概率論與數(shù)理統(tǒng)計6-2估計量的評價標準.ppt

1、第二節(jié) 估計量的評價標準,一、問題的提出,二、無偏性,三、有效性,四、相合性,第六章,一、問題的提出,從前一節(jié)可以看到, 對于同一個參數(shù), 用不同的估計方法求出的估計量可能不同.然而, 原則上任何統(tǒng)計量都可以作為未知參數(shù)的估計量.,問題,(1) 對于同一個參數(shù)究竟采用哪一個估計量好?,(2) 評價估計量優(yōu)劣的標準是什么?,下面介紹幾個常用標準.,下面介紹幾個常用標準：,1）無偏性； 2）有效性； 3）最小方差無偏估計 4） 相合性.,二、無偏性,定義6.2,證,例1,特別地,不論總體 X 服從什么分布,只要它的數(shù)學期望存在,證,例2,分析,例3,設總體X的方差D(X)存在，且 D(X) 0,

2、(X1, X2 , , Xn ) 為來自總體X的樣本，試選擇適當?shù)某?shù)C，使得,為D(X)的無偏估計.,需選擇C，使,而X1, X2 , , Xn 相互獨立，且與X 同分布,解,依題意，要求：,注,一般地，一個參數(shù) 的無偏估計量不唯一.,如：設樣本(X1, X2 , , Xn ) 來自總體X，E(X)=,也均是的無偏估計.,問題：,對于同一個參數(shù)的多個無偏估計量，如何評價它們的優(yōu)劣？,三、有效性,換句話說，,的波動越小，即方差,越小越好.,定義6.3,例4,來自總體X的樣本，問：下列三個對 的無偏估計量哪一個最有效？,解,注,一般地，在 的,無偏估計量,可用求條件極值的拉格朗日乘數(shù)法證明,(1

3、) 證,例5,解,背景,隨機抄n個自行車的號碼，由這n個號碼來估計某市市區(qū)的自行車總數(shù)N.,如：樣本值 100, 1000, 10000, 100000, 1000000.,可算得：,四、 最小方差無偏估計量,定義,注,最小方差無偏估計是一種最優(yōu)估計.,問題：,無偏估計的方差是否可以任意小?如果不能任意小,那么它的下界是什么?,定理*6.1(Rao-Cramer不等式),設是實數(shù)軸上的一個開區(qū)間,總體X的分布密度為p(x;), 是來自總體X的一個樣本, 是參數(shù)的一個無偏估計量,且滿足條件:,上不等式的右端稱為羅-克拉美下界, I()稱為 Fisher信息量.,注,(1) I()的另一表達式為,

4、(2) 定理6.1對離散型總體也適用.,3. 有效估計,定義6.4,定義6.5,說明,(2) 求有效估計的方法和求MVUE的方法完全一樣.,所以,五、相合性,例如,定義6.6,相合估計量(或一致,估計量).,證,(1) 由大數(shù)定律知,例6,由大數(shù)定律知,通過此例題,我們看到,要證明一個估計量具有相 合性,必須證明它依概率收斂,這有時很麻煩.因此,我們 下面我們不加證明的給出一個相合性的判定定理.,所以 是 的相合估計,六、小結,估計量的評選的四個標準，但要求一下三個標準,無偏性,有效性,相合性,相合性是對估計量的一個基本要求, 不具備相合性的估計量是不予以考慮的.,由最大似然估計法得到的估計量, 在一定條件下也具有相合性.估計量的相合性只有當樣本容量相當大時,才能顯示出優(yōu)越性, 這在實際中往往難以做到,因此,在工程中往往使