數(shù)學(xué)物理方法課件：場(chǎng)論的基本概念

1、場(chǎng)論的基本概念,數(shù)理方法課程必備基礎(chǔ)； 在彈性力學(xué)、流體力學(xué)、電磁學(xué)等學(xué)科中具有應(yīng)用廣泛； 掌握?qǐng)稣摶靖拍罴捌溆?jì)算方法，對(duì)數(shù)理方程的學(xué)習(xí)至關(guān)重要；,場(chǎng)的概念,場(chǎng) 如果在全空間或部分空間中的每一點(diǎn)，都對(duì)應(yīng)著某個(gè)物理量的一個(gè)確定的值，就稱這空間里確定了該物理量的場(chǎng)。,場(chǎng)的實(shí)例 溫度場(chǎng)、密度場(chǎng)、電勢(shì)場(chǎng)； 重力場(chǎng)、流場(chǎng)、加速度場(chǎng)；,場(chǎng)的分類：數(shù)量場(chǎng)和矢量場(chǎng) 物理量是否具有方向性；,場(chǎng)的分類：穩(wěn)定場(chǎng)和不穩(wěn)定場(chǎng) 物理量是否隨時(shí)間改變；如：定常流，非定常流。,數(shù)量場(chǎng)的梯度,數(shù)量場(chǎng)的記法 u(x, y, z)表示點(diǎn)M(x, y, z)坐標(biāo)的單值函數(shù)，記為u(M). 要求，u存在連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。,數(shù)量場(chǎng)的梯

2、度,方向?qū)?shù)是否有界？,梯度的概念 數(shù)量場(chǎng)u在點(diǎn)M處存在這樣的矢量G(M)，沿它的方向，u的方向?qū)?shù)最大，以此最大值作為G(M)的模，稱矢量G(M)為函數(shù)u在點(diǎn)M處的梯度，記為 G(M)=grad u(M),那么，在什么方向上，方向?qū)?shù)最大呢？,記l0是射線l上的單位矢量。,表示變化率，有界。,數(shù)量場(chǎng)的梯度,那么，在什么方向上，方向?qū)?shù)最大呢？ 矢量l和 同方向時(shí)。,向量夾角,數(shù)量場(chǎng)的梯度,矢量l和 同方向時(shí)，方向?qū)?shù)最大，因此，梯度為的方向就確定了。,分別是x, y, z方向的單位矢量。,但是，其長(zhǎng)度呢？,梯度的概念 數(shù)量場(chǎng)u在點(diǎn)M處存在這樣的矢量G(M)，沿它的方向，u的方向?qū)?shù)最大，以此

3、最大值作為G(M)的模，稱矢量G(M)為函數(shù)u在點(diǎn)M處的梯度,解：,數(shù)量場(chǎng)梯度：舉例,方向?qū)?shù)、梯度的數(shù)理含義,數(shù)學(xué)含義： 數(shù)量場(chǎng)中每一點(diǎn)M處的梯度，必垂直于過(guò)該點(diǎn)的場(chǎng)函數(shù)的等值面u(x, y, z)=c（常數(shù)）, 并指向函數(shù)增大的方向。,例如：梯度在熱傳導(dǎo)中的物理解釋 熱量從溫度值較大的等溫面流向值小的等溫面。,例如：物體在光滑曲面滑落 其經(jīng)過(guò)路徑各點(diǎn)的方向上，重力勢(shì)場(chǎng)具有最大的方向?qū)?shù)。,矢量場(chǎng)的散度和旋度,矢量場(chǎng)的記法： A(x, y, z)表示點(diǎn)M(x, y, z)坐標(biāo)的矢量函數(shù)，記為A(M) A(M)P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) 其中，P, Q

4、, R稱為矢量場(chǎng)A(M)的坐標(biāo)。,矢量線 曲線上每一點(diǎn)M處，場(chǎng)矢量A(M)都位于該點(diǎn)的切線上。 例如：流場(chǎng)中的流線，磁場(chǎng)中的磁力線。,通量 矢量場(chǎng)A(M)通過(guò)某曲面S的矢量線數(shù)， 稱為通量。 例如，通過(guò)某曲面的流量，即是通量。,面積微單元矢量,矢量場(chǎng)的散度,散度 在場(chǎng)中M點(diǎn)處，穿出包含M點(diǎn)的任意閉曲面S的通量對(duì)體積的變化率 其中， V是S包含的區(qū)域。,記為divA(M),面積微單元矢量,矢量場(chǎng)的散度,因此，散度的微分形式為,矢量場(chǎng)的散度：例,矢量場(chǎng)的旋度,環(huán)量 矢量場(chǎng)A(M)沿有向閉曲線L的曲線積分 稱為矢量場(chǎng)A沿L的環(huán)量。 例如：質(zhì)點(diǎn)受力場(chǎng)F沿閉曲線L運(yùn)動(dòng)所作的功； 速度場(chǎng)的環(huán)流量等。,環(huán)量面密度 在矢量場(chǎng)A(M)中，取過(guò)點(diǎn)M0且以給定方向n作為切面法向的微小曲面S，場(chǎng)A在S的邊界L上的環(huán)量對(duì)面積S的變化率,矢量場(chǎng)的旋度,環(huán)量面密度 選擇不同的方向n，有不同的微小曲面S，那么有不同的環(huán)量面密度。 總有一個(gè)方向