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1談?wù)勛匀粚?shù)李巖(赤峰學院數(shù)學學院08級數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學赤峰024000)摘要：e是數(shù)學中的重要常數(shù)之一,數(shù)e的起源與對數(shù)的發(fā)明有一定的聯(lián)系，e也是歷史上第一個用極限來定義的數(shù)，通過對它的定義進行出發(fā)，推導出e的一個重要性質(zhì)，以及歐拉公式，進而描述了三角函數(shù)與雙曲函數(shù)的關(guān)系。關(guān)鍵詞：自然對數(shù)e引言：圓周率生活中很容易被找到或被發(fā)現(xiàn)，一個圓的周長與其直徑的比等于圓周率?？勺匀粚?shù)的底e一直困擾著我們。高中數(shù)學中，有以10為底的對數(shù)，即常用對數(shù)。教材中曾指出，如果底數(shù)是以e為底的對數(shù)，我們稱之為自然對數(shù)，并且自然對數(shù)的底e=71828.2是一個無理數(shù)。一、自然對數(shù)的由來e似乎是來自純數(shù)學的一個問題。事實上，對于自然對數(shù)的底e是有其生活原型的。在歷史上，自然對數(shù)的底e與曾一個商人借錢的利息有關(guān)。過去，有個商人向財主借錢，財主的條件是每借1元，一年后利息是1元，即連本帶利還2元，年利率10。利息好多喔！財主好高興。財主想，半年的利率為%50，利息是5.1元，一年后還25.25.12元。半年結(jié)一次帳，利息比原來要多。財主又想，如果一年結(jié)3次，4次，365次，豈不發(fā)財了？財主算了算，結(jié)算3次，利率為31，1元錢一年到期的本利和是：37037.2)311(3元，結(jié)算4次，1元錢到一年時還44140.24114元。財主還想，一年結(jié)算1000次，其利息是：1000100011這么大的數(shù)，年終肯定發(fā)財了?？墒?，財主算了算，一元錢結(jié)帳1000次，年終還的金額只有：71692.21000111000元這令財主大失所望。他以為，結(jié)帳次數(shù)越多，利息也就增長得越快。財主根本不知道，nn11的值是隨n的增大而增大，但增加的數(shù)額極其緩慢；并且，不管結(jié)算多少次，連本帶利的總和不可能突破一個上限。數(shù)學家歐拉把nn11極限記作1000e，17828.2e，即自然對數(shù)的底。2二、自然對數(shù)的定義、性質(zhì)、應(yīng)用在代數(shù)里我們知道，除1以外的任何正數(shù)都可以當作對數(shù)的底。通常為了計算方便起見，我們采用以10為底的對數(shù)，就是所謂常用對數(shù)。此外，在高等數(shù)學、科學技術(shù)里，我們還常采用以e為底的對數(shù)。e的近似值是718.2。以e為底的對數(shù)xelog，叫做自然對數(shù)。數(shù)e叫做自然對數(shù)的底。下面我們來看怎樣確定e。2.1e的一個定義如果級數(shù)n!)1(1!51!41!31!21!111)1(收斂，我們就把它的和記做e。我們先來證明級數(shù))1(是收斂的。事實上，級數(shù))1(的n次部分和是nSn!)1(1!31!21!111容易看出，SSSSn321)2(而且；212221)1(3211；21222143211；212213211；212112)2(32nnn個所以)3(2121211122Snn應(yīng)用等比數(shù)列求和的公式，得)4(221112112112121112nn把)3(和)4(結(jié)合起來，就得到33nS)5(從)3(和)5(可以看出，數(shù)列1S，2S，nS，的各項逐次增大，但是它始終少于常量3。根據(jù)現(xiàn)行代數(shù)課本里的定理，可以知道nS存在極限。這就證明了級數(shù))1(是收斂的。而3limnnS因此，3e。我們再來計算e的近似值.取級數(shù))1(的第n次部分和作為近似值，那么誤差是nnnnnnnnnnRn)3)(2)(1(1)2)(1(1111!1!)2(1!)1(1!1而32)1(1)3)(2)(1(1)1(1)2)(1(1nnnnnnn所以)6(1!1)1(1111!12nnnnnnRn特別地，取8n，那末)7(0000280.03584018!898R我們只要對!71!61!51!41!31!21118S進行簡單的計算，就得到)8(7182542.27182537.28S因此，從8Se得到e7182537.2從88RSe，并且應(yīng)用)7(和)8(得到e7182822.20000280.07182542.24因此，e7182.2用上面的方法，只要取充分大的n的值，利用電子計算機可以得到e的近似值到上萬位小數(shù)。2.2e的一個性質(zhì)e也是無窮級數(shù)列nn,11,411,311,211,11432的極限，就是：ennn11lim這個公式的證明就略去。2.3e在其他方面的應(yīng)用再來考察比)1(更一般的級數(shù))9(!)1(!3!21132nxxxxn我們也可以證明這個冪級數(shù)，對一切實數(shù)x是收斂的，而且它的和就是指數(shù)函數(shù)xe。換句話說，指數(shù)函數(shù)xe可以展開成冪級數(shù))10(!)1(!2112nxxxenx在)10(里，如果取1x，就是級數(shù))1(；如果取1x，那末就得到。如果用復數(shù)z代替)10(右邊的x。所得到的級數(shù)也可以證明它是收斂的。我們就把它的和記做ze，稱做e的z次冪。例如，我們用i表示虛數(shù)單位1，y表示實數(shù)，那么)11()!1()(!3)(!2)()(1132niyiyiyiyeniy我們已經(jīng)知道iiiiiiiiii,1,1,1,18765432因此，)11(又可以寫做5yyyiyyyyyiyyiyyiyiyeiy!5!3!6!4!21!8!7!6!2!2!2!21536423762222我們就得到)12()sin(cosyigeiy這是一個有用的公式，叫做歐拉公式。在)12(里，設(shè)y或者y，那末就得到和e之間的一個重要關(guān)系：)13(01ei上面兩式里出現(xiàn)的四個數(shù)：e，i，1都是數(shù)學里的重要的數(shù)。應(yīng)用歐拉公式可以把三角函數(shù)用指數(shù)函數(shù)（但指數(shù)是復數(shù)）表示出來。就是：)19(2csc)18(2sec)17()(ctg)16()(tg)15(2cos)14(2sineeixeexeeeeixeeieexeexieexixixixixixixixixixixixixixixixix上面這些公式，我們可以證明如下：事實上，在)12(式里，用y代替y，就得到y(tǒng)iyeiysincos)20(把)11(式和)20(式相加再除以2，就得到)15(式；把)15(代入)12(就得到)14(.至于公式)16(、)17(、)18(、)19(，我們很容易從公式)17(、)15(出發(fā)，利用三角函數(shù)間的關(guān)系得到。除三角函數(shù)以外，利用指數(shù)函數(shù)還可以得到另外一些有用的函數(shù)雙曲函數(shù)。雙曲函數(shù)也有六個，雙曲正弦，記做sinh；雙曲余弦，記做cosh；雙曲正切，記做tgh；雙曲余切，記做ctgh；雙曲正割，記做hsec；雙曲余割，記做hcsc（后面三個函數(shù)不常用）。它6們的定義是：.2hcsc；2hsec；ctgh；tgh；2cosh；2sinheexeexeeeexeeeexeexeexxxxxxxxxxxxxxxxx上面這六個式子與公式)14()19(相比較，我們可以發(fā)現(xiàn)雙曲函數(shù)和三角函數(shù)有許多類似之點.例如雙曲函數(shù)之間有如下的關(guān)系：；sinh1csch；cosh1sech；tgh1ctgh；coshsinhtgh；1)(sinh)(cosh22xxxxxxxxxxx等等，這里我們不一一列舉了。三、總結(jié)自然對數(shù)的出現(xiàn)，不但使一些數(shù)學問題迎刃而解，而且對數(shù)使得復雜的乘法運算可以轉(zhuǎn)變?yōu)楹唵蔚募臃?，只要查閱對?shù)表就可以了。還推出了一些重要的數(shù)學公式。同時，對數(shù)尺（這里就不介紹了）也應(yīng)運而生。當然在計算器普及的今天，已經(jīng)很少有人用這種東西了。