凸函數(shù)與極值

1、哈爾濱學院本科畢業(yè)論文（設計）題目： 凸函數(shù)與極值 院（系）理學院專 業(yè)數(shù)學與應用數(shù)學年 級2009級姓 名哦哦學 號指導教師啊啊啊職 稱副教授2013年 月 日畢業(yè)論文（設計）評語及成績論文類型：理論研究型評語：該論文的選題有一定的理論價值。本文主要觀點正確，選題有一定的新意，論點正確、論據(jù)充分、結構嚴謹、文理通順、條理清晰、邏輯性強、寫作格式規(guī)范、圖表正確、清晰。所采用的資料可信度、支撐度高。全文理論結合實際，對應用凸函數(shù)的性質求解極值問題做出了全面而深刻的分析和總結，反映了該生較扎實的理論基礎。本文對提高學生解題能力、培養(yǎng)創(chuàng)新能力具有一定的指導作用。符合本科畢業(yè)論文的規(guī)范要求。可以提交答

2、辯。指導教師（簽字）年 月 日評語及評分成績： 答辯委員會主席（簽字）年 月 日院（系）學位評定委員會意見：簽字：年 月 日學校學位評定委員會意見：簽字：年 月 日承 諾 書本人 哦哦 ，哈爾濱學院 理 學院 數(shù)學與應用數(shù)學 專業(yè) 094 班學生，學號： 。本人鄭重承諾：本人撰寫的畢業(yè)論文凸函數(shù)與極值 ，是個人的研究成果，數(shù)據(jù)來源真實可靠，無剽竊行為。 承諾人：董春 年 月 日目 錄摘 要1Abstract2前 言3第一章 凸函數(shù)的定義與性質41.1 一元凸函數(shù)的定義與性質41.1.1一元凸函數(shù)的定義41.1.2一元凸函數(shù)的性質41.1.3一元凸函數(shù)的判定71.2 多元凸函數(shù)的定義與性質91.

3、2.1多元凸函數(shù)的定義91.2.2多元凸函數(shù)的性質101.2.3多元凸函數(shù)的判定10第二章極值的定義與判別法142.1一元函數(shù)極值142.1.1一元函數(shù)極值的定義142.1.2一元函數(shù)極值的判定142.1.3可導凸函數(shù)極值問題 152.1.4一般凸函數(shù)極值問題172.2 多元函數(shù)極值182.1.1多元函數(shù)極值的定義182.1.2多元函數(shù)極值的判定19第三章 凸函數(shù)與極值相關理論22第四章 利用凸函數(shù)求解極值問題244.1將極值問題轉化為凸函數(shù)問題求解244.2弓形面積的最值26參考文獻30后 記31摘 要本文第一章對凸函數(shù)的定義及性質問題作了簡單的闡述。研究一元凸函數(shù)和多元凸函數(shù)的定義，性質及

4、其判定；刻畫了凸函數(shù)極值點的分布規(guī)律，并將所得的結果推廣到可導嚴格凸函數(shù)和一般凸函數(shù)中。第二章介紹了極值的定義與判別法，從一元極值的定義與判別法推出可導凸函數(shù)的極值問題以至推廣到一般凸函數(shù)極值問題。第三章介紹了凸函數(shù)與極值的相關理論為后續(xù)第四章的利用凸函數(shù)求解極值問題作了鋪墊。關鍵詞：凸函數(shù)；嚴格凸函數(shù)；極值；最值 Abstract The extremum problems and its corresponding maximum and minimum Value Problems of differentiable convex function are studied in this

5、 paper ，and the distribution law of extreme value point of convex function is depicted. The obtained result can be extended to the differentiable strictly convex function and the general convex functionKey words: convex function; strictly convex function; extreme value; maximum and minimum value 前 言

6、函數(shù)的極值不僅在實際問題中占有重要地位，而且也是函數(shù)性態(tài)的重要特征。在現(xiàn)有文獻中，對一般可導函數(shù)的極值問題的研究已接近完善，得到了許多極值的充分條件，為求解函數(shù)的極值與最值問題帶來了極大的便利。但是對于凸函數(shù)的極值問題的討論卻鮮見報道。為此，本文從凸函數(shù)的基本定義和性質出發(fā)，研究可導凸函數(shù)極值問題，探討凸函數(shù)極值的充分條件，并討論相應的最值問題，以期揭示可導凸函數(shù)的極值點和最值點的分布規(guī)律。凸函數(shù)是一類重要的函數(shù)，它的概念最早見于Jensen著作中，它在純粹數(shù)學和應用數(shù)學的眾多領域具有廣泛的應用，現(xiàn)已成為數(shù)學規(guī)劃，對策論數(shù)理經濟學，變分學和最優(yōu)控制學的理論基礎和有力工具。為了理論上的突破，加強

7、他們在實踐中的應用，產生了廣義凸函數(shù)。本文由凸函數(shù)的定義出發(fā)，研究了凸函數(shù)的判定及其應用，總結了凸函數(shù)的許多重要性質，應用到實際問題中，結合正定矩陣在最優(yōu)化的圖規(guī)劃和函數(shù)極值點問題的應用，拓寬了凸函數(shù)極值問題的新領域。凸函數(shù)是一類有著廣泛應用的特殊函數(shù)，具有許多特殊的性質，它的最大值與最小值有著一些特殊的性質，因此，探討和總結凸函數(shù)的性質及應用能深刻理解和牢固掌握函數(shù)的概念和性質，培養(yǎng)學生抽象思維和創(chuàng)新意識具有重要作用。本文共分四章，包括了凸函數(shù)定義及性質與極值的定義與判別法，凸函數(shù)與極值相關理論和利用凸函數(shù)求解極值問題。第一章 凸函數(shù)的定義與性質1.1 一元凸函數(shù)的定義與性質 1.1.1一元

8、凸函數(shù)的定義定義1 設函數(shù)在I上有定義，若，總有 或 稱為I上的凸函數(shù)（凹函數(shù)）。定義2 在定義1中，若，且不等式（1）（2）嚴格成立，則稱為I上嚴格凸函數(shù)（嚴格凹函數(shù)）。我們給出了凸函數(shù)的定義，要證明它是嚴格凸函數(shù)唯一的條件是，只要那么不等式（1）（2）就嚴格成立。由定義1，定義2，容易證明：若函數(shù)為I上的凸函數(shù)，則，有若，則有那么，則有則函數(shù)為I上的凹函數(shù)。由凸函數(shù)的定義我們很容易證明凹函數(shù)，由凸函數(shù)性質及其相關問題，自然而然的就能推到凹函數(shù)中去。1.1.2一元凸函數(shù)的性質1.凸函數(shù)的運算性質性質1 設函數(shù),在區(qū)間為凸函數(shù)，則函數(shù)+在區(qū)間也為凸函數(shù)。我們在證明凸函數(shù)的運算性質時，知道函數(shù),

9、在區(qū)間為凸函數(shù)，根據(jù)定義寫出它的運算公式，函數(shù)+的和就是兩個運算公式的和，在區(qū)間上也是成立的，證明過程如下：證明： , , 因函數(shù),在區(qū)間為凸函數(shù)，從而 且 從而因此+在區(qū)間也為凸函數(shù)。推論1 設函數(shù),在區(qū)間為凸函數(shù)，為非負實數(shù),則也為區(qū)間上的凸函數(shù)。根據(jù)性質1的證明：我們同樣可以證明出推論1的結論。證明如下：, , 因函數(shù),在區(qū)間為凸函數(shù)，從而 且 又因為為非負實數(shù)，所以有=+因此在區(qū)間也為凸函數(shù)。性質2 設函數(shù),在區(qū)間為凸函數(shù)，則在區(qū)間也為凸函數(shù)。分析：利用凸函數(shù)的定義和兩個函數(shù)最大值的性質可以證明在區(qū)間也為凸函數(shù)。證明： , 因函數(shù),在區(qū)間為凸函數(shù)，從而且令=,則 因此 在區(qū)間也為凸函數(shù)

10、。性質3 設函數(shù),在區(qū)間為遞增的非負凸函數(shù)，則在區(qū)間也為凸函數(shù)。 分析：利用凸函數(shù)的定義和函數(shù)在區(qū)間的單調性可以證明在區(qū)間也為凸函數(shù)。 證明：, 因函數(shù),在區(qū)間為凸函數(shù)，從而且從而 可得，在區(qū)間也為凸函數(shù)。 推論2 為區(qū)間上的凸函數(shù)，為非負實數(shù)，則也為區(qū)間上的凸函數(shù)。性質4 設函數(shù)在區(qū)間為非負凸函數(shù)，則在區(qū)間上也為凸函數(shù)。利用不等式的性質和函數(shù)的連續(xù)可以證明在區(qū)間上也為凸函數(shù)。證明： ，因函數(shù)為非負凸函數(shù)，可知在連續(xù)，且0從而在區(qū)間連續(xù)，因,有，因此 可知在區(qū)間上也為凸函數(shù)。性質5 設函數(shù)在區(qū)間為凸函數(shù)，設函數(shù)在區(qū)間為單調增加凸函數(shù)，且的值域A=，則在為凸函數(shù)。證明：, 因函數(shù),在區(qū)間為凸函數(shù)

11、，從而 且因此可知在為凸函數(shù)。性質6 設在區(qū)間為嚴格減少的凸函數(shù)，則反函數(shù)也為凸函數(shù)。分析:根據(jù)凸函數(shù)的性質和反比例函數(shù)的性質，利用函數(shù)在區(qū)間上的單調性可以證明反函數(shù)也為凸函數(shù)。證明：因在區(qū)間上嚴格減少，從而存在反函數(shù)，設A=，., 則，使即則為凸函數(shù)，從而=因為嚴格減少。因此，即 因此，由定義知在A=也為凸函數(shù)。2.凸函數(shù)的積分性質將凸性與函數(shù)的連續(xù)性（甚至單側連續(xù)性）、單調性等聯(lián)系起來,應用到積分學中可以得到許多好的結論。性質7 設是上的凸函數(shù),則為上的凸函數(shù). 分析：利用凸函數(shù)的定義和求導公式可以證明 為上的凸函數(shù)。 證明：為上的凸函數(shù),因此它在內連續(xù),在上有界.由此知有意義. ,令 時

12、，恒有 = （因的凸性） 所以是上的凸函數(shù).性質8 設函數(shù)在上遞增,則函數(shù)為凸函數(shù).分析：利用函數(shù)的增減性不等式的性質可以證明函數(shù)為凸函數(shù)。 證明： 因 遞增,積分有意義.且。故為凸函數(shù).1.1.3一元凸函數(shù)的判定定理1 設函數(shù)為I上可導，則為I凸函數(shù)的充要條件是：總有 且當為I上的嚴格凸函數(shù)時，不等式（3）嚴格成立。定理 函數(shù)為I上的凸函數(shù)的充要條件是： 且當為I上的嚴格凸函數(shù)時，不等式（4）嚴格成立。 定理 函數(shù)為I上的凸函數(shù)的充要條件是： 且當為I上的嚴格凸函數(shù)時，不等式（5）嚴格成立。定理4 設函數(shù)在開區(qū)間可導，函數(shù)在區(qū)間是凸函數(shù)（凹函數(shù)），且,有（）.證明： 只給出凸函數(shù)情況的證明，

13、同法可證凹函數(shù)的情況。 必要性若函數(shù)在區(qū)間是下凸函數(shù)，且，由 （6） 有 已知函數(shù)在與都可導（當然也連續(xù)）。根據(jù)極限保號性定理分別有即 與 即 于是= 充分性,且.根據(jù)微分中值定理,有=與= 已知，即由（6）式知，函數(shù)在區(qū)間是凸函數(shù)。定理5 若函數(shù)在開區(qū)間存在二階導數(shù)，且（1）,有,則函數(shù)在區(qū)間嚴格凸函數(shù)。（2）,有,則函數(shù)在區(qū)間嚴格凹函數(shù)。1.2 多元凸函數(shù)的定義及性質凸函數(shù)的概念可以從一元函數(shù)推廣到多元函數(shù)，但是，這需要多元函數(shù)的定義域是凸的。1.2.1多元凸函數(shù)的定義定義3 設集合，若對于任意的以及任意的，有 則稱集合是凸集。由定義易知，是凸集，當且僅當連接中任意兩點的線段在中。性質9

14、集合是凸集的充要條件是對于任意自然數(shù)，若點，則其非負線性組合 其中且.性質10 任意兩個凸集的交集是凸集。注1 兩個凸集的并集未必是凸集。定義4 設，定義性質11 設是凸集，是實數(shù)，則是凸集。定義5 設是一非空凸集，若對于任意的及任意的，有 則稱在集合上是凸函數(shù)；若 則稱在集合上是凹函數(shù)。1.2.2多元凸函數(shù)的性質定理6 設是凸集，則是凸函數(shù)當且僅當對于任意的自然數(shù)有 其中.定理7 設是凸集上的凸函數(shù)，又，則是凸函數(shù)。定理8 設是凸函數(shù)，是非減凸函數(shù)，則復合函數(shù)是上的凸函數(shù)。1.2.3多元凸函數(shù)的判定如果可行域是凸集，目標函數(shù)是凸函數(shù)，則所論的最優(yōu)化問題是一個凸規(guī)劃問題。那么哪些函數(shù)是凸函數(shù)呢

15、? 最常見也是最簡單的凸函數(shù)是變量 的線性函數(shù)，例如線性規(guī)劃中的目標函數(shù)，其中。需要指出的是線性函數(shù)既是凸函數(shù)也是凹函數(shù)。 另一類常見的二次函數(shù)其中 是 n n 階 對 稱 陣 ， 即，。為的 H e s s e 矩陣。 表示向量的轉置。 當矩陣半正定時是凸函數(shù)；當正定是嚴格凸函數(shù)；當半負定時是凹函數(shù)；當是不定矩陣時，即不是凸函數(shù)也不是凹函數(shù)。定理9 設是定義在凸函數(shù)集上的一階可微連續(xù)函數(shù)，則是D上嚴格凸函數(shù)的充分必要條件是：，。利用凸函數(shù)的定義和泰勒展開式即可證明。證明 必要性： 設是凸集 D上的嚴格凸函數(shù)，則對任意的 和任意的，有由此得 （7）由泰勒展開式有代入 （7）式得兩邊也關于取極限

16、即充分性：設滿足條件，對任意的， 取，由D是凸集知，由條件得到： （8） (9)用乘以( 7 ) 式， 用乘以( 8) 式后兩式相加,得 .由于，由上式即可得對以及有 由嚴格凸函數(shù)是定義知，是凸集D上的嚴格凸函數(shù)。 定理10 設 是非空凸集上的二階連續(xù)可微函數(shù)，則若的He s s e矩陣在 D上正定，則是 D上的嚴格凸函數(shù)。 證明： 設的 H e s s e 矩陣在 D上正定，任取兩不同點x , y D ，將 在點 x 處展開，有 （10）其中， 由在 D上的正定性以及，有代入( 9 ) 式即可得到：對任意不同的成立，知是 D上的嚴格凸函數(shù)。 根據(jù)這個定理就可以明白為什么前面所述的二次函數(shù)在

17、n x n 階對稱矩陣 G正定時是嚴格凸的，在G半正定時是凸的，在G負定時是嚴格凹的，在G半負定時是凹的。 例 1 判斷是否為凸函數(shù)。 解： 方法一 由條件知 ， 從而得到 ：在該二次函數(shù)中，是正定的。所以是嚴格凸函數(shù)。 方法二 由條件得的H e s s e 矩陣是正定的，由定理，知是嚴格凸函數(shù)。 第二章 極值的定義及判別法2.1 一元函數(shù)極值2.1.1一元函數(shù)極值的定義定義1 一般地，設函數(shù)在點附近有定義，如果對附近的所有的點，都有就說是函數(shù)的一個極大值，記作，是極大值點。 定義2 一般地，設函數(shù)在點附近有定義，如果對附近的所有的點，都有 就說是函數(shù)的一個極小值，記作=，是極小值點。極大點和

18、極小點統(tǒng)稱為極值點; 極大值與極小值統(tǒng)稱為極值。注1（1）極值是一個局部概念。由定義，極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內最大或最小。（2）函數(shù)的極值不是唯一的。即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內極大值或極小值可以不止一個。（3）極大值與極小值之間無確定的大小關系，即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值。（4）若在某區(qū)間內有極值,那么在某區(qū)間內一定不是單調函數(shù),即在區(qū)間上單調的函數(shù)沒有極值。（5）函數(shù)在某區(qū)間內有極值,它的極值點的分布是有規(guī)律的,相鄰兩個極大值點之間必有一個極小值點,同樣相鄰兩個極小值點之間必有一個極大值點。一般地,當函數(shù)在某區(qū)間上

19、連續(xù)且有有限極值點時,函數(shù)在該區(qū)間內的極大值點與極小值點是交替出現(xiàn)的。（6）函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內部，區(qū)間的端點不能成為極值點。而使函數(shù)取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內部，也可能在區(qū)間的端點。2.1.2一元函數(shù)極值的判定定理1（必要條件） 設函數(shù)在點處可導，且在點處取得極值，則函數(shù)在點的導數(shù)=0.使導數(shù)為零的點（即方程的實根），叫做的駐點。注2（1）可導函數(shù)的極值點必定是它的駐點，但是反過來，函數(shù)的駐點并不一定是它的極值點。例如，, =0,但不是極值點。（2）如果一個可導函數(shù)在所論區(qū)間上沒有駐點則此函數(shù)沒有極值，此時導數(shù)不改變符號。（3）不可導點也可能是極值點。當我們求得函數(shù)的駐點

20、后，還需要判定求得的駐點是不是極值。如果是，就要判定函數(shù)在該點取得極大值還是極小值。定理2（第一判別法）設函數(shù)在點的近旁可導且=0.（1）如果當時，；當時，；則在點取得極大值。（2）如果當時，；當時，；則在點取得極小值。定理3（第二判別法）設函數(shù)在存在階導數(shù)，且,（1）是奇數(shù)，則不是函數(shù)的極值點；（2）是偶數(shù)，則是函數(shù)的極值點；當時，是函數(shù)極小點，是極小值；當時，是函數(shù)極大點，是極大值。2.1.3可導凸函數(shù)的極值問題定理4設函數(shù)為開區(qū)間上可導的凸函數(shù)，則為的極小值的充要條件是利用函數(shù)的最值得定義和費馬定理可以得出此結論。證明：必要性.設是的極小值點，又因為在點上是處處可導的，可以根據(jù)費馬定理知

21、，充分性.因為，則，又因為，根據(jù)定理1，知我們根據(jù)函數(shù)最值的定義，在處取得最小值。那么是內點，所以在處取得極小值，且是的極小值點。推論1 設函數(shù)為開區(qū)間上可導的凸函數(shù)，若是的穩(wěn)定點，即存在，使得則在處取得極小值，是的極小值點，進而在處取得最小值，是的最小值點。證明：因為函數(shù)為開區(qū)間上可導的凸函數(shù)，所以存在上處處可導，使那么，根據(jù)引理1有根據(jù)函數(shù)最值的定義：在處取得最小值，又因為是的穩(wěn)定點，所以在處取得極小值，進而在處取得最小值，是的最小值點。推論2 設函數(shù)為開區(qū)間上可導的凸函數(shù)，則，在處不取得極大值。證明：假設在處取得極大值，則由費馬定理，。因為所以在處取得極小值，是的極小值點與在處取得極大值

22、矛盾，所以函數(shù)為開區(qū)間上可導的凸函數(shù)，則，在處不取得極大值。推論3 設函數(shù)為開區(qū)間上可導的凸函數(shù)，則，在處不取得最大值，即在內不取得最大值。證明：假設在處取得最大值，則由于是內點，所以在處取得最大值，與推論2中函數(shù)為開區(qū)間上可導的凸函數(shù)，則，在處不取得極大值矛盾，所以推論3成立。推論4 設凸函數(shù)為閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導，則在的端點或處取得最大值，且在上的最大值證明： 由于為閉區(qū)間上連續(xù)，所以為閉區(qū)間上可導，因此為閉區(qū)間上存在最值問題，根據(jù)最值性定理，在上取得最大值。又根據(jù)推理3，在內不取得最大值，所以的最大值只能在或處取得，且在上的最大值為通過以上我們知：可導凸函數(shù)的穩(wěn)定點即是的極小值點

23、與最小值點。與此同時，可導凸函數(shù)在內部沒有極大值點，從而在內不取得最大值。接下來我們討論可導嚴格凸函數(shù)極值問題。有以下定理： 定理5 設函數(shù)為開區(qū)間上可導的嚴格凸函數(shù)，若是的穩(wěn)定點，則是在上的唯一極小值點。 證明： 函數(shù)為開區(qū)間上可導的凸函數(shù)，若 是的穩(wěn)定點。即存在使得則在處不取得極小值，是的極小值點，必是在上的唯一極小值點。如果不是的話，假設在上另有一個極小值點，不妨設。則由函數(shù)極值的定義，存在，當時，；當時，現(xiàn)任取，則有，從而 ， 注意到，且嚴格凸函數(shù)，因此由定理2，有 產生矛盾。所以不存在另一個極小值，故是在上的唯一極小值點。 推論5 設函數(shù)為開區(qū)間上可導的嚴格凸函數(shù)，且是的穩(wěn)定點，是在

24、上的最小值點。證明：因為函數(shù)為開區(qū)間上可導的嚴格凸函數(shù)，是的穩(wěn)定點，根據(jù)推論1知是的最小值點，即推論5成立。 定理5及其推論表明，可導的嚴格凸函數(shù)的穩(wěn)定點必是在上的唯一極小值點，且是最小值點。定理5也告訴了我們可導凸函數(shù)與可導的嚴格凸函數(shù)的區(qū)別，就是可導凸函數(shù)的極小值點（如果存在的話）可能有一個或者無窮多個，例如常量函數(shù)=是上的可導的凸函數(shù)，它的定義域內每一點都是的極小值點。但可導的嚴格凸函數(shù)的極小值點（如果存在的話）只能有一個。2.1.4一般凸函數(shù)的極值問題由于在凸函數(shù)的定義中并沒有對函數(shù)作出連續(xù)性及可導性假設，因此一方面凸函數(shù)可能是不連續(xù)的，進而也是不可導的。例如，若令函數(shù) 則容易證明在上

25、是凸函數(shù)，但在上分別是不連續(xù)和不可導的，另一方面連續(xù)函數(shù)和可導函數(shù)也可能不是凸函數(shù)。例如在上是連續(xù)且可導的，但在上不是凸函數(shù)。這樣，當在上不可導時，上述定理及其推論失效。盡管如此，對于一般凸函數(shù)，有以下定理。定理6 設函數(shù)為開區(qū)間內的凸函數(shù)，且不恒為常數(shù)，則在內不取得最大值。由函數(shù)最值得定義和以上定理3的內容可以充分證明此結果。證明：假設在處取得最大值，則由函數(shù)最值的定義，有，此時，不等式與至少有一個成立。否則，這與不恒為常數(shù)矛盾。于是由定理3，有產生矛盾。2.2 多元函數(shù)極值2.2.1多元函數(shù)極值的定義以二元函數(shù)為例定義3 設函數(shù)z=f (x, y)在點的某鄰域內有定義，如果在該鄰域內異于點

26、的任何點P(x, y)，都有 f (x, y) （或 f (x, y) ） 則稱為函數(shù) f (x, y)的一個極大值（或極小值），極大值和極小值統(tǒng)稱為極值。使函數(shù)取極值的點叫函數(shù)的極值點。2.2.2多元函數(shù)極值的判定定理8（極值的必要條件）設可導函數(shù)z= f (x, y)在點取得極值，則必有 我們稱使成立的點為二元函數(shù)的駐點。在偏導數(shù)都存在的條件下，函數(shù)的極值點必為駐點。但函數(shù)的駐點不一定是極值點。雖然函數(shù)的駐點不一定是極值點，但定理8為尋找可導函數(shù)的可能極值點劃定了范圍。我們可以先把函數(shù)的駐點都找出來，再逐一加以判別。下面介紹一個判別二元函數(shù)極值的充分條件。定理9（極值的充分條件） 設函數(shù)在

27、點的某鄰域內連續(xù)且有一階和二階連續(xù)偏導數(shù)，點是函數(shù)z = f (x, y)的一個駐點，即記 則有（1）若B2AC0, A0,則為函數(shù)z = f (x, y) 的一個極大值；（2）若B2AC0, A0,則為函數(shù)z = f (x, y) 的一個極小值；（3）若B2AC0,則不是函數(shù)z = f (x, y) 的極值。注意：當B2AC = 0時，函數(shù)z = f (x, y)在點可能有極值，也可能沒有極值，需另行討論。為談論二元函數(shù) f 在點取得極值的充分條件，我們假定 f 具有二階連續(xù)可微偏導數(shù)，并記，它稱為f在的黑塞( H e s s e ) 矩陣為對稱陣。 定理10 ( 極值充分條件 ) 設二元函

28、數(shù) f 在點的某鄰域內具有二階連續(xù)偏導函數(shù)，且是 f 的穩(wěn)定點，則當是正定矩陣時，f 在取得極小值；當是負定矩陣時， f 在取得極大值；當 是不定矩陣時， f 在不取極值。 分析：利用反證法通過泰勒公式和函數(shù)在單位圓的性質證明極值問題。 證明： 由f 在的二級泰勒公式，并注意到條件，有 其中，。由于正定，所以對任何，使二次型，因此存在一個與無關的q ，事實上因為，其 中，。顯然是的連續(xù)函數(shù)。由于 ，因此中在單位圓上必有最小值。又因，故 q 0 。使得。從而對于充分小的， 只要，就有即 f 在點取得極小值。同理，可證為負定矩陣時 f 在取得極大值，再用反證法證明，當不定時，f 在不取極值。 例

29、1 求出函數(shù)的穩(wěn)定點，其中哪一點是極小值點?哪一點是極大值點?有沒有既不是極大值點又不是極小值點? 解： 由方程組得到f 的穩(wěn)定點；。由 于，是不定矩陣 ， 所以 f 在不能取得極值 。 是不定矩陣 ，所以 f 在不能取得極值 。 是負定矩陣 ，所以是f的極大值點 。 是正定矩陣 ，所以是 f 的極小值點 。 所以的所有穩(wěn)定點為；。其中是的極小值點，是的極大值點，與既不是的極大值點也不極小值點。第三章 凸函數(shù)與極值相關理論眾所周知，有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)一定能夠取到最大值與最小值，但最大值點與最小值點可能在區(qū)域的任意點。但是對于凸函數(shù)來說，它的最大（小）值有著一些特殊的性質。定理1 設是一非空

30、有界閉凸集，是凸函數(shù)。（）若是在上的局部極小值，則是在上的最小值 ；（ii）若是嚴格凸函數(shù)，則它在上的最小值點是唯一的。證明：（i）若是的一個局部極小值點，則存在的一個鄰域，對于，有.從而有又由是凸函數(shù)，故有移項即可得，故在上取最小值；（ii）假設在上的兩點,取到最小值，即.因是凸集，故對于.又由是嚴格凸的，則有這與在上取最小值矛盾。定理2 有界閉凸集上的凸函數(shù)必在的邊界上取到最大值。證明： 設，若則定理得證；否則，的內點，過任做一“直線”，由有界閉凸集的性質，該“直線”必與邊界交于兩點，設為,于是存在正數(shù).由假設知故若，則即從而有，這與點為最大值點矛盾，故.同理.定理3 設 為有界凸多面體，

31、為的頂點，為上的凸函數(shù)，則的最大值必在的頂點上取到，即證明： 由定理2知，存在, 使設在的某一側面上，則的頂點是的頂點中的一部分。若是的頂點，則結論已成立；若不是的頂點，設，是的頂點，則存在且由的凸性知，由此可知注1 若是凹函數(shù)，則在凸多面體上的最小值必在該多面體的頂點得到。推論1 若是有界凸多面體上的線性函數(shù)，則的最大值，最小值都在該多面體的頂點上取到。第四章 利用凸函數(shù)求解極值問題4.1 將極值問題轉化為凸函數(shù)問題求解 例1 在條件的約束下，求函數(shù)的最大值和最小值。解：約束條件在平面上構成一個八邊形（如圖4-1）。圖4-1先考慮函數(shù),由于是一元凸函數(shù)，而是線性函數(shù)，所以有，又由于在上單調增

32、，所以至于最小值，我們注意到當?shù)慕^對值越小，的值越小，越小，故再由的單調性，有.注意，的極小值點不在八邊形的頂點集上。例2 已知滿足下列不等式求的最大值和最小值。解：約束條件構成的區(qū)域為下圖（4-2）中以為頂點的三圖4-2角形閉域.我們來證明是上的下凸函數(shù)。對于任意的，=可知是上的下凸函數(shù)。可得為求,首先注意到，對于表示點到坐標原點的距離，故從而得4.2 弓形面積的最值 下面我們通過一個例題來研究求弓形面積的最值問題。例3求拋物線與過焦點的弦所圍成的圖形的面積的最小值。解法1： 弦方程法:圖4-3設過焦點的弦的方程為與聯(lián)立解這個方程 ，且，這樣就有了弦與拋物線圍成的弓形的面積為 我們把和的值代入 通過這個得式我們觀察到：當時弓形面積最小，最小面積為。解法2：極坐標方程法 取為極點，軸為極軸建立極坐標系，則拋物線的極坐標方程為 化簡得 過焦點的弦的極坐標方程為，這樣我們就可以得到弦與拋物線圍成的弓形面積為 當時，弓形的面積最小，那么它的最小面積是。解法3： 解法1和解法2綜合法我們將解法1和解法2結合起來，也