凸函數(shù)與極值

1、哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）題目： 凸函數(shù)與極值 院（系）理學(xué)院專 業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年 級(jí)2009級(jí)姓 名哦哦學(xué) 號(hào)指導(dǎo)教師啊啊啊職 稱副教授2013年 月 日畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）評(píng)語及成績論文類型：理論研究型評(píng)語：該論文的選題有一定的理論價(jià)值。本文主要觀點(diǎn)正確，選題有一定的新意，論點(diǎn)正確、論據(jù)充分、結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)、文理通順、條理清晰、邏輯性強(qiáng)、寫作格式規(guī)范、圖表正確、清晰。所采用的資料可信度、支撐度高。全文理論結(jié)合實(shí)際，對(duì)應(yīng)用凸函數(shù)的性質(zhì)求解極值問題做出了全面而深刻的分析和總結(jié)，反映了該生較扎實(shí)的理論基礎(chǔ)。本文對(duì)提高學(xué)生解題能力、培養(yǎng)創(chuàng)新能力具有一定的指導(dǎo)作用。符合本科畢業(yè)論文的規(guī)范要求?？梢蕴峤淮?/p>

2、辯。指導(dǎo)教師（簽字）年 月 日評(píng)語及評(píng)分成績： 答辯委員會(huì)主席（簽字）年 月 日院（系）學(xué)位評(píng)定委員會(huì)意見：簽字：年 月 日學(xué)校學(xué)位評(píng)定委員會(huì)意見：簽字：年 月 日承 諾 書本人 哦哦 ，哈爾濱學(xué)院 理 學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 專業(yè) 094 班學(xué)生，學(xué)號(hào)： 。本人鄭重承諾：本人撰寫的畢業(yè)論文凸函數(shù)與極值 ，是個(gè)人的研究成果，數(shù)據(jù)來源真實(shí)可靠，無剽竊行為。 承諾人：董春 年 月 日目 錄摘 要1Abstract2前 言3第一章 凸函數(shù)的定義與性質(zhì)41.1 一元凸函數(shù)的定義與性質(zhì)41.1.1一元凸函數(shù)的定義41.1.2一元凸函數(shù)的性質(zhì)41.1.3一元凸函數(shù)的判定71.2 多元凸函數(shù)的定義與性質(zhì)91.

3、2.1多元凸函數(shù)的定義91.2.2多元凸函數(shù)的性質(zhì)101.2.3多元凸函數(shù)的判定10第二章極值的定義與判別法142.1一元函數(shù)極值142.1.1一元函數(shù)極值的定義142.1.2一元函數(shù)極值的判定142.1.3可導(dǎo)凸函數(shù)極值問題 152.1.4一般凸函數(shù)極值問題172.2 多元函數(shù)極值182.1.1多元函數(shù)極值的定義182.1.2多元函數(shù)極值的判定19第三章 凸函數(shù)與極值相關(guān)理論22第四章 利用凸函數(shù)求解極值問題244.1將極值問題轉(zhuǎn)化為凸函數(shù)問題求解244.2弓形面積的最值26參考文獻(xiàn)30后 記31摘 要本文第一章對(duì)凸函數(shù)的定義及性質(zhì)問題作了簡(jiǎn)單的闡述。研究一元凸函數(shù)和多元凸函數(shù)的定義，性質(zhì)及

4、其判定；刻畫了凸函數(shù)極值點(diǎn)的分布規(guī)律，并將所得的結(jié)果推廣到可導(dǎo)嚴(yán)格凸函數(shù)和一般凸函數(shù)中。第二章介紹了極值的定義與判別法，從一元極值的定義與判別法推出可導(dǎo)凸函數(shù)的極值問題以至推廣到一般凸函數(shù)極值問題。第三章介紹了凸函數(shù)與極值的相關(guān)理論為后續(xù)第四章的利用凸函數(shù)求解極值問題作了鋪墊。關(guān)鍵詞：凸函數(shù)；嚴(yán)格凸函數(shù)；極值；最值 Abstract The extremum problems and its corresponding maximum and minimum Value Problems of differentiable convex function are studied in this

5、 paper ，and the distribution law of extreme value point of convex function is depicted. The obtained result can be extended to the differentiable strictly convex function and the general convex functionKey words: convex function; strictly convex function; extreme value; maximum and minimum value 前 言

6、函數(shù)的極值不僅在實(shí)際問題中占有重要地位，而且也是函數(shù)性態(tài)的重要特征。在現(xiàn)有文獻(xiàn)中，對(duì)一般可導(dǎo)函數(shù)的極值問題的研究已接近完善，得到了許多極值的充分條件，為求解函數(shù)的極值與最值問題帶來了極大的便利。但是對(duì)于凸函數(shù)的極值問題的討論卻鮮見報(bào)道。為此，本文從凸函數(shù)的基本定義和性質(zhì)出發(fā)，研究可導(dǎo)凸函數(shù)極值問題，探討凸函數(shù)極值的充分條件，并討論相應(yīng)的最值問題，以期揭示可導(dǎo)凸函數(shù)的極值點(diǎn)和最值點(diǎn)的分布規(guī)律。凸函數(shù)是一類重要的函數(shù)，它的概念最早見于Jensen著作中，它在純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的眾多領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用，現(xiàn)已成為數(shù)學(xué)規(guī)劃，對(duì)策論數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)，變分學(xué)和最優(yōu)控制學(xué)的理論基礎(chǔ)和有力工具。為了理論上的突破，加強(qiáng)

7、他們?cè)趯?shí)踐中的應(yīng)用，產(chǎn)生了廣義凸函數(shù)。本文由凸函數(shù)的定義出發(fā)，研究了凸函數(shù)的判定及其應(yīng)用，總結(jié)了凸函數(shù)的許多重要性質(zhì)，應(yīng)用到實(shí)際問題中，結(jié)合正定矩陣在最優(yōu)化的圖規(guī)劃和函數(shù)極值點(diǎn)問題的應(yīng)用，拓寬了凸函數(shù)極值問題的新領(lǐng)域。凸函數(shù)是一類有著廣泛應(yīng)用的特殊函數(shù)，具有許多特殊的性質(zhì)，它的最大值與最小值有著一些特殊的性質(zhì)，因此，探討和總結(jié)凸函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用能深刻理解和牢固掌握函數(shù)的概念和性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生抽象思維和創(chuàng)新意識(shí)具有重要作用。本文共分四章，包括了凸函數(shù)定義及性質(zhì)與極值的定義與判別法，凸函數(shù)與極值相關(guān)理論和利用凸函數(shù)求解極值問題。第一章 凸函數(shù)的定義與性質(zhì)1.1 一元凸函數(shù)的定義與性質(zhì) 1.1.1一元

8、凸函數(shù)的定義定義1 設(shè)函數(shù)在I上有定義，若，總有 或 稱為I上的凸函數(shù)（凹函數(shù)）。定義2 在定義1中，若，且不等式（1）（2）嚴(yán)格成立，則稱為I上嚴(yán)格凸函數(shù)（嚴(yán)格凹函數(shù)）。我們給出了凸函數(shù)的定義，要證明它是嚴(yán)格凸函數(shù)唯一的條件是，只要那么不等式（1）（2）就嚴(yán)格成立。由定義1，定義2，容易證明：若函數(shù)為I上的凸函數(shù)，則，有若，則有那么，則有則函數(shù)為I上的凹函數(shù)。由凸函數(shù)的定義我們很容易證明凹函數(shù)，由凸函數(shù)性質(zhì)及其相關(guān)問題，自然而然的就能推到凹函數(shù)中去。1.1.2一元凸函數(shù)的性質(zhì)1.凸函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)1 設(shè)函數(shù),在區(qū)間為凸函數(shù)，則函數(shù)+在區(qū)間也為凸函數(shù)。我們?cè)谧C明凸函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)時(shí)，知道函數(shù),

9、在區(qū)間為凸函數(shù)，根據(jù)定義寫出它的運(yùn)算公式，函數(shù)+的和就是兩個(gè)運(yùn)算公式的和，在區(qū)間上也是成立的，證明過程如下：證明： , , 因函數(shù),在區(qū)間為凸函數(shù)，從而 且 從而因此+在區(qū)間也為凸函數(shù)。推論1 設(shè)函數(shù),在區(qū)間為凸函數(shù)，為非負(fù)實(shí)數(shù),則也為區(qū)間上的凸函數(shù)。根據(jù)性質(zhì)1的證明：我們同樣可以證明出推論1的結(jié)論。證明如下：, , 因函數(shù),在區(qū)間為凸函數(shù)，從而 且 又因?yàn)闉榉秦?fù)實(shí)數(shù)，所以有=+因此在區(qū)間也為凸函數(shù)。性質(zhì)2 設(shè)函數(shù),在區(qū)間為凸函數(shù)，則在區(qū)間也為凸函數(shù)。分析：利用凸函數(shù)的定義和兩個(gè)函數(shù)最大值的性質(zhì)可以證明在區(qū)間也為凸函數(shù)。證明： , 因函數(shù),在區(qū)間為凸函數(shù)，從而且令=,則 因此 在區(qū)間也為凸函數(shù)

10、。性質(zhì)3 設(shè)函數(shù),在區(qū)間為遞增的非負(fù)凸函數(shù)，則在區(qū)間也為凸函數(shù)。 分析：利用凸函數(shù)的定義和函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性可以證明在區(qū)間也為凸函數(shù)。 證明：, 因函數(shù),在區(qū)間為凸函數(shù)，從而且從而 可得，在區(qū)間也為凸函數(shù)。 推論2 為區(qū)間上的凸函數(shù)，為非負(fù)實(shí)數(shù)，則也為區(qū)間上的凸函數(shù)。性質(zhì)4 設(shè)函數(shù)在區(qū)間為非負(fù)凸函數(shù)，則在區(qū)間上也為凸函數(shù)。利用不等式的性質(zhì)和函數(shù)的連續(xù)可以證明在區(qū)間上也為凸函數(shù)。證明： ，因函數(shù)為非負(fù)凸函數(shù)，可知在連續(xù)，且0從而在區(qū)間連續(xù)，因,有，因此 可知在區(qū)間上也為凸函數(shù)。性質(zhì)5 設(shè)函數(shù)在區(qū)間為凸函數(shù)，設(shè)函數(shù)在區(qū)間為單調(diào)增加凸函數(shù)，且的值域A=，則在為凸函數(shù)。證明：, 因函數(shù),在區(qū)間為凸函數(shù)

11、，從而 且因此可知在為凸函數(shù)。性質(zhì)6 設(shè)在區(qū)間為嚴(yán)格減少的凸函數(shù)，則反函數(shù)也為凸函數(shù)。分析:根據(jù)凸函數(shù)的性質(zhì)和反比例函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可以證明反函數(shù)也為凸函數(shù)。證明：因在區(qū)間上嚴(yán)格減少，從而存在反函數(shù)，設(shè)A=，., 則，使即則為凸函數(shù)，從而=因?yàn)閲?yán)格減少。因此，即 因此，由定義知在A=也為凸函數(shù)。2.凸函數(shù)的積分性質(zhì)將凸性與函數(shù)的連續(xù)性（甚至單側(cè)連續(xù)性）、單調(diào)性等聯(lián)系起來,應(yīng)用到積分學(xué)中可以得到許多好的結(jié)論。性質(zhì)7 設(shè)是上的凸函數(shù),則為上的凸函數(shù). 分析：利用凸函數(shù)的定義和求導(dǎo)公式可以證明 為上的凸函數(shù)。 證明：為上的凸函數(shù),因此它在內(nèi)連續(xù),在上有界.由此知有意義. ,令 時(shí)

12、，恒有 = （因的凸性） 所以是上的凸函數(shù).性質(zhì)8 設(shè)函數(shù)在上遞增,則函數(shù)為凸函數(shù).分析：利用函數(shù)的增減性不等式的性質(zhì)可以證明函數(shù)為凸函數(shù)。 證明： 因 遞增,積分有意義.且。故為凸函數(shù).1.1.3一元凸函數(shù)的判定定理1 設(shè)函數(shù)為I上可導(dǎo)，則為I凸函數(shù)的充要條件是：總有 且當(dāng)為I上的嚴(yán)格凸函數(shù)時(shí)，不等式（3）嚴(yán)格成立。定理 函數(shù)為I上的凸函數(shù)的充要條件是： 且當(dāng)為I上的嚴(yán)格凸函數(shù)時(shí)，不等式（4）嚴(yán)格成立。 定理 函數(shù)為I上的凸函數(shù)的充要條件是： 且當(dāng)為I上的嚴(yán)格凸函數(shù)時(shí)，不等式（5）嚴(yán)格成立。定理4 設(shè)函數(shù)在開區(qū)間可導(dǎo)，函數(shù)在區(qū)間是凸函數(shù)（凹函數(shù)），且,有（）.證明： 只給出凸函數(shù)情況的證明，

13、同法可證凹函數(shù)的情況。 必要性若函數(shù)在區(qū)間是下凸函數(shù)，且，由 （6） 有 已知函數(shù)在與都可導(dǎo)（當(dāng)然也連續(xù)）。根據(jù)極限保號(hào)性定理分別有即 與 即 于是= 充分性,且.根據(jù)微分中值定理,有=與= 已知，即由（6）式知，函數(shù)在區(qū)間是凸函數(shù)。定理5 若函數(shù)在開區(qū)間存在二階導(dǎo)數(shù)，且（1）,有,則函數(shù)在區(qū)間嚴(yán)格凸函數(shù)。（2）,有,則函數(shù)在區(qū)間嚴(yán)格凹函數(shù)。1.2 多元凸函數(shù)的定義及性質(zhì)凸函數(shù)的概念可以從一元函數(shù)推廣到多元函數(shù)，但是，這需要多元函數(shù)的定義域是凸的。1.2.1多元凸函數(shù)的定義定義3 設(shè)集合，若對(duì)于任意的以及任意的，有 則稱集合是凸集。由定義易知，是凸集，當(dāng)且僅當(dāng)連接中任意兩點(diǎn)的線段在中。性質(zhì)9

14、集合是凸集的充要條件是對(duì)于任意自然數(shù)，若點(diǎn)，則其非負(fù)線性組合 其中且.性質(zhì)10 任意兩個(gè)凸集的交集是凸集。注1 兩個(gè)凸集的并集未必是凸集。定義4 設(shè)，定義性質(zhì)11 設(shè)是凸集，是實(shí)數(shù)，則是凸集。定義5 設(shè)是一非空凸集，若對(duì)于任意的及任意的，有 則稱在集合上是凸函數(shù)；若 則稱在集合上是凹函數(shù)。1.2.2多元凸函數(shù)的性質(zhì)定理6 設(shè)是凸集，則是凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意的自然數(shù)有 其中.定理7 設(shè)是凸集上的凸函數(shù)，又，則是凸函數(shù)。定理8 設(shè)是凸函數(shù)，是非減凸函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)是上的凸函數(shù)。1.2.3多元凸函數(shù)的判定如果可行域是凸集，目標(biāo)函數(shù)是凸函數(shù)，則所論的最優(yōu)化問題是一個(gè)凸規(guī)劃問題。那么哪些函數(shù)是凸函數(shù)呢

15、? 最常見也是最簡(jiǎn)單的凸函數(shù)是變量 的線性函數(shù)，例如線性規(guī)劃中的目標(biāo)函數(shù)，其中。需要指出的是線性函數(shù)既是凸函數(shù)也是凹函數(shù)。 另一類常見的二次函數(shù)其中 是 n n 階 對(duì) 稱 陣 ， 即，。為的 H e s s e 矩陣。 表示向量的轉(zhuǎn)置。 當(dāng)矩陣半正定時(shí)是凸函數(shù)；當(dāng)正定是嚴(yán)格凸函數(shù)；當(dāng)半負(fù)定時(shí)是凹函數(shù)；當(dāng)是不定矩陣時(shí)，即不是凸函數(shù)也不是凹函數(shù)。定理9 設(shè)是定義在凸函數(shù)集上的一階可微連續(xù)函數(shù)，則是D上嚴(yán)格凸函數(shù)的充分必要條件是：，。利用凸函數(shù)的定義和泰勒展開式即可證明。證明 必要性： 設(shè)是凸集 D上的嚴(yán)格凸函數(shù)，則對(duì)任意的 和任意的，有由此得 （7）由泰勒展開式有代入 （7）式得兩邊也關(guān)于取極限

16、即充分性：設(shè)滿足條件，對(duì)任意的， 取，由D是凸集知，由條件得到： （8） (9)用乘以( 7 ) 式， 用乘以( 8) 式后兩式相加,得 .由于，由上式即可得對(duì)以及有 由嚴(yán)格凸函數(shù)是定義知，是凸集D上的嚴(yán)格凸函數(shù)。 定理10 設(shè) 是非空凸集上的二階連續(xù)可微函數(shù)，則若的He s s e矩陣在 D上正定，則是 D上的嚴(yán)格凸函數(shù)。 證明： 設(shè)的 H e s s e 矩陣在 D上正定，任取兩不同點(diǎn)x , y D ，將 在點(diǎn) x 處展開，有 （10）其中， 由在 D上的正定性以及，有代入( 9 ) 式即可得到：對(duì)任意不同的成立，知是 D上的嚴(yán)格凸函數(shù)。 根據(jù)這個(gè)定理就可以明白為什么前面所述的二次函數(shù)在

17、n x n 階對(duì)稱矩陣 G正定時(shí)是嚴(yán)格凸的，在G半正定時(shí)是凸的，在G負(fù)定時(shí)是嚴(yán)格凹的，在G半負(fù)定時(shí)是凹的。 例 1 判斷是否為凸函數(shù)。 解： 方法一 由條件知 ， 從而得到 ：在該二次函數(shù)中，是正定的。所以是嚴(yán)格凸函數(shù)。 方法二 由條件得的H e s s e 矩陣是正定的，由定理，知是嚴(yán)格凸函數(shù)。 第二章 極值的定義及判別法2.1 一元函數(shù)極值2.1.1一元函數(shù)極值的定義定義1 一般地，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)附近有定義，如果對(duì)附近的所有的點(diǎn)，都有就說是函數(shù)的一個(gè)極大值，記作，是極大值點(diǎn)。 定義2 一般地，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)附近有定義，如果對(duì)附近的所有的點(diǎn)，都有 就說是函數(shù)的一個(gè)極小值，記作=，是極小值點(diǎn)。極大點(diǎn)和

18、極小點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn); 極大值與極小值統(tǒng)稱為極值。注1（1）極值是一個(gè)局部概念。由定義，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最小。（2）函數(shù)的極值不是唯一的。即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個(gè)。（3）極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系，即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值。（4）若在某區(qū)間內(nèi)有極值,那么在某區(qū)間內(nèi)一定不是單調(diào)函數(shù),即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒有極值。（5）函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有極值,它的極值點(diǎn)的分布是有規(guī)律的,相鄰兩個(gè)極大值點(diǎn)之間必有一個(gè)極小值點(diǎn),同樣相鄰兩個(gè)極小值點(diǎn)之間必有一個(gè)極大值點(diǎn)。一般地,當(dāng)函數(shù)在某區(qū)間上

19、連續(xù)且有有限極值點(diǎn)時(shí),函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)是交替出現(xiàn)的。（6）函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)。而使函數(shù)取得最大值、最小值的點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點(diǎn)。2.1.2一元函數(shù)極值的判定定理1（必要條件） 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且在點(diǎn)處取得極值，則函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)=0.使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)（即方程的實(shí)根），叫做的駐點(diǎn)。注2（1）可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是它的駐點(diǎn)，但是反過來，函數(shù)的駐點(diǎn)并不一定是它的極值點(diǎn)。例如，, =0,但不是極值點(diǎn)。（2）如果一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)在所論區(qū)間上沒有駐點(diǎn)則此函數(shù)沒有極值，此時(shí)導(dǎo)數(shù)不改變符號(hào)。（3）不可導(dǎo)點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)。當(dāng)我們求得函數(shù)的駐點(diǎn)

20、后，還需要判定求得的駐點(diǎn)是不是極值。如果是，就要判定函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值還是極小值。定理2（第一判別法）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的近旁可導(dǎo)且=0.（1）如果當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；則在點(diǎn)取得極大值。（2）如果當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；則在點(diǎn)取得極小值。定理3（第二判別法）設(shè)函數(shù)在存在階導(dǎo)數(shù)，且,（1）是奇數(shù)，則不是函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）是偶數(shù)，則是函數(shù)的極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，是函數(shù)極小點(diǎn)，是極小值；當(dāng)時(shí)，是函數(shù)極大點(diǎn)，是極大值。2.1.3可導(dǎo)凸函數(shù)的極值問題定理4設(shè)函數(shù)為開區(qū)間上可導(dǎo)的凸函數(shù)，則為的極小值的充要條件是利用函數(shù)的最值得定義和費(fèi)馬定理可以得出此結(jié)論。證明：必要性.設(shè)是的極小值點(diǎn)，又因?yàn)樵邳c(diǎn)上是處處可導(dǎo)的，可以根據(jù)費(fèi)馬定理知

21、，充分性.因?yàn)?，則，又因?yàn)?，根?jù)定理1，知我們根據(jù)函數(shù)最值的定義，在處取得最小值。那么是內(nèi)點(diǎn)，所以在處取得極小值，且是的極小值點(diǎn)。推論1 設(shè)函數(shù)為開區(qū)間上可導(dǎo)的凸函數(shù)，若是的穩(wěn)定點(diǎn)，即存在，使得則在處取得極小值，是的極小值點(diǎn)，進(jìn)而在處取得最小值，是的最小值點(diǎn)。證明：因?yàn)楹瘮?shù)為開區(qū)間上可導(dǎo)的凸函數(shù)，所以存在上處處可導(dǎo)，使那么，根據(jù)引理1有根據(jù)函數(shù)最值的定義：在處取得最小值，又因?yàn)槭堑姆€(wěn)定點(diǎn)，所以在處取得極小值，進(jìn)而在處取得最小值，是的最小值點(diǎn)。推論2 設(shè)函數(shù)為開區(qū)間上可導(dǎo)的凸函數(shù)，則，在處不取得極大值。證明：假設(shè)在處取得極大值，則由費(fèi)馬定理，。因?yàn)樗栽谔幦〉脴O小值，是的極小值點(diǎn)與在處取得極大值

22、矛盾，所以函數(shù)為開區(qū)間上可導(dǎo)的凸函數(shù)，則，在處不取得極大值。推論3 設(shè)函數(shù)為開區(qū)間上可導(dǎo)的凸函數(shù)，則，在處不取得最大值，即在內(nèi)不取得最大值。證明：假設(shè)在處取得最大值，則由于是內(nèi)點(diǎn)，所以在處取得最大值，與推論2中函數(shù)為開區(qū)間上可導(dǎo)的凸函數(shù)，則，在處不取得極大值矛盾，所以推論3成立。推論4 設(shè)凸函數(shù)為閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導(dǎo)，則在的端點(diǎn)或處取得最大值，且在上的最大值證明： 由于為閉區(qū)間上連續(xù)，所以為閉區(qū)間上可導(dǎo)，因此為閉區(qū)間上存在最值問題，根據(jù)最值性定理，在上取得最大值。又根據(jù)推理3，在內(nèi)不取得最大值，所以的最大值只能在或處取得，且在上的最大值為通過以上我們知：可導(dǎo)凸函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)即是的極小值點(diǎn)

23、與最小值點(diǎn)。與此同時(shí)，可導(dǎo)凸函數(shù)在內(nèi)部沒有極大值點(diǎn)，從而在內(nèi)不取得最大值。接下來我們討論可導(dǎo)嚴(yán)格凸函數(shù)極值問題。有以下定理： 定理5 設(shè)函數(shù)為開區(qū)間上可導(dǎo)的嚴(yán)格凸函數(shù)，若是的穩(wěn)定點(diǎn)，則是在上的唯一極小值點(diǎn)。 證明： 函數(shù)為開區(qū)間上可導(dǎo)的凸函數(shù)，若 是的穩(wěn)定點(diǎn)。即存在使得則在處不取得極小值，是的極小值點(diǎn)，必是在上的唯一極小值點(diǎn)。如果不是的話，假設(shè)在上另有一個(gè)極小值點(diǎn)，不妨設(shè)。則由函數(shù)極值的定義，存在，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，現(xiàn)任取，則有，從而 ， 注意到，且嚴(yán)格凸函數(shù)，因此由定理2，有 產(chǎn)生矛盾。所以不存在另一個(gè)極小值，故是在上的唯一極小值點(diǎn)。 推論5 設(shè)函數(shù)為開區(qū)間上可導(dǎo)的嚴(yán)格凸函數(shù)，且是的穩(wěn)定點(diǎn)，是在

24、上的最小值點(diǎn)。證明：因?yàn)楹瘮?shù)為開區(qū)間上可導(dǎo)的嚴(yán)格凸函數(shù)，是的穩(wěn)定點(diǎn)，根據(jù)推論1知是的最小值點(diǎn)，即推論5成立。 定理5及其推論表明，可導(dǎo)的嚴(yán)格凸函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)必是在上的唯一極小值點(diǎn)，且是最小值點(diǎn)。定理5也告訴了我們可導(dǎo)凸函數(shù)與可導(dǎo)的嚴(yán)格凸函數(shù)的區(qū)別，就是可導(dǎo)凸函數(shù)的極小值點(diǎn)（如果存在的話）可能有一個(gè)或者無窮多個(gè)，例如常量函數(shù)=是上的可導(dǎo)的凸函數(shù)，它的定義域內(nèi)每一點(diǎn)都是的極小值點(diǎn)。但可導(dǎo)的嚴(yán)格凸函數(shù)的極小值點(diǎn)（如果存在的話）只能有一個(gè)。2.1.4一般凸函數(shù)的極值問題由于在凸函數(shù)的定義中并沒有對(duì)函數(shù)作出連續(xù)性及可導(dǎo)性假設(shè)，因此一方面凸函數(shù)可能是不連續(xù)的，進(jìn)而也是不可導(dǎo)的。例如，若令函數(shù) 則容易證明在上

25、是凸函數(shù)，但在上分別是不連續(xù)和不可導(dǎo)的，另一方面連續(xù)函數(shù)和可導(dǎo)函數(shù)也可能不是凸函數(shù)。例如在上是連續(xù)且可導(dǎo)的，但在上不是凸函數(shù)。這樣，當(dāng)在上不可導(dǎo)時(shí)，上述定理及其推論失效。盡管如此，對(duì)于一般凸函數(shù)，有以下定理。定理6 設(shè)函數(shù)為開區(qū)間內(nèi)的凸函數(shù)，且不恒為常數(shù)，則在內(nèi)不取得最大值。由函數(shù)最值得定義和以上定理3的內(nèi)容可以充分證明此結(jié)果。證明：假設(shè)在處取得最大值，則由函數(shù)最值的定義，有，此時(shí)，不等式與至少有一個(gè)成立。否則，這與不恒為常數(shù)矛盾。于是由定理3，有產(chǎn)生矛盾。2.2 多元函數(shù)極值2.2.1多元函數(shù)極值的定義以二元函數(shù)為例定義3 設(shè)函數(shù)z=f (x, y)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，如果在該鄰域內(nèi)異于點(diǎn)

26、的任何點(diǎn)P(x, y)，都有 f (x, y) （或 f (x, y) ） 則稱為函數(shù) f (x, y)的一個(gè)極大值（或極小值），極大值和極小值統(tǒng)稱為極值。使函數(shù)取極值的點(diǎn)叫函數(shù)的極值點(diǎn)。2.2.2多元函數(shù)極值的判定定理8（極值的必要條件）設(shè)可導(dǎo)函數(shù)z= f (x, y)在點(diǎn)取得極值，則必有 我們稱使成立的點(diǎn)為二元函數(shù)的駐點(diǎn)。在偏導(dǎo)數(shù)都存在的條件下，函數(shù)的極值點(diǎn)必為駐點(diǎn)。但函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。雖然函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，但定理8為尋找可導(dǎo)函數(shù)的可能極值點(diǎn)劃定了范圍。我們可以先把函數(shù)的駐點(diǎn)都找出來，再逐一加以判別。下面介紹一個(gè)判別二元函數(shù)極值的充分條件。定理9（極值的充分條件） 設(shè)函數(shù)在

27、點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，點(diǎn)是函數(shù)z = f (x, y)的一個(gè)駐點(diǎn)，即記 則有（1）若B2AC0, A0,則為函數(shù)z = f (x, y) 的一個(gè)極大值；（2）若B2AC0, A0,則為函數(shù)z = f (x, y) 的一個(gè)極小值；（3）若B2AC0,則不是函數(shù)z = f (x, y) 的極值。注意：當(dāng)B2AC = 0時(shí)，函數(shù)z = f (x, y)在點(diǎn)可能有極值，也可能沒有極值，需另行討論。為談?wù)摱瘮?shù) f 在點(diǎn)取得極值的充分條件，我們假定 f 具有二階連續(xù)可微偏導(dǎo)數(shù)，并記，它稱為f在的黑塞( H e s s e ) 矩陣為對(duì)稱陣。 定理10 ( 極值充分條件 ) 設(shè)二元函

28、數(shù) f 在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)函數(shù)，且是 f 的穩(wěn)定點(diǎn)，則當(dāng)是正定矩陣時(shí)，f 在取得極小值；當(dāng)是負(fù)定矩陣時(shí)， f 在取得極大值；當(dāng) 是不定矩陣時(shí)， f 在不取極值。 分析：利用反證法通過泰勒公式和函數(shù)在單位圓的性質(zhì)證明極值問題。 證明： 由f 在的二級(jí)泰勒公式，并注意到條件，有 其中，。由于正定，所以對(duì)任何，使二次型，因此存在一個(gè)與無關(guān)的q ，事實(shí)上因?yàn)?，?中，。顯然是的連續(xù)函數(shù)。由于 ，因此中在單位圓上必有最小值。又因，故 q 0 。使得。從而對(duì)于充分小的， 只要，就有即 f 在點(diǎn)取得極小值。同理，可證為負(fù)定矩陣時(shí) f 在取得極大值，再用反證法證明，當(dāng)不定時(shí)，f 在不取極值。 例

29、1 求出函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)，其中哪一點(diǎn)是極小值點(diǎn)?哪一點(diǎn)是極大值點(diǎn)?有沒有既不是極大值點(diǎn)又不是極小值點(diǎn)? 解： 由方程組得到f 的穩(wěn)定點(diǎn)；。由 于，是不定矩陣 ， 所以 f 在不能取得極值 。 是不定矩陣 ，所以 f 在不能取得極值 。 是負(fù)定矩陣 ，所以是f的極大值點(diǎn) 。 是正定矩陣 ，所以是 f 的極小值點(diǎn) 。 所以的所有穩(wěn)定點(diǎn)為；。其中是的極小值點(diǎn)，是的極大值點(diǎn)，與既不是的極大值點(diǎn)也不極小值點(diǎn)。第三章 凸函數(shù)與極值相關(guān)理論眾所周知，有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)一定能夠取到最大值與最小值，但最大值點(diǎn)與最小值點(diǎn)可能在區(qū)域的任意點(diǎn)。但是對(duì)于凸函數(shù)來說，它的最大（?。┲涤兄恍┨厥獾男再|(zhì)。定理1 設(shè)是一非空

30、有界閉凸集，是凸函數(shù)。（）若是在上的局部極小值，則是在上的最小值 ；（ii）若是嚴(yán)格凸函數(shù)，則它在上的最小值點(diǎn)是唯一的。證明：（i）若是的一個(gè)局部極小值點(diǎn)，則存在的一個(gè)鄰域，對(duì)于，有.從而有又由是凸函數(shù)，故有移項(xiàng)即可得，故在上取最小值；（ii）假設(shè)在上的兩點(diǎn),取到最小值，即.因是凸集，故對(duì)于.又由是嚴(yán)格凸的，則有這與在上取最小值矛盾。定理2 有界閉凸集上的凸函數(shù)必在的邊界上取到最大值。證明： 設(shè)，若則定理得證；否則，的內(nèi)點(diǎn)，過任做一“直線”，由有界閉凸集的性質(zhì)，該“直線”必與邊界交于兩點(diǎn)，設(shè)為,于是存在正數(shù).由假設(shè)知故若，則即從而有，這與點(diǎn)為最大值點(diǎn)矛盾，故.同理.定理3 設(shè) 為有界凸多面體，

31、為的頂點(diǎn)，為上的凸函數(shù)，則的最大值必在的頂點(diǎn)上取到，即證明： 由定理2知，存在, 使設(shè)在的某一側(cè)面上，則的頂點(diǎn)是的頂點(diǎn)中的一部分。若是的頂點(diǎn)，則結(jié)論已成立；若不是的頂點(diǎn)，設(shè)，是的頂點(diǎn)，則存在且由的凸性知，由此可知注1 若是凹函數(shù)，則在凸多面體上的最小值必在該多面體的頂點(diǎn)得到。推論1 若是有界凸多面體上的線性函數(shù)，則的最大值，最小值都在該多面體的頂點(diǎn)上取到。第四章 利用凸函數(shù)求解極值問題4.1 將極值問題轉(zhuǎn)化為凸函數(shù)問題求解 例1 在條件的約束下，求函數(shù)的最大值和最小值。解：約束條件在平面上構(gòu)成一個(gè)八邊形（如圖4-1）。圖4-1先考慮函數(shù),由于是一元凸函數(shù)，而是線性函數(shù)，所以有，又由于在上單調(diào)增

32、，所以至于最小值，我們注意到當(dāng)?shù)慕^對(duì)值越小，的值越小，越小，故再由的單調(diào)性，有.注意，的極小值點(diǎn)不在八邊形的頂點(diǎn)集上。例2 已知滿足下列不等式求的最大值和最小值。解：約束條件構(gòu)成的區(qū)域?yàn)橄聢D（4-2）中以為頂點(diǎn)的三圖4-2角形閉域.我們來證明是上的下凸函數(shù)。對(duì)于任意的，=可知是上的下凸函數(shù)。可得為求,首先注意到，對(duì)于表示點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，故從而得4.2 弓形面積的最值 下面我們通過一個(gè)例題來研究求弓形面積的最值問題。例3求拋物線與過焦點(diǎn)的弦所圍成的圖形的面積的最小值。解法1： 弦方程法:圖4-3設(shè)過焦點(diǎn)的弦的方程為與聯(lián)立解這個(gè)方程 ，且，這樣就有了弦與拋物線圍成的弓形的面積為 我們把和的值代入 通過這個(gè)得式我們觀察到：當(dāng)時(shí)弓形面積最小，最小面積為。解法2：極坐標(biāo)方程法 取為極點(diǎn)，軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則拋物線的極坐標(biāo)方程為 化簡(jiǎn)得 過焦點(diǎn)的弦的極坐標(biāo)方程為，這樣我們就可以得到弦與拋物線圍成的弓形面積為 當(dāng)時(shí)，弓形的面積最小，那么它的最小面積是。解法3： 解法1和解法2綜合法我們將解法1和解法2結(jié)合起來，也