2018第一輪復習-放縮法技巧全總結

1、放縮法在數(shù)列不等式中的應用數(shù)列不等式是高考大綱在知識點交匯處命題精神的重要體現(xiàn)，在高考試題中占有重要地位，在近幾年的高考試題中，多個省份都有所考查，甚至作為壓軸題。而數(shù)列不等式的求解常常用到放縮法，筆者在教學過程中發(fā)現(xiàn)學生在用放縮法處理此類問題時，普遍感到困難，找不到解題思路。現(xiàn)就放縮法在數(shù)列不等式求解過程中常見的幾種應用類型總結如下。1. 直接放縮，消項求解例1在數(shù)列中,且成等差數(shù)列,成等比數(shù)列. ,（）求及,由此猜測的通項公式,并證明你的結論;（）證明:.分析：（）數(shù)學歸納法。 （）本小題的分母可化為不相同的兩因式的乘積，可將其放縮為等差型兩項之積，通過裂項求和。（）略解（）n2時，由（）

2、知故，綜上，原不等式成立 點評： 數(shù)列和式不等式中，若數(shù)列的通項為分式型，可考慮對其分母進行放縮，構造等差型因式之積。再用裂項的方法求解。另外，熟悉一些常用的放縮方法，如：,例2設數(shù)列滿足其中為實數(shù)（）證明：對任意成立的充分必要條件是；（）設，證明：;分析：（）數(shù)學歸納法證明（）結論可變形為，即不等式右邊為一等比數(shù)列通項形式，化歸思路為對 用放縮法構造等比型遞推數(shù)列，即解：（）解略。（）設 ，當時，結論成立，當 時， ,由（1）知，所以 且 點評：直接對多項式放大后，得到的是等比型遞推數(shù)列，再逐項遞推得到結論。通過放縮得到等比型遞推數(shù)列是求解數(shù)列不等式的另一個重要的類型。2. 利用基本不等式放

3、縮例3已知數(shù)列，記，求證：當時，（）；（）；（）。分析：（）在的條件下，的等價形式為，要證，只需證即證，可用數(shù)學歸納法證明（）由 累加及可得（）和式通項的分母由 累乘得到的，條件中可有得到，但 的分子分母次數(shù)不同，可用基本不等式將其化為等比型遞推數(shù)列（）解略。（）解略。（）證明：由，得所以，于是，故當時，又因為，所以點評：本題第三問，基本不等式的應用使構造等比型遞推數(shù)列成為可能，在公比時，等比數(shù)列的前 項和趨向于定值，即前項和有界，這為數(shù)列和式范圍的證明提供了思路。3. 利用數(shù)列的單調性放縮例4 數(shù)列為非負實數(shù)列，且滿足：，求證：分析：有時數(shù)列不等式的證明可以在數(shù)列單調性的前提下進行放縮。證明

4、：若有某個，則，從而從起，數(shù)列單調遞增，和會隨n的增大而趨向于無窮，與矛盾，所以是單調遞減的數(shù)列，即，令由得，即由于故。點評：本題考慮了數(shù)列，的單調性，然后利用放縮法進行證明。又如，例3的第三問也可用單調性證明：及，要證,只要證，即而所以問題得證4. 放縮法在數(shù)學歸納法的應用數(shù)列不等式是與自然數(shù)有關的命題，數(shù)學歸納法是證明與自然數(shù)有關的命題的重要方法。應用數(shù)學歸納法證明時，通常要利用放縮法對條件進行適當?shù)霓D化，才能實現(xiàn)由時成立到時也成立的過渡。舉例略。綜合以上分析，我們發(fā)現(xiàn)，在數(shù)列不等式的求解過程中，通過放縮法的應用，主要使數(shù)列不等式轉化為以下兩種類型：（1）可直接裂項的形式，再求和證明求解。（等差型）（2）等比型遞推數(shù)列，時，數(shù)列前項和有界。（等比型）數(shù)列不等式是一類綜合性較強的問題，我們可以利用上述思路對數(shù)列不等式進行分析、求解。在解題過程中要充分挖掘題設條件信息，把條件合理