和等邊三角形；等邊三數學思想方法在小學數學教學中的滲透角形又可分為

15、正三角形和等腰三角形。（3）根據探索的方向進行分類如：直線行程問題和環(huán)行行程問題， 可以看出來他們在解決問題的方法上有相似性。（五）集合思想集合是近代數學中的一個重要概念。 集合思想是現代數學思想向小學數學滲透的重要標志， 在解決某些數學問題時， 若是運用集合思想，可以使問題解決得更簡單明了。 集合論的創(chuàng)始人是德國的數學家康托，其主要思想方法可歸結為三個原則，即概括原則、外延原則、一一對應原則。英國數學家維恩最早使用了一種圖即可以用于表示任意的幾個集合，稱為 “維恩圖 ”，用維恩圖表示集合，有助于探索某些數學題的解決思路。集合思想包括概念、 子集思想、交集思想、并集思想、差集思想、空集思想、一

16、一對應思想等，作為數學思想方法的一種，在教學中是具有很大的指導意義。1、集合概念在小學數學教學中的應用集合思想的概念在教學中是不必向學生作解釋的，教師主要指導學生看懂集合圖的意思， 會根據集合圖來解題或者幫助解題。圖形本身直觀地應用了集合的表示方法圖示法，因此在小學低年級中運用這個方法對于教學是很有幫助的。在認數教學中，教師要結合各種集合圖，可以是選用書本上的，也可以是選用一些生活中常見的事物自己畫。同時還可以反過來給學數學思想方法在小學數學教學中的滲透生一個數字，讓學生畫集合圖， 這樣既可以讓學生開動腦筋發(fā)揮自己的想象，也可以讓學生更了解集合中的元素與基數概念的聯(lián)系。在日常教學中，教師還要讓

17、學生理解一些用來描述集合的常用術語，如 “一些 ”、“一堆 ”、“一組 ”、“一群 ”等。比如說，在小學數學教材分類中，就出現了這么一張圖，讓學生觀察，要求把玩具放一堆，文具放一堆，服裝鞋帽放一堆， 這種把具有同一種屬性的東西放在一起，這就是集合的整體概念。在認識 0-10 的十一個數字中， 每個數字都有一張相應的集合圖，也就是告訴學生，一個集合中有幾個元素就用 “幾”來表示。這就很形象的把集合中的元素與基數的概念有機的聯(lián)系起來。2、子集、交集、并集、差集、空集思想在小學數學教學中的應用（ 1）子集思想在小學數學教學中的應用教學數的大小這一問題時，就可以應用子集思想。試一試中,給出一些數，組成

18、一個數的集合，元素有387、99、809、 345、1725、4300 等。同時給出要求，先把給出的數分類，再比較大小。這把數分類就相當于是把整個數的集合中的元素， 按要求分別把他們放入三個子集合中。對于這類問題，應用集合思想就能讓學生非常直觀、 容易地理解。（ 2）交集思想在小學數學教學中的應用如有這么一道應用題：一個班有 48 人。班主任在班會上問： “誰做完了數學作業(yè)？ ”這時有 42 人舉手。又問： “誰做完了語文作業(yè)？ ”數學思想方法在小學數學教學中的滲透這時有 37 人舉手。最后又問： “誰語文、數學作業(yè)都沒有做完？ ”沒有人舉手。請問：這個班語文、數學作業(yè)都做完的有幾人？再如教學

19、公約數、公倍數這一內容時，也通常應用交集思想，（ 3）并集思想在小學數學教學中的應用在小學一年級的教材中， 并集被用于說明加法的意義， 如解決這個問題，一幅圖中小朋友左手里拿了兩只鉛筆， 右手里拿了三只鉛筆，另一幅中小朋友把兩只手合在一起， 就是把左手和右手中的鉛筆并在一起。 235（只）還有 1120 各數的認識中，對于 “11”,先把 10 根小棒捆成一捆，組成十位上的 “1，”然后再數 1 根組成 “11了”。同理在教學 12、13、14、15 等數時，也都應該采用并集思想。又如， 95? 教材中顯示把5 根小棒分成 1 根和 4 根,把 1 根和 9 根結合在一起，組成十根捆在一起，作

20、為十位上的 “1，”這也運用了并集思想。4、差集思想在小學數學教學中的應用在小學一年級的教材中， 差集被用于說明減法的意義。 如樹上原有 5 個蘋果，被小朋友摘走 2 個，就剩下樹上（集合）的 3 個蘋果（元素）：523（個）又比如說還是本頁的 “做一做 ”：圖中總共有 5 個圓圈，其中 4 個圓圈用線劃去，表示去掉的，就剩下 541（個）了。在教材中一般用線劃去或虛線圈起來的都是要剪掉的部分 .5、空集思想在小學數學教學中的應用數學思想方法在小學數學教學中的滲透空集表示這個集合沒有元素。空集思想的應用主要出現在教學“ 0的”時候，如 “小貓釣魚 ”，每只小貓的袋子表示集合，袋子里的魚表示元素

21、。第一幅圖里，袋子里有三條魚，該集合里有3 個元素；第二幅圖里，袋子里有兩條魚，該集合里有2 個元素；第三幅圖里，袋子里有一條魚，該集合里有1 個元素；第四幅圖里，袋子沒有魚，該集合中沒有元素，也就是空集。3、一一對應思想在小學數學教學中的應用一一對應思想在教材中體現的較多，在比較兩個集合所包含的元素的多少時就一定得用建立一一對應關系的方法來解決，同時， “一一對應 ”思想也是現代函數思想的基礎。一一對應思想在小學數學教材中主要以兩種形式呈現： 第一種是比多少， 第二種是由一個集合經過對應法則得到另一個集合。（六）數形結合思想所謂數形結合就是根據數學問題的條件和結論之間的內在聯(lián)系分析其代數含義

22、， 又揭示其幾何直觀， 使數量關系與空間形式和諧結合在一起的方法。數形結合方法的實質是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來。這里的“數”指數學術語、數學符號、數學公式及用語言文字表現的數量信息和呈現方式； “形”不僅僅指幾何圖形，還包括各類圖像、 實物類教學資源等形象材料， 以及用這些材料呈現數學信息的方式。數形結合的方法具有雙向性：借助“形”的生動和直觀性認識“數”，即以“形”為手段，“數”為目的；或借助于“數”精確和規(guī)數學思想方法在小學數學教學中的滲透范地闡明“形”的屬性，此時， “數”是手段。以“形”助“數”?！靶巍钡膹V義性以及小學生數學學習中直觀形象思維的主導地位決定了大部分數學知識學

23、習需要“形”的支撐。數學概念的建立借助“形”的直觀。由于概念的抽象與概括性，教學時要向學生提供大量感性材料， 而“形”的材料常常是最有效的。如在數小棒、搭多邊形中認識整數，在等分圖形中認識分（?。?；利用交集圖理解公因數與公倍數等等。 同樣，運算的概念（如“除法”、“余數”）、數學術語（如“平均分” 、“大于”）等等都需要“形”的參與。數學性質的探索依賴“形”的操作。數學性質是關于規(guī)律性的知識，應該讓學生自主探索發(fā)現，而形的操作有助于發(fā)現規(guī)律。如教學“3 的倍數的特征”可作如下設計：讓學生用 9 根小棒擺出三位數，判斷是否是 3 的倍數； 8 根、 6 根呢？操作中學生發(fā)現，組成的三位數是否是 3 的倍數只與小棒的根數有關， 而與擺的方式無關， 根數就是各數位上數的和。又如， “分數的基本性質” 、“小數的性質”可以讓學生在對圖形的等分中理解。數學規(guī)則的形成需要“形”作材料。數學規(guī)則在小學主要是有關演算過程的具體實施方法。 規(guī)則學習是學生技能形成的先導。 讓學生明確規(guī)則的合理性、理解其推導過程的意義，不僅僅在于理解算理，更重要的在于學會學習， 實現過程性目標。 而數形結合能降低思維難度，讓學生有信心和能力歸納出法則。如“ 20 以內進位加法”是通過實物操作體會“湊十”的過程；分數乘法（如1/2 1