2014年五一高中自主招生集訓班后端習題1答案

2014 年 五一 高中 自主招生集訓班 后端習題 答案 （ 數(shù)學部分 ） 試卷說明 本測試與 2015 年自主招生真題難度相當。 其中理科班型使用數(shù)學物理部分，文科班型使用數(shù)學語文部分。 本習題用于學生對水平進行自我評估， 如有學員希望單獨得到金牌助教們的閱卷及分析，請通過郵箱與我們?nèi)〉寐?lián)系。方式 1：將自測結(jié)果（推薦直接在原試卷上給出答案）以照片或掃描件的形式發(fā)送。方式 2：將自測答案單獨以 excel 或 word 形式發(fā)送。我們會在收到答案的兩周內(nèi)進行評閱并進行個性化分析。 第二套后端習題將于 2014年 5月 15日 12:00發(fā)布。 清北學堂集中培訓課程后端 習題答 案 （ 2014 年 五一 集中培訓課程使用） QBXT/JY/HDXTDA2014/5-1-11 2014-5-15 發(fā)布 清北學堂教學研究部 清北學堂學科郵箱 自主招生郵箱 數(shù)學競賽郵箱 物理競賽郵箱 化學競賽郵箱 生物競賽郵箱 理科精英郵箱 清北學堂官方博客 /tsba 清北學堂微信訂閱號 學習資料最新資訊 清北學堂集中培訓課程后端鞏固 北京清北學堂教育科技有限公司 第 2 頁 2014 年 五一高中自主招生集訓班后端習題 （數(shù)學部分） 一、 選擇題（ 每題 6 分，共 48 分 ） 1、 設(shè) ()是定義在 R 上的奇函數(shù)，且當 0時， () = 2，若對任意的 , +2，不等式 ( +) 2()恒成立，則實數(shù) 的取值范圍是（ ） A.2,+ B.2,10,2 C.2,+ D.(0,2 【清北解析】 本題用推演法求解，將參數(shù)的取值范圍問題利用等價轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與最值問題。 設(shè) 0， () = ()2 = 2，又 ()為奇函數(shù)，故 () = 2( 45 B.18 4 +5 D.18 = 45 【清北解析】 本題用特例法求解。 依題，可取 1 = 1,2 = 2,8 = 8。 18 = 8,45 = 20，所以 18 45。故選 B。 3、若 (2 3)2 = 0 +1 +22 +33 +44 +55，則 1 +22 +33 +44 +55 =（ ） A.-10 B.-5 C.5 D.10 【清北解析】 本題用特殊函數(shù)法求解。 (2 3)5 = 10(2 3)4 = 1 +22 +332 +443 +554 ，令 = 1 得，1 +22 +33 +44 +55 = 10。故選 B。 4、 設(shè)函數(shù) ()的定義域為 -2,4，則 (2)的定義域為（ ） A.-2,4 B.-2,2 C.-2,2 D.4,16 【清北解析】 本題考查函數(shù)的基本概念，并不困難，需要考生對基本概念有所掌握。 抽象函數(shù)求定義域指的是自變量的取值范圍，且在同一對應(yīng)法則 下括號內(nèi)取值范圍相同。 2 2 4 2 2。故選 C。 清北學堂集中培訓課程后端鞏固 北京清北學堂教育科技有限公司 第 3 頁 5、 已知定義在 R 上的奇函數(shù) ()滿足 ( +2) = ()，則 (6)的值為（ ） A.-1 B.0 C.1 D.2 【清北解析】 本題考查函數(shù)的周期性問題，此類題除零以外無法得到其它函數(shù)值，答案多為零。 ( +2) = () ( +4) = ( +2) () = ( +4) = 4。 又 對于奇函數(shù)，(0) = 0，所以 (6) = (2) = (0) = 0。故選 B。 6、 已知函數(shù) = 1 + +3的最大值為 M，最小值為 m，則 的值為（ ） A.1/4 B.1/2 C.2/2 D.3/2 【清北解析】 本題考查函數(shù)的極值問題 。 確定函數(shù)的值域，首先應(yīng)確定函數(shù)的定義域，為 3 1。將原函數(shù)平方處理的2 = 4+22 2 +3。令 () = 2 2 +3， 3 1時， ()單調(diào)遞增，1 1， ()單調(diào)遞減。 所以 ()的最大值和最小值可以確定為 4 和 0。因此， = 22， = 2。故選 C。 7、 （ 2013 北約） 復數(shù) A 、 B 、 C 的模都等于 1，且 0A B C ，則復數(shù) AB BC CAA B C的模等于 A.1/2 B.1 C.3 D.不確定 【清北解析】 1AA BB CC ， 則 +C C A B A A B C B B C A A B CABCA B C A B C ，模為 1。 8、 （ 2013 北約） 在 66 棋盤上放 3 個完全相同的紅色的車和 3 個完全相同的黑色的車，若這 6 個車不在同一行也不在同一列上，則不同的放法有 種 A.720 B.518400 C.20 D.14400 【清北解析】 考慮 6 個棋子均不相同，則不同行且不同列的方法共有 2 2 2 2 2 26 5 4 3 2 1 ，考慮棋子有兩種顏色，且相同顏色的棋子完全相同，則放法有 2 2 2 2 2 26 5 4 3 2 1 144003 ! 3 ! 。 清北學堂集中培訓課程后端鞏固 北京清北學堂教育科技有限公司 第 4 頁 二、 解答題 8、 （ 17 分） 函數(shù) f(x) 對任意 xR 都有 1( ) 1( 2)fx fx ， 若 (1 ) 5 1 ( 7 4 ) ( )nf , f n N 求 的 值。 【清北解析】 由 ()fx= 11( 2)fx 得 1( 2) 1 ( )fx fx， 1( 4)1 ( 2)fx fx= 111 1 ( )fx = 11()fx ， 1 1 ( ) 1( 8 ) 1 111 ( 4) ( ) 1 1 ( )1()fxfx f x f x f xfx ， ( 2) ( 8)f x f x ，故有 ( ) ( 6)f x f x， 這說明 ()fx是 R上的周期函數(shù)，且 6 是 ()fx的一個周期。 利用二項式定理可以證明 7 +4能被 6 除余 5， (7 4) (5)nff 而 1( 5 ) (1 4 ) 1 , (1 ) 5 1(1)f f ff ， 35(5)4f 。 清北學堂集中培訓課程后端鞏固 北京清北學堂教育科技有限公司 第 5 頁 9、 （ 16 分） 設(shè)如圖，是一人出差從 A 城到 B 城去，沿途可能經(jīng)過的城市的示意圖，通過兩城市所需的時間標在兩城市的連線上（單位：時）。試求此人從城 A 到城 B 所需時間的最小值。 【清北解析】 記各城市至 B 城所需時間最短的時數(shù)為 S(x),x 為城市記號，則 12( ) 12 , ( ) 18,S E S E 11( ) 17 ( ) 29,S D S E 2 1 2( ) m i n 1 0 ( ) , 5 ( ) 2 2 ,S D S E S E 32( ) 9 ( ) 27,S D S E 1 1 2( ) m i n 6 ( ) , 1 3 ( ) 3 5 ,S C S D S D 2 2 3( ) m i n 1 1 ( ) , 7 ( ) 3 3 ,S C S D S D 12( ) m i n 1 4 ( ) , 1 5 ( ) 4 8 .S A S C S C 所以最短路徑為 2 2 1A C D E B, ，共需時間 48 小時。 AB2C151C1D3D2D2E1E146131175917121810清北學堂集中培訓課程后端鞏固 北京清北學堂教育科技有限公司 第 6 頁 10、 （ 19 分） 設(shè) 0k ，在直線 y kx 與 y kx 上分別取點 ,AAAx y 與 ,BBB x y ，使0ABxx 且 21OA OB k ，其中 O 是坐標原點記 AB 中點 M 的軌跡為 C 求 C 的方程； 若拋物線 2 2x py （ 0p ）與 C 在兩點相切，證明：兩個切點分別在兩條定直線上，并求在這兩切點處的切線方程 【清北解析】 （ 1） M 為 AB 中點 ，設(shè)其坐標為 (, )xy ，則 222ABA B A Bxxxy y kx kxy 2 2 2 21 1 1 ( 1 )A B A BO A O B k k x k x k x x 由于 0ABxx ，可得 1ABxx 。 所以 2 2 2 22( 2 ) ( ) ( ) ( ) 4 4A B A B A Bx y x x x x x xk 整理得 C 的方程 為 222 1yx k，可知曲線 C 為雙曲線。 （ 2） 聯(lián)立方程組 22 2212yxkx py 得 22 2 1 0y pyk ， （ 0, 0kp） 由雙曲線與拋物線