控制論4.6 能控規(guī)范形和能觀規(guī)范形教學課件.ppt

1、Ch.4 線性系統(tǒng)的能控性和能觀性,目錄(1/1),目 錄 概述 4.1 線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性 4.2 線性連續(xù)系統(tǒng)的能觀性 4.3 線性定常離散系統(tǒng)的能控性和能觀性 4.4 對偶性原理 4.5 線性系統(tǒng)的結構性分解和零極點相消 4.6 能控規(guī)范形和能觀規(guī)范形 4.7 實現問題 4.8 Matlab問題 本章小結,能控規(guī)范形和能觀規(guī)范形(1/3),4.6 能控規(guī)范形和能觀規(guī)范形 由于狀態(tài)變量選擇的非唯一性,系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型具有非唯一性。 若在狀態(tài)空間的一組特定基底下,系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型具有某種特定形式,則稱這種形式的狀態(tài)空間模型為規(guī)范形。 約旦規(guī)范形(對角線規(guī)范形)就是以系統(tǒng)的特征向量為其狀

2、態(tài)空間基底所導出的規(guī)范形。 從前面討論中可以看出,一旦把狀態(tài)空間模型通過線性變換化成約旦規(guī)范形,對于狀態(tài)轉移矩陣(t)求解以及狀態(tài)能控性和能觀性分析都是十分方便的。,能控規(guī)范形和能觀規(guī)范形(2/3),下面我們將討論,通過線性變換將SISO系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型變換成 對于系統(tǒng)的狀態(tài)反饋設計十分方便的能控規(guī)范形和 能簡化系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器設計的能觀規(guī)范形。 討論的主要問題: 基本定義: 能控規(guī)范I/II形、 能觀規(guī)范I/II形 旺納姆能控規(guī)范II形 龍伯格能控規(guī)范II形 基本方法: 能控規(guī)范形和能觀規(guī)范形的變換方法,能控規(guī)范形和能觀規(guī)范形(3/3),講授順序為: 能控規(guī)范形 能觀規(guī)范形 MIMO系統(tǒng)的

3、能控能觀規(guī)范形 。,則稱該狀態(tài)空間模型為能控規(guī)范I形。,能控規(guī)范形(1/16)能控規(guī)范形定義,4.6.1 能控規(guī)范形 定義 若SISO系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為,且系統(tǒng)矩陣A和輸入矩陣B分別為,能控規(guī)范形(2/16)能控規(guī)范形定義,若系統(tǒng)矩陣A和輸入矩陣B分別為,則稱該狀態(tài)空間模型為能控規(guī)范II形。 ,能控規(guī)范形(3/16),上述能控規(guī)范I形和II型的系統(tǒng)矩陣A分別為前面討論過的友矩陣的轉置和友矩陣。 下面討論如下兩個問題: 能控規(guī)范形一定是狀態(tài)完全能控和 一定存在線性變換將狀態(tài)能控的狀態(tài)空間模型變換成能控規(guī)范形。,即能控性矩陣的秩都為n。 故能控規(guī)范I形與II型必定是狀態(tài)完全能控的。,能控規(guī)范形(

4、4/16),能控規(guī)范形一定是狀態(tài)完全能控? 由狀態(tài)能控的代數判據,對能控規(guī)范I形和II型,有如下能控性矩陣:,能控規(guī)范形(5/16),由于線性變換不改變狀態(tài)能控性,而能控規(guī)范形一定狀態(tài)完全能控, 因此,只有狀態(tài)完全能控的系統(tǒng)才能變換成能控規(guī)范形。 下面討論將完全能控的狀態(tài)空間模型變換成能控規(guī)范形,以及該線性變換的變換矩陣的構造問題。 對此,有如下對能控狀態(tài)空間模型變換成能控規(guī)范I形和II型的定理。,定理4-24 對狀態(tài)完全能控的線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B)引入變換矩陣Tc1如下 Tc1=Qc=B AB An-1B 是非奇異的。 那么必存在一線性變換 ,能將上述狀態(tài)方程變換成能控規(guī)范I形:,能控規(guī)

5、范形(6/16)-能控規(guī)范I形定理,其中系統(tǒng)矩陣 和輸入矩陣 如能控規(guī)范I形所定義的。,證明 若取變換矩陣Tc1=Qc,則由,能控規(guī)范形(7/16)-能控規(guī)范I形定理,有,因此,由系統(tǒng)線性變換和凱萊-哈密頓定理有,能控規(guī)范形(8/16)-能控規(guī)范I形定理,即證明了變換矩陣Tc1=Qc可將能控狀態(tài)空間模型變換成能控規(guī)范I形。,定理4-25 對狀態(tài)完全能控的線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B)引入變換矩陣Tc2如下 式中， T1=0 0 1B AB An-1B-1 那么必存在一線性變換 ,能將上述狀態(tài)方程變換成如下能控規(guī)范II形:,能控規(guī)范形(9/16)-能控規(guī)范II形定理,其中系統(tǒng)矩陣 和輸入矩陣 如能控

6、規(guī)范II形所定義的。,能控規(guī)范形(10/16),證明 證明的思路為:,先構造變換矩陣P的逆為行向量組成,利用變換關系 A=P-1AP,確定 P-1的行之間的關系,利用變換關系B=P-1B,最后確定確定P-1,證明過程為: 設變換矩陣Tc2的逆陣為,能控規(guī)范形(11/16),則由 ，可得 代入友矩陣 ,則有,即,能控規(guī)范形(12/16),因此,有 Ti=T1Ai-1 i=2,3,n 即能控性變換矩陣Tc2為,能控規(guī)范形(13/16),下面討論T1的計算。由,求轉置,并代入向量 ,考慮到對SISO系統(tǒng)T1AiB為標量,則有,即 T1=0 0 1B AB An-1B-1,是非奇異矩陣,即該系統(tǒng)為狀態(tài)

7、完全能控,因此可以將其變換成能控規(guī)范形。,能控規(guī)范形(14/16)例4-19,由上述計算過程,可很便利地將能控的狀態(tài)空間模型轉換為能控規(guī)范形。 例4-19 試求如下系統(tǒng)的能控規(guī)范I和II形:,解 系統(tǒng)的能控性矩陣,能控規(guī)范形(15/16),(2) 求能控規(guī)范I形。 根據定理4-24,系統(tǒng)變換矩陣可取為,因此,經變換 后所得的能控規(guī)范I形的狀態(tài)方程為,能控規(guī)范形(16/16),(2) 求能控規(guī)范II形。 計算變換矩陣 先求變換矩陣。根據定理4-25,有 T1=0 1B AB-1=1/2 1/2 則變換矩陣Tc2可取為,因此,經變換 后所得的能控規(guī)范形的狀態(tài)方程為,能觀規(guī)范形(1/9)能觀規(guī)范形定

8、義,4.6.2 能觀規(guī)范形 對應于能控規(guī)范形,若SISO線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B,C)的系統(tǒng)矩陣A和輸出矩陣C分別為,則稱該狀態(tài)空間模型為能觀規(guī)范I形；,能觀規(guī)范形(2/9)能觀規(guī)范形定義,對應于能控規(guī)范形,若SISO線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B,C)的系統(tǒng)矩陣A和輸出矩陣C分別為,則稱該狀態(tài)空間模型為能觀規(guī)范II形。,能觀規(guī)范形(3/9),由上述定義可知: 能觀規(guī)范形與能控規(guī)范形是互為對偶的,即 能觀規(guī)范I形與能控規(guī)范I形互為對偶, 而能觀規(guī)范II形與能控規(guī)范II形互為對偶。 由對偶性原理可知,能控規(guī)范形是狀態(tài)完全能控的,則其對偶系統(tǒng)能觀規(guī)范形是狀態(tài)完全能觀的。 由于線性變換不改變能觀性,而能觀

9、規(guī)范形一定狀態(tài)完全能觀,因此,只有狀態(tài)完全能觀的系統(tǒng)才能變換成能觀規(guī)范形。 下面討論將完全能觀的狀態(tài)空間模型變換成能觀規(guī)范I/II形,以及該線性變換的變換矩陣的構造問題，對此,有如下定理。,定理4-26 對狀態(tài)完全能觀的線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B,C)引入變換矩陣To1滿足 那么線性變換 ,必能將狀態(tài)空間模型(A,B,C)變換成能觀規(guī)范I形:,能觀規(guī)范形(4/9)-能觀規(guī)范I形定理,其中系統(tǒng)矩陣 和輸入矩陣 如能觀規(guī)范I形所定義的。,定理4-27 對狀態(tài)完全能觀的線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B,C)引入變換矩陣co2如下 To2=R1 AR1 An-1R1 式中， 那么必存在一線性變換 ,能將狀態(tài)空間

10、模型(A,B, C)變換成如下能觀規(guī)范II形:,能觀規(guī)范形(5/9)-能觀規(guī)范II形定理,其中系統(tǒng)矩陣 和輸入矩陣 如能觀規(guī)范II形所定義的。,能觀規(guī)范形(6/9)例4-20,由于能觀規(guī)范形與能控規(guī)范形互為對偶,因此,能觀規(guī)范形變換定理4-26與定理4-27的證明可由能控規(guī)范形變換定理4-24與定理4-25的證明直接給出,這里不再贅述。 例4-20 試求如下系統(tǒng)狀態(tài)方程的能觀規(guī)范I形與II型,能觀規(guī)范形(7/9)例4-20,是非奇異矩陣, 即該系統(tǒng)為狀態(tài)完全能觀,因此可以將其變換成能觀規(guī)范形。,解 由于系統(tǒng)的能觀性矩陣,能觀規(guī)范形(8/9),(1) 求能觀規(guī)范I形。 根據定理4-26,系統(tǒng)變換

11、矩陣可取為,因此,經變換后所得的能觀規(guī)范形的狀態(tài)方程為,能觀規(guī)范形(9/9),(2) 求能觀規(guī)范II形。 根據定理4-27,先求變換矩陣，有,則變換矩陣To2可取為,因此,經變換后所得的能觀規(guī)范II形的狀態(tài)方程為,MIMO系統(tǒng)的能控能觀規(guī)范形(1/1),4.6.3 MIMO系統(tǒng)的能控能觀規(guī)范形 MIMO線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控規(guī)范形和能觀規(guī)范形,相比于SISO系統(tǒng),無論是規(guī)范形形式還是構造方法都要復雜一些。 本節(jié)從基本性和實用性出發(fā),僅討論應用較廣的 旺納姆(Wonham)能控規(guī)范II形和 龍伯格(Luenberger) 能控規(guī)范II形。,旺納姆能控規(guī)范II形(1/1),1. 旺納姆能控規(guī)范II

12、形 下面分別介紹 旺納姆能控規(guī)范II形定義 變換陣Tw的確定,旺納姆能控規(guī)范II形定義(1/3),(1) 旺納姆能控規(guī)范II形定義 對完全能控的MIMO線性定常連續(xù)系統(tǒng) 式中，A為維系統(tǒng)矩陣,B為維輸入矩陣,C為維輸出矩陣。 基于線性非奇異變換 ,可導出系統(tǒng)的旺納姆能控規(guī)范II形為 式中，,旺納姆能控規(guī)范II形定義(2/3),旺納姆能控規(guī)范II形定義(3/3),類似于SISO能控規(guī)范形，可以證明 旺納姆能控規(guī)范II形肯定能控， 而且任何狀態(tài)完全能控的MIMO狀態(tài)空間模型肯定可以變換成旺納姆能控規(guī)范II形。,變換陣Tw的確定(1/6),(2) 變換陣Tw的確定 類似于SISO的能控規(guī)范II形,旺

13、納姆能控規(guī)范II形的變換矩陣也可從能控性矩陣構造,方法如下： 首先,通過列向搜索找出系統(tǒng)能控性矩陣 中n個線性無關列向量。 為此,表 將的所有nr個列向量排列成如下形式,變換陣Tw的確定(2/6),類似于SISO的能控規(guī)范II形,旺納姆能控規(guī)范II形的變換矩陣從左到右搜索每一個列向量,檢驗該向量與其左邊所有保留下來的線性無關列向量是否線性相關。 若相關則將該向量從隊列中剔出,否則保留。 如此,一直搜索到找到n個線性無關列向量為止。 最后將源自的n個線性無關列向量構成矩陣 式中，,變換陣Tw的確定(3/6),因此,有 式中，ei,j為行向量。 基于此,變換矩陣Tw可取為,變換陣Tw的確定(4/6

14、)-例4-21,則可將完全能控的狀態(tài)空間模型變換成旺納姆能控規(guī)范II形。 具體推證過程與SISO能控規(guī)范II形的推證過程類似,故略去。 考慮到能控性和能觀性之間的對偶關系,利用對偶性原理,可由旺納姆能控規(guī)范形的結論直接導出旺納姆能觀規(guī)范形的對應結論。具體過程略。 例4-21 試求如下線性定常連續(xù)系統(tǒng)的旺納姆能控規(guī)范II形。,變換陣Tw的確定(5/6),解 由能控性判別矩陣 的秩等于3知,該系統(tǒng)狀態(tài)完全能控,因此該系統(tǒng)可以變換成旺納姆能控規(guī)范II形。 首先,按列向探索方法,找到3個線性無關列b1,Ab1和A2b1。 因此,非奇異矩陣S及其逆矩陣為,變換陣Tw的確定(6/6),故變換矩陣為 即可求

15、得旺納姆能控規(guī)范II形的系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣,龍伯格能控規(guī)范II形(1/1),2. 龍伯格能控規(guī)范II形 下面分別介紹 龍伯格能控規(guī)范II形定義 變換陣TL的確定,龍伯格能控規(guī)范II形定義(1/3),(1) 龍伯格能控規(guī)范II形定義 對完全能控的MIMO線性定常連續(xù)系統(tǒng) 式中，A為維系統(tǒng)矩陣,B為維輸入矩陣,C為維輸出矩陣。 基于線性非奇異變換 ,可導出系統(tǒng)的龍伯格能控規(guī)范II形為 式中，,龍伯格能控規(guī)范II形定義(2/3),龍伯格能控規(guī)范II形定義(3/3),類似于SISO能控規(guī)范形，可以證明 龍伯格能控規(guī)范II形肯定能控， 而且任何狀態(tài)完全能控的MIMO狀態(tài)空間模型肯定可以變換成龍伯格能控規(guī)

16、范II形。,變換陣TL的確定(1/6),(2) 變換陣TL的確定 類似于SISO的能控規(guī)范II形,龍伯格能控規(guī)范II形的變換矩陣也可從能控性矩陣構造,方法如下： 首先,通過行向搜索找出系統(tǒng)能控性矩陣 中n個線性無關列向量。 為此,表 將的所有nr個列向量排列成如下形式,變換陣TL的確定(2/6),類似于SISO的能控規(guī)范II形,龍伯格能控規(guī)范II形的變換矩陣從左到右搜索每一個列向量,檢驗該向量與其左邊所有保留下來的線性無關列向量是否線性相關。 若相關則將該向量從隊列中剔出,否則保留。 如此,一直搜索到找到n個線性無關列向量為止。 最后將源自的n個線性無關列向量構成矩陣 式中，,變換陣TL的確定(3/6),因此,有 式中，ei,j為行向量。 基于此,變換矩陣TL可取為,變換陣TL的確定(4/6)-例4-22,則可將完全能控的狀態(tài)空間模型變換成龍伯格能控規(guī)范II形。 具體推證過程與SISO能控規(guī)范II形的推證過程類似,故略去。 考慮到能控性和能觀性之間