微積分的創(chuàng)立 數(shù)學(xué)史.ppt

1、微積分的創(chuàng)立,解析幾何是代數(shù)與幾何相結(jié)合的產(chǎn)物，它把變量引入數(shù)學(xué)，使得人們借助于數(shù)學(xué)對(duì)運(yùn)動(dòng)變化的規(guī)律進(jìn)行定量的分析成為可能，同時(shí)也為微積分的創(chuàng)立奠定了基礎(chǔ)。微積分的創(chuàng)立是17世紀(jì)數(shù)學(xué)最重要的成就之一，也是科學(xué)技術(shù)發(fā)展史上最重大的事件之一。,牛頓稱微積分為“流數(shù)術(shù)”，這個(gè)名稱后來(lái)逐漸被淘汰。萊布尼茨使用了“差的計(jì)算”與“和的計(jì)算”。后來(lái)，“差的計(jì)算”變成專門的術(shù)語(yǔ)“微分學(xué)（calculus differentialis）”，而“和的計(jì)算”變成“積分學(xué)（calculus summatorius）”，兩者合起來(lái)就是微積分（calculus）。,在中國(guó)，1859年5月10日，上海印刷發(fā)行了李善蘭和偉烈

2、亞歷合譯的代微積拾級(jí)。原書(shū)是羅密士的解析幾何與微積分基礎(chǔ)。譯名的“代”指的是解析幾何（原譯名為代數(shù)幾何，解析幾何為日文譯名），“微”指微分，“積”指積分。Cululus譯作“微積”。李善蘭序中說(shuō)：“是書(shū)先代數(shù)，次微分，由易而難，若階級(jí)之漸升?！惫拭笆凹?jí)”。這就是中國(guó)微積分名稱的來(lái)源。把calculcus譯成“微積分”，可能是依數(shù)書(shū)記遺“不辯積微之為量，詎曉百憶于大千”句，取“積微成著”之義，譯名反映了李善蘭對(duì)概念的科學(xué)內(nèi)容的深刻理解，并表現(xiàn)了漢學(xué)的高深造詣。,微積分產(chǎn)生的背景,事實(shí)上，“無(wú)限細(xì)分，無(wú)限求和”的微積分思想，在古代的西方和中國(guó)早就已經(jīng)開(kāi)始萌芽。 兩千多年以前的古希臘時(shí)代，地中海沿

3、岸的奴隸們?cè)诜敝氐纳a(chǎn)勞動(dòng)中，早就認(rèn)識(shí)到搬運(yùn)重東西時(shí)利用滾動(dòng)要比滑動(dòng)省力，因而在運(yùn)輸中廣泛應(yīng)用裝有圓輪和圓軸的車子；那時(shí)也已經(jīng)出現(xiàn)了水輪機(jī)，利用流水的沖力推動(dòng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)，水輪又經(jīng)過(guò)齒輪的作用帶動(dòng)碾磨。為了精密地制造這些工件，就需要對(duì)圓形有精確的認(rèn)識(shí)，在深入地研究圓形的過(guò)程中，出現(xiàn)了“無(wú)限細(xì)分、無(wú)限求和”的微積分思想的萌芽。,微積分產(chǎn)生的背景,古希臘科學(xué)家阿基米德在解決許多實(shí)際問(wèn)題的同時(shí)，研究了圓的周長(zhǎng)和面積的計(jì)算問(wèn)題，他利用圓的內(nèi)接正多邊形和外切正多邊形來(lái)推算，邊數(shù)越多，圓和多邊形就越接近。從圓心到多邊形頂點(diǎn)的半徑把多邊形分成一個(gè)個(gè)三角形。也同時(shí)把圓分成一個(gè)個(gè)扇形。多邊形的邊數(shù)越多，三角形就越接

4、近扇形，三角形的底邊（即多邊形的一條邊）便近似于扇形的圓弧；三角形的面積便近似于扇形的面積；各個(gè)三角形底邊之和便近似于圓的周長(zhǎng)；各個(gè)三角形面積之和就近似于圓的面積，而且隨著邊數(shù)的增多，這種近似就變得越來(lái)越精確。,微積分產(chǎn)生的背景,阿基米德從最簡(jiǎn)單的六邊形一直做到96邊形，得出圓周長(zhǎng)和圓的直徑的比值（圓周率）是3(10/71)與3(1/7)之間的數(shù)。在這個(gè)計(jì)算工作中，已包含了“無(wú)限細(xì)分，無(wú)限求和”的微積分思想，多邊形不斷增多邊數(shù)，這就是對(duì)于圓周“無(wú)限細(xì)分”，由許多三角形的總和來(lái)求圓周長(zhǎng)及圓面積，這就是“無(wú)限求和”。,微積分產(chǎn)生的背景,我國(guó)古代，也早就有了微積分思想的萌芽。 西漢劉歆在西京雜記中提

5、到的“記里車”，東漢張衡制造的“渾天儀”，蜀漢諸葛亮使用并改進(jìn)的“木牛流馬”，都要設(shè)計(jì)制造圓形的物件，從而產(chǎn)生了魏晉時(shí)劉徽提出的“割圓術(shù)”。 他從圓內(nèi)接正六邊形做起，令邊數(shù)成倍的增加，逐步推求圓內(nèi)接正12邊形，正24邊形，直到正3072邊形，用這個(gè)正3076邊形面積來(lái)逼近圓面積，就得到的較精確值3.1416，“割之彌細(xì)，所失彌少；割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣?！边@就包含著微積分中“無(wú)限細(xì)分，無(wú)限求和”是思想方法。,微積分產(chǎn)生的背景,到了16世紀(jì)前后，社會(huì)生產(chǎn)實(shí)踐活動(dòng)進(jìn)入了一個(gè)新的時(shí)期。開(kāi)普勒根據(jù)長(zhǎng)期的天文觀測(cè)資料，總結(jié)出行星運(yùn)動(dòng)的三大定律；伽利略發(fā)現(xiàn)了自由落體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，這個(gè)

6、規(guī)律可表示成著名的公式S=1/2gt2；,微積分產(chǎn)生的背景,笛卡兒關(guān)于幾何學(xué)的工作及費(fèi)馬對(duì)極值問(wèn)題的研究，特別是他們關(guān)于解析幾何的工作，開(kāi)始有了變數(shù)概念，并把描述運(yùn)動(dòng)的函數(shù)關(guān)系和幾何中曲線問(wèn)題的研究統(tǒng)一起來(lái)了。,微積分產(chǎn)生的背景,問(wèn)題1：求自由落體在下落后1秒鐘這個(gè)時(shí)刻的瞬時(shí)速度？ 問(wèn)題2：求一個(gè)曲邊三角形的面積。 這兩個(gè)問(wèn)題在形式上雖然很不相同，但解決這些問(wèn)題的基本思想?yún)s是一樣的。前者屬于微分學(xué)問(wèn)題，后者屬于積分學(xué)問(wèn)題。用微積分解決問(wèn)題的基本思想是先在局部“以不變代變”或“以直代曲”，求得所求量的近似值，然后在無(wú)限變化的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)近似轉(zhuǎn)化為精確。,先驅(qū)們的探索,17世紀(jì)以前，人類關(guān)于數(shù)學(xué)的知

7、識(shí)基本上還停留在初等數(shù)學(xué)的水平上，即常量數(shù)學(xué)的階段。從17世紀(jì)中葉到18世紀(jì)末，歐洲工業(yè)革命的興起，廣泛地采用了機(jī)器，為了設(shè)計(jì)和制造機(jī)器，就需要掌握機(jī)械運(yùn)動(dòng)的規(guī)律；水運(yùn)的改進(jìn)要求了解物體在液體中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律；船只穩(wěn)定性的研究促進(jìn)了質(zhì)點(diǎn)力學(xué)的發(fā)展；為了適應(yīng)對(duì)外擴(kuò)張和爭(zhēng)霸的需要，戰(zhàn)爭(zhēng)中廣泛使用槍炮，這就要研究拋射體的運(yùn)動(dòng)，所有這些生產(chǎn)和技術(shù)中出現(xiàn)的問(wèn)題迫切要求力學(xué)、天文學(xué)等基礎(chǔ)學(xué)科的發(fā)展，但這些學(xué)科都是離不開(kāi)數(shù)學(xué)的，因而也就推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。,先驅(qū)們的探索,17世紀(jì)上半葉，隨著函數(shù)觀念的建立和對(duì)機(jī)械運(yùn)動(dòng)規(guī)律的探求，許多實(shí)際問(wèn)題擺到了數(shù)學(xué)家們的面前。 幾乎所有的科學(xué)大師都把自己的注意力集中到尋求解決這

8、些難題的新的數(shù)學(xué)工具上來(lái)。 他們?cè)诮鉀Q問(wèn)題的過(guò)程中，逐步形成了微積分學(xué)的一些基本方法，這些問(wèn)題可以分為以下四類：,先驅(qū)們的探索,第一類是已知物體移動(dòng)的距離可以表示為時(shí)間的函數(shù)，求物體在任意時(shí)刻的速度和加速度；反之，已知物體的加速度表示為時(shí)間的函數(shù)，求速度和距離。 第二類是求曲線的切線。 第三類是求函數(shù)的最大值與最小值，例如拋射體獲得最大射程時(shí)的發(fā)射角，行星離開(kāi)太陽(yáng)的最遠(yuǎn)和最近距離等問(wèn)題，這方面的工作是由開(kāi)普勒的觀測(cè)開(kāi)始的。 第四類是求曲線的長(zhǎng)、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心以及一個(gè)體積相當(dāng)大的物體（例如行星）作用與另一個(gè)物體上的引力等。,科學(xué)的巨人牛頓,牛頓（Isaac Newto

9、n，16421727）誕生于英格蘭林肯郡的小鎮(zhèn)烏爾斯索普的一個(gè)農(nóng)民家庭。在他出生之前，他的父親已去世。3年后，他的母親迫于貧苦再嫁給一位牧師，把牛頓留給祖母撫養(yǎng)。8年之后，牧師病故，牛頓的母親帶著和后夫所生的一子二女又回到烏爾斯普。牛頓自幼沉默寡言，性格倔強(qiáng)，這種習(xí)性可能來(lái)自他的家庭處境。,科學(xué)的巨人牛頓,牛頓12歲時(shí)才進(jìn)入離家不遠(yuǎn)的格蘭瑟姆中學(xué)學(xué)習(xí)。牛頓的母親原希望他成為一個(gè)農(nóng)民，贍養(yǎng)家庭，但牛頓本人卻酷愛(ài)讀書(shū)，以至經(jīng)常忘了干活。隨著年歲增大，牛頓越發(fā)愛(ài)好讀書(shū)，喜歡沉思，做科學(xué)小試驗(yàn)。他在格蘭瑟姆中學(xué)讀書(shū)時(shí)，曾寄寓在一位藥劑師家里，使他受到化學(xué)實(shí)驗(yàn)的熏陶。牛頓在中學(xué)時(shí)代學(xué)習(xí)成績(jī)并不出眾，只是

10、愛(ài)好讀書(shū)，對(duì)自然現(xiàn)象有好奇心，例如顏色、日影四季的移動(dòng)，尤好幾何學(xué)、哥白尼的日心說(shuō)等等。他還分門別類地記讀書(shū)心得筆記，又喜歡別出心裁地做些小工具、小技巧、小發(fā)明、小試驗(yàn)。,科學(xué)的巨人牛頓,當(dāng)時(shí)英國(guó)社會(huì)滲入基督教新教思想，牛頓家里有兩位都以神父為職業(yè)的親戚，這可能影響牛頓晚年的宗教生活。 從這些平凡的環(huán)境和活動(dòng)中，看不出幼年的牛頓是一個(gè)才能出眾異于常人的兒童。然而格蘭瑟姆中學(xué)的校長(zhǎng)J.斯托克斯，還有牛頓的一位當(dāng)神父的叔父W.艾斯庫(kù)別具慧眼，鼓勵(lì)牛頓上大學(xué)讀書(shū)。在他們的鼓勵(lì)下，牛頓于1661年以減費(fèi)生的身份進(jìn)入劍橋大學(xué)三一學(xué)院，1664年成為獎(jiǎng)學(xué)金獲得者，1665年獲學(xué)士學(xué)位。,科學(xué)的巨人牛頓,1

11、7世紀(jì)中葉，劍橋大學(xué)的教育制度還滲透著濃厚的中世紀(jì)經(jīng)院哲學(xué)的氣味。當(dāng)牛頓進(jìn)入劍橋大學(xué)時(shí)，那里還在傳授一些經(jīng)院式課程，如邏輯、古文、語(yǔ)法、古代史、神學(xué)等等。,科學(xué)的巨人牛頓,兩年之后三一學(xué)院出現(xiàn)了新氣象。H.盧卡斯創(chuàng)設(shè)了一個(gè)獨(dú)辟蹊徑的講座，規(guī)定講授自然科學(xué)知識(shí)如地理、物理、天文和數(shù)學(xué)課程。講座的第一任教授就是巴羅。在巴羅的指導(dǎo)下，牛頓掌握了算術(shù)、三角，學(xué)習(xí)了歐幾里得的幾何原本。并閱讀了開(kāi)普勒的光學(xué)、笛卡兒的幾何學(xué)和哲學(xué)原理、伽利略的關(guān)于托勒密和哥白尼兩大世界體系的對(duì)話、R.胡克的顯微圖集和華萊士的無(wú)窮算術(shù)等著作，特別是笛卡兒的幾何學(xué)和華萊士的無(wú)窮算術(shù)對(duì)他數(shù)學(xué)思想的形成尤為重要。,科學(xué)的巨人牛頓,

12、1665年8月，劍橋大學(xué)因?yàn)槲烈吡餍卸Ｕn放假，牛頓回到故鄉(xiāng)烏爾斯索普，在家鄉(xiāng)躲避瘟疫的這兩年間，牛頓思考了自然科學(xué)領(lǐng)域中的一些前人從未思考過(guò)的問(wèn)題，踏進(jìn)前人沒(méi)有涉及的領(lǐng)域，創(chuàng)建了前所未有的驚人業(yè)績(jī)。,科學(xué)的巨人牛頓,1665年初他創(chuàng)立了級(jí)數(shù)近似法以及把任何冪的二項(xiàng)式化為一個(gè)級(jí)數(shù)的規(guī)則。同年11月，創(chuàng)立了正流數(shù)法（微分）；次年1月，研究顏色理論；5月，開(kāi)始研究反流數(shù)法（積分）。 這一年內(nèi)，牛頓還開(kāi)始研究重力問(wèn)題，并試圖把重力理論推廣到月球的運(yùn)行軌道上去。他還從開(kāi)普勒定理中推導(dǎo)出使行星保持在他們軌道上的力必定于它們到旋轉(zhuǎn)中心的距離平方成反比。,科學(xué)的巨人牛頓,牛頓見(jiàn)蘋果落地而悟出地球引力的傳說(shuō)，

13、說(shuō)的也是在此時(shí)發(fā)生的軼事?？傊?，在家鄉(xiāng)居住的這兩年中，是牛頓科學(xué)生涯的黃金歲月，他一生中的許多重大科學(xué)思想和創(chuàng)造都是在這短短兩年期間孕育、萌發(fā)和形成的。 牛頓的自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理發(fā)表300周年紀(jì)念郵票。,科學(xué)的巨人牛頓,1667年牛頓重返劍橋大學(xué)，10月1日被選為三一學(xué)院的仲院侶，次年3月16日選為正院侶。巴羅對(duì)牛頓的才華非常賞識(shí)，1669年10月27日巴羅便讓年僅26歲的牛頓接替他擔(dān)任盧卡斯講座的教授。1672年起他被接納為皇家學(xué)會(huì)會(huì)員，1703年被選為皇家學(xué)會(huì)主席直到逝世。 劍橋大學(xué)三一學(xué)院教堂內(nèi)的牛頓塑像,科學(xué)的巨人牛頓,牛頓在寫作自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理之后，厭倦了大學(xué)教授的生活，他得到在大

14、學(xué)學(xué)生時(shí)代結(jié)識(shí)的一位貴族后裔C.蒙塔古的幫助，于1696年謀得造幣廠監(jiān)督職位，1699年升任廠長(zhǎng)，1701年辭去劍橋大學(xué)工作。當(dāng)時(shí)英國(guó)幣制混亂，牛頓運(yùn)用他的冶金知識(shí)，制造新幣。因改革幣制有功，1705年受封為爵士。晚年研究宗教，著有圣經(jīng)里兩大錯(cuò)訛的歷史考證等文。牛頓于1727年3月31日在倫敦郊區(qū)肯辛頓寓中逝世，以國(guó)葬禮葬于倫敦威斯敏斯特教堂。,科學(xué)的巨人牛頓,牛頓關(guān)于微積分問(wèn)題的研究起始于1664年秋，當(dāng)時(shí)他認(rèn)真研究了笛卡兒的幾何學(xué)，對(duì)笛卡兒求曲線的切線方法產(chǎn)生了濃厚的興趣并試圖尋找更好、更一般的方法。 1666年10月，牛頓寫出了第一篇關(guān)于微積分的論文流數(shù)短論，在該文中首次提出流數(shù)的概念，

15、所謂流數(shù)就是速度，在變速運(yùn)動(dòng)中速度的路程對(duì)時(shí)間的微商。至于速度的變化狀況就要用速度的微商來(lái)反映，即加速度是速度的微商。,科學(xué)的巨人牛頓,1669年，牛頓又完成了關(guān)于微積分的第二篇論文運(yùn)用無(wú)窮多項(xiàng)方程的分析學(xué)。牛頓在這里不僅給出了求一個(gè)變量對(duì)于另一個(gè)變量的瞬時(shí)變化率的一般方法，而且還證明了面積可以由變化率的逆過(guò)程得到。這一事實(shí)實(shí)際上已經(jīng)初步給出了微積分基本定理。不過(guò)也可以明顯看出，牛頓在這里回避了運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)而將無(wú)限小增量“瞬”看作是靜止的無(wú)限小量，并在某些情況下直接令其為0，這就帶有了濃厚的不可分量的色彩。,科學(xué)的巨人牛頓,1671年，牛頓關(guān)于微積分的第3本論著流數(shù)術(shù)和無(wú)窮級(jí)數(shù)寫成（1736

16、年出版）。在這部著作中，他恢復(fù)了在流數(shù)短論中采用的運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)。對(duì)以物體運(yùn)動(dòng)為背景提出的流數(shù)概念作了進(jìn)一步的論述，并清楚地稱述了流數(shù)術(shù)所提出的中心問(wèn)題是： 已知流量間的關(guān)系，求流數(shù)關(guān)系（即微分法）； 已知表示量的流數(shù)間的關(guān)系的方程，求流量間的關(guān)系（即積分法）。,科學(xué)的巨人牛頓,1676年，牛頓完成了他的第4篇論文曲線求積論（1704年發(fā)表），這是他最成熟的一部微積分論著。在這部著作中，他改變了過(guò)去那種“略去所有含瞬的項(xiàng)”的做法，認(rèn)為“數(shù)學(xué)的量不是由非常小的部分組成的，而是用連續(xù)的運(yùn)動(dòng)來(lái)描述的?！睘榇怂肓俗畛醣群妥詈蟊鹊母拍?，并借助于幾何解釋把流數(shù)理解為增量消逝時(shí)的最后比。,科學(xué)的巨人牛頓,牛頓

17、的流數(shù)術(shù)，除了他的少數(shù)幾個(gè)朋友之外，長(zhǎng)久沒(méi)有人知道，上述論著也都是在寫出很長(zhǎng)一段時(shí)間后才正式發(fā)表的。牛頓微積分學(xué)說(shuō)最早的公開(kāi)表述是在1687年出版的巨著自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理中，這本書(shū)也是在他的朋友哈雷的鼓勵(lì)和敦促下出版的，這是他一生主要工作的總結(jié)，也是科學(xué)史上的一件大事。,科學(xué)的巨人牛頓,科學(xué)的巨人牛頓,在這部著作中，牛頓以幾何的語(yǔ)言介紹了他的“首末比方法”，并對(duì)此作出解釋：“量在其中消逝發(fā)最后比，嚴(yán)格地說(shuō)，不是最后量的比，而是無(wú)限減少的這些量的比所趨近的極限。它與這個(gè)極限雖然比任何給出的差更小，但這些量在無(wú)限縮小以前既不能超過(guò)也不能達(dá)到這個(gè)極限?！北憩F(xiàn)出牛頓曾經(jīng)試圖以極限的方式作為微積分基礎(chǔ)的

18、強(qiáng)烈傾向。但牛頓并沒(méi)有完全放棄無(wú)窮小的觀念，他在創(chuàng)導(dǎo)首末比的同時(shí)也保留了無(wú)限小瞬即不可分量的思想，盡管這種做法被有些人認(rèn)為是自相矛盾，但客觀上也反映了牛頓曾試圖對(duì)微積分的基礎(chǔ)給出不同的解釋，這正表明了他對(duì)如何建立嚴(yán)格的微積分基礎(chǔ)進(jìn)行了謹(jǐn)慎的思考。,科學(xué)的巨人牛頓,除了對(duì)微積分的重要貢獻(xiàn)之外，牛頓還在函數(shù)理論、無(wú)窮級(jí)數(shù)、微分方程、變分法、代數(shù)和解析幾何等領(lǐng)域都有杰出貢獻(xiàn)。 許多人對(duì)他由衷的敬佩，連與他同時(shí)代的萊布尼茨也對(duì)牛頓倍加贊譽(yù)：“在從世界開(kāi)始到牛頓生活的年代的全部數(shù)學(xué)中，牛頓的工作超過(guò)了一半?！?拉格朗日更不是不吝言辭地說(shuō)道：“他是歷史上最有才能的人，也是最幸運(yùn)的人因?yàn)檫@個(gè)宇宙體系只能被發(fā)

19、現(xiàn)一次。” 連詩(shī)人蒲普在詩(shī)中說(shuō)：“宇宙和自然的規(guī)律隱藏在黑夜里，神說(shuō)：讓牛頓降生吧！一切都會(huì)是光明的?！?科學(xué)的巨人牛頓,然而就這樣一位科學(xué)巨人，卻是十分謙虛的，他曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“我不知道世人把我看成什么樣的人。但是，對(duì)于我自己來(lái)說(shuō)，就像一個(gè)在海邊玩耍的孩子，有時(shí)找到一塊比較平滑或格外漂亮的貝殼，感到高興，而在我面前的卻是完全沒(méi)有被發(fā)現(xiàn)的真理的海洋?！?并稱：“如果我比別人看得更遠(yuǎn)，那只是因?yàn)槲艺驹诹司奕说募缟?。?科學(xué)的巨人牛頓,1727年牛頓去世，被葬于倫敦威斯特敏斯特大教堂，葬儀十分隆重。 正如法國(guó)文學(xué)家伏爾泰所說(shuō)：“我曾見(jiàn)過(guò)一位數(shù)學(xué)教授，只是由于他貢獻(xiàn)非凡，死后葬儀之顯赫猶如一位賢君。”,

20、多才多藝的數(shù)學(xué)大師萊布尼茨,與牛頓分享微積分創(chuàng)立的榮譽(yù)的德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨（Gottfrid Wilhelm Leibniz，16461716）出生與德國(guó)萊比錫，是微積分的另一個(gè)奠基者，他的學(xué)識(shí)包括哲學(xué)、歷史、生物學(xué)、機(jī)械、物理、數(shù)學(xué)、神學(xué)等等。,多才多藝的數(shù)學(xué)大師萊布尼茨,萊布尼茨于1661年（15歲）考入萊比錫大學(xué)學(xué)習(xí)法律，同時(shí)努力學(xué)好各門功課。那時(shí)德國(guó)大學(xué)水平是很低的，歐幾里得幾何學(xué)的教師講解含糊不清，除了萊布尼茨外，便沒(méi)有人能聽(tīng)懂。高等數(shù)學(xué)是完全沒(méi)有的。1666年萊布尼茨發(fā)表了一篇關(guān)于數(shù)理邏輯的論文，雖然是極不成熟的作品，但已顯示出他的數(shù)學(xué)才能。,多才多藝的數(shù)學(xué)大師萊布尼茨,1672年

21、，他在巴黎見(jiàn)到了惠更斯，在惠更斯的鼓勵(lì)下，開(kāi)始深入研究數(shù)學(xué)，在1673年訪問(wèn)倫敦時(shí)，他會(huì)見(jiàn)了許多數(shù)學(xué)家，學(xué)到了不少關(guān)于無(wú)窮級(jí)數(shù)的知識(shí)，獲得了一本巴羅的幾何講義，還知道了牛頓的一些工作。 回巴黎后，他研究了卡瓦列利、伽利略、帕斯卡、笛卡兒等人的數(shù)學(xué)著作。他在求積問(wèn)題的研究中的第一批成果之一是求出一個(gè)單位圓的面積是無(wú)窮級(jí)數(shù)1-1/3+1/5-1/7+的四倍，即5/=1-1/3+1/5-1/7+。,多才多藝的數(shù)學(xué)大師萊布尼茨,在他以后的研究中，主要以后的研究中，主要致力于切線問(wèn)題以及求積問(wèn)題，并根據(jù)巴羅的“微分三角形”，終于在1684年（牛頓自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理出版前3年）發(fā)表了他的第一篇微分學(xué)論文，

22、這是世界上最早的微積分文獻(xiàn)。 這篇論文有一個(gè)很長(zhǎng)而古怪的標(biāo)題：“一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無(wú)理量，以及這種新方法的奇妙類型的計(jì)算?！?多才多藝的數(shù)學(xué)大師萊布尼茨,多才多藝的數(shù)學(xué)大師萊布尼茨,這篇僅6頁(yè)紙、內(nèi)容并不豐富、說(shuō)理也頗為含混的文章，卻具有劃時(shí)代的意義。 它已含有現(xiàn)代的微積分符號(hào)和基本微分法則：dax=adx；d(z-y+w+x)=dz-dy+dw+dx；duv=udv+vdu。導(dǎo)數(shù)記作dx:dy，在1675年的手稿中記作dx/dy，1676年記作dy/dx，后來(lái)在1693年的另一篇論文中用ddx:dy2表示2階導(dǎo)數(shù)。1684年的論文還給出極值的條件是dy=0，拐點(diǎn)的

23、條件是d2y=0。,多才多藝的數(shù)學(xué)大師萊布尼茨,萊布尼茨斷定一個(gè)事實(shí)：作為求和過(guò)程的積分是微分的逆。這種想法已出現(xiàn)在巴羅和牛頓的著作中，他們用反微分求得面積，但萊布尼茨是第一次表達(dá)出求和與微分之間的關(guān)系。 這一關(guān)系的現(xiàn)代表述就是眾所周知的牛頓-萊布尼茨公式：設(shè)f(x)是a,b上連續(xù)，且當(dāng)xa,b時(shí)，F(xiàn)(x)=f(x)，則 f(x)dx=F(b)-F(a)。 這一結(jié)論出現(xiàn)在萊布尼茨1677年的一篇手稿中。,多才多藝的數(shù)學(xué)大師萊布尼茨,1686年，萊布尼茨在學(xué)藝上發(fā)表了題為深?yuàn)W的幾何不可分量及無(wú)限的分析的第一篇積分學(xué)論文。在這篇論文中，他初步論述了求積（積分）問(wèn)題與切線（微分）問(wèn)題的互逆關(guān)系。 萊

24、布尼茨還是歷史上最大的符號(hào)學(xué)者之一。他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號(hào)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓的符號(hào)，這對(duì)微積分的發(fā)展有極大的影響。他煞費(fèi)苦心地研究，要把記號(hào)選得最好。當(dāng)然，他的dx,dy和dx /dy仍然是標(biāo)準(zhǔn)的。,多才多藝的數(shù)學(xué)大師萊布尼茨,萊布尼茨在數(shù)學(xué)方面的成就是巨大的，他的研究及成果滲透到高等數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域。他一系列重要數(shù)學(xué)理論的提出，為后來(lái)的數(shù)學(xué)理論奠定了基礎(chǔ)。 萊布尼茨曾討論過(guò)負(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的性質(zhì)，得出復(fù)數(shù)的對(duì)數(shù)并不存在，共軛復(fù)數(shù)的和是實(shí)數(shù)等結(jié)論。在后來(lái)的研究中，萊布尼茨證明了自己結(jié)論是正確的。 他還對(duì)線形方程組進(jìn)行研究，對(duì)消元法從理論上進(jìn)行了探討，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理論。,多才多藝

25、的數(shù)學(xué)大師萊布尼茨,此外，萊布尼茨還創(chuàng)立了符號(hào)邏輯學(xué)的基本概念。 1673年萊布尼茨特地到巴黎去制造了一個(gè)能進(jìn)行加、減、乘除及開(kāi)方運(yùn)算的計(jì)算機(jī)。這是繼帕斯卡加法機(jī)后，計(jì)算工具的又一進(jìn)步。 他還系統(tǒng)地闡述了二進(jìn)制記數(shù)法，并把它和中國(guó)的八卦聯(lián)系起來(lái)，為計(jì)算機(jī)的現(xiàn)代發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。,多才多藝的數(shù)學(xué)大師萊布尼茨,萊布尼茨的物理學(xué)成就也是非凡的。 在光學(xué)方面，萊布尼茨也有所建樹(shù)。 另外，萊布尼茨對(duì)中國(guó)的科學(xué)、文化和哲學(xué)思想十分關(guān)注，他是最早研究中國(guó)文化和中國(guó)哲學(xué)的德國(guó)人。他向耶酥會(huì)來(lái)華傳教士格里馬爾迪了解到了許多有關(guān)中國(guó)的情況，包括養(yǎng)蠶紡織、造紙印染、冶金礦產(chǎn)、天文地理、數(shù)學(xué)文字等等，并將這些資料編輯成冊(cè)出版。他認(rèn)為中西相互之間應(yīng)建立一種交流認(rèn)識(shí)的新型關(guān)系。,多才多藝的數(shù)學(xué)大師萊布尼茨,在中國(guó)近況一書(shū)的緒論中，萊布尼茨寫到：“全人類最偉大的文化和最發(fā)達(dá)的文明仿佛今天匯集在我們大陸的兩端即匯集在歐洲和位于地球另一端的東方的歐洲中國(guó)?！薄爸袊?guó)這一文明古國(guó)與歐洲相比，面積相當(dāng)，但人口數(shù)量則已超過(guò)”?！霸谌粘Ｉ钜约敖?jīng)驗(yàn)地應(yīng)付自然的技能方面，我們是不分仲