極限四則運(yùn)算

1、1.5 極限的運(yùn)算法則極限定義為我們提供了一種求極限的方法,但這種方法使用起來(lái)很不方便,并且在大多數(shù)情形下也是不可行的.這一節(jié)我們將給出極限的若干運(yùn)算法則,應(yīng)用這些法則將幫助我們比較方便的進(jìn)行有關(guān)極限的證明和計(jì)算.一 無(wú)窮小的運(yùn)算定理設(shè)是時(shí)的無(wú)窮小，即下面來(lái)敘述有關(guān)無(wú)窮小的運(yùn)算定理。定理1 1）有限個(gè)無(wú)窮小的和也是無(wú)窮?。?2）有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小。推論：1）常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮?。?） 有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小。二 極限的四則運(yùn)算法則利用極限與無(wú)窮小的關(guān)系及無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)，下面敘述極限的極限的四則運(yùn)算法則。定理2 如果， 則，的極限都存在，且（1） （2） （3） 證 1

2、因?yàn)椋?，所以，當(dāng)時(shí)，當(dāng) 時(shí)，有，對(duì)此，當(dāng)時(shí)，有，取，當(dāng)時(shí)，有 所以。2） 因?yàn)椋蓸O限與無(wú)窮小的關(guān)系可以得出（均為無(wú)窮?。┯谑怯?，記， 為無(wú)窮小，因此 。3）證 設(shè)（為無(wú)窮?。?，考慮差：其分子為無(wú)窮小，分母，我們不難證明有界（詳細(xì)過(guò)程見書上）為無(wú)窮小，記為，所以， 。由該定理可以得到如下推論：推論： 若存在，C為常數(shù)，則1）2） 由于數(shù)列是函數(shù)的一直特殊情形，因此上述定理和推論對(duì)數(shù)列極限也成立。例1 證明：證 因?yàn)橛赏普摾? 求。 例3 求極限解 當(dāng)時(shí)，分母的極限是0，所以不能用極限的四則運(yùn)算法則，但注意到其分子中也含有，且在的過(guò)程中，即，于是可以約去不為零的公因子，因此例4 求極限解 當(dāng)時(shí)

3、，分子、分母的極限均為零，但該分式的分子、分母中含有一個(gè)公因子，且在的過(guò)程中，即，于是可以約去不為零的公因子，因此例5 求極限解 因?yàn)?，商的極限運(yùn)算法則不能用，但由于由無(wú)窮小和無(wú)窮大的關(guān)系，有例6 求極限解 當(dāng)時(shí)，分別考察分式的分子和分母，均沒有極限，所以無(wú)法使用極限的四則運(yùn)算法則，注意到分式的分子和分母的最高次冪都是4，可將分子分母同時(shí)除以，則有練習(xí) 求極限一般地，若有例7 求極限解 當(dāng)時(shí)，均無(wú)限增大，都沒有極限，不能直接應(yīng)用極限的四則運(yùn)算法則，為求此極限，可先將分子有理化，得例8 求極限解 當(dāng)時(shí)，分別考察分式的分子和分母，均沒有極限，但當(dāng)時(shí)，為無(wú)窮小，又為有界函數(shù)，由于有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積為無(wú)窮小，所以三 復(fù)合函數(shù)求極限的法則定理3（復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則）設(shè)函數(shù)是由與復(fù)合而成，在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義，若， 且，當(dāng)時(shí)，有， 則 。證 任給，由于，根據(jù)函數(shù)極限定義，存在相應(yīng)的，當(dāng)時(shí)，有又由于，故對(duì)上述，存在相應(yīng)