極限四則運算

1、1.5 極限的運算法則極限定義為我們提供了一種求極限的方法,但這種方法使用起來很不方便,并且在大多數(shù)情形下也是不可行的.這一節(jié)我們將給出極限的若干運算法則,應用這些法則將幫助我們比較方便的進行有關極限的證明和計算.一 無窮小的運算定理設是時的無窮小，即下面來敘述有關無窮小的運算定理。定理1 1）有限個無窮小的和也是無窮??； 2）有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小。推論：1）常數(shù)與無窮小的乘積是無窮??；2） 有限個無窮小的乘積也是無窮小。二 極限的四則運算法則利用極限與無窮小的關系及無窮小的運算性質(zhì)，下面敘述極限的極限的四則運算法則。定理2 如果， 則，的極限都存在，且（1） （2） （3） 證 1

2、因為， ，所以，當時，當 時，有，對此，當時，有，取，當時，有 所以。2） 因為，由極限與無窮小的關系可以得出（均為無窮?。┯谑怯校?， 為無窮小，因此 。3）證 設（為無窮?。?，考慮差：其分子為無窮小，分母，我們不難證明有界（詳細過程見書上）為無窮小，記為，所以， 。由該定理可以得到如下推論：推論： 若存在，C為常數(shù)，則1）2） 由于數(shù)列是函數(shù)的一直特殊情形，因此上述定理和推論對數(shù)列極限也成立。例1 證明：證 因為由推論例2 求。 例3 求極限解 當時，分母的極限是0，所以不能用極限的四則運算法則，但注意到其分子中也含有，且在的過程中，即，于是可以約去不為零的公因子，因此例4 求極限解 當時

3、，分子、分母的極限均為零，但該分式的分子、分母中含有一個公因子，且在的過程中，即，于是可以約去不為零的公因子，因此例5 求極限解 因為，商的極限運算法則不能用，但由于由無窮小和無窮大的關系，有例6 求極限解 當時，分別考察分式的分子和分母，均沒有極限，所以無法使用極限的四則運算法則，注意到分式的分子和分母的最高次冪都是4，可將分子分母同時除以，則有練習 求極限一般地，若有例7 求極限解 當時，均無限增大，都沒有極限，不能直接應用極限的四則運算法則，為求此極限，可先將分子有理化，得例8 求極限解 當時，分別考察分式的分子和分母，均沒有極限，但當時，為無窮小，又為有界函數(shù)，由于有界函數(shù)與無窮小的乘積為無窮小，所以三 復合函數(shù)求極限的法則定理3（復合函數(shù)的極限運算法則）設函數(shù)是由與復合而成，在點的某去心鄰域內(nèi)有定義，若， 且，當時，有， 則 。證 任給，由于，根據(jù)函數(shù)極限定義，存在相應的，當時，有又由于，故對上述，存在相應