數(shù)列的題目類型及方法總結(jié).ppt

1、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和(1),2009.9.29,復(fù)習(xí):,等差數(shù)列求和方法回顧:(倒序相加),n個(gè)相同的數(shù),國王賞麥的故事, ，得,中間各數(shù)均為0,使用公式求和時(shí)，需注意對 和 的情況加以討論,注意：,借助和式的代數(shù)特征進(jìn)行恒等變形,當(dāng)q=1時(shí)，,當(dāng)q1時(shí)，,二.例題:,例1. 求等比數(shù)列1/2,1/4,1/8, 的前8項(xiàng)的和S8,答案: S8=255/256,例2.某制糖廠第1年制糖5萬噸， 如果平均每年的產(chǎn)量比上一年 增加10，那么從第1年起約幾年內(nèi)可使總產(chǎn)量達(dá)到30萬噸 （保留到個(gè)位）？,解：根據(jù)題意，每年的產(chǎn)量組成一個(gè)等比數(shù)列an,n101.1=101.6 n=101.6/ 101.10.

2、20/0.0415 答：約5年內(nèi)可以使總產(chǎn)量達(dá)到30萬噸。,則a1=5, q=1+10=1.1, Sn=30,5(1-1.1n)/(1-1.1)=30 1.1n=1.6,例3.求和: (x+ )+(x2+ )+(xn+ ) (x0,x 1,y1),1,y,1,y2,1,yn,小結(jié)：,等比數(shù)列求和公式：,推導(dǎo)方法：,錯(cuò)位相消法,復(fù)習(xí)導(dǎo)入,1.等比數(shù)列的定義 an+1:an = q an = a1 q n 1 Sn = a1 + a2 +an Sn-1=a1+a2+an-1 an= Sn Sn-1,歸納要熟記公式：,或,練習(xí).,2或-3,8或18,-6,185,知三求二,練習(xí)2.,等比數(shù)列前n項(xiàng)和

3、公式的推導(dǎo),(一) 用等比定理推導(dǎo),當(dāng) q = 1 時(shí) Sn = n a1,因?yàn)?所以,Sn = a1 + a2 + a3 + .+ an-1 + an,= a1 + a1q + a1q2 +.+ a1qn-2 + a1qn-1,= a1+ q ( a1 + a1q + .+ a1qn-3 + a1qn-2 ),= a1 + q Sn-1 = a1 + q ( Sn an ),(三) 從 (二) 繼續(xù)發(fā)散開有,Sn = a1 + a1q + a1q2 +a1qn-2 + a1qn-1 (*),qSn = a1q + a1q2 + a1q3 + + a1qn ( * ),兩式相減有 ( 1 q

4、)Sn = a1 a1 q n,思考題：1）求數(shù)列nxn-1的前n項(xiàng)和,即 Sn=1+2x+3x2+nxn-1=?2）若數(shù)列an是等比數(shù)列,Sn是前n項(xiàng)的和，那么s3,s6-s3,s9-s6成等比數(shù)列嗎？設(shè)kN*那么sk,s2k-sk,s3k-s2k成等比數(shù)列嗎？,I、復(fù)習(xí)回顧,2、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,1、等比數(shù)列的定義式：,3、等比數(shù)列的性質(zhì),這些你都記得嗎?,陽光國際高中部數(shù)學(xué)組 2009.9.29,祝同學(xué)們國慶快樂！,2009.12.21,求數(shù)列通項(xiàng)的若干方法,結(jié)束,2009.12.21,求數(shù)列前n項(xiàng)和的方法,1.公式法：,等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式： 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 ,例1：若實(shí)數(shù)

5、a,b滿足： 求：,分析：通過觀察，看出所求得數(shù)列實(shí)際上就是等比數(shù)列其首項(xiàng)為a，公比為ab，因此由題設(shè)求出a,b，再用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和,例2 求和： 1+(1/ a)+(1/a2)+(1/an),、,例3.求下列數(shù)列的前n項(xiàng)和 （1）,解（1）：該數(shù)列的通項(xiàng)公式為,（2）,例4、求和Sn =1+2x+3x2+nxn-1 (x0,1),分析,這是一個(gè)等差數(shù)列n與一個(gè)等比數(shù)列xn-1的對應(yīng)相乘構(gòu)成的新數(shù)列，這樣的數(shù)列求和該如何求呢？,Sn =1 + 2x +3x2 + +nxn-1 ,xSn = x + 2x2 + (n-1)xn-1 + nxn ,(1-x)Sn =1 + x + x2+

6、 + xn-1 - nxn,n項(xiàng),這時(shí)等式的右邊是一個(gè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和與一個(gè)式子的和，這樣我們就可以化簡求值。,錯(cuò)位相減法,例4、求和Sn =1+2x+3x2+ +nxn-1 (x0,1),解： Sn =1 + 2x +3x2 + +nxn-1,xSn = x + 2x2 + + (n-1)xn-1+nxn, -，得： (1-x) Sn =1+x+x2+ + xn-1 - nxn,4. 裂項(xiàng)相消法（或拆項(xiàng)法）：若數(shù)列 的通項(xiàng)公式可拆分為某數(shù)列相鄰兩項(xiàng)之差的形式即： 或（ ）則可用如下方法求前n項(xiàng)和 .,例.設(shè) 是公差不為零的等差數(shù)列， 滿足 求它的前n項(xiàng)和,常見的拆項(xiàng)公式有：,分析：觀察數(shù)列

7、的前幾項(xiàng)：,這時(shí)我們就能把數(shù)列的每一項(xiàng)裂成兩項(xiàng)再求和，這種方法叫什么呢？,拆項(xiàng)相消法,評：裂項(xiàng)相消法的關(guān)鍵就是將數(shù)列的每一項(xiàng)拆成二項(xiàng)或多項(xiàng)使數(shù)列中的項(xiàng)出現(xiàn)有規(guī)律的抵消項(xiàng)，進(jìn)而達(dá)到求和的目的。,分母為3的不可約分?jǐn)?shù)之和為,典型例題,(1)已知 an= , 求 Sn;,n(n+1)2,2n+1,(2)已知 an= , 求 Sn;,(2n-1)(2n+1),(2n)2,Sn=(3n+2)2n-1,(4)Sn=1n+2(n-1)+3(n-2)+n1;,法1 Sn=1n+2(n-1)+3(n-2)+nn-(n-1),=n(1+2+3+n)-21+32+n(n-1),=n(1+2+3+n)-12+22+(n-1)2-1+2+(n-1),法2 Sn=1n+2(n-1)+3(n-2)+n1,=1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+n),(5)Sn=3n-1+3n-22+3n-322+2n-1.,2.分組求和法()：若數(shù)列 的通項(xiàng)可轉(zhuǎn)化為 的形式，且數(shù)列 ， 可求出前n項(xiàng)和 ， 則,規(guī)律概括：如果一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)可分成兩項(xiàng)之和（或三項(xiàng)之和）則可用分組求和法：在本章我們主要遇到如下兩種形式的數(shù)列.其一：通項(xiàng)公式為： 其