樣本平均數(shù)的方差的推導_第1頁
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1、最新資料推薦樣本平均數(shù)的方差的推導：假定從任意分布的總體中抽選出 一個 相互 獨立 的樣本x1 , xn ，則有E(xi ) X ,22xiX即每一個樣本單位都是與總體同分布的。在此基礎上，證明樣本平均數(shù)以總體平均數(shù)為期望值。E(x ) E( x1x2xn )n1 E(x1x2xn )n1E( x1 ) E( x2 )E(xn )n1( XXX )Xn接著，再以此為基礎，推導樣本平均數(shù)的方差。在此，需要注意方差的計算公式為：2E( X E( X )2X以下需要反復使用這一定義：1最新資料推薦2E(xE(x )2xE(x1x2xnX )2n1 E( ( x xx ) nX ) 2n212n12n

2、2 E ( x1X ) ( x2X )( xnX )12 E ( x1X )2( x2X )2( xnX )2(xi X )( xj X )nij1E(x1X )2E(x2X )2E( xn X )2E (xi X )( x j X )n2i j12n 22nn在證明中，一個關鍵的步驟是E( xiX )( x jX )0 ，其原ij因在于這一項事實上是xi 與 x j 的協(xié)方差。由于任意兩個樣本都是相互獨立的，因此其協(xié)方差均為0。如果采用的是無放回的抽樣，則樣本間具有相關性，協(xié)方差2Nn小于 0。此時樣本均值的方差為2XxN1n樣本方差的期望：證明了樣本平均數(shù)的方差公式后，我們可以來分析一下樣本方差的情況。n(xix)2先構造一個統(tǒng)計量為 Si 1，我們來求它的期望。n2最新資料推薦根據方差的簡捷計算公式：2X 22XX，可得11nE( S )Exi2nx 2E(xi ) nE( x 2 )nn其中，同樣運用簡捷計算公式，可以得到：2)2( E(xi )222E( xixiXX；22222)( E(x )XXE( xxn原式化為12E( S )n( X2X 2 ) n( XX 2 )nn2( X2X 2 ) ( XX 2 )nn 1n2X等式的兩端同除以右側的系數(shù)項，得到nE(S )2Xnnn Sn

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