數(shù)字電路教學PPT邏輯代數(shù)基礎.ppt

第一章 邏輯代數(shù)基礎,主要內容 1. 邏輯代數(shù)的基本公式和定理 2. 邏輯函數(shù)的表示方法 3. 邏輯函數(shù)的化簡,1.1 概述,研究數(shù)字電路的數(shù)字基礎為邏輯代數(shù)，由英國數(shù)學家george boole在1849年提出的，邏輯代數(shù)也稱布爾代數(shù).,邏輯代數(shù)的特點： （1） 所有變量的取值只有兩個：“0“ 和 “1“； （2）”0“和“1“表示兩個對立的邏輯狀態(tài)； （3）具有獨特的運算規(guī)則。,1.2 邏輯變量與運算,邏輯變量：用于描述客觀事物對立統(tǒng) 一的二個方面。 0，1集合，用單個字母 或單個字母加下標表示 是、非；有、無；開、關；低電平、高電平,1.2.1 邏輯變量,1.2.2 基本邏輯運算,一、“與”運算（邏輯乘）,打開有兩把鎖的自行車。,打開有兩個串聯(lián)開關的燈。,例1： 例2： 例3：,樓道里自動感應燈。,邏輯代數(shù)中只有三種基本邏輯運算,即“與”、“或”、“非”。,打開有兩個串聯(lián)開關的燈。設開關為a、b，合上為1，斷開為0；燈為y，燈亮為1，滅為0。（邏輯賦值）, 真值表,全部輸入條件的所有組合與輸出的關系。,真值表,例,由“與”運算的真值表可知 “與”運算法則為：,0 0 = 0 1 0 = 0 0 1 = 0 1 1 = 1,有0出0 全1為1, 表達式,邏輯代數(shù)中“與”邏輯關系用“與”運算描述。“與”運算又稱邏輯乘，其運算符為“”或“”。兩變量的“與”運算可表示為：,ya b 或者 y=ab 簡寫為：yab 讀作：y等于a與b,二、“或”運算（邏輯加）, 定義：,決定一個事情發(fā)生的多個條件中，有一個或以上的條件具備，事情就發(fā)生，這種邏輯關系叫“或”邏輯。, 真值表,打開有兩個并聯(lián)開關的燈。設開關為a、b，合上為1，斷開為0；燈為y，燈亮為1，滅為0。,真值表,例：,由“或”運算的真值表可知 “或”運算法則為：,00 = 0 10 = 1 01 = 1 11 = 1,有1出1 全0為0, 表達式,邏輯代數(shù)中“或”邏輯關系用“或”運算描述?！盎颉边\算又稱邏輯加，其運算符為“”或“ ”。兩變量的“或”運算可表示為：,yab 或者 y=a b 讀作：y等于 a 或 b,三、“非”運算（邏輯非）, 定義：,某一事情的發(fā)生，取決于對另一事情的否定，這種邏輯關系叫“非”邏輯。, 真值表,打開上例電路中的燈。設開關為k，合上為1，斷開為0；燈為y，燈亮為1，滅為0,真值表,例：,由“非”運算的真值表可知 “非”運算法則為：, 表達式,“非”邏輯用“非”運算描述?！胺恰边\算又稱求反運算，運算符為“”或“”， “非”運算可表示為：,讀作 “y等于a非” ，意思是若a0， 則y為1；反之，若a=1, 則y為0。,1、與非運算：邏輯表達式為：,2、或非運算：邏輯表達式為：,四、其他復合邏輯運算,3、異或運算：邏輯表達式為：,4、 與或非運算：邏輯表達式為：,5、同或運算：邏輯表達式為：,注意： 圖1.1圖1.4給出了門電路的幾種表示方法，本課程中，均采用“國標”。國外流行的電路符號常見于外文書籍中，特別在我國引進的一些計算機輔助分析和設計軟件中，常使用這些符號。,1.3 邏輯代數(shù)的基本公式和定理,一、 邏輯函數(shù)的相等,因此,如兩個函數(shù)的真值表相等,則這兩個函數(shù)一定相等.,設有兩個邏輯函數(shù):f1=f1(a1,a2,an) f2=f2(a1,a2,an) 如果對于a1,a2,an 的任何一組取值(共2n組), f1 和 f2均相等,則稱f1和 f2相等.,自等律 a 1=a ; a+0=a,重迭律 a a=a ; a+a=a,交換律 a b= b a ; a+b=b+a,結合律 a(bc)=(ab)c ; a+(b+c)=(a+b)+c,分配律 a(b+c)=ab+ac ; a+bc=(a+b)(a+c),二、基本公式, 01律 a 0=0 ; a+1=1,反演律也稱德摩根定理,是一個非常有用的定理.,？,請注意與普通代數(shù)的區(qū)別！,任何一個含有變量a的邏輯等式，如果將所有出現(xiàn)a的位置都代之以同一個邏輯函數(shù)f，則等式仍然成立。,例如：給定邏輯等式a(b+c)=ab+ac，若用a+bc代替a，則該等式仍然成立，即： (a+bc)(b+c)=(a+bc)b+(a+bc)c,1. 代入定理,三、基本定理,意義：擴大基本公式的應用范圍。,2. 反演定理,如果將邏輯函數(shù)f中所有的“ ”變成“+”；“+”變成“ ”； “0”變成“1”； “1”變成“0”； 原變量變成反變量；反變量變成原變量；所得到的新函數(shù)是原函數(shù)的反函數(shù) 。,注意： 使用反演定理時, 應注意保持原函數(shù)式中運算符號的優(yōu)先順序不變。,例2：已知,例3：已知,長非號不變,與變或時要加括號,3. 對偶定理,對偶式的定義：如果將邏輯函數(shù)f中所有的“ ”變成“+”； “+”變成“ ”；“0”變成“1”； “1”變成“0”； 則所得到的新邏輯函數(shù)是f的對偶式f。如果f是f的對偶式，則f也是f 的對偶式，即f與f互為對偶式。,例:,求某一函數(shù)f的對偶式時，同樣要注意保持原函數(shù)的運算順序不變。,對偶定理：若兩個邏輯函數(shù)f的g相等，則其對偶式f 和g也相等。,證畢,四、常用公式,（1）合并律,證明：,（2) 吸收律,a+ab=a,證明：,a+ab=a(1+b)=a1=a,a(a+b)=a,（3) 消去律,證明：,（4）包含律,證明：,五、關于異或和同或運算,對奇數(shù)個變量而言， 有 a1a2. an=a1 a2 . an,推廣：,異或和同或的其他性質:,利用異或門可實現(xiàn)數(shù)字信號的極性控制.,同或功能由異或門實現(xiàn).,一、邏輯函數(shù): 如果以邏輯變量作為輸入,以運算結果作為輸出,那么當輸入變量的取值確定后,輸出的取值便唯一確定,輸出與輸入之間乃是一種函數(shù)關系,寫作: y=f(a,b,c,),輸入邏輯變量,輸出邏輯變量,1.4 邏輯函數(shù)及其表示方法,1.4.1 邏輯函數(shù)的表示方法,例如：如圖所示是一舉重裁判電路，試用邏輯函數(shù)描述邏輯功能。,b,c,a,y,a為主裁判，b、c為副裁判，y為指示燈，只有主裁判和至少一名副裁判認為合格，試舉才算成功，指示燈才亮,a、b、c： 1 認為合格，開關閉合 0 不合格，開關斷開 y ：1試舉成功，指示燈亮 0試舉不成功，指示燈滅,y=f（a，b，c）,邏輯函數(shù)的表示方法：,有四種表示方法 邏輯真值表、邏輯函數(shù)式、邏輯圖和卡諾圖。各種表示方法特點不同，之間可相互轉換。,1、邏輯真值表： 輸入邏輯變量所有可能的取值組合及其對應的輸出函數(shù)值所構成的表格,a、b、c： 1 認為合格，開關閉合 0 不合格，開關斷開 y ：1試舉成功，指示燈亮 0試舉不成功，指示燈滅,0 0 0,0,0 0 1,0,0 1 0,0 1 1,1 0 0,1 0 1,1 1 0,1 1 1,0,0,0,1,1,1,注意： （1）列表要完備； （2）列表順序按二進制數(shù)遞增順序排列。 特點： （1）直觀明了； （2）便于邏輯抽象； （3）運算困難。,2、邏輯函數(shù)式： 由與、或、非三種運算符所構成的邏輯表達式.,y=a（b+c）,特點： （1）便于運算； （2）便于用邏輯圖實現(xiàn)； （3）缺乏直觀。,3、邏輯圖：由各種邏輯門符號所構成的電路圖.,特點： 接近工程實際。,4、不同表示方法之間的相互轉換,(1)已知邏輯函數(shù)式求真值表： 把輸入邏輯變量所有可能的取值組合代入對應函數(shù)式,算出其函數(shù)值。,例：,（2）已知真值表寫邏輯函數(shù)式,方法：將真值表中y為 1 的輸入變量相與，取值為 1 用原變量表示，0 用反變量表示， 將這些與項相加，就得到邏輯表達式。這樣得到的邏輯函數(shù)表達式是標準與或邏輯式。,（3）已知邏輯函數(shù)式畫邏輯圖,注意：同一函數(shù)對應的邏輯圖并不唯一。,（4）已知邏輯圖寫邏輯函數(shù)式,1,1,1,1,1,a,b,y,一、最小項和最大項的概念： 1、最小項： 最小項定義：在n變量邏輯函數(shù)中，若m為包含n個因子的乘積項，而且這n個變量均以原變量或反變量的形式在m中出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次，則稱m為該組變量的最小項。,y=f(a,b,c),m0=,m1=,m2=,m3=,m4=,m5=,m6=,m7=,y=f(a,b,c,d),m11=,m9=,m19=,y=f（a，b，c，d，e）,1.4.2 邏輯函數(shù)的兩種標準形式,在輸入變量的任何取值下必有一個最 小項,而且僅有一個最小項的值為1； 全體最小項之和為1； 任意兩個最小項的乘積為0； 相鄰兩個最小項之和可合并為一項并消去一個不同的因子。,兩個最小項只有一個因子不同,m0+m1=,性質：,2、最大項： 最大項定義：在n變量邏輯函數(shù)中，若m為n個變量之和，而且這n個變量均以原變量或反變量的形式在m中出現(xiàn)一次且僅一次，則稱m為該組變量的最大項。,y=f(a,b,c),m7=,m6=,m5=,m4=,m3=,m2=,m1=,m0=,在輸入變量的任何取值下必有一個最大項,而且僅有一個最大項的值為0； 全體最大項之積為0； 任意兩個最大項的之和為1； 相鄰兩個最大項之乘積等于各相同變量之和； ,=m5,性質：,結論：任何邏輯函數(shù)均可展開為最小項之和的形式， 且該形式唯一。,方法：,二、邏輯函數(shù)的標準與或式,一般表達式 除非號去括號補因子,三、邏輯函數(shù)的標準或與式 結論：任一邏輯函數(shù)都可以表示為最大項之積的形式，且該形式唯一。 方法1：先求出反函數(shù)的標準與或式，再用反演定理求反。,方法2：,1.5 邏輯函數(shù)的公式化簡法,1.5.1 最簡的概念,2.邏輯函數(shù)式的幾種常見形式和變換。,一個邏輯函數(shù)的表達式可以有以下5種表示形式。,利用邏輯代數(shù)的基本公式和定律，可以實現(xiàn)上述五種邏輯函數(shù)式 之間的變換。,3. 邏輯函數(shù)的最簡與或式,條件：(1)與項個數(shù)最少； (2)滿足(1)時，每個與項中的變量個數(shù)也最少。,最簡與或表達式,1.3.2 邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法(公式法),1、并項法,邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法就是運用邏輯代數(shù)的公式和定理，特別是利用常用公式來化簡邏輯函數(shù)。,若兩個乘積項中分別包含同一個因子的原變量和反變量，而其他因子都相同時，則這兩項可以合并成一項，并消去互為反變量的因子。,運用摩根定律,運用分配律,運用分配律,2、吸收法,如果乘積項是另外一個乘積項的因子，則這另外一個乘積項是多余的。,運用摩根定律,利用公式，消去多余的項。,如果一個乘積項的反是另一個乘積項的因子，則這個因子是多余的。,3、消去因子法,、消去冗余項法,5、配項法,（）利用公式，為某項配上其所能合并的項。,解：,注意：實際化簡邏輯函數(shù)時，需要綜合 運用上述方法。,例：,反演,1.6 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法,1.6.1 卡諾圖的概念 將n個輸入變量的全部最小項用小方塊陣列圖表示，并且將邏輯相鄰的最小項放在相鄰的幾何位置上，所得到的陣列圖就是n變量的卡諾圖。,卡諾圖的每一個方塊（最小項）代表一種輸入組合，并且把對應的輸入組合注明在陣列圖的上方和左方。,1.變量卡諾圖的結構 二變量卡諾圖（a，b）,三變量卡諾圖,四變量卡諾圖,五變量卡諾圖,對稱軸,n5 變量的卡諾圖，可由n1變量卡諾圖在需要增加變量的方向采用鏡像變換而生成。,說明：,（1） 注意變量取值順序：按循環(huán)碼規(guī)則排列； （2） 每個小方格對應一個最小項； （3）具有邏輯相鄰性的方格有： 相接幾何相鄰的方格； 相對上下兩邊、左右兩邊的方格； 相重多變量卡諾圖，以對稱軸相折疊，重疊的方格。,邏輯相鄰的最小項可以消去互補變量,三變量卡諾圖邏輯相鄰舉例,相接,相對,四變量卡諾圖邏輯相鄰舉例,相接,五變量卡諾圖邏輯相鄰舉例,對稱軸,2.邏輯函數(shù)的卡諾圖,用卡諾圖法對邏輯函數(shù)進行化簡時，首先要確定函數(shù)與卡諾圖的關系，將函數(shù)用卡諾圖的形式表現(xiàn)出來。,注意：真值表、表達式、卡諾圖都可以表達一個邏輯函數(shù)。,由真值表填卡諾圖,1 1 1 1,0 0 0 0,例：,由一般與或式 填卡諾圖示例:三變量,1 1,1 1,示例:四變量,1,1.6.2 函數(shù)的卡諾圖化簡,一、卡諾圖中最小項的合并規(guī)律,y,ab 00 01 11 10,cd 00 01 11 10,1,1,（1）若兩個最小項相鄰，可合并為一項消去一個不同因子。,1,1,1,1,y,ab 00 01 11 10,cd 00 01 11 10,1,1,1,1,（2）若四個最小項相鄰，可合并為一項消去二個不同因子。,1,1,1,1,1,y,ab 00 01 11 10,cd 00 01 11 10,1,1,1,1,（3）若八個最小項相鄰，可合并為一項消去三個不同因子。,1,1,1,1,1,1,1,1,a,一般結論：卡諾圖中2n個相鄰最小項可合并 為一項，消去n個不同變量，結果為公因子。,無效圈示例1,無效圈示例2,ab,cd,00,01,11,10,00,01,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,11,10,1,沒有新變量. 無效圈.,步驟：（1）畫函數(shù)卡諾圖； （2）合并相鄰最小項，對鄰項方格畫卡諾圈 （含2n方格）； （3）選擇比較，消去互補變量，直接寫出最 簡與或式。,二、卡諾圖化簡法步驟,畫圈原則：,圈盡量大 消去的變量多 圈盡量少 結果乘積項少 圈要新要有新成份，無冗余項 圈完包含全部“1”,使用方法：,圈1 得到 f 原函數(shù) 圈0 得到 f 反函數(shù),畫的圈不同，結果的表達式形式可能不同，但肯定是最簡的結果。,圈1個格消0個變量 圈2 1 圈4 2 圈8 3 ,f=ab+bc,例1：卡諾圖化簡,f(a,b,c,d)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11, 12,13,14,15),例2：化簡,例3：化簡,注意：不同的圈法，得到不同的最簡結果。,f(a, b, c, d)=m(2, 3, 8, 9, 10,12, 13),例4：用卡諾圖化簡邏輯涵數(shù),1.7、 具有無關項的邏輯函數(shù)及其化簡,1、約束項：輸入邏輯變量的取值不是任意的，對取值有外加限制，這些取值對應的最小項。 2、任意項：在某些輸入變量的取值下，函數(shù)值為1，還是為0皆不影響電路的功能，這些取值對應的最小項。 3、無關項：約束項、任意項統(tǒng)稱無關項。,1.7.1 無關項的概念,4、帶無關項的邏輯函數(shù)及其表示,描述電機的狀態(tài): 可用a、b、c三個邏輯變量 a=1：表示電機正轉， a=0：表示電機不正轉； b=1：表示電機反轉， b=0：表示電機不反轉； c=1：表示電機停止， c=0：表示電機轉動；,約束條件,1.7.2 帶無關項的邏輯函數(shù)的化簡,例1,方法：一般采用圖形法，畫圈時可根據需要將“”號視為1或0。,例2：已知真值表如圖，用卡諾圖化簡。,化簡時可以將無所謂狀態(tài)當作1或0，目的是得到最簡結果。,f=a,例3: 設計一個奇偶判別電路.電路輸入為8421bcd碼,當輸入為偶數(shù)時,輸出為 0 ;當電路輸入為奇數(shù)時,輸出為1 .,由于8421bcd碼中無10101111這6個碼,電路禁止輸入這6個碼.這6個碼對應的最小項為無關項.,f(a,b,c,d)=m(1,