二倍角的正弦、余弦、正切公式的教學(xué).doc

二倍角的正弦、余弦、正切公式的教學(xué)上海中學(xué)數(shù)學(xué)?2011年第3期二倍角的正弦,余弦,正切公式的教學(xué)324007浙江省衢州市衢江區(qū)大洲中學(xué)毛渭泉數(shù)學(xué)課堂要最大程度地調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,充分體現(xiàn)以學(xué)生發(fā)展為本的教學(xué)理念,需要教師精心地進行教學(xué)設(shè)計,并且對教學(xué)設(shè)計作進一步的思考,通過反復(fù)修改,不斷優(yōu)化教學(xué)設(shè)計來提高教學(xué)效益.筆者非常榮幸地參加了中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念,思想方法結(jié)構(gòu)體系及其教學(xué)設(shè)計的理論與實踐衢州市課題組工作,并負(fù)責(zé)對二倍角的正弦,余弦,正切公式這節(jié)課進行教學(xué)設(shè)計,隨后兩次施教,反復(fù)修改教學(xué)設(shè)計,實踐后思考,思考后實踐.下面從宏觀和微觀兩個層面,緊緊圍繞公式核心和思想方法核心,對二倍角的正弦,余弦,正切公式一課進行結(jié)構(gòu)化設(shè)計,使學(xué)生在掌握有關(guān)概念和公式的同時,領(lǐng)悟其所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力,提升探索,自我發(fā)現(xiàn).例:求值:1)cos20.cos40.cos80.;2)sin20.sin40.sin80.:3)tan20.tan40.tan80.不難用積化和差,倍角公式等得到結(jié)果.引導(dǎo)觀察角與20.的內(nèi)在聯(lián)系(尋求特殊關(guān)系).發(fā)現(xiàn):60.:40.+20.,40.一6o.一20.,cos20.cos40.1cos80.:=cos20.cos(60.一20.)cos(60.+20.)o1=cos(3?20.).探索上述2)3)兩題是否也有類似的結(jié)果?再進一步探索上述三題成立是否與2o.有關(guān)?讓學(xué)生嘗試coso.cos50.cos70.,通過實踐發(fā)現(xiàn),它與角度2o.無關(guān).啟發(fā)學(xué)生大膽猜想:11)cos口cos(60.一a)cos(60.+a)=cos3口;12)sinasin(60.-a)sin(60.+d)一sin3;13)tanatan(60.一)tan(60.+a)一tan3a.其證明完全與原題的解法類同,于是得到三角的第二套三倍角公式.數(shù)學(xué)大師玻利亞說數(shù)學(xué)素養(yǎng).一,二倍角的正弦,余弦,正切公式教學(xué)設(shè)計的宏觀思考1.本課內(nèi)容的地位和作用二倍角的正弦,余弦,正切公式是在研究了三角函數(shù)的兩角和與差公式的基礎(chǔ)上,進一步研究具有二倍角關(guān)系的正弦,余弦,正切公式,它既是兩角和與差公式的特殊化,又為以后三角函數(shù)的求值,化簡,證明提供了非常有用的理論工具,它的推導(dǎo)方法也體現(xiàn)了三角變換只變其形,不變其質(zhì)的變換實質(zhì).二倍角公式是進一步學(xué)習(xí)半角公式,和差化積,積化和差公式的理論基礎(chǔ),它在解三角形,向量,立體幾何,解析幾何等數(shù)學(xué)的其他內(nèi)容中有著廣泛的應(yīng)用,過,沒有一道題可解得十全十美,總剩下些工作要做,經(jīng)過充分探討,總結(jié),總會有點滴發(fā)現(xiàn).告訴學(xué)生本例題還可推廣拓展,使課堂教學(xué)中的探索向課外延伸.3.自我反思.培養(yǎng)評價能力引導(dǎo)學(xué)生反思,在反思中看到轉(zhuǎn)變思維的方向,方式,方法和策略,縮小探索的范圍或者簡化探索的過程,可以盡快獲得發(fā)現(xiàn)的成功.這種成功無疑是發(fā)展學(xué)生思維,培養(yǎng)創(chuàng)新能力的一種很好的體驗和進步.反思可以有:1)結(jié)果可信嗎?2)計算有無錯誤?3)推理是否嚴(yán)密?4)有無遺漏?5)哪些事忘做了?6)繁簡如何?7)方法上能否改進?8)能變式嗎?9)能否推廣?10)分別用到哪些知識?l1)運用了哪些思想?12)有哪些經(jīng)驗和教訓(xùn)?13)評價(優(yōu)劣)等.數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是思維過程,更確切地講是展示和發(fā)展思維的過程.這一思維過程就是對數(shù)學(xué)知識和方法的形成的規(guī)律性進行理性認(rèn)識的過程.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的導(dǎo)就是要讓學(xué)生成為規(guī)律和方法的探索者,發(fā)現(xiàn)者,從求深,求廣,求異中引導(dǎo)學(xué)生培養(yǎng)創(chuàng)新思維方法和獨立實踐能力,讓課堂煥發(fā)出生命的活力.上海中學(xué)數(shù)學(xué)?2011年第3期9為提高學(xué)生的推理運算能力提供了新的平臺,從而使三角變換的內(nèi)容更詳實,思路更寬廣,方法更多樣.2.對教材的整體把握本節(jié)課應(yīng)在函數(shù)的宏觀視野里展開教學(xué),建立起二倍角公式,兩角和與兩角差公式,三角函數(shù),函數(shù)之間的本質(zhì)聯(lián)系,讓學(xué)生在已有的知識框架下擴展出新的知識:二倍角公式的概念,推導(dǎo)及應(yīng)用.因此這節(jié)課的教學(xué)應(yīng)充分尊重教材,努力體現(xiàn)教材編寫者的編寫意圖,創(chuàng)造性地應(yīng)用教材,把二倍角公式講深講透,并滲透換元,從一般到特殊,轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想.在不斷完善學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的同時,將多維的課程目標(biāo)細(xì)化,串聯(lián),深化,落實在具體的教學(xué)流程中,既要對已學(xué)知識進行整理和概括,又要為后續(xù)的知識作鋪墊性滲透,提高課堂的連貫度和光滑度,使課堂具有高度的全局意識,從中折射出對整個數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的宏觀視野與整體把握.二,二倍角的正弦,余弦,正切公式的微觀框架設(shè)計本節(jié)課的教學(xué)流程可設(shè)計為六個環(huán)節(jié):課題引入,概念構(gòu)建,鞏固探究,拓展應(yīng)用,總結(jié)提煉和目標(biāo)評價.這種微型結(jié)構(gòu)性的教學(xué)框架是探究性的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)需要的,有利于數(shù)學(xué)教學(xué)活動的展開,使教學(xué)設(shè)計更精致,更完美,更高效.(一)課題引入這是一節(jié)二倍角公式的推導(dǎo)和應(yīng)用課,要引導(dǎo)學(xué)生跨越什么是二倍角公式?,二倍角公式怎么推導(dǎo)與記憶?,二倍角公式怎樣應(yīng)用?三大學(xué)習(xí)障礙,成功構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)圖.為了公式的自然生成,設(shè)計了以下兩個問題:問題1前面剛學(xué)過三角函數(shù)的和角公式,差角公式,已感受到通過它們給解決問題帶來的方便,下面請同學(xué)們默寫這六個公式.設(shè)計意圖:通過復(fù)習(xí)和角公式,差角公式,讓學(xué)生明確差角公式可由和角公式經(jīng)特殊化處理(以一換)而得到,為二倍角公式的推導(dǎo)做好知識和方法上的鋪墊.師生活動:教師帶領(lǐng)全體同學(xué)一起默寫六個公式,讓一位基礎(chǔ)較差的學(xué)生板演,讓學(xué)生領(lǐng)會從一般到特殊的推導(dǎo)方法.問題2討論sin2a一2sina是否成立?cos2d一2cos口是否成立?tan2a一2tam是否成立?設(shè)計意圖:提出問題,引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突,放手讓學(xué)生質(zhì)疑討論,舉出反例,產(chǎn)生強烈的求知欲.師生活動:讓學(xué)生暢所欲言,舉出一個個反例,教師及時引導(dǎo)點評,為揭開二倍角公式的廬山真面目設(shè)置懸念.教后思考:良好的開端是成功的一半,課堂教學(xué)也是如此.若新課導(dǎo)入沒有上好,學(xué)生就會興味索然,整堂課的教學(xué)效率就會大打折扣.教師一定要講究導(dǎo)課的藝術(shù),以舊弓l新,順?biāo)浦鄣匕褜W(xué)生的思維拉進課堂,使學(xué)生產(chǎn)生強烈的,欲罷不能的學(xué)習(xí)欲望.(二)概念構(gòu)建數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的抽象概括,學(xué)好概念是學(xué)好數(shù)學(xué)至關(guān)重要的一環(huán).教師要引導(dǎo)學(xué)生打破思維習(xí)慣,在比較,分析,討論,理解,感悟中完成從具體到抽象的概念構(gòu)建.問題3你能利用s,c.,t推導(dǎo)出sin2,cos2,tan2a的公式嗎?設(shè)計意圖:引導(dǎo)學(xué)生在和角公式的基礎(chǔ)上,嘗試以替代j9得出二倍角公式:sin2a一2sinacosa(s2),cos2a:cosasin口(c2),tan2a一(t2.),讓學(xué)生深刻領(lǐng)會從一般到特il-di1a殊的數(shù)學(xué)思想.師生活動:讓學(xué)生自行嘗試,探究,討論和交流后給出正確答案,教師給予點評.問題4能對公式cos2acosdsina作進一步的變形嗎?設(shè)計意圖:進一步引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出c2.的變形公式:cos2acosdsina一2cos.a一1=12sina,循循善誘,層層深入,整個推導(dǎo)過程如行云流水,一氣呵成.師生活動:教師鼓勵學(xué)生趁熱打鐵,一鼓作氣地推導(dǎo)出c的變形公式.問題5如何理解二倍角公式中的倍的含義?設(shè)計意圖:引導(dǎo)學(xué)生理解倍是描述兩個數(shù)量之間關(guān)系的,并對二倍角的相對性有一定的認(rèn)識,這里蘊含著換元的思想.師生活動:請學(xué)生舉出實例,如2a是a的二倍,.是告的二倍,詈是孚的二倍等情況,進一厶厶步類比得出三倍角,四倍角等概念.教后思考:從學(xué)生已有的知識出發(fā),一脈相承地設(shè)計了以上三個問題,淺入深出,循序漸進,自始至終讓學(xué)生自主探究,相互討論,合作70上海中學(xué)數(shù)學(xué)?2011年第3期交流,讓學(xué)生有充足的思考時間和感悟空間,加深學(xué)生對二倍角公式的理解與記憶.(三)鞏固探究問題6二倍角公式中a的取值范圍分別是什么?設(shè)計意圖:使學(xué)生明確s,g.中的a可以為任意角,但te中的.應(yīng)為忌+詈且.譬+t,kz,注意n的限制條件.士問題7能否畫一張二倍角公式與和(差)角公式的內(nèi)在聯(lián)系圖?設(shè)計意圖:引導(dǎo)學(xué)生畫出如圖1的聯(lián)系圖:1使學(xué)生理清二倍角公式與和(差)角公式的內(nèi)在聯(lián)系,加強新舊知識的對比,聯(lián)系,增強學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和創(chuàng)造力,欣賞聯(lián)系圖的對稱美,內(nèi)在美.問題8如何理清二倍角公式中二倍角與二次的關(guān)系?設(shè)計意圖:二倍角公式反映的是將二倍角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為單角的三角函數(shù)值,從而有升冪公式:1+cos2ff一2cos.,lcos2a一2sin.a.降冪公式:sinea-1-cos2a,c.szd一1+cos2a.引導(dǎo)學(xué)生觀察公式的特征,搞清楚二倍角與二次的關(guān)系(升角降次,降角升次).教后思考:問題是數(shù)學(xué)的心臟,通過問題鏈13的設(shè)計,揭示數(shù)學(xué)知識問的內(nèi)在聯(lián)系,教師要對教材進行再加工,深挖掘,使問題的提出,數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)符合學(xué)生的心理需要和認(rèn)知特點,以期學(xué)生的思維有效地展開,拓寬學(xué)生思維的寬度,廣度及深度.(四)拓展應(yīng)用例1(公式的正用)一(1)已知sing一號,<a<丌,求sin2a,cos2a,tan2a的值.(2)已知cos詈一一,8<d<127r,求sin詈,cos號,tan號的值.設(shè)計意圖:設(shè)計以上正用型例題,加強學(xué)生對二倍角公式的記憶和理解.例2(公式的逆用)求下列各式的值:(1)sin22.30cos22.30;(2)2cos一1;62tan30.設(shè)計意圖:逆用公式解題是訓(xùn)練學(xué)生逆向思維及靈活思維的重要手段和有效途徑,也可以訓(xùn)練學(xué)生正難則反的思維方法.例3(公式的變用)(1)化簡c號一si號.(2)在abc中,cosat-,tanb一2,求tan(2a+2b)的值.(3)求cos20.cos40.cos60.cos80.的值.設(shè)計意圖:設(shè)計這些變用型例題,培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性和靈活性.教后思考:通過例1例3的分析探究,由淺入深,絲絲入扣,讓學(xué)生感受公式的正用,逆用和變用,感悟?qū)W以致用.(五)總結(jié)提煉本節(jié)課采用問題式小結(jié):1.什么是二倍角公式?它與和(差)角公式的關(guān)系是什么?怎樣推導(dǎo)二倍角公式?2.怎樣進行二倍角公式的正用,逆用,變用?3.本節(jié)課你學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)思想方法?4.本節(jié)課對下一節(jié)課簡單的三角恒等變換有何幫助和影響?設(shè)計意圖:師生共同小結(jié),揭示本節(jié)課的重點,難點,關(guān)鍵和數(shù)學(xué)方法,濃縮知識,概括提煉.教后思考:編筐編簍,重在收口,小結(jié)雖小,意義重大.通過課堂小結(jié),引領(lǐng)學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì),形成新的知識結(jié)構(gòu),促進新的知識內(nèi)化,完成知識由厚到薄的提煉過程.(六)目標(biāo)評價布置以下檢測性作業(yè):91.(2010全國卷,文)已知sina一,則cos(z一2a)一a.一3b.一丟c.百1d.3上海中學(xué)數(shù)學(xué)?2011年第3期高效課堂,創(chuàng)新設(shè)計226008江蘇省南通市新橋中學(xué)程薇新課程背景下的數(shù)學(xué)新授課的一般模式是,首先通過引人人勝,激發(fā)興趣的圖片影音等資料引入課題,接著是生生互動,師生互動的合作探究,然后是課堂知識的應(yīng)用舉例,最后是學(xué)生的鞏固訓(xùn)練,這種模式可以概括為情境引入合作探究應(yīng)用舉例鞏固訓(xùn)練四段式.人教九年級數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)第一節(jié)的主要內(nèi)容為正弦,余弦,正切等銳角三角函數(shù)的概念,大綱規(guī)定為6課時.在設(shè)計這一節(jié)第一課時的教學(xué)時,如果按照傳統(tǒng)的四段式進行教學(xué),不僅課堂節(jié)奏慢,而且教學(xué)板塊凌亂,很難做到有效達到高效.因此,在進行教學(xué)設(shè)計時,筆者力求突破教材的限制和四段式的束縛,作了些創(chuàng)新.一,研讀教材.合理整合葉圣陶老先生說:教材只能作為教課的依據(jù),要使學(xué)生受益,還要靠教師的善于運用.所謂善于運用,也就是教師要變教教材為用教材教,要用活教材.在確定本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容時,筆者沒有將正弦函數(shù)作為惟一的教學(xué)重點,而是打破了教材的原有設(shè)置,將正弦,余弦和正切這三個銳角三角函數(shù)一并新授.同時,將要求學(xué)生運用有關(guān)概念去解決簡單的直角三角形中邊角關(guān)系的計算作為本節(jié)課的教學(xué)重點之一.通過這樣的處理,不僅科學(xué)合理地劃分了教學(xué)板塊,而且明晰了教學(xué)主線,突出了教學(xué)重點,強化了學(xué)習(xí)目標(biāo),縮短了教學(xué)課時,為取得課堂的高效奠定了基礎(chǔ).2.深入探究:(1)用sin0表示sin30;(2)用cos0表示cos30.3.(2006全國卷i,理)abc的三個內(nèi)角為a,b,c,求當(dāng)a為何值時c.sa+2c.s下b+c取得最大值,并求這個最大值.設(shè)計意圖:引導(dǎo)學(xué)生運用二倍角公式進行三角恒等變換,解決各種數(shù)學(xué)問題,讓學(xué)生體驗新舊知識的聯(lián)系.二,改變模式.環(huán)節(jié)前置新授時,基于班級學(xué)情,筆者沒有采用傳統(tǒng)的四段式進行,而是將涉及到銳角三角函數(shù)概念的一些基礎(chǔ)知識(如正弦,余弦,正切的定義,表示方法,基本的邊角計算等)通過預(yù)習(xí)案的形式在課前由學(xué)生自主預(yù)習(xí)完成.課堂教學(xué)時,首先開門見山的由學(xué)生相互闡述預(yù)習(xí)成果,提出質(zhì)疑,采用兵教兵的形式進行,對預(yù)習(xí)中不能解決的問題再加以引導(dǎo)解決.然后圍繞運用概念進行簡單的直角三角形中邊角關(guān)系的計算深入探究,舉一反三.最后通過一組邊角關(guān)系的計算題進行課堂測評.事實證明,這樣的處理培養(yǎng)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣,凸顯了學(xué)生的主體地位,增進了師生之間的交流合作,加大了課堂教學(xué)的容量,減少了作秀環(huán)節(jié),加快了課堂節(jié)奏,確保了課堂的高效.三,問題變式,層層深入數(shù)學(xué)課的教學(xué)設(shè)計,從本質(zhì)上講就是數(shù)學(xué)問題的設(shè)計.高質(zhì)量,富有數(shù)學(xué)味的問題鏈不僅是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中引領(lǐng)學(xué)生思維的有力抓手,更是構(gòu)建高效數(shù)學(xué)課堂的有效途徑.由于課堂教學(xué)環(huán)節(jié)的整體前置,因此銳角