任意角的三角函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)

1、任意角的三角函數(shù)教案教學(xué)目標(biāo)：1知識(shí)和技能：了解任意角三角函數(shù)定義產(chǎn)生的背景和應(yīng)用；掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義；加深對(duì)函數(shù)一般概念的理解。2、過(guò)程與方法：通過(guò)參與知識(shí)的“發(fā)現(xiàn)”與“形成”的過(guò)程，培養(yǎng)合情猜測(cè)的能力，體會(huì)函數(shù)模型思想，數(shù)形結(jié)合思想。培養(yǎng)觀察、分析、探索、歸納、類比及解決問(wèn)題的能力。3、情感、態(tài)度、價(jià)值觀：在數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)中開(kāi)闊視野，感受著數(shù)學(xué)文化的熏陶。從中感悟數(shù)學(xué)概念的合理性、嚴(yán)謹(jǐn)性、科學(xué)性。感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)，培養(yǎng)追求真理的精神。教學(xué)重點(diǎn)：任意角三角函數(shù)的定義.教學(xué)難點(diǎn)：正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域一、復(fù)習(xí)引入： 1.在初中我們學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)，它是以銳角為自變量，邊的比

2、值為函數(shù)值的三角函數(shù): 2.前面我們對(duì)角的概念進(jìn)行了擴(kuò)充，并學(xué)習(xí)了弧度制，知道角的集合與實(shí)數(shù)集是一一對(duì)應(yīng)的，在這個(gè)基礎(chǔ)上，今天我們來(lái)研究任意角的三角函數(shù).二、講解新課： 對(duì)于銳角三角函數(shù)，我們是在直角三角形中定義的，今天，對(duì)于任意角的三角函數(shù)，我們利用平面直角坐標(biāo)系來(lái)進(jìn)行研究.1.設(shè)是一個(gè)任意角，在的終邊上任?。ó愑谠c(diǎn)的）一點(diǎn)P（x,y）則P與原點(diǎn)的距離2比值叫做的正弦 記作： 比值叫做的余弦 記作： 比值叫做的正切 記作： 3.突出探究的幾個(gè)問(wèn)題：角是“任意角”，當(dāng)b=2kp+a(kZ)時(shí)，b與a的同名三角函數(shù)值應(yīng)該是相等的，即凡是終邊相同的角的三角函數(shù)值相等實(shí)際上，如果終邊在坐標(biāo)軸上，上

3、述定義同樣適用三角函數(shù)是以“比值”為函數(shù)值的函數(shù)而x,y的正負(fù)是隨象限的變化而不同，故三角函數(shù)的符號(hào)應(yīng)由象限確定.定義域：對(duì)于正弦函數(shù)，因?yàn)?，所以恒有意義，即取任意實(shí)數(shù)，恒有意義，也就是說(shuō)sin恒有意義，所以正弦函數(shù)的定義域是R；類似地可寫(xiě)出余弦函數(shù)的定義域；對(duì)于正切函數(shù)，因?yàn)閤0時(shí)，無(wú)意義，即tan無(wú)意義，又當(dāng)且僅當(dāng)角的終邊落在縱軸上時(shí)，才有x0，所以當(dāng)?shù)慕K邊不在縱軸上時(shí)，恒有意義，即tan恒有意義，所以正切函數(shù)的定義域是.從而有 4.注意:(1)以后我們?cè)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系內(nèi)研究角的問(wèn)題，其頂點(diǎn)都在原點(diǎn)，始邊都與x軸的非負(fù)半軸重合.(2)OP是角的終邊，至于是轉(zhuǎn)了幾圈，按什么方向旋轉(zhuǎn)的不清楚

4、，也只有這樣，才能說(shuō)明角是任意的.(3)sin是個(gè)整體符號(hào)，不能認(rèn)為是“sin”與“”的積.其余五個(gè)符號(hào)也是這樣.(4)定義中只說(shuō)怎樣的比值叫做的什么函數(shù)，并沒(méi)有說(shuō)的終邊在什么位置(終邊在坐標(biāo)軸上的除外)，即函數(shù)的定義與的終邊位置無(wú)關(guān).(5)比值只與角的大小有關(guān).(6)任意角的三角函數(shù)的定義與銳角三角函數(shù)的定義的聯(lián)系與區(qū)別:任意角的三角函數(shù)就包含銳角三角函數(shù)，實(shí)質(zhì)上銳角三角函數(shù)的定義與任意角的三角函數(shù)的定義是一致的，銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的一種特例. 所不同的是，銳角三角函數(shù)是以邊的比來(lái)定義的，任意角的三角函數(shù)是以坐標(biāo)與距離、坐標(biāo)與坐標(biāo)、距離與坐標(biāo)的比來(lái)定義的. 即正弦函數(shù)值是縱坐標(biāo)比距

5、離，余弦函數(shù)值是橫坐標(biāo)比距離， 正切函數(shù)值是縱坐標(biāo)比橫坐標(biāo)，余切函數(shù)值是橫坐標(biāo)比縱坐標(biāo)，正割函數(shù)值是距離比橫坐標(biāo)，余割函數(shù)值是距離比縱坐標(biāo).(7)為了便于記憶，我們可以利用兩種三角函數(shù)定義的一致性，將直角三角形置于平面直角坐標(biāo)系的第一象限，使一銳角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，一直角邊與x軸的非負(fù)半軸重合，利用我們熟悉的銳角三角函數(shù)類比記憶.三、講解范例：例1 已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2，3)(如圖)，求的正弦、余弦和正切值.解：x2，3于是 例2求下列各角的正弦、余弦和正切值。(1)0 (2) (3) (4) 解：(1)因?yàn)楫?dāng)0時(shí)，x，0，所以sin0=0 cos0=1 tan0=0 cot0不存在sec0

6、=1 csc0不存在(2)因?yàn)楫?dāng)時(shí)，x，0，所以sin0 cos1 tan0 cot不存在sec1 csc不存在(3)因?yàn)楫?dāng)時(shí)，x0，所以 不存在 不存在 (4)當(dāng)a=時(shí) ,所以 sin=1 cos=0 tan不存在 cot=0 sec不存在 csc=1四、課堂練習(xí)：1.若點(diǎn)P(3，)是角終邊上一點(diǎn)，且，則的值是 .答案：2.角的終邊上一個(gè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5a,-12a)(a0)，求sin+2cos的值. 解：依題意得：x=5a,y=-12a, (1)當(dāng)a0時(shí)，角是第四象限角，則,sin+2cos=-; (2)當(dāng)a0時(shí)，角是第二象限角，則.cos+2cos=.五、小結(jié) 本節(jié)課我們給出了任意角三角函數(shù)的定義，并且討論了正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域，任意角的三角函數(shù)實(shí)質(zhì)上是銳角三角