高一數(shù)學(xué)直線方程知識(shí)點(diǎn)歸納及典型例題

1、直線的一般式方程及綜合【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1掌握直線的一般式方程；2能將直線的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式等方程化為直線的一般式方程，并理解這些直線的不同形式的方程在表示直線時(shí)的異同之處；3能利用直線的一般式方程解決有關(guān)問(wèn)題.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：直線方程的一般式關(guān)于x和y的一次方程都表示一條直線我們把方程寫為Ax+By+C=0，這個(gè)方程(其中A、B不全為零)叫做直線方程的一般式要點(diǎn)詮釋：1A、B不全為零才能表示一條直線，若A、B全為零則不能表示一條直線.當(dāng)B0時(shí)，方程可變形為，它表示過(guò)點(diǎn)，斜率為的直線當(dāng)B=0，A0時(shí)，方程可變形為Ax+C=0，即，它表示一條與x軸垂直的直線由上可知，關(guān)于x、y的二元一次方程，它都表

2、示一條直線2在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)關(guān)于x、y的二元一次方程對(duì)應(yīng)著唯一的一條直線，反過(guò)來(lái)，一條直線可以對(duì)應(yīng)著無(wú)數(shù)個(gè)關(guān)于x、y的一次方程（如斜率為2，在y軸上的截距為1的直線，其方程可以是2xy+1=0，也可以是，還可以是4x2y+2=0等）要點(diǎn)二：直線方程的不同形式間的關(guān)系直線方程的五種形式的比較如下表：名稱方程的形式常數(shù)的幾何意義適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng)y1=k(xx1)（x1，y1）是直線上一定點(diǎn)，k是斜率不垂直于x軸斜截式y(tǒng)=kx+bk是斜率，b是直線在y軸上的截距不垂直于x軸兩點(diǎn)式（x1，y1），（x2，y2）是直線上兩定點(diǎn)不垂直于x軸和y軸截距式a是直線在x軸上的非零截距，b是直線在y軸上的

3、非零截距不垂直于x軸和y軸，且不過(guò)原點(diǎn)一般式Ax+By+C=0（A2+B20）A、B、C為系數(shù)任何位置的直線要點(diǎn)詮釋：在直線方程的各種形式中，點(diǎn)斜式與斜截式是兩種常用的直線方程形式，要注意在這兩種形式中都要求直線存在斜率，兩點(diǎn)式是點(diǎn)斜式的特例，其限制條件更多（x1x2，y1y2），應(yīng)用時(shí)若采用(y2y1)(xx1)(x2x1)(yy1)=0的形式，即可消除局限性截距式是兩點(diǎn)式的特例，在使用截距式時(shí)，首先要判斷是否滿足“直線在兩坐標(biāo)軸上的截距存在且不為零”這一條件直線方程的一般式包含了平面上的所有直線形式一般式常化為斜截式與截距式若一般式化為點(diǎn)斜式，兩點(diǎn)式，由于取點(diǎn)不同，得到的方程也不同要點(diǎn)三：

4、直線方程的綜合應(yīng)用1已知所求曲線是直線時(shí)，用待定系數(shù)法求2根據(jù)題目所給條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，求出直線方程對(duì)于兩直線的平行與垂直，直線方程的形式不同，考慮的方向也不同（1）從斜截式考慮 已知直線, ；于是與直線平行的直線可以設(shè)為；垂直的直線可以設(shè)為（2）從一般式考慮： 且或，記憶式（） 與重合，于是與直線平行的直線可以設(shè)為；垂直的直線可以設(shè)為.【典型例題】類型一：直線的一般式方程例1根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程 （1）斜率是，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（8，2）；（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（4，2），平行于x軸；（3）在x軸和y軸上的截距分別是，3；（4）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1（3，2），P2（5，4）【

5、答案】（1）x+2y4=0（2）y2=0（3）2xy3=0（4）【解析】 （1）由點(diǎn)斜式方程得，化成一般式得x+2y4=0（2）由斜截式得y=2，化為一般式得y2=0（3）由截距式得，化成一般式得2xy3=0（4）由兩點(diǎn)式得，化成一般式方程為【總結(jié)升華】本題主要是讓學(xué)生體會(huì)直線方程的各種形式，以及各種形式向一般式的轉(zhuǎn)化，對(duì)于直線方程的一般式，一般作如下約定：x的系數(shù)為正，x，y的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)一般不出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，一般按含x項(xiàng)、y項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)順序排列求直線方程的題目，無(wú)特別要求時(shí)，結(jié)果寫成直線方程的一般式舉一反三：【變式1】已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且傾斜角是，求直線的點(diǎn)斜式方程和一般式方程.【答案】 【解析】因

6、為直線傾斜角是，所以直線的斜率，所以直線的點(diǎn)斜式方程為：，化成一般式方程為：.例2的一個(gè)頂點(diǎn)為，、 的平分線在直線和上，求直線BC的方程. 【答案】【解析】由角平分線的性質(zhì)知，角平分線上的任意一點(diǎn)到角兩邊的距離相等，所以可得A點(diǎn)關(guān)于的平分線的對(duì)稱點(diǎn)在BC上，B點(diǎn)關(guān)于的平分線的對(duì)稱點(diǎn)也在BC上寫出直線的方程，即為直線BC的方程. 例3求與直線3x+4y+1=0平行且過(guò)點(diǎn)（1，2）的直線的方程【答案】3x+4y11=0【解析】解法一：設(shè)直線的斜率為k，與直線3x+4y+1=0平行，又經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2），可得所求直線方程為，即3x+4y11=0解法二：設(shè)與直線3x+4y+1=0平行的直線的方程為3x+

7、4y+m=0，經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2），31+42+m=0，解得m=11所求直線方程為3x+4y11=0【總結(jié)升華】（1）一般地，直線Ax+By+C=0中系數(shù)A、B確定直線的斜率，因此，與直線Ax+By+C=0平行的直線可設(shè)為Ax+By+m=0，這是常采用的解題技巧我們稱Ax+By+m=0是與直線Ax+By+C=0平行的直線系方程參數(shù)m可以取mC的任意實(shí)數(shù)，這樣就得到無(wú)數(shù)條與直線Ax+By+C=0平行的直線當(dāng)m=C時(shí)，Ax+By+m=0與Ax+By+C=0重合（2）一般地，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（x0，y0），且與直線Ax+By+C=0平行的直線方程為A(xx0)+B(yy0)=0（3）類似地有：與直線Ax+By+

8、C=0垂直的直線系方程為BxAy+m=0（A，B不同時(shí)為零）舉一反三：【變式1】已知直線：3mx+8y+3m-10=0 和 ：x+6my-4=0 .問(wèn) m為何值時(shí):（1）與平行（2）與垂直. 【答案】（1）（2）【解析】當(dāng)時(shí)，：8y-10=0；：x-4=0，當(dāng)時(shí)，：；：由，得，由得而無(wú)解綜上所述（1），與平行（2），與垂直【變式2】 求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，1），且與直線2x+y10=0垂直的直線的方程 【答案】x2y=0【解析】因?yàn)橹本€與直線2x+y10=0垂直，可設(shè)直線的方程為，把點(diǎn)A（2，1）代入直線的方程得：，所以直線的方程為：x2y=0類型二：直線與坐標(biāo)軸形成三角形問(wèn)題例4已知直線的傾斜角的

9、正弦值為，且它與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6，求直線的方程【思路點(diǎn)撥】知道直線的傾斜角就能求出斜率，進(jìn)而引進(jìn)參數(shù)直線在y軸上的截距b，再根據(jù)直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6，便可求出b也可以根據(jù)直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6，設(shè)截距式直線方程，從而得出，再根據(jù)它的斜率已知，從而得到關(guān)于a，b的方程組，解之即可【答案】或【解析】解法一：設(shè)的傾斜角為，由，得設(shè)的方程為，令y=0，得直線與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為，（0，b），即b2=9，b=3故所求的直線方程分別為或解法二：設(shè)直線的方程為，傾斜角為，由，得，解得故所求的直線方程為或【總結(jié)升華】（1）本例中，由于已知直線的傾斜角（與斜率有關(guān)）及直

10、線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積（與截距有關(guān)），因而可選擇斜截式直線方程，也可選用截距式直線方程，故有“題目決定解法”之說(shuō)（2）在求直線方程時(shí)，要恰當(dāng)?shù)剡x擇方程的形式，每種形式都具有特定的結(jié)論，所以根據(jù)已知條件恰當(dāng)?shù)剡x擇方程的類型往往有助于問(wèn)題的解決例如：已知一點(diǎn)的坐標(biāo)，求過(guò)這點(diǎn)的直線方程，通常選用點(diǎn)斜式，再由其他條件確定該直線在y軸上的截距；已知截距或兩點(diǎn)，選擇截距式或兩點(diǎn)式在求直線方程的過(guò)程中，確定的類型后，一般采用待定系數(shù)法求解，但要注意對(duì)特殊情況的討論，以免遺漏舉一反三：【變式1】（2015春 啟東市期中）已知直線m：2xy3=0，n：x+y3=0 （1）求過(guò)兩直線m，n交點(diǎn)且與直線l：x

11、+2y1=0平行的直線方程；（2）求過(guò)兩直線m，n交點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸圍成面積為4的直線方程【思路點(diǎn)撥】（1）求過(guò)兩直線m，n交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合直線平行的斜率關(guān)系即可求與直線l：x+2y1=0平行的直線方程；（2）設(shè)出直線方程，求出直線和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合三角形的面積公式進(jìn)行求解即可【答案】（1）x+2y4=0；（2）【解析】（1）由，解得，即兩直線m，n交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），設(shè)與直線l：x+2y1=0平行的直線方程為x+2y+c=0，則2+21+c=0，解得c=4，則對(duì)應(yīng)的直線方程為x+2y4=0；（2）設(shè)過(guò)（2，1）的直線斜率為k，（k0），則對(duì)應(yīng)的直線方程為y1=k(x2)，令x=0，y=1

12、2k，即與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，12k）令y=0，則，即與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則AOB的面積，即，即，若k0，則方程等價(jià)為，解得或，若k0，則方程等價(jià)為，解得綜上直線的方程為 ，或，或即，或，或類型三：直線方程的實(shí)際應(yīng)用例6（2015春 湖北期末）光線從點(diǎn)A（2，3）射出，若鏡面的位置在直線l：x+y+1=0上，反射光線經(jīng)過(guò)B（1，1），求入射光線和反射光線所在直線的方程，并求光線從A到B所走過(guò)的路線長(zhǎng)【思路點(diǎn)撥】求出點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)，就可以求出反射光線的方程，進(jìn)一步求得入射點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可求入射光線方程，可求光線從A到B所走過(guò)的路線長(zhǎng)【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A（x0，y0），A

13、A被l垂直平分，解得點(diǎn)A（4，3），B（1，1）在反射光線所在直線上，反射光線的方程為，即4x5y+1=0，解方程組得入射點(diǎn)的坐標(biāo)為由入射點(diǎn)及點(diǎn)A的坐標(biāo)得入射光線方程為，即5x4y+2=0，光線從A到B所走過(guò)的路線長(zhǎng)為【總結(jié)升華】本題重點(diǎn)考查點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題，考查入射光線和反射光線，解題的關(guān)鍵是利用對(duì)稱點(diǎn)的連結(jié)被對(duì)稱軸垂直平分舉一反三：【變式1】（2016春 福建廈門期中）一條光線從點(diǎn)A（4，2）射出，到直線y=x上的B點(diǎn)后被直線y=x反射到y(tǒng)軸上的C點(diǎn)，又被y軸反射，這時(shí)反射光線恰好過(guò)點(diǎn)D（1，6）求BC所在直線的方程【答案】10x3y+8=0【解析】如圖，A（4，2），D（1，6）， 由對(duì)稱性求得A（4，2）關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)A（2，4），D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D（1，6），則由入射光線和反射光線的性質(zhì)可得：過(guò)AD的直線方程即為BC所在直線的方程由直線方程的兩點(diǎn)式得：整理得：10x3y+8=0例7如圖，某房地產(chǎn)公司要在荒地ABCDE上劃出一塊長(zhǎng)方形土地（不改變方向）建造一幢8層的公寓，如何設(shè)計(jì)才能使公寓占地面積最大？并求出最大面積（精確到1 m2） 【答案】6017【解析】 建立坐標(biāo)系，則B（30，0），A（0，20）由