凸輪機(jī)構(gòu)的模糊優(yōu)化設(shè)計(jì)論文

淮海工學(xué)院二七屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 - 1 -頁(yè) 共 53 頁(yè) - 1 - 目 錄 1 引言 1 2 模糊優(yōu)化的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 3 2.1 模糊集合 3 2.2 隸屬函數(shù) 8 2.3 模糊性的度量 9 2.4 模糊矩陣與模糊關(guān)系 11 2.5 模糊綜合評(píng)判 16 3 凸輪機(jī)構(gòu)的模糊優(yōu)化設(shè)計(jì) 20 3.1 凸輪機(jī)構(gòu)的應(yīng)用和分類(lèi) 20 3.2 凸輪機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)要求及其計(jì)算公式 22 3.3 凸輪機(jī)構(gòu)模糊優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型 23 3.4 凸輪機(jī)構(gòu)模糊約束的 隸屬函數(shù) 的確定 24 3.5 凸輪機(jī)構(gòu)模糊優(yōu)化設(shè)計(jì)的求解 25 3.6 優(yōu)化結(jié)果分析 48 結(jié)論 50 致謝 52 參考文獻(xiàn) 53 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）中文摘要 淮海工學(xué)院二七屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 - 2 -頁(yè) 共 53 頁(yè) - 2 - 凸輪機(jī)構(gòu)的模糊優(yōu)化設(shè)計(jì) 摘 要： 模糊優(yōu)化設(shè)計(jì)包括建立數(shù)學(xué)模型和應(yīng)用計(jì)算機(jī)優(yōu)化程序求解這樣兩個(gè)方面的內(nèi)容。如何從實(shí)際問(wèn)題中抽象出正確的數(shù)學(xué)模型，是工程模糊優(yōu)化設(shè)計(jì)的關(guān)鍵之一，也是工程設(shè)計(jì)人員進(jìn)行模糊優(yōu)化設(shè)計(jì)的首要任務(wù)。與常規(guī)優(yōu)化設(shè) 計(jì)一樣，目標(biāo)函數(shù)、約束條件和設(shè)計(jì)變量是模糊優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型的三要素。 而在各類(lèi)機(jī)器中，為了實(shí)現(xiàn)各種復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)要求，廣泛應(yīng)用著凸輪機(jī)構(gòu)。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外采用優(yōu)化設(shè)計(jì)方法進(jìn)行凸輪機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)已取得較大的進(jìn)展。但以往的工作均未考慮到凸輪機(jī)構(gòu)中有些因素的模糊性，致使難以迅速獲得諸方面皆滿(mǎn)意的方案，考慮到約束條件的模糊性，本文建立了凸輪機(jī)構(gòu)的模糊優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，并對(duì)一實(shí)例進(jìn)行了模糊優(yōu)化設(shè)計(jì)。 關(guān)鍵詞： 凸輪機(jī)構(gòu) 模糊 優(yōu)化設(shè)計(jì) 淮海工學(xué)院二七屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 - 3 -頁(yè) 共 53 頁(yè) - 3 - 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）外文摘要 Fuzzy optimal design on cam mechanisms Abstract: A fuzzy optimal designment including the establishment of the mathematical model and getting a correct answer based on computer optimal process. How getting a right mathematical model from the practical problem is one of the keys of the engineering fuzzy optimal designments,as well as the first task of the staffs when they are doing fuzzy optimal designments. As a conventional optimal designment, the objective function , constraint and optimization are the three factors of the mathematical model of a fuzzy optimal designment. In order to achieve lots of complex requirements of the campaign, people use cam mechanisms widely in all kinds of machines. People have made great progress in using the optimal design methods to design cam in recent years. But the work in the last years did not take some ambiguous factors of the cam into account, so it is difficult to get a program that can satisfy all aspects of the cam if you want to get it very quickly. Taking the fuzzy factors of the constraints into account, we established a fuzzy optimal mathematical model of the cam, and we made a fuzzy optimal design on an example of the cam. Keywords: cam ； yuzzy ； optimal design 淮海工學(xué)院二七屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 - 4 -頁(yè) 共 53 頁(yè) - 4 - 1 引言 近幾年來(lái) , 對(duì)擺動(dòng)滾子從動(dòng)件平面凸輪機(jī)構(gòu)進(jìn)行普通優(yōu)化設(shè)計(jì)的較多 , 并能從眾多滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求的可行方案中 , 選出實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)目標(biāo)的最佳方案。但由 于設(shè)計(jì)中根據(jù)設(shè)計(jì)規(guī)范或經(jīng)驗(yàn)確定的某些參數(shù)取值的不確定性 , 以及影響設(shè)計(jì)的某些因素如載荷性質(zhì)、材質(zhì)好壞又很難用確定的數(shù)值表示 , 這就導(dǎo)致了設(shè)計(jì)的模糊性。而普通優(yōu)化設(shè)計(jì)均未對(duì)這些模糊因素進(jìn)行分析 , 致使設(shè)計(jì)方案難以更好地符合客觀(guān)實(shí)際 , 為此需建立模糊優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型。 1.1 本課題的研究意義 凸輪機(jī)構(gòu)廣泛用于各種自動(dòng)機(jī)中。例如，自動(dòng)包裝機(jī)自動(dòng)成形機(jī)自動(dòng)裝配機(jī)自動(dòng)機(jī)床紡織機(jī)械農(nóng)業(yè)機(jī)械印刷機(jī)械自動(dòng)辦公設(shè)備自動(dòng)售貨機(jī)陶瓷機(jī)械加工中心換刀機(jī)構(gòu)高速壓力機(jī)械自動(dòng)送料機(jī)械食品機(jī)械物流機(jī)械電子機(jī)械自 動(dòng)化儀表服裝加工機(jī)械制革機(jī)械玻璃機(jī)械彈簧機(jī)械和汽車(chē)等。 凸輪機(jī)構(gòu)之所以能夠得到廣泛的應(yīng)用，是因?yàn)樗哂袀鲃?dòng) 導(dǎo)向和控制等功能。當(dāng)它作為傳動(dòng)機(jī)構(gòu)時(shí)，可以產(chǎn)生復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)規(guī)律；當(dāng)它作為導(dǎo)向機(jī)構(gòu)時(shí)，可使工作機(jī)械的動(dòng)作端產(chǎn)生復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)軌跡；當(dāng)它作為控制機(jī)構(gòu)時(shí)，可控制執(zhí)行機(jī)構(gòu)的工作循環(huán)。凸輪機(jī)構(gòu)還具有以下優(yōu)點(diǎn)：高速時(shí)平穩(wěn)性好，重復(fù)精度高，運(yùn)動(dòng)特性良好，機(jī)構(gòu)的構(gòu)件少，體積小，剛性大，周期控制簡(jiǎn)單，運(yùn)動(dòng)特性良好，機(jī)構(gòu)的構(gòu)件少，體積小，剛性大，周期控制簡(jiǎn)單，可靠性好，壽命長(zhǎng)。 1.2 本課題國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀、水平和發(fā)展趨 勢(shì) 隨著社會(huì)發(fā)展和科技進(jìn)步，各種自動(dòng)機(jī)正朝著高效率 高精度 自動(dòng)化程度高 優(yōu)良的性能價(jià)格比 壽命長(zhǎng) 操作簡(jiǎn)單和維修方便等方向發(fā)展。為適應(yīng)這種發(fā)展形式，滿(mǎn)足自動(dòng)機(jī)的要求，作為自動(dòng)機(jī)核心部件的分度凸輪機(jī)構(gòu)必須具有特性?xún)?yōu)良的凸輪曲線(xiàn)和高速 高精度性能。 由于計(jì)算機(jī)軟件和數(shù)控技術(shù)的日益普及，凸輪 CAD/CAM 軟件的問(wèn)世，為高速高精度凸輪機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì) 制造和檢測(cè)提供了有利條件。 凸輪曲線(xiàn)特性?xún)?yōu)良與否直接影響凸輪機(jī)構(gòu)的精度 效率和壽命。多年來(lái)，世界上許多凸輪專(zhuān)家創(chuàng)造了數(shù)十種特性?xún)?yōu)良的凸輪曲線(xiàn)。這些凸輪曲線(xiàn)完全能夠滿(mǎn)足各種 自動(dòng)機(jī)的要求。其中，最常用的有修正正弦曲線(xiàn) 修正梯形曲線(xiàn)和修正等速曲線(xiàn)等。日本山梨大學(xué)牧野洋教授研發(fā)的三角函數(shù)通用凸輪曲線(xiàn)幾乎包括全部凸輪曲線(xiàn)。西岡雅夫博士開(kāi)發(fā)了代數(shù)式通用凸輪曲線(xiàn)。利用這些通用凸輪曲線(xiàn)，輸入一定參數(shù)，就能得到滿(mǎn)足工作特性要求的凸輪曲線(xiàn)，從而制造出滿(mǎn)意的凸輪機(jī)構(gòu)。 我國(guó)在凸輪機(jī)構(gòu)研究方面歷史悠久，理論較深，但在設(shè)計(jì) 制造和檢測(cè)等應(yīng)淮海工學(xué)院二七屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 - 5 -頁(yè) 共 53 頁(yè) - 5 - 用技術(shù)方面，與美日德等工作發(fā)達(dá)國(guó)家比較，差距較大。 淮海工學(xué)院二七屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 - 6 -頁(yè) 共 53 頁(yè) - 6 - 2 模糊優(yōu)化的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 1965 年， 美國(guó)控制論專(zhuān)家查德（ L. A. Zaden)。第一次提出了模糊集合的概念，標(biāo)志著模糊學(xué)的誕生。 科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，越來(lái)越突出這樣的一種矛盾：科學(xué)的深化要求研究工作數(shù)學(xué)化、定量化；但是，科學(xué)的深化意味著對(duì)象的復(fù)雜化，復(fù)雜 化的東西又難于精確化。計(jì)算機(jī)科學(xué)更是復(fù)雜化與精確化矛盾的焦點(diǎn)?？萍脊ぷ髡咴趯?shí)踐中感受到有一條不相容原理：當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)的復(fù)雜性增大時(shí)，我們呢使它精確化的能力將減小，在達(dá)到一定閥值以上時(shí)，復(fù)雜性與精確性將相互排斥。與復(fù)雜性緊緊相伴的，就是模糊性。 模糊數(shù)學(xué)的使命，就是解決上述矛盾，它是 研究和處理模糊現(xiàn)象的一種新的數(shù)學(xué)方法。 “模糊”與“數(shù)學(xué)”本是對(duì)立的詞，查德把兩者統(tǒng)一在一起，當(dāng)然不是讓數(shù)學(xué)放棄它的嚴(yán)格性去遷就模糊性，而是要把數(shù)學(xué)方法打到模糊現(xiàn)象的禁區(qū)中去。但是，他也不把“模糊”二字看成是純粹消極的貶義詞，他認(rèn)為應(yīng)讓數(shù)學(xué)及計(jì)算機(jī)回過(guò)頭來(lái)吸取人腦在對(duì)復(fù)雜現(xiàn)象進(jìn)行識(shí)別和判決中的特點(diǎn)，形成一種新的更加靈活而簡(jiǎn)捷的處理手段與方法。 模糊數(shù)學(xué)把數(shù)學(xué)從二值邏輯的基礎(chǔ)上轉(zhuǎn)移到連續(xù)值邏輯上來(lái)，把絕對(duì)的“是” 、“非” 變?yōu)楦屿`活的東西，在適當(dāng)?shù)南抻蛏先ハ鄬?duì)的劃分“是”與“非” 。 模糊數(shù)學(xué)試圖解決的任務(wù)是：一、給各門(mén)學(xué)科，尤其是給那些數(shù)學(xué)的“禁區(qū)” 如人文科學(xué)（對(duì)一個(gè)有人的智力活動(dòng)參與其內(nèi)的系統(tǒng)進(jìn)行研究的科學(xué)，如經(jīng)濟(jì)管理、人工智能、環(huán)境科學(xué)等等），提供新的語(yǔ)言和工具；二、使計(jì)算機(jī)能仿效人腦對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行識(shí)別與判斷，提高自動(dòng)化水平。 盡管這門(mén)學(xué)科還很不成熟，然而在國(guó)內(nèi)外卻受到廣大科技工作者的熱切關(guān)注，發(fā)展迅速。 2.1 模糊集合 2.1.1 基本概念 集合論不僅是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是模糊數(shù)學(xué)的必備知識(shí)。為了與模糊集合相區(qū)別，我們把以往接觸到的集合，如 A=(2,3,4,8)稱(chēng)為普通集合（其全集稱(chēng)為論域）。 對(duì)于模糊集合中的子集，是沒(méi)有明確邊界的，如“身高”這個(gè)集合，一個(gè)身高 1.75m的人既可屬于也可不屬于“高個(gè)”這一子集，由于沒(méi)有明確的邊界，我們將“高個(gè)”稱(chēng)為“身高”這一論域的一個(gè)“模糊子集”（或模糊集），它具有模糊性，通常用下面帶波浪號(hào)的大寫(xiě)字母表示（本文以上面帶波浪號(hào)的大寫(xiě)字母表淮海工學(xué)院二七屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 - 7 -頁(yè) 共 53 頁(yè) - 7 - 示），如 A 、 B 等。 2.1.2 隸屬度 為了表示某一元素與模糊子集的關(guān)系， Zadeh 提出了“隸屬度”的概念 ，即：對(duì)論域的每一個(gè)元素iu在閉區(qū)間 1,0 中給它一個(gè)對(duì)應(yīng)的數(shù)字指標(biāo)，用以表明iu對(duì)于模糊集 A 的隸屬程度，并用 iA uu或Aiu表示，稱(chēng)元素iu對(duì) A 的隸屬度，且滿(mǎn)足 10 iA uu。顯然， iA uu值愈大，表示iu對(duì) A 的隸屬程度愈高。當(dāng) iA uu=0時(shí)，表示iu肯定不屬于 A ；當(dāng) iA uu =1時(shí)，表示iu肯定屬于 A 。在這兩種情況下，子集退化為普通集合。由此可見(jiàn)， Zadeh 引入模糊子集的基本思路是：把普通集合中的絕對(duì)隸屬關(guān)系加以擴(kuò)充，使元素對(duì)“集合”的隸屬度由只能取 0 和 1 這兩個(gè)值，推廣到可以取單位區(qū)間 1,0 中的任意一個(gè)數(shù)值，從而實(shí)現(xiàn)定量地刻畫(huà)模糊性事物，這里，模糊度是處理問(wèn)題的關(guān)鍵。 2.1.3 表示方法 Zadeh 表示法 A =mAmAA xxx / 2211 =mi iAix1 / (xi U) 當(dāng)論域 U 中的元素為無(wú)窮不可數(shù)時(shí)，可記為 A =U A xx /)( （ x U ） 式中，iAi x/ 論域 U中的元素 xi與其隸屬度Ai之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，不表示“分?jǐn)?shù)” ； “ +”、“ ” 模糊子集在論域 U 上的整體，不表示“求和”； “ ” 各個(gè)元素與隸屬度對(duì)應(yīng)關(guān)系的一個(gè)總括，不表示“積分”。 向量表示法 A ),( 21 AmAA 序偶表示法 , 2211 mAmAA xxxA 例 如圖， U 是給定的幾個(gè)物體， 淮海工學(xué)院二七屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 - 8 -頁(yè) 共 53 頁(yè) - 8 - a,b,c,d,e , 對(duì)每一元素指定一個(gè)隸屬程度 a 1, b 0.9, c 0.4, d 0.2, e 0. 按定義，便確定了 U 的一個(gè)模糊子集A ，它表示“圓塊塊”這一模糊概念，采用查德的 圖 1 圓塊兒 記法，寫(xiě)為 A=1/a+0.9/b+0.4/c+0.2/d, (1.3) 不要誤把上式右端當(dāng)作分式求和。分母放置元素，分子放置隸屬程度，“”號(hào)并無(wú)求和之意，這樣記法會(huì)帶來(lái)某些方便。元素 e對(duì) A 的隸屬程度為 0,(1.3)不寫(xiě)它。 向量表示：（ 1, 0.9, 0.4, 0.2, 0） 續(xù)偶表示； .,0,2.0,4.0,9.0,154321 xxxxx 2.1.4 運(yùn)算規(guī)則 設(shè) A 、 B 、 C 、 D 為論域 U 上的模糊子集，則有如下運(yùn)算規(guī)則 相等：若 A=B，則對(duì)一切 x U ,有 xuA= )( xuB 包含：若 BA ，則對(duì)一切 x U ，有 xuA xuB 余（補(bǔ)）集：若 A 與 B 互為余（補(bǔ)）集，則對(duì)一切 Ux ，有 xuA=1- xuB 并集：若 BAC ,則對(duì)一切 Ux ，有 )(),(m a x)( xuxuxuABc = )( xuxuBA 交集：若 D= BA ,對(duì)一切 Ux ，有 淮海工學(xué)院二七屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 - 9 -頁(yè) 共 53 頁(yè) - 9 - )(xuDmin )(),( xuxu BA = )( xuxu BA 其中， 和 分別表示“取大”和“取小”運(yùn)算。除上述運(yùn)算外，還有一些模糊集之間的代數(shù)運(yùn)算也是常用的，這里介紹一些簡(jiǎn)單定義： (1) 代數(shù)積：記為 BA ，其隸屬函數(shù)BAu規(guī)定為BAu=BAuu (2) 代數(shù)和（或上界和）：記為 BA ，其隸屬函數(shù)BAu規(guī)定為BA= )1),()(m in ( xx BA (3) 絕對(duì)差：記為 BA ，其隸屬函數(shù)BA 規(guī)定為BA =BA 上述規(guī)則中任意兩個(gè)模糊集之間的運(yùn)算都是在論域 U 中的每一個(gè)元素對(duì)這兩個(gè)模糊集的隸屬度間的運(yùn)算。與普通集合一樣，模糊集滿(mǎn)足：冪等律、交換律、結(jié)合律、吸收律、分配律、復(fù)原律和對(duì)偶律，但一般互補(bǔ)律不成立，即 UAA ， AA ，這是模糊集和與普通集合的一個(gè)明顯區(qū)別。 例 設(shè) 54321 , xxxxxU 8.0,1,6.0,2.0, 4321 xxxxA 542114.09.05.0 xxxxB 則根據(jù)上述運(yùn)算規(guī)則有 54321104.08.0019.06.05.02.0 xxxxxBA =5432118.019.05.0 xxxxx 4214.06.02.0 xxxBA 542112.04.08.0 xxxxA 42132.054.01.0 xxxBA 淮海工學(xué)院二七屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 - 10 -頁(yè) 共 53 頁(yè) - 10 - 5432111117.0 xxxxxBA 2.1.5 水平截集 模糊集本身沒(méi)有明確范圍，因此只有設(shè)法將模糊集合轉(zhuǎn)化為普通集合，才能應(yīng)用通常的數(shù)學(xué)方法來(lái)處理，而水平截集則是在模糊集與普通集相互轉(zhuǎn)化中起著重要橋梁作用的概念。 設(shè)給定論域 U 上 的模糊 自集 A ，對(duì)任意 1,0 ，稱(chēng)普通集合 UxxuxA A , 為 A 的 水平截集或稱(chēng) 水平集。 例432119.075.085.0 xxxxA ，現(xiàn)在要了解這 4 個(gè)掘進(jìn)隊(duì)哪個(gè)是“技術(shù)水平高”（ 90 分以上），哪個(gè)是“技術(shù)水平較高”（ 80 分以上），哪個(gè)是“技術(shù)水平一般”（ 70 分以上），于是： “技術(shù)水平高”的隊(duì)組成的普通 集合為 439.0 ,xxA “技術(shù)水平較高”的隊(duì)組成的普通集合為 4318.0 , xxxA “技術(shù)水平一般”的隊(duì)組成的普通集合為 43217.0 , xxxxA 這里7.08.09.0 , AAA即是 7.0,8.0,9.0 時(shí) A 的水平截集， 稱(chēng)為A的（置信）水平或閥值。 不難看出， A 是模糊子集，而A是普通集合，其直觀(guān)意義是， x隸屬函數(shù)達(dá)到或超過(guò) 的就算 x 是 A 元素。取一個(gè)模糊集 A 的 截集，實(shí)際上就是將其隸屬函數(shù)按下式轉(zhuǎn)換成特征函數(shù)， 如圖 1 淮海工學(xué)院二七屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 - 11 -頁(yè) 共 53 頁(yè) - 11 - 圖 1 A的特征函數(shù) xuZxxA A, xuxuXAAxA ,0,1當(dāng)當(dāng) 水平截集具有三個(gè)性質(zhì)： (1) BABA (2) BABA (3) 若 1 、 2 1,0 ，且 21 ，則211 AA 由 (3)可見(jiàn)，截集水平 越小，A越大，反之亦然。 當(dāng) 1 時(shí)，得到最小的水平截集 1A ，稱(chēng)為 A 的核； 當(dāng) 0 時(shí)，得到最大的水平截集，稱(chēng)為 A 的支集，記為： Supp A = 0, xuUxxA (U 為論域，稱(chēng) 1A SuppA 為 A 的邊界。若 A 的核 1A 不是空集，則稱(chēng) A 為正規(guī)模糊子集，否則稱(chēng)為非正規(guī)模糊子集。 從減小到 0(而未達(dá)到 0),A從核 1A 擴(kuò)張為支集 SuppA ,因此普通子集族 10 A意味著是一個(gè)具有“彈性邊界”可變的、運(yùn)動(dòng)的集合。這樣就可把一個(gè)模糊集合論的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一系列普通集合論的問(wèn)題來(lái)處理，這種解法稱(chēng)為水平截集法。 2.2 隸屬函數(shù) 2.2.1 隸屬函數(shù)的地位及概念 淮海工學(xué)院二七屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 - 12 -頁(yè) 共 53 頁(yè) - 12 - 在模糊數(shù)學(xué)中，隸屬度是建立模糊集合論的基石，隸屬函數(shù)是描述模糊性的關(guān)鍵。盡管統(tǒng)計(jì)學(xué)為隸屬函數(shù)的確定提供了較簡(jiǎn)捷和較科學(xué)的方法，但它們的確定仍然是實(shí)際工作者感到棘手的問(wèn)題。一個(gè)模糊集合在給定某種特性之后，就必須建立反映這種特性所具有的程度函數(shù)即隸屬函數(shù)。 2.2.2 隸屬函數(shù)的確定 模糊性的根源，在于客觀(guān)事物的差異之間存在著中介過(guò)渡，存在著亦此亦彼的現(xiàn)象。但是，在亦此亦彼之中依然存在著差異，依然可以相互比較，在上一層次中是亦此亦彼的東西，在下一層次中可能又是非此即彼的。這些 便在客觀(guān)上對(duì)隸屬函數(shù)進(jìn)行了某種限定，使得禮數(shù)函數(shù)不能主觀(guān)任意地捏造，它們?nèi)匀痪哂幸欢ǖ目陀^(guān)規(guī)律性。 當(dāng)然，隸屬函數(shù)的具體確定，確實(shí)包含著人腦的加工，其中包含某種心理過(guò)程。但是，歸跟到底，心理活動(dòng)也是物質(zhì)性的。心理物理學(xué)的大量實(shí)驗(yàn)表明，人的各種感覺(jué)所反映出來(lái)的心理量與外界刺激的物理量之間保持著相當(dāng)嚴(yán)格的定律（如偉伯定律、冪函數(shù)定律等），這些定律甚至在某些自然科學(xué)中扮演著基礎(chǔ)的角色。下面介紹確定隸屬函數(shù)的一般原則。 (1) 隸屬函數(shù)的確定過(guò)程，本質(zhì)上是客觀(guān)的，但又容許一定的認(rèn)為技巧，有時(shí)這種人為技巧對(duì)問(wèn)題的解決 起決定作用。值得注意的是，人為技巧應(yīng)該是合乎情理的，不能有悖于客觀(guān)實(shí)際。 (2) 在某些場(chǎng)合隸屬函數(shù)可以通過(guò)模糊統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)加以確定。一般來(lái)說(shuō)，這種方法多是較為有效的。 (3) 在某些場(chǎng)合，可以用概率統(tǒng)計(jì)的結(jié)果予以推理而確定其隸屬函數(shù)。 (4) 在某些場(chǎng)合，可以用二元對(duì)比排序法確定隸屬函數(shù)的大致形狀，根據(jù)形狀選用適當(dāng)?shù)碾`屬函數(shù)的模型。 (5) 在一定條件下，隸屬函數(shù)可以作為推理的產(chǎn)物。 (6) 某些模糊集合的隸屬函數(shù)可以經(jīng)過(guò)模糊運(yùn)算求得。 (7) 在模糊數(shù)學(xué)的許多應(yīng)用領(lǐng)域中，隸屬函數(shù)可以通過(guò)“學(xué)習(xí)”而不斷完善。 實(shí)踐效果是檢驗(yàn)和調(diào)整隸屬函數(shù)的依據(jù)。 (8) 隸屬函數(shù)的確定也可以通過(guò)專(zhuān)家的經(jīng)驗(yàn)來(lái)確定，目前在許多基于知識(shí)的專(zhuān)家系統(tǒng)中都是這樣來(lái)確定隸屬函數(shù)的。 2.3 模糊性的度量 2.3.1 模糊集合之間的距離 兩個(gè)模糊集合間的相似程度可以用他們之間的距離來(lái)度量，一般用符號(hào) d或 s 表示。 2.3.2 模糊度 一個(gè)模糊集合 A ，其模糊程度是可以定量描述的。 1972 年德國(guó)學(xué)者 De laca淮海工學(xué)院二七屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 - 13 -頁(yè) 共 53 頁(yè) - 13 - 提出了用模糊度來(lái)刻劃論域 U上的任意模糊集合 A 的 模糊程度的定量描述方法。模糊度 DA ,滿(mǎn)足下列條件： (1) 當(dāng)且僅當(dāng) A 為 U 上的經(jīng)典集合時(shí)， AD 0； (2) 當(dāng)且僅當(dāng) 5.0 xu A時(shí)， AD 取最大值，即 AD ； (3) 若對(duì)任意 Ux ，有 xuA 5.0 xuB 或 xuA 5.0 xu B 則 AD BD (4) A 與其補(bǔ)集 A ，其模糊度相同 ADAD 這個(gè)定義給出了關(guān)于模糊度的 四條公理。定義中的條件 (1)說(shuō)明經(jīng)典集合是不模糊的。條件 (2)表明當(dāng) 5.0 xu A時(shí)是最模糊的，因?yàn)樵谙喾吹那闆r下的隸屬度也是 0.5，即 5.0 xuxu AA，因而對(duì)于這兩種情況不知該怎樣決策才好。條件 (3)表明隸屬度越靠近 0.5 越模糊，反之離 0.5 越遠(yuǎn)越清晰。條件 (4)表明 A 與其補(bǔ)集 A 的模糊度是相同的，即 xuA與 xuA到 0.5 的距離相等。 2.3.3 貼近度 兩個(gè)模糊集之間接近程度的一種度量。 貼近度的一種形式： xuxuBA BA )( 例 321 , xxxU 3217.04.08.0 xxxA 3215.06.06.0 xxxB 5.07.06.04.06.08.0 BA = 5.04.06.0 =0.6 xuxuBA BA )( BA ， BA 分別叫做 A 與 B 的內(nèi)積與外積。稱(chēng) 淮海工學(xué)院二七屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 - 14 -頁(yè) 共 53 頁(yè) - 14 - BABABA 1, 或 BABABA 121, 為 A 與 B 的格貼近度。 2.3.4 隸屬原則 設(shè)nAAA ,., 21是 U 中的 n個(gè)模糊子集，lx是 U 中的一個(gè)元素， 若有， )() ,. . . .,(),(m a x21 onoooi xAxAxAxA ， （） 則認(rèn)為 xo相對(duì)隸屬于iA， 這就是隸屬原則。 例 25.00154.082.0 ，A 58.087.05.0 ，B 以隸屬原則判定， 即（）式 Ax 3 Bx 4 2.4 模糊矩陣與模糊關(guān)系 2.4.1 模糊關(guān)系簡(jiǎn)介 數(shù)學(xué)上講，一個(gè)確切的分類(lèi)，要由一個(gè)等價(jià)關(guān)系來(lái)確定。對(duì)應(yīng)地。一個(gè)模糊的分類(lèi)，要由一個(gè)模糊的等價(jià)關(guān)系來(lái)確定。模糊關(guān)系在模糊數(shù)學(xué)中有著基本的理論意義。 2.4.2 模糊關(guān)系 設(shè) U 是因素甲的狀態(tài)集， V 是因素乙的狀態(tài)集，若要同時(shí)考慮甲，乙兩因素，則可能狀態(tài)集是由 U 與 V 中任意搭配的元素對(duì) (u,v)所構(gòu)成，在數(shù)學(xué)上稱(chēng)它為 U 與 V 的笛卡爾乘 積集，記作 VvUuvuVU ,:, . VU 是 U、 V元素之間的一種無(wú)約束的搭配，如果對(duì)這種搭配施加某種限制，這種限制便體現(xiàn)了 U 與 V之間的某種特定的關(guān)系。因此，在數(shù)學(xué)上便把 U、 V元素之間的關(guān)系定義成為 U V 的一個(gè)子集，這是所熟知的事實(shí)，相應(yīng)地有從 U到 V的一個(gè)模糊關(guān)系 R 。 所謂從 U 到 V 的一個(gè)模糊關(guān)系 R ,是指 VU 的一個(gè)模糊子集。隸屬程度淮海工學(xué)院二七屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 - 15 -頁(yè) 共 53 頁(yè) - 15 - vuR , 表示 u與 v具有關(guān)系 R 的程度。當(dāng) U=V， R 稱(chēng)為 U上的模糊二元關(guān)系。 例 U=(1.4,1.5,1.6,1.7,1.8), V=(40,50,60,70,80), VU 的模糊子集 R 其隸屬 函數(shù)用矩陣表為18.02.0008.18.018.02.007.12.08.018.02.06.102.08.018.05.1002.08.014則 R 表示了身長(zhǎng)（米）體重（公斤）對(duì)應(yīng)關(guān)系。 2.4.3 模糊矩陣 當(dāng) U 與 V 都是有限集合時(shí)， R 可用一矩陣表現(xiàn)，這樣的矩陣（元素是介于0,1 之間的實(shí)數(shù)），稱(chēng)為模糊矩陣，也記作 R 。 設(shè) ijrR是 mn 維模糊矩陣， jkSS 是 rm 維模糊矩陣，令 jkijik Sri （ i=1, ,n,k=1, ,n） 易見(jiàn) 10 iki,則稱(chēng) ikiT 為 R 對(duì) S 的復(fù)合矩陣，記作 SRT 例如4.009.03.001.04.01.01.05.02.01R 8.02.03.01.017.09.04.0S 則9.07.04.04.09.04.0 SR 矩陣的復(fù)合運(yùn)算非常類(lèi)似于普通矩陣乘法，只是將“”改為“ ” ，將“ ” 改為“ ” 。 2.4.4 模糊聚類(lèi) 淮海工學(xué)院二七屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 - 16 -頁(yè) 共 53 頁(yè) - 16 - 模糊等價(jià)關(guān)系 設(shè) R 是 U 上的一個(gè)模糊關(guān)系，其對(duì)應(yīng)的模糊矩陣 R nmijr ，若滿(mǎn)足 (1) 自反性 1ijr (i=1,2, ,n) (2) 對(duì)稱(chēng)性 jiij rr (I,j=1,2, ,n) (3) 傳遞性 RRR 則稱(chēng) mnijrR 是一個(gè)模糊等價(jià)矩陣，其關(guān)系是模糊等價(jià)關(guān)系。 由定義可見(jiàn)，自反性是矩陣的對(duì)角線(xiàn)上的元素全是，對(duì)稱(chēng)性是 R 為對(duì)稱(chēng)矩陣，而傳遞性不宜直接看出 ，需計(jì)算。一般情況下所建立的模糊關(guān)系只滿(mǎn)足反身性和對(duì)稱(chēng)性條件，但可以證明這種模糊關(guān)系（ n 階矩陣）滿(mǎn)足下式 RRRRRR （ R n ） 其中， RR 是一個(gè)模糊等價(jià)關(guān)系，即模糊關(guān)系可通過(guò)計(jì)算改造成模糊等價(jià)關(guān)系。 模糊聚類(lèi)分析 對(duì)事物按一定要求進(jìn)行分類(lèi)的數(shù)學(xué)方法叫聚類(lèi)分析，它是研究分類(lèi)的一種多元分析方法。在應(yīng)用該方法時(shí)，關(guān)鍵是要把統(tǒng)計(jì)指標(biāo)選擇得合理，也就是統(tǒng)計(jì)指標(biāo)應(yīng)該有明確的實(shí)際意義，有 較強(qiáng)的分辨力和代表性。在選定了統(tǒng)計(jì)指標(biāo)后，進(jìn)行聚類(lèi)分析，大致分兩步。 第一步標(biāo)定工作 設(shè) U 是需要分類(lèi)的對(duì)象的全體，先建立 U 上的模糊關(guān)系 R ，當(dāng) U 為有限集時(shí)， R 是一個(gè)矩陣，這一步稱(chēng)為標(biāo)定。實(shí)際上，標(biāo)定工作是標(biāo)出衡量被分類(lèi)對(duì)象間相似程度的統(tǒng)計(jì)量ijr(i， j=1， 2， ， n)，由此得出模糊關(guān)系 R 。設(shè)被分類(lèi)的每一對(duì)象iu，由一組數(shù)據(jù)imii xxx ,., 21表示，則ijr的計(jì)算方法與公式如下： (1) 數(shù)量積法 mkjkikij jiMxxjir1,1當(dāng)當(dāng) 其中 M 為一適當(dāng)選擇的正數(shù)，且滿(mǎn)足 淮海工學(xué)院二七屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 - 17 -頁(yè) 共 53 頁(yè) - 17 - M mk jkikxx1m ax (2) 絕對(duì)值指數(shù)法 mk jkik xxij er 2 (3) 主觀(guān)評(píng)定法 請(qǐng)有經(jīng)驗(yàn)的專(zhuān)家評(píng)分，一般可用百分制。將評(píng)得的總分除以 100 后，即得閉區(qū)間 1,0 的一個(gè)數(shù)。為避免主觀(guān)片面，也可采用多人評(píng)分，再取平均值的方法來(lái)定出ijr。 第二步聚類(lèi) 由上知， R 一般需改造成模糊等價(jià)關(guān)系。取 R 的乘冪 ,., 842 RRR 若在某一步有 nkk RRR 2 ，則 nR 便是一個(gè)模糊等價(jià)關(guān)系。 計(jì)算出 nR 后，選定適當(dāng)?shù)拈y值 ,對(duì) nR 進(jìn)行截割。 根據(jù)聚類(lèi)原則，即ix與jx在 水平上屬同類(lèi)，當(dāng) ijr時(shí)，ix與jx歸為一類(lèi)。由于所選的 值不同，便可對(duì) U 進(jìn)行動(dòng)態(tài)聚類(lèi)，得到聚類(lèi)圖，該方法稱(chēng)為模糊聚類(lèi)傳遞包法。 例 以往對(duì)煤礦巖巷圈巖穩(wěn)定性分類(lèi)多采用工程類(lèi)比法，該方法具有一定的主觀(guān)性和片面性，為此采用模糊聚類(lèi)法進(jìn)行分類(lèi)。通過(guò)對(duì)國(guó)外所采用過(guò)的幾十個(gè)巖石分類(lèi)指標(biāo)的分析，選定“位移穩(wěn)定時(shí)間、巖體聲波速度、點(diǎn)荷載強(qiáng)度、巖塊結(jié)構(gòu)模糊”四個(gè)指標(biāo)為分類(lèi)指標(biāo)，據(jù)此可大致確定出圍巖穩(wěn)定性類(lèi)別。 已知某礦五條巷道 、的四個(gè)指標(biāo) 值，試用模糊聚類(lèi)傳遞包法對(duì)其的穩(wěn)定性進(jìn)行判定。 經(jīng)實(shí)際標(biāo)定，該五條巷道的模糊相似矩陣為 00.138.043.041.047.038.000.139.034.041.043.039.000.148.062.041.034.048.000.147.047.041.062.047.000.1R R 的自反性和對(duì)稱(chēng)性是顯然的，但不滿(mǎn)足傳遞性條件，故需進(jìn)行改造。 淮海工學(xué)院二七屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 - 18 -頁(yè) 共 53 頁(yè) - 18 - *2224 RRRRR ， *R 即為模糊等價(jià)關(guān)系。 選取 值對(duì) *R 進(jìn)行截割。當(dāng) =1 時(shí)，有 10000010000010000010000011R 這時(shí) U 被分為 ，。 當(dāng) 62.0 時(shí)，有 100000100000101000100010162.0R 這時(shí) U被分為，。 同理， 48.0 時(shí)， U被分為，。 47.0 時(shí)， U被分為，。 41.0 時(shí)， U被分為，。 圖 2 模糊聚類(lèi)圖 如果欲將其分為“穩(wěn)定、中等穩(wěn)定，不穩(wěn)定三類(lèi)” ，則可取 48.0 。 淮海工學(xué)院二七屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 - 19 -頁(yè) 共 53 頁(yè) - 19 - 2.5 模糊綜合評(píng)判 2.5.1 模糊綜合評(píng)判的意義 在生產(chǎn)、科研和日常生活中，人們常常需要比較各種事物，評(píng)價(jià)其優(yōu)劣好壞，以作相應(yīng)的處理。例如，評(píng)價(jià)某新產(chǎn)品整機(jī)性能的好壞，評(píng)價(jià)某設(shè)計(jì)參數(shù)的合理程度等，以該進(jìn)產(chǎn)品設(shè)計(jì)，提高產(chǎn)品質(zhì)量。 由于同一事物具有多種屬性，因此，在評(píng)價(jià)事物 時(shí)應(yīng)兼顧各個(gè)方面。特別是在生產(chǎn)規(guī)劃、管理調(diào)度等復(fù)雜系統(tǒng)中，作出任何一個(gè)決策時(shí)，都必須對(duì)多個(gè)相關(guān)的因素進(jìn)行綜合考慮，這便是所謂的綜合評(píng)判問(wèn)題。若這種評(píng)判涉及模糊因素，便是模糊綜合評(píng)判問(wèn)題。 2.5.2 一級(jí)模糊綜合評(píng)判 模糊綜合評(píng)判就是應(yīng)用模糊變換原理對(duì)其考慮的事物所作的綜合評(píng)判。它主要分為兩步：第一步先按單個(gè)因素進(jìn)行評(píng)判，第二步再按所有因素進(jìn)行綜合評(píng)判。 (1) 建立因素集 因素集是以影響評(píng)判對(duì)象的各種因素為元素組成的集合，通常用 U 表示，即 U=nuuu ,., 21 各元素iu代表各影響因素。這些因素通常都具有不同程度的模糊性。例如，在評(píng)判機(jī)械結(jié)構(gòu)的安全系數(shù)時(shí)，其影響因素一般包括： 1u 設(shè)計(jì)水平 2u 制造水平 3u 材質(zhì)好壞 4u 重要程度 5u 使用條件 6u 維修費(fèi)用與災(zāi)害損失費(fèi)用 上述各因素iu所組成的集合，便是評(píng)判安全系數(shù)的因素集 U=nuuu ,., 21。 (2) 建立備擇集 (評(píng)判集 ) 備擇集是以評(píng)判者對(duì)評(píng)判對(duì)象可能作出的各種總的評(píng)判結(jié)果為元素組成的集合，通常用 V 表示，即 V= mvvv ,., 21 各元素 iv 代表各種可能的總的評(píng)判結(jié)果。模糊綜合評(píng)判的目的，就 是在綜合考慮所有影響因素的基礎(chǔ)上，從備擇集中得到一最佳的評(píng)判結(jié)果。例如，在評(píng)判安全系數(shù)時(shí)，備擇集中的元素 iv 即為可能選取的各種安全系數(shù)值，評(píng)判的結(jié)果便淮海工學(xué)院二七屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 - 20 -頁(yè) 共 53 頁(yè) - 20 - 是從 V中得出一個(gè)最合理的安全系數(shù)。 (3) 單因素模糊評(píng)判 首先從因素集 U 中的單個(gè)因素出發(fā)進(jìn)行評(píng)判，確定評(píng)判對(duì)象對(duì)備擇集中各元素的隸屬程度。設(shè)評(píng)判對(duì)象按因素集中第 i 個(gè)因素 iu進(jìn)行評(píng)判時(shí)，對(duì)備擇集中第 j 個(gè)元素jv隸屬程度為ijr，則按第 i個(gè)因素iu評(píng)判的結(jié)果可用模糊集合表示為 mimiii vrvrvrR .2211 iR稱(chēng)為單因素評(píng)判集，可簡(jiǎn)單地表示為 imiii rrrR ,., 21 它是備擇集 V上的一個(gè)模糊集合。將 n 個(gè)因素的評(píng)判集組成一個(gè)總的評(píng)判矩陣 nmnnmmn rrrrrrrrrRRRR21222211121121 R 稱(chēng)為單因素評(píng)判矩陣。 (4) 建立權(quán)重集 一般而言，各個(gè)因素的重要程度是不一樣的。為了反映各因素的重要程度，對(duì)各個(gè)因素iu應(yīng)賦予一相應(yīng)的權(quán)數(shù)iw。由各權(quán)數(shù)所組成的集合 nwwwW , 21 稱(chēng)為因素權(quán)重集，簡(jiǎn)稱(chēng)為權(quán)重集。 (5) 模糊綜合評(píng)判 從單因素評(píng)判矩陣 R 可以看出； R 的第 i行，反映了第 i個(gè)因素影響評(píng)判對(duì)象取各個(gè)備擇元素的程度； R 的第 j 列，則反映了所有因素影響評(píng)判對(duì)象取第 j個(gè)備擇元素的程度。因此，可用每列元素之和 ni ijr1 j=1,2, ,m 來(lái)反映所有因素的綜合影響。但是這樣做并未考慮個(gè)因素的重要程度。如在上式的各項(xiàng)作用以相應(yīng)因素的權(quán)數(shù) iW ，便能合理地反映所有因素的綜合影響。淮海工學(xué)院二七屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 - 21 -頁(yè) 共 53 頁(yè) - 21 - 因此，當(dāng)權(quán)重集 W 和單因素評(píng)判矩陣 R 為已知時(shí)，便可作 模糊變換來(lái)進(jìn)行綜合評(píng)判 RWB = nmnnmmnrrrrrrrrrwww21222211121121 , = mbbb , 21 式中，“ ”表示某種合成運(yùn)算； B 稱(chēng)為模糊綜合評(píng)判集； mjbj ,2,1 稱(chēng)為模糊綜合評(píng)判指標(biāo)，簡(jiǎn)稱(chēng)為評(píng)判指標(biāo)。jb的含義為綜合考慮所有因素的影響時(shí)，評(píng)判對(duì)象對(duì)備擇集中第 j個(gè)元素 的隸屬度。 2.5.3 多級(jí)模糊綜合評(píng)判 在復(fù)雜系統(tǒng)中，由于要考慮的因素很多，各因素之間往往還有層次之分，并且許多因素還具有比較強(qiáng)烈的模糊性，若用一級(jí)模糊綜合評(píng)判模型，則難以比較系統(tǒng)中事物之間的優(yōu)勝劣汰次序，得不出有意義的評(píng)判結(jié)果。此時(shí)，需用多級(jí)模糊綜合評(píng)判。 當(dāng)因素很多時(shí)，若用一級(jí)模糊綜合評(píng)判模型，則必然會(huì)遇到這樣一些問(wèn)題，一是權(quán)數(shù)難以較為合理地分配，二是因重集中各權(quán)數(shù)都很小，會(huì)出現(xiàn)“泯沒(méi)”大量單因素評(píng)判信息的情況。在實(shí)際應(yīng)用中，如果遇到這種情形，可把因素集 U按某些屬性分成幾類(lèi)，先對(duì)每一類(lèi)（因素較少）作 綜合評(píng)判，然后再對(duì)評(píng)判結(jié)果進(jìn)行“類(lèi)”之間的高層次的綜合評(píng)判。 (1) 將因素分類(lèi) 先根據(jù)因素集中因素間的關(guān)系將 U 分成 N 類(lèi)，即 U=nuuu ,., 21 (2) 一級(jí)模糊綜合評(píng)判 對(duì)每個(gè) U=nuuu ,., 21的im個(gè)因素，按一級(jí)模糊綜合評(píng)判模型進(jìn)行綜合 評(píng)判得 iii RWB i=1,2, ,N 式中， iW 為 iU 上的權(quán)重集，且 imiii wwwW , 21 ； iR 為對(duì) U的單因素評(píng)判矩陣。 淮海工學(xué)院二七屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 - 22 -頁(yè) 共 53 頁(yè) - 22 - (3) 二級(jí)模糊綜合評(píng)判。 U的總的評(píng)價(jià)句矩陣 R 為 NBBBR 21=nn RWRWRW2211 根據(jù)各類(lèi)因素的重要程度，賦予每個(gè)因素類(lèi)似相應(yīng)的權(quán)數(shù)，設(shè)為 nwwwW , 21 則總的評(píng)判結(jié)果為 如果因素集 U的元素非常多時(shí)，則仿照上述步驟還可進(jìn)行三級(jí)甚至更多級(jí)的模糊綜合評(píng)判。 淮海工學(xué)院二七屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 - 23 -頁(yè) 共 53 頁(yè) - 23 - 3 凸輪機(jī)構(gòu)的模糊優(yōu)化設(shè)計(jì) 在各類(lèi)機(jī)器中，為了實(shí)現(xiàn)各種復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)要求，廣泛應(yīng)用著凸輪機(jī)構(gòu)。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外采用優(yōu)化設(shè)計(jì)方法進(jìn)行凸輪機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)已取得較大的進(jìn)展。但以往的工作均未考慮到凸輪機(jī)構(gòu)中有些因素的模糊性，致使難以迅速獲得諸方面皆滿(mǎn)意的方案，考慮到約束條件的模糊性，下面建立了凸輪機(jī)構(gòu)的模糊優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，并對(duì)一實(shí)例進(jìn)行了模糊優(yōu) 化設(shè)計(jì)。 3.1 凸輪機(jī)構(gòu)的應(yīng)用和分類(lèi) 當(dāng)從動(dòng)件的位移、速度和加速度必須嚴(yán)格地按照預(yù)定規(guī)律變化，尤其當(dāng)原動(dòng)件作連續(xù)運(yùn)動(dòng)而從動(dòng)件必須作間歇運(yùn)動(dòng)時(shí)，則以采用凸輪機(jī)構(gòu)最為簡(jiǎn)便。 內(nèi)燃機(jī)配氣機(jī)構(gòu)和自動(dòng)機(jī)床上控制刀架運(yùn)動(dòng)的都為凸輪機(jī)構(gòu)。故凸輪是一個(gè)具有曲線(xiàn)輪廓或凹槽的構(gòu)件，它運(yùn)動(dòng)時(shí)，通過(guò)高副接觸可以使從動(dòng)件獲得連續(xù)或不連續(xù)的任意預(yù)期往復(fù)運(yùn)動(dòng)。 凸輪機(jī)構(gòu)一般由凸輪、從動(dòng)件、機(jī)架三個(gè)構(gòu)件組成。常用的凸輪機(jī)構(gòu)可分類(lèi)如下： 3.1.1 按凸輪的形狀分 (1) 盤(pán)形凸輪 它是凸輪的最基本型式。這種凸輪是一 個(gè)繞固定軸線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)并具有變化矢徑的盤(pán)形構(gòu)件。 (2) 移動(dòng)凸輪 當(dāng)盤(pán)形凸輪的回轉(zhuǎn)中心趨于無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，凸輪相對(duì)機(jī)架作往復(fù)移動(dòng)，這種凸輪稱(chēng)為移動(dòng)凸輪。 (3) 圓柱凸輪 這種凸輪可認(rèn)為是將移動(dòng)凸輪卷成圓柱體而演化成的。 盤(pán)形凸輪和移動(dòng)凸輪與從動(dòng)件之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)為平面運(yùn)動(dòng)；而圓柱凸輪與從動(dòng)件之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)為空間運(yùn)動(dòng)，所以前兩者屬于平面凸輪機(jī)構(gòu)，后者屬于空間凸輪機(jī)構(gòu)。 3.1.2 按從動(dòng)件的型式分 (1) 尖底從動(dòng)件 尖底能與任意復(fù)雜的凸輪輪廓保持接觸，從而使從動(dòng)件實(shí)現(xiàn)任意運(yùn)動(dòng)。但因?yàn)榧獾滓子谀p，故只宜用于傳 力不大的低速凸輪機(jī)構(gòu)中。 (2) 滾子從動(dòng)件 這種從動(dòng)件耐磨損，可以承受教大的載荷，故應(yīng)用最普遍。 (3) 平底從動(dòng)件 這種從動(dòng)件的底面與凸輪之間易于形成楫形油膜，故常用于高速凸輪機(jī)構(gòu)之中。 以上三種從動(dòng)件亦可按相對(duì)機(jī)架的運(yùn)動(dòng)形式分為作往復(fù)直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的直動(dòng)從動(dòng)件和作往復(fù)擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)的擺動(dòng)從動(dòng)件。 3.1.3 按凸輪與從動(dòng)件維持高副接觸的方式分 (1) 力鎖合 利用從動(dòng)件的重力、彈簧力或其他分力使從動(dòng)件與凸輪保持接觸。 (2) 幾何鎖合 依靠凸輪與從動(dòng)件的特殊幾何形狀而始終維持接觸。如凹槽凸輪，其凹槽兩側(cè)面間的距離等于滾子的直徑，故能保證滾子與凸輪始終接觸。顯然，這種凸輪只能采用滾子從動(dòng)件。 淮海工學(xué)院二七屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 - 24 -頁(yè) 共 53 頁(yè) - 24 - 幾何鎖合的凸輪機(jī)構(gòu)可以免除彈簧附加的阻力，從而減小驅(qū)動(dòng)力和提高效率；它的缺點(diǎn)是機(jī)構(gòu)外廓尺寸較大，設(shè)計(jì)也較復(fù)雜。 凸輪機(jī)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)是：只需設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)耐馆嗇喞憧墒箯膭?dòng)件得到任意的預(yù)期運(yùn)動(dòng)，而且結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、緊湊、設(shè)計(jì)方便，因此在自動(dòng)機(jī)床、輕工機(jī)械、紡織機(jī)械、印刷機(jī)械、食品機(jī)械、包裝機(jī)械和機(jī)電一體化產(chǎn)品中得到廣泛應(yīng)用。它的缺點(diǎn)是： 1)凸輪與從動(dòng)件間為點(diǎn)或線(xiàn)接觸，易磨損，只易用于傳力不大的場(chǎng)合； 2）凸輪輪廓加工比較困難； 3）從動(dòng)件的行程不能不能過(guò)大，否則會(huì)使凸輪變得笨重。 3.1.4 凸輪機(jī)構(gòu)的壓力角和自鎖 偏置尖底直動(dòng)從動(dòng)件盤(pán)形凸輪機(jī)構(gòu)在推程角的一個(gè)位置時(shí)，當(dāng)不考慮摩擦?xí)r，凸輪 作用于從動(dòng)件的驅(qū)動(dòng)力 F 是沿法線(xiàn)方向傳遞的。此力可分解為沿從動(dòng)件的運(yùn)動(dòng)方向的有用分力 F1 和使從動(dòng)件緊壓導(dǎo)路的有害分力 F2。驅(qū)動(dòng)力 F 與有用分力 F1 之間的夾角 （或接觸點(diǎn)法線(xiàn)與從動(dòng)件上力作用點(diǎn)速度的方向所夾的銳角）稱(chēng)為凸輪機(jī)構(gòu)在圖示位置時(shí)的壓力角。顯然，壓力角是衡量有用分力 F1和有害分力 F2 之比的重要參數(shù)。壓力角 愈大，有 害分力 F2 愈大，由 F2 引起的導(dǎo)路中的摩擦阻力也愈大，故凸輪推動(dòng)從動(dòng)件所需的驅(qū)動(dòng)力也就愈大。當(dāng) 增大到某一數(shù)值時(shí)，因 F2 引起的摩擦阻力將會(huì)超過(guò)有用分力 F1，這時(shí)，無(wú)論凸輪給從動(dòng)件的驅(qū)動(dòng)力多大，都不能推動(dòng)從動(dòng)件，這種現(xiàn)象稱(chēng)為機(jī)構(gòu)出現(xiàn)自鎖。機(jī)構(gòu)開(kāi)始出現(xiàn)自鎖的壓力角 lim 稱(chēng)為極限壓力角，它的數(shù)值與支承間的跨距，懸臂長(zhǎng)度，接觸面間的摩擦系數(shù)和潤(rùn)滑條件等有關(guān)。實(shí)踐說(shuō)明，當(dāng) 增大到接近 lim時(shí)，即使尚未發(fā)生自鎖，也會(huì)導(dǎo)致驅(qū)動(dòng)力急劇增大，輪廓嚴(yán)重磨損、效率迅速降低。因此，實(shí)際設(shè)計(jì)中規(guī)定了壓力角的許用值 。對(duì)擺動(dòng)從動(dòng) 件，通常取 =40- 50；對(duì)于直動(dòng)件從動(dòng)件通常取 =30 -38。滾子接觸、潤(rùn)滑良好的支承有較好剛性時(shí)取數(shù)據(jù)的上限；否則取下限。 力鎖合式凸輪機(jī)構(gòu)，其從動(dòng)件的回程是由彈簧等外力驅(qū)動(dòng)的，而不是由凸輪驅(qū)動(dòng)的，所以不會(huì)出現(xiàn)自鎖。因此，力鎖合式凸輪機(jī)構(gòu)的回程壓力角可以很大，其許用值可取 =70 - 80。 3.1.5 凸輪副的材料及其熱處理 凸輪和從動(dòng)件應(yīng)具有足夠的強(qiáng)度和耐磨性。一般應(yīng)使從動(dòng)件上與凸輪相接觸部分的硬度略低于凸輪的硬度，因更換從動(dòng)件比更換凸輪價(jià)廉而簡(jiǎn)便。 凸輪副常用材料及其熱 處理，可根據(jù)載荷情況按下表選用。 凸輪材料及其熱處理 材料類(lèi)型 熱 處 理 硬 度 接觸疲勞強(qiáng)度極限 sHlim(MPa) 特 點(diǎn) 和 用 途 碳素鋼 正火 HB150 190 2HB+70 低速、輕載凸輪或從動(dòng)件 調(diào)質(zhì) HB220 250 2HB+70 綜合性能較好，用于中低速、中載的凸輪或從動(dòng)件 調(diào)質(zhì)后表面淬火 HRC45 50 17HRC+200 中高速、中載、中等精度的凸輪或從動(dòng)件 合金鋼 調(diào)質(zhì) HB220 285 2HB+70 性能優(yōu)于碳素鋼調(diào)質(zhì)，應(yīng)用情況同碳素鋼 調(diào)質(zhì)后表面淬火 HRC45 50 17HRC+200 淬透性好，應(yīng)用情況同碳素鋼 氮化 HV550 750 1050 接觸疲勞強(qiáng)度高，用于中高速、中載、高精度的凸輪或從動(dòng)件 淮海工學(xué)院二七屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 - 25 -頁(yè) 共 53 頁(yè) - 25 - 3.2 凸輪機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)要求及其計(jì)算公式 3.2.1 設(shè)計(jì)要求 如圖 5-13 所示偏置直動(dòng)滾子從動(dòng)件盤(pán)形凸輪機(jī)構(gòu)，已知凸輪沿順時(shí)針?lè)较虻冉撬俣绒D(zhuǎn)動(dòng)， n=100r/min，當(dāng)凸輪轉(zhuǎn)過(guò)升程角w=110 時(shí)，從動(dòng)件按正弦加速度運(yùn) 動(dòng)規(guī)律運(yùn)動(dòng)，工作行程 h=40mm，從動(dòng)件導(dǎo)路偏于凸輪回轉(zhuǎn)中心的左方，確定凸輪的最小基圓半徑br。 (1) 已知機(jī)構(gòu)尺寸及有關(guān)參數(shù) a=0.05m, c=0.015m , d=0.16m ,導(dǎo)路的摩擦系數(shù) =0.1,凸輪軸半徑 rs=0.01m,外載荷 Q=400N，彈簧剛度 K=5000N/m，從動(dòng)件質(zhì)量m=5kg，凸輪基圓半徑與滾子半徑之比 k=3.5, 凸輪與滾子彈性模 量 5101.2 E Mpa， 凸輪的許用接觸應(yīng)力 600MPa， 凸輪的角速度 w=10.472rad/s, w=110 =1.92rad， h=0.04m。 圖 5-13 從動(dòng)件的作用力 (2) 變量 y的上下界 0.02m,則 y 的上界為 y=d-a-s-b=0.16-0.05-0.04-0.02=0.05m 當(dāng)從動(dòng)件在下死點(diǎn)時(shí)，因凸輪基圓半徑有 3106475.1 Tsb rrr,即 3101.45.3/01.075.1 bb rr ,故有 br 0.03m。假定偏距取最大值淮海工學(xué)院二七屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 - 26 -頁(yè) 共 53 頁(yè) - 26 - e=-0.015m，則的 y 下界為 mery b 026.0015.003.0 2222 (3) 變量 e的上下界及 ， 根據(jù)機(jī)構(gòu)尺寸，取 e =0,e = -0.015m，凸輪的許用最大壓力角 30 ,凸輪的許用接觸應(yīng)力 600MPa。 3.2.2 凸輪機(jī)構(gòu)的計(jì)算公式 按正弦加速度運(yùn)動(dòng)規(guī)律，計(jì)算從動(dòng)件的位移 s，速度 s 和加速度 s 。 (1) 凸輪理論輪廓上任意點(diǎn)的曲率半徑 uuc 2 (2) 從動(dòng)件的作用力 smFKsQPs 其中， Q為外載荷， K為彈簧剛度，sF為彈簧的預(yù)緊力， m為從動(dòng)件系統(tǒng)的質(zhì)量。 (3) 凸輪輪廓的法向力。在不考慮滾子與凸輪輪廓之間的摩擦力的條件下，由從動(dòng)件作用力的平衡方程組解得 s i n22c o s caba PaN 其中， 21,NN 為從動(dòng)件導(dǎo)路的反作用力， N為凸輪的法向力， 為摩擦系數(shù)，a,b,c為凸輪機(jī)構(gòu)尺寸（見(jiàn)圖 5 13）。 (4) 凸輪輪廓的接觸應(yīng)力 vqE 418. 其中， q為凸輪輪廓單位寬度的載荷 (取 q=N/0.75rb)， E為凸輪與滾子的材料綜合彈性模量，v為凸輪與滾子的綜合曲率半徑。 cbcbTTcTcTv k rkrrr rr 2 3.3 凸輪機(jī)構(gòu)模糊優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型 根據(jù)設(shè)計(jì)要求，在滿(mǎn)足正常運(yùn)行條件下，確定凸輪的最小基 圓半徑 br （也可以說(shuō)凸輪用料最少），其模糊優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的建立如下： 淮海工學(xué)院二七屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 - 27 -頁(yè) 共 53 頁(yè) - 27 - 3.3.1 確定設(shè)計(jì)變量 由圖 5-13可知，影響基圓半徑的因素為其偏心距和滾子在下死點(diǎn)時(shí) y 的數(shù)值。故設(shè)計(jì)變量 X=y,eT=x1,x2T 3.3.2 建立目標(biāo)函數(shù) 由圖 5-13可知，目標(biāo)函數(shù) minF(X)=(x12+x22)1/2 3.3.3 確定約束條件 考慮從完全許用到完全不許用的中介過(guò)渡過(guò)程，把凸輪的接觸應(yīng)力，凸輪的壓力角，凸 輪的基圓半徑等約束，視為設(shè)計(jì)空間中的模糊子集，約束條件如下： (1) 凸輪的接觸應(yīng)力強(qiáng)度約束 s i n22c o s75.0418.021cabarP a Ebv (2) 凸輪的壓力角約束 1 wsy ewstg (3) 凸輪的最小基圓半徑約束 bb rr 3.4 凸輪機(jī)構(gòu)模糊約束的隸屬函數(shù)的確定 3.4.1 凸輪的許用接觸應(yīng)力 因 600MPa，故下界 l =600MPa，上界 u = =1.2 600=720MPa。 圖 5-14所示為其隸屬函數(shù)圖。隸屬函數(shù)為 =720,0720600,1206001600,1 3.4.2 凸輪的許用最大壓力角 因 =30 ,故下界 l =30 ,上界 u 1.2 30 =36 ,圖 5-15為其隸屬函數(shù)圖。隸屬函數(shù)為 淮海工學(xué)院二七屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 - 28 -頁(yè) 共 53 頁(yè) - 28 - 36,03630,630130,1 A 3.4.3 基圓的最小半徑 br br =3.024 10-2m, 上界 ubr =3.024 10-2m, 下界 Lbr = br =0.8 3.024=2.419 10-2m。其隸屬函數(shù)見(jiàn)圖 5-16。隸屬函數(shù)為 222210024.3,110024.310419.2,605.0419.210419.2,0bbbbbRrrrrrb 3.5 凸輪機(jī)構(gòu)模糊優(yōu)化設(shè)計(jì)的求解 求解模糊優(yōu)化模型的基本途徑，是把模糊優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非模糊優(yōu)化模型，再用普通優(yōu)化方法求解。本文選用了最優(yōu)水平截集法來(lái)實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化，然后用復(fù)合形法進(jìn)行求解。 水平值可理解為設(shè)防水平，表示對(duì) 約束條件的滿(mǎn)足程度，不同的值可得到不同的優(yōu)化結(jié)果。越小，意味著越不嚴(yán)格滿(mǎn)足約束，結(jié)構(gòu)安全性差，但對(duì)凸輪材料的投資就越小，反之，結(jié)構(gòu)可靠，投資就越大。這就需要尋求一最優(yōu)的，以保證安全可靠的前提下得到具有最佳經(jīng)濟(jì)效益的設(shè)計(jì)方案?？紤]到影響凸輪結(jié)構(gòu)的因素，本文采用二級(jí)模糊綜合評(píng)判法得出最優(yōu)水平值，并用它去確定約束條件中各模糊邊界量， 從而將優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化為普通優(yōu)化模型 。 3.5.1 優(yōu)化設(shè)計(jì)發(fā)展概況 優(yōu)化設(shè)計(jì)是 20 世紀(jì)初發(fā)展起來(lái)的一門(mén)新科學(xué)。它是將最優(yōu)化原則和計(jì)算技術(shù)應(yīng)用于設(shè)計(jì)領(lǐng)域，為工程設(shè)計(jì)提供一種重要的科學(xué)設(shè)計(jì)方法。利用這種新的設(shè)計(jì)方法，人們就可以從眾多的設(shè)計(jì)方案中尋找出最佳設(shè)計(jì)方案，從而大大提高設(shè)計(jì)效率和質(zhì)量，因此優(yōu)化設(shè)計(jì)是現(xiàn)代設(shè)計(jì)的特點(diǎn)。 一項(xiàng)機(jī)械產(chǎn)品的設(shè)計(jì)，一般需要調(diào)查分析，方案擬訂，技術(shù)設(shè)計(jì)，零件工作圖繪制等環(huán)節(jié)。傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法通常在調(diào)查分析的基礎(chǔ)上，參照同類(lèi)產(chǎn)品通過(guò)估算，經(jīng)驗(yàn)類(lèi)比或試驗(yàn)來(lái)確定初始設(shè)計(jì)方案。然后，根據(jù)初 試設(shè)計(jì)方案的設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行淮海工學(xué)院二七屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 - 29 -頁(yè) 共 53 頁(yè) - 29 - 強(qiáng)度，剛度，穩(wěn)定性等性能分析計(jì)算，檢查各性能是否滿(mǎn)足設(shè)計(jì)指標(biāo)要求。如果不完全滿(mǎn)足性能指標(biāo)的要求，設(shè)計(jì)人員將憑借經(jīng)驗(yàn)或直觀(guān)判斷對(duì)參數(shù)進(jìn)行修改。這樣反復(fù)進(jìn)行分析計(jì)算 性能檢驗(yàn) 參數(shù)修改，直到性能完全滿(mǎn)足設(shè)計(jì)指標(biāo)的要求為止。整個(gè)傳統(tǒng)設(shè)計(jì)的過(guò)程就是工人試湊和定性分析比較的過(guò)程，主要的工作是性能的重復(fù)分析。至于每次參數(shù)的修改，僅僅憑借經(jīng)驗(yàn)或直觀(guān)判斷，并不是根據(jù)某種理論精確計(jì)算出來(lái)的。實(shí)踐證明，按照傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法作出的設(shè)計(jì)方案，大部分都有改進(jìn)提高的余地，而不是最佳設(shè)計(jì)方案。 傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方 法只是被動(dòng)地重復(fù)分析產(chǎn)品的性能，而不是主動(dòng)地設(shè)計(jì)產(chǎn)品的參數(shù)。從這個(gè)意義上講它沒(méi)有真正體現(xiàn)“設(shè)計(jì)”的含義。其實(shí)“設(shè)計(jì)”一詞本身就包含優(yōu)化的概念。作為一項(xiàng)設(shè)計(jì)不僅要求方案可行 、合理，而且應(yīng)該是某些指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)的理想方案。設(shè)計(jì)中的優(yōu)化思想在古代就有所體現(xiàn)。像這樣簡(jiǎn)單的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題用古典的微分方法很容易求解，但對(duì)于一般的工程優(yōu)化問(wèn)題的求解，需要采用數(shù)學(xué)規(guī)劃理論并借助于電子計(jì)算機(jī)才能完成。基于這一原因，“設(shè)計(jì)”中的優(yōu)化的概念一直未能得以很好的體現(xiàn)。例如，我國(guó)宋代建筑師李戒在其著作營(yíng)造法式一書(shū)中曾指出：圓木做成矩形 截面梁的高寬比應(yīng)為三比二。這一結(jié)論和抗彎梁理論推得的結(jié)果十分接近。根據(jù)梁彎曲理論，最佳截面尺寸應(yīng)使梁截面抗彎截面系數(shù) W最大。設(shè)截面寬為 b，高為 h,則要求 W=bh2/6 max。若圓木直徑為d，有 d2=b2+h2， W=b(d2-b2)/6,dW/db=(d2-3b2)/6=0。當(dāng) b=d/31/2 時(shí)， W 取極大值（ d2W/d2b=-b0），而 h=(2/3)1/2d，則有 21/2 1.414。這與 h/b=3/2=1.5 很相近。像這樣簡(jiǎn)單的優(yōu)化問(wèn)題用古典的微分法很容易求解，但對(duì)于一般工程優(yōu)化問(wèn)題的求解，需要采用數(shù)學(xué) 規(guī)劃理論并借助于電子計(jì)算機(jī)才能完成?；谶@一原因，“設(shè)計(jì)”中優(yōu)化的概念一直位能得以很好體現(xiàn)。直到 20 世紀(jì) 60 年代，電子計(jì)算機(jī)和計(jì)算機(jī)技術(shù)迅速發(fā)展，優(yōu)化設(shè)計(jì)才有條件日益發(fā)展起來(lái)。 近 20 年來(lái)，隨著電子計(jì)算機(jī)的應(yīng)用，在機(jī)械設(shè)計(jì)領(lǐng)域內(nèi)，已經(jīng)可以用現(xiàn)代化的設(shè)計(jì)方法和手段進(jìn)行設(shè)計(jì)，來(lái)滿(mǎn)足對(duì)機(jī)械產(chǎn)品提出的要求。 現(xiàn)代化的設(shè)計(jì)工作已不再是過(guò)去那種憑借經(jīng)驗(yàn)或直觀(guān)判斷來(lái)確定結(jié)構(gòu)方案，也不是像過(guò)去“安全壽命可行設(shè)計(jì)”方法那樣，即在滿(mǎn)足所提出的要求的前提下，先確定結(jié)構(gòu)方案，再根據(jù)安全壽命等準(zhǔn)則，對(duì)該方案進(jìn)行強(qiáng)度、 剛度等的分析、校合進(jìn)行修改，以確定結(jié)構(gòu)尺寸。而是借助電子計(jì)算機(jī)，應(yīng)用一些精確度教高的力學(xué)的數(shù)值分析方法（如有限元法等）進(jìn)行分析計(jì)算，并從大量的可行設(shè)計(jì)方案中尋找出一種最優(yōu)的設(shè)計(jì)方案，從而實(shí)現(xiàn)用理論設(shè)計(jì)代替經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)，用精確計(jì)算代替近似計(jì)算，用優(yōu)化設(shè)計(jì)代替一般的安全壽命的可行性設(shè)計(jì)。 優(yōu)化方法在機(jī)械設(shè)計(jì)中的應(yīng)用，既可以使方案在規(guī)定的設(shè)計(jì)要求下達(dá)到某些優(yōu)化的結(jié)果，又不必耗費(fèi)過(guò)多的計(jì)算工作量。因此，產(chǎn)品結(jié)構(gòu)、生產(chǎn)工藝等的優(yōu)化已經(jīng)成為市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)的一種手段。例如，據(jù)資料介紹，在 16h 內(nèi)，進(jìn)行 16000淮海工學(xué)院二七屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 - 30 -頁(yè) 共 53 頁(yè) - 30 - 個(gè)可行性設(shè)計(jì) 的選擇，從中選出一個(gè)成本最低、產(chǎn)量最大的方案，并給出必要的精確數(shù)據(jù)。而在這之前，求解這個(gè)問(wèn)題，曾是一組工程師工作了一年，但僅做了三個(gè)設(shè)計(jì)方案，而他們的效率卻沒(méi)有一個(gè)可以和上述優(yōu)化方案相比。又例如，美國(guó)貝爾 (Bell)飛機(jī)公司采用優(yōu)化方法解決 450 個(gè)設(shè)計(jì)變量的大型結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題。在對(duì)一個(gè)機(jī)翼進(jìn)行質(zhì)量設(shè)計(jì)中，減輕質(zhì)量達(dá) 35%。波音（ Boeing）公司也有類(lèi)似的情況，在 747 機(jī)身的設(shè)計(jì)中，收到了減輕質(zhì)量、縮短生產(chǎn)周期、降低成本的效果。武漢鋼鐵公司所引進(jìn)的 1700 薄板扎機(jī)是德國(guó) DMAG 公司提供的。該公司在對(duì)此產(chǎn)品進(jìn)行 優(yōu)化修改后，就多贏(yíng)利幾百萬(wàn)馬克。 優(yōu)化方法不僅用于產(chǎn)品機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)、工藝方案的選擇，也用于運(yùn)輸路線(xiàn)的確定、商品流動(dòng)量的調(diào)配、產(chǎn)品配方的配比等等。目前，優(yōu)化方法在機(jī)械、石油、化工、電機(jī)、建筑、宇航、造船、輕工等部門(mén)都已得到廣泛應(yīng)用。 在第二次世界大戰(zhàn)期間，由于軍事上的需要產(chǎn)生了運(yùn)籌學(xué)，提供了許多用古典微分法和變分法不能解決的最優(yōu)化方法。 20 世紀(jì) 50 年代發(fā)展起來(lái)的數(shù)學(xué)規(guī)劃理論形成了應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)分支為優(yōu)化設(shè)計(jì)奠定了理論基礎(chǔ)。 20 世紀(jì) 60 年代電子計(jì)算機(jī)和計(jì)算技術(shù)的發(fā)展為優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了強(qiáng)有力的手段，使工程技術(shù) 人員能夠從大量煩瑣的計(jì)算機(jī)工作中解放出來(lái)，把主要精力轉(zhuǎn)到優(yōu)化方案選擇的方向上來(lái)。雖然近 20 多年來(lái)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法已在許多工業(yè)部門(mén)得到應(yīng)用，到最優(yōu)化技術(shù)成功地運(yùn)用也機(jī)械設(shè)計(jì)還是在 20 世紀(jì) 60 年代后期開(kāi)始的；雖然歷史較短，但進(jìn)展迅速。十多年來(lái)在機(jī)構(gòu)綜合 、機(jī)械零部件設(shè)計(jì)、專(zhuān)用機(jī)械設(shè)計(jì)和工藝設(shè)計(jì)方法都獲得應(yīng)用并取得一定成果。 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)是機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中發(fā)展較早的領(lǐng)域，不僅研究了連桿機(jī)構(gòu)、凸輪機(jī)構(gòu)等再現(xiàn)函數(shù)和軌跡的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，而且還提出了一些標(biāo)準(zhǔn)化程序。機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)方面也有很大進(jìn)展，如慣性力的 最優(yōu)平衡，主動(dòng)件力矩的最小波動(dòng)等的優(yōu)化設(shè)計(jì)。機(jī)械零、部件的優(yōu)化設(shè)計(jì)最近十幾年也有很大的發(fā)展，主要是研究各種減速器的優(yōu)化設(shè)計(jì)、減壓軸承和滾動(dòng)軸承的優(yōu)化設(shè)計(jì)以及軸、彈簧、制動(dòng)器等的結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化。除此之外，在機(jī)床、鍛壓設(shè)備、壓延設(shè)備、起重運(yùn)輸設(shè)備、汽車(chē)等的基本參數(shù)、基本工作機(jī)構(gòu)和主體結(jié)構(gòu)方面也進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)工作。 近年來(lái)，機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的應(yīng)用愈來(lái)愈廣，但還面臨著許多問(wèn)題需要解決。例如，機(jī)械產(chǎn)品設(shè)計(jì)中零、部件通用化、系列化和標(biāo)準(zhǔn)化，整機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)模型及方法的研究，機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中離散變量?jī)?yōu)化方法的研究，更為有效的 優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的發(fā)掘等一系列問(wèn)題，都需做較大的努力才能適應(yīng)機(jī)械工業(yè)的發(fā)展的需要。 近年來(lái)發(fā)展起來(lái)的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì) (CAD)，在引入優(yōu)化設(shè)計(jì)方法后，使得在設(shè)計(jì)過(guò)程中能夠不斷選擇設(shè)計(jì)參數(shù)并選出最優(yōu)化設(shè)計(jì)方案，又可以加速設(shè)計(jì)速度，縮短設(shè)計(jì)周期。在科學(xué)技術(shù)發(fā)展要求機(jī)械產(chǎn)品更新周期日益縮短的今天，把 淮海工學(xué)院二七屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 - 31 -頁(yè) 共 53 頁(yè) - 31 - 優(yōu)化設(shè)計(jì)方法與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)結(jié)合起來(lái)，使設(shè)計(jì)過(guò)程完全自動(dòng)化，已成為設(shè)計(jì)的一個(gè)重要發(fā)展趨勢(shì)。 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)包括建立優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型和選擇適當(dāng)?shù)膬?yōu)化方法與程序兩方面的內(nèi)容。由于機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)是應(yīng)用數(shù)學(xué)方法尋 求機(jī)械設(shè)計(jì)的最優(yōu)方案，所以首先要根據(jù)實(shí)際的機(jī)械設(shè)計(jì)問(wèn)題建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，即用數(shù)學(xué)形式來(lái)描述實(shí)際設(shè)計(jì)問(wèn)題。在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，需要應(yīng)用專(zhuān)業(yè)知識(shí)確定設(shè)計(jì)的限制條件和所追求的目標(biāo)，確立各設(shè)計(jì)變量之間的相互關(guān)系等。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型可以是解析式、試驗(yàn)數(shù)據(jù)或經(jīng)驗(yàn)公式。雖然它們給出的形式不同，但都是反映設(shè)計(jì)變量之間的數(shù)量關(guān)系的。 數(shù)學(xué)模型一旦建立，機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題就變成一個(gè)數(shù)學(xué)求解問(wèn)題。應(yīng)用數(shù)學(xué)規(guī)劃方法的理論，根據(jù)數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)，可以選擇適當(dāng)?shù)膬?yōu)化方法，進(jìn)而可以選取或自行編制計(jì)算機(jī)程序，以計(jì)算機(jī)作為工具 求得最佳設(shè)計(jì)參數(shù)。 3.5.2 優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型 設(shè)計(jì)變量 一個(gè)設(shè)計(jì)方案可以用一組基本參數(shù)的數(shù)值來(lái)表示。這些基本參數(shù)可以是構(gòu)件長(zhǎng)度、截面尺寸、某些點(diǎn)的坐標(biāo)值等幾何量，也可以是重量、慣性矩、力或力矩等物理量，還可以是應(yīng)力、變形、固有頻率、效率等代表工作性能的導(dǎo)出量。但是，對(duì)某個(gè)具體的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，并不是要求對(duì)所有的基本參數(shù)都用優(yōu)化方法進(jìn)行修改調(diào)整。例如，對(duì)某個(gè)機(jī)械結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，一些工藝、結(jié)構(gòu)布置等方面的參數(shù)，或者某些工作性能的參數(shù)，可以根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)先取為定值。這樣，對(duì)這個(gè)設(shè)計(jì)方案來(lái) 說(shuō)，他們就成為設(shè)計(jì)常數(shù)。而除此之外的基本參數(shù)，則需要在優(yōu)化設(shè)計(jì)工程中不斷進(jìn)行修改、調(diào)整，一直處于變化的狀態(tài)，這些基本參數(shù)稱(chēng)做設(shè)計(jì)變量，又叫做優(yōu)化參數(shù)。 設(shè)計(jì)變量的全體實(shí)際上是一組變量，可用一個(gè)列向量來(lái)表示 x=x1 x2 . xnT 稱(chēng)做設(shè)計(jì)變量向量。向量中分量的次序完全是任意的，可以根據(jù)使用的方便任意選取。這些設(shè)計(jì)變量可以是一些結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)，也可以是一些化學(xué)成分的含量或電路參數(shù)等。一旦規(guī)定了這樣一種向量的組成，則其中任意一個(gè)特定的向量都可以說(shuō)是 一個(gè)“設(shè)計(jì)”。由 n 個(gè)設(shè)計(jì)變量為坐標(biāo)所組成的矢空間稱(chēng)做設(shè)計(jì)空間。一個(gè)“設(shè)計(jì)”，可用設(shè)計(jì)空間中的一點(diǎn)表示，此點(diǎn)可看成是設(shè)計(jì)變量向量的端點(diǎn)（始點(diǎn)取在坐標(biāo)原點(diǎn)），稱(chēng)做設(shè)計(jì)點(diǎn)。 約束條件 設(shè)計(jì)空間是所有設(shè)計(jì)方案的組合，但這些設(shè)計(jì)方案有些是工程上所不能接受的（例如面積取負(fù)值等）。如果一個(gè)設(shè)計(jì)滿(mǎn)足所有對(duì)它提出的要求，就稱(chēng)為可行（或可接受）設(shè)計(jì)，反之則稱(chēng)為不可行（或不可接受）設(shè)計(jì)。 淮海工學(xué)院二七屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 - 32 -頁(yè) 共 53 頁(yè) - 32 - 一個(gè)可行設(shè)計(jì)必須滿(mǎn)足某些設(shè)計(jì)限制條件，這些限制條件稱(chēng)做約束條件，簡(jiǎn)稱(chēng)約束。在工程問(wèn)題中，根據(jù)約束的性質(zhì)可以把它們區(qū)分成性 能約束和側(cè)面約束兩大類(lèi)。針對(duì)性能要求而提出的限制條件稱(chēng)做性能約束。例如，選擇某些結(jié)構(gòu)必須滿(mǎn)足受力的強(qiáng)度、剛度或穩(wěn)定性等要求，衍架某點(diǎn)變形不超過(guò)給定值。不是針對(duì)性能要求，只是對(duì)設(shè)計(jì)變量的取值范圍加以限制的約束稱(chēng)為側(cè)面約束。例如，允許選擇的尺寸范圍，衍架的高在其上下限范圍之間的要求就屬于側(cè)面約束。側(cè)面約束也稱(chēng)做邊界約束。 約束又可按其數(shù)學(xué)表達(dá)形式分成等式約束和不等式約束兩種類(lèi)型。等式約束h(x)=0 要求設(shè)計(jì)點(diǎn)在 n 維設(shè)計(jì)空間的約束曲面上。不等式約束 gj(x)0 (j=1,2,.,m) 要求設(shè)計(jì)點(diǎn)在設(shè)計(jì)空間中約束曲面 g(x)=0 的一側(cè)（包括曲面本身）。所以，約束是對(duì)設(shè)計(jì)點(diǎn)在設(shè)計(jì)空間中活動(dòng)范圍所加的限制。凡滿(mǎn)足所有約束條件的設(shè)計(jì)點(diǎn)，它在設(shè)計(jì)空間中的活動(dòng)范圍稱(chēng)做可行域。如滿(mǎn)足不等式約束 gj(x)0 (j=1,2,.,m) 的設(shè)計(jì)點(diǎn)活動(dòng)范圍，它是由 m個(gè)約束曲面 gj(x)=0 (j=1,2,.,m) 所形成的 n維子空間（包括邊界）。滿(mǎn)足兩個(gè)或更多個(gè) gj(x)=0 點(diǎn)的集合稱(chēng)做交集。在三維空間中兩個(gè)約束的交集是一條空間曲線(xiàn)，三個(gè)約束的交集是一個(gè)點(diǎn)。在 n維空間中 r 個(gè)不同約束 的交集的維數(shù)是 n-r 的子空間。等式約束 h(x)=0 可看成是同時(shí)滿(mǎn)足 h(x)0 和 h(x)0 兩個(gè)不等式約束，代表 h(x) 0 曲面。 約束函數(shù)有的可以表示成顯示形式，即反應(yīng)設(shè)計(jì)變量之間明顯的函數(shù)關(guān)系，這類(lèi)約束稱(chēng)做顯式約束。有的只能表示成隱式形式，需要通過(guò)有限元法或動(dòng)力學(xué)計(jì)算求得，機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)誤差要用數(shù)值積分來(lái)計(jì)算，這類(lèi)約束稱(chēng)做隱式約束。 目標(biāo)函數(shù) 在所有的可行設(shè)計(jì)中，有些設(shè)計(jì)比另一些要“好些”，如果確實(shí)是這樣，則“較好”的設(shè)計(jì)比“較差”的設(shè)計(jì)必定具備某些更好的性質(zhì)。倘若這種性質(zhì)可以表示成設(shè)計(jì)變量 的一個(gè)可計(jì)算函數(shù)，則我們就可以考慮優(yōu)化這個(gè)函數(shù)，以得到“更好”的設(shè)計(jì)。這個(gè)用來(lái)使設(shè)計(jì)得以?xún)?yōu)化的函數(shù)稱(chēng)做目標(biāo)函數(shù)。用它可以評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)方案的好壞，所以它又被稱(chēng)做評(píng)價(jià)函數(shù)，記做 f(x)，用以強(qiáng)調(diào)它對(duì)設(shè)計(jì)變量的依賴(lài)性。目標(biāo)函數(shù)可以是結(jié)構(gòu)重量、體積、功耗、產(chǎn)量、成本或其它性能指標(biāo)（如變形、應(yīng)力等）和經(jīng)濟(jì)指標(biāo)等。 建立目標(biāo)函數(shù)是整個(gè)優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程中比較重要的問(wèn)題。當(dāng)對(duì)某一設(shè)計(jì)性能有特定的要求，而這個(gè)要求又很難滿(mǎn)足時(shí)，則若針對(duì)這一性能進(jìn)行優(yōu)化將會(huì)取得滿(mǎn)意的效果。但在某些設(shè)計(jì)問(wèn)題中，可能存在兩個(gè)或兩個(gè)以上需要優(yōu)化的指標(biāo) ，這淮海工學(xué)院二七屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 - 33 -頁(yè) 共 53 頁(yè) - 33 - 將是多目標(biāo)函數(shù)問(wèn)題。例如，設(shè)計(jì)一臺(tái)機(jī)器，期望得到最低的造價(jià)和最少的維修費(fèi)用。 目標(biāo)函數(shù)是 n維變量的函數(shù)，它的函數(shù)圖象只能在 n+1 維空間中描述出來(lái)。為了在 n 維設(shè)計(jì)空間中反映目標(biāo)函數(shù)的變化情況，常采用目標(biāo)函數(shù)等值面的方法。目標(biāo)函數(shù)的等值面，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為 f(x)=c (c 為一系列常數(shù)），代表一族 n維超曲面。如在二維設(shè)計(jì)空間中 f(x1,x2)=c，代表x1-x2 設(shè)計(jì)平面上的一族曲線(xiàn)。 數(shù)學(xué)模型 優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型是實(shí)際優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。在明確設(shè)計(jì)變量、約束條件、目標(biāo)函數(shù)之后，優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題就可以表示成一般數(shù)學(xué)形式。 求設(shè)計(jì)變量向量 x=x1 x2 . xnT使 f(x) min 且滿(mǎn)足約束條件 hk(x)=0 (k=1,2,.,l) gj(x)0(j=1,2,.,m) 利用可行域概念，可將數(shù)學(xué)模型的表達(dá)進(jìn)一步簡(jiǎn)練。設(shè)同時(shí)滿(mǎn)足 gj(x)0(j=1,2,.,m)和 hk(x)=0(k=1,2,.,l)的設(shè)計(jì)點(diǎn)集合為 R，即 R 為優(yōu)化問(wèn)題的可行域，則優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型可簡(jiǎn)練地寫(xiě)成 求 x 使 minf(x) (x R) 符號(hào)“ ”表示“從屬于” 。 在實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題中，對(duì)目標(biāo)函數(shù)一般有兩種要求形式：目標(biāo)函數(shù)極小化 f(x) min 或目標(biāo)函數(shù)極大化 f(x) max。由于求 f(x)的極大化與求 -f(x)的極小化等價(jià)，所以今后優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)表達(dá)一律采用目標(biāo)函數(shù)極小化形式。 優(yōu)化問(wèn)題可以從不 同的角度進(jìn)行分類(lèi)。例如，按其有無(wú)約束條件分成無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題和約束優(yōu)化問(wèn)題。也可以按照約束函數(shù)和目標(biāo)函數(shù)是否同時(shí)為線(xiàn)性函數(shù)，分成線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題和非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題。還可以按問(wèn)題規(guī)模的大小進(jìn)行分類(lèi)，例如，設(shè)計(jì)變量和約束條件的個(gè)數(shù)都在 50 以上的屬大型， 10 個(gè)以下的屬小型，1050 屬中型。隨著電子計(jì)算機(jī)容量的增大和運(yùn)算速度的提高，劃分界限將會(huì)有所變動(dòng)。 優(yōu)化問(wèn)題的幾何解釋 無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題就是在沒(méi)有限制的條件下，對(duì)設(shè)計(jì)變量求目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)。在設(shè)計(jì)空間內(nèi)，目標(biāo)函數(shù)是以等值面的形式反應(yīng)出來(lái)的，則無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題的極 小點(diǎn)即為等值面的中心。 淮海工學(xué)院二七屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 - 34 -頁(yè) 共 53 頁(yè) - 34 - 約束優(yōu)化問(wèn)題是在可行域內(nèi)對(duì)設(shè)計(jì)變量求目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)，此極小點(diǎn)在可行域內(nèi)或在可行域邊界上。 3.5.3 普通優(yōu)化設(shè)計(jì)的一般解法 求解優(yōu)化問(wèn)題可以用解析解法，也可以用數(shù)值的近似解法。解析解法就是把所研究的對(duì)象用數(shù)學(xué)方程（數(shù)學(xué)模型）描述出來(lái)，然后再用數(shù)學(xué)解析方法（如微分、變分方法等）求出優(yōu)化解。但是，在很多情況下，優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)描述比較復(fù)雜，因而不便于直接用解析方法求解。另外，有時(shí)對(duì)象本身的機(jī)理無(wú)法用數(shù)學(xué)方程描述，而只能通過(guò)大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)用插值或擬合方法構(gòu)造一個(gè)近似函數(shù)式，再來(lái)求其優(yōu)化解 ，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證，或直接以數(shù)學(xué)原理為指導(dǎo)，從任取一點(diǎn)出發(fā)通過(guò)少量試驗(yàn)（探索性的計(jì)算），并根據(jù)實(shí)驗(yàn)計(jì)算結(jié)果的比較，逐步改進(jìn)而求得優(yōu)化解，這種方法是屬于近似的、迭代性質(zhì)的數(shù)值解法。它不僅可用于求復(fù)雜函數(shù)的油畫(huà)界，也可以用于處理沒(méi)有數(shù)學(xué)解析表達(dá)式的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。因此，它是實(shí)際問(wèn)題中常用的方法。不管是解析解法，還是數(shù)值解法，都分別具有針對(duì)無(wú)約束條件和有約束條件的具體方法。 在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中，大致可以分為兩類(lèi)設(shè)計(jì)方法：優(yōu)化準(zhǔn)則法和數(shù)學(xué)規(guī)劃法。 優(yōu)化準(zhǔn)則法 從一個(gè)初始設(shè)計(jì) kx 出發(fā)（ k 不是指數(shù)，而是上角標(biāo)， kx 是 )(kx 的簡(jiǎn)寫(xiě)），著眼于在每次迭代中應(yīng)滿(mǎn)足的優(yōu)化條件，按著迭代公式（其中 kC 為一對(duì)角矩陣） kkk xCx 1 來(lái)得到一個(gè)改進(jìn)的設(shè)計(jì) kx ，而無(wú)需再考慮目標(biāo)函數(shù)和約束條件的信息狀態(tài)。 數(shù)學(xué)規(guī)劃法 從一個(gè)初始設(shè)計(jì) kx 出發(fā)，對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析， 但是按照如下迭代公式 kkk xxx 1 (22) 得到一個(gè)改進(jìn)的設(shè)計(jì) 1kx 。 在這類(lèi)方法中，許多算法是沿著某個(gè)搜索方向 kd 以適當(dāng)步長(zhǎng)ka的方式實(shí)現(xiàn)對(duì) kx 的修改，以獲得 kx 值的。此時(shí)式 (22)可寫(xiě)成 kkkk daxx 1 而它的搜索方向 kd 是由目標(biāo)函數(shù)和約束條件的局部信息狀態(tài)形成的。 數(shù)學(xué)規(guī)劃法的核心一是建立搜索方向 kd ，二是計(jì)算最佳步長(zhǎng) ka 。 淮海工學(xué)院二七屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 - 35 -頁(yè) 共 53 頁(yè) - 35 - 由于數(shù)值迭代是逐步逼近最優(yōu)點(diǎn)而獲得近似解的，所以要考慮優(yōu)化問(wèn)題解的收斂性及迭代過(guò)程的終止條件。 (1) 收斂性 指某種迭代程序產(chǎn)生的序列 ),1,0( kx k 收斂于 *1lim xx kk 點(diǎn)列收斂的 必要和充分條件是：對(duì)于任意指定的實(shí)數(shù) 0 ，都存在一個(gè)只與 有關(guān)而與 x 無(wú)關(guān)的自然數(shù) N，使得當(dāng)兩自然數(shù) Npm , 時(shí)，滿(mǎn)足 pm xx 或 nipimi xx12)( 或nxx ipimi (2) 迭代終止準(zhǔn)則 當(dāng)新得到一個(gè)迭代點(diǎn) 1kx 后，我們就要檢驗(yàn)這個(gè)店是否為最優(yōu)點(diǎn)活著 最優(yōu)點(diǎn)的近似點(diǎn)。檢驗(yàn)的方法可因目標(biāo)函數(shù)的性質(zhì)及迭代方法的不同而不同。當(dāng)?shù)^(guò)程已接近最優(yōu)點(diǎn) *x 時(shí)，相鄰兩次迭代所得到的點(diǎn) kx 和 1kx 已經(jīng)十分接近，而且它們所對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值 )( kxf 和 )( 1kxf 也很接近。根據(jù)收斂條件，可以確定迭代終止準(zhǔn)則即停機(jī)準(zhǔn)則。一般采用以下幾種迭代終止準(zhǔn)則： 當(dāng)相鄰兩設(shè)計(jì)點(diǎn) kx 和 1kx 之間的移動(dòng)距離已達(dá)到充分小時(shí)，則可認(rèn)為 1kx 是極小值點(diǎn)，此時(shí)可以終止迭代。若用向量模計(jì)算它的長(zhǎng)度，則 kk xx 1 式中， 為一個(gè)事先給定的代表計(jì)算精度的足夠小的正數(shù)。式 kk xx 1 又稱(chēng)為向量 kk xx 1 的模，它表示 n維空間中兩點(diǎn) kx 和 1kx 之間的距離。 當(dāng)相鄰兩設(shè)計(jì)點(diǎn) kx 和 1kx 的目標(biāo)函數(shù)值已充分接近，即目標(biāo)函數(shù)的下降量已達(dá)到充分小時(shí) ,則可認(rèn)為 1kx 是極小值點(diǎn)，此時(shí)可以終止迭代。即 )()( 1 kk xfxf 淮海工學(xué)院二七屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 - 36 -頁(yè) 共 53 頁(yè) - 36 - 或用其相對(duì)值 )( )()( 1 k kk xf xfxf 式中， 為 一個(gè)事先給定的足夠小的正數(shù)。 當(dāng)某次迭代點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)梯度已達(dá)到充分小時(shí)，即 5)( kxf 此時(shí)可以終止迭代過(guò)程。這是由于函數(shù)極值點(diǎn)的必要條件是函數(shù)在這一點(diǎn)的梯度值的模為零。式中， 為一個(gè)事先給定的足夠小的正數(shù)。 只要滿(mǎn)足以上三點(diǎn)中之一，就可以認(rèn)為目標(biāo)函數(shù)值 )( 1kxf 已收斂于其極小值。也可以聯(lián)合應(yīng)用以上幾式，進(jìn)行綜合判斷。 必須指出，上述三個(gè)收斂準(zhǔn)則都只是在一定程度上反映了迭代達(dá)到極小點(diǎn)的特點(diǎn) ，但并不能保證所得到的極小點(diǎn)一定就是全局的最優(yōu)點(diǎn)，特很可能僅僅是一個(gè)局部的極小點(diǎn)。因此我們有必要考察是否為全局最優(yōu)點(diǎn)，通?？梢酝瑫r(shí)取若干個(gè)相距較遠(yuǎn)的點(diǎn)作為出試點(diǎn)，分別進(jìn)行迭代，考察它們最后迭代所得到的極小點(diǎn)是否趨于一致。若是一致的，則可認(rèn)為目標(biāo)函數(shù)是單峰的，所得到的極小點(diǎn)就是全局最優(yōu)點(diǎn)，否則，則認(rèn)為目標(biāo)函數(shù)是多峰的。此時(shí)可從若干個(gè)不同的極小點(diǎn)中，選擇其目標(biāo)函數(shù)值最小的作為全局最優(yōu)點(diǎn)。 3.5.4 一維搜索方法 當(dāng)方向 kd 給定，求最佳步長(zhǎng)ka就是一元函數(shù) )()()( 1 kkkkk adaxfxf 的極值問(wèn)題，它稱(chēng)作一維搜索。一維搜索是優(yōu)化搜索方法的基礎(chǔ)。 搜索區(qū)間的確定 通常我們采用進(jìn)退法來(lái)確定搜索區(qū)間。一般用字母 a、 b 表示區(qū)間的左、右端點(diǎn)，即 a,b。這個(gè)區(qū)間首先應(yīng)滿(mǎn)足 )()()( * bfafaf k baa k * 就是說(shuō)，要保持極小點(diǎn) *ka在搜索區(qū)間內(nèi)。 如圖 1所示，先給定一個(gè)初始點(diǎn) 0a 以 圖 1 搜索區(qū)間 及初始步長(zhǎng) a （注意這里的步長(zhǎng)是用于確 淮海工學(xué)院二七屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 - 37 -頁(yè) 共 53 頁(yè) - 37 - 定搜索區(qū)間的，與我們通過(guò)一維搜索步長(zhǎng)完全是兩回事），計(jì)算函數(shù)值 )(0af和)( 0 aaf ，有 )()( 00 aafaf 則將初始步長(zhǎng) a 加大兩倍，再計(jì)算函數(shù)值 )3(0 aaf ，若有 )3()( 00 aafaaf 則可確定搜索區(qū)間如下 3, 00 aabaa 否則，將步長(zhǎng)再加倍，重復(fù)前述步驟，最終可以找到搜索區(qū)間的上限即右端點(diǎn) b，其下限即左端點(diǎn)始終為0aa。 以上過(guò)程稱(chēng)為前進(jìn)計(jì)算。 若計(jì)算，函數(shù)值 )(0af和)( 0 aaf ，其結(jié)果 如左圖 圖 2 所示，有 )()( 00 aafaf 可將步長(zhǎng)加大兩倍并改變符 圖 2 搜索區(qū)間 號(hào)，計(jì)算 )2(0 aaf ，若有 )2()( 00 aafaf 則可確定搜索區(qū)間如下 ,2 00 aabaaa 否則，可將步長(zhǎng)再加倍，繼續(xù)前述步驟，最終可找到搜索區(qū)間的下限即左端點(diǎn) a，其上限即右端點(diǎn)始終為 aab 0。 以上過(guò)程稱(chēng)為后退計(jì)算。 前進(jìn)計(jì)算和后退計(jì)算合起來(lái)我們稱(chēng)為進(jìn)退法。 一維搜索區(qū)間的試探方法 搜索區(qū)間確定后，我們就可以在這個(gè)區(qū)間里求最佳步長(zhǎng) *ka。其基本思想是這樣的，我們一步一步地縮小搜索區(qū)間，并且保證每次縮小以后， *ka仍在此區(qū)淮海工學(xué)院二七屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 - 38 -頁(yè) 共 53 頁(yè) - 38 - 間內(nèi)，這樣當(dāng)這個(gè)區(qū)間縮小到足夠小時(shí)，我們就可以將此區(qū)間的中點(diǎn)近似地作為所要求的最佳步長(zhǎng) *ka。 在實(shí)際計(jì)算中，最常用的一維搜索試探方 法是黃金分割法，又稱(chēng)作 0.618法。它是用于 a,b區(qū)間上的任何單谷函數(shù)求極小值問(wèn)題。對(duì)函數(shù)除要求“單谷”外不做其它要求，甚至可以不連續(xù)。因此，這種方法的適用面相當(dāng)廣。黃金分割法是在搜索區(qū)間 a,b內(nèi)適當(dāng)插入兩點(diǎn)1a、2a，并計(jì)算其函數(shù)值。1a、2a將區(qū)間分成三段。應(yīng)用函數(shù)的單谷性質(zhì)，通過(guò)函數(shù)值大小的比較，刪去其中一段，使搜索區(qū)間得以縮短 ，每次縮短后的區(qū)間長(zhǎng)度均為前次區(qū)間長(zhǎng)度的 0.618 倍。然后再在保留下來(lái)的區(qū)間上做同樣的處置，如此迭代下去，使搜索區(qū)間無(wú)限縮小，從而得到極小點(diǎn)的數(shù)值近似解。 黃金分割法要求插入點(diǎn) 1a 、 2a 的位置相對(duì)于區(qū)間 a,b兩端點(diǎn)具有對(duì)稱(chēng)性，即 )(1 abba )(2 abaa 其中 為待定常數(shù)。 除對(duì)稱(chēng)要求外，黃金分割法還要求在 保留下來(lái)的區(qū)間內(nèi)再插入一點(diǎn)所形成的區(qū)間新三段，與原來(lái)區(qū)間的三段具有相同的比例分布。具體步驟是這樣的：在區(qū)間 00,ba內(nèi)取兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，如圖 3 所示 )(618.0 0001 abba )(618.0 0002 abaa 計(jì)算 )( 1af 和 )( 2af 的值并進(jìn)行比較，若 圖 3 黃金分割法 )()( 21 afaf 則說(shuō)明要求的 *ka一定在 20,aa內(nèi)，這時(shí)可去掉 02,ba一段，將 20,aa作為縮短后的新區(qū)間 ba, ， 20 , abaa 。在此新區(qū)間內(nèi)保留有 1a 點(diǎn)，由于 )(618.0 0001 abba 新區(qū)間長(zhǎng)度為 淮海工學(xué)院二七屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 - 39 -頁(yè) 共 53 頁(yè) - 39 - )(618.0)(00 abab 所以 )(618.00001 abba )(618.0)(382.00000 ababb )()(382.000 ababb )(382.000 aba 618.0/)(382.0 aba )(618.0 aba 因而， 1a 又是新區(qū)間 a,b內(nèi)的一個(gè)黃金分割點(diǎn)，相當(dāng)于前面 的 2a 。因此我們?cè)谶M(jìn)行第二次縮短區(qū)間時(shí)，只用計(jì)算一個(gè)新的黃金分割點(diǎn)及其函數(shù)值即可。這樣就簡(jiǎn)化了計(jì)算。 反之，若 )()( 21 afaf 則說(shuō)明要求的 *ka一定在 01,ba內(nèi)，這時(shí)可去掉 10,aa一段，將 01,ba作為縮短后的新區(qū)間 ba, ，01 , bbaa 。此時(shí)，區(qū)間內(nèi)保留有 2a 點(diǎn)，同樣道理，我們可以說(shuō)明 2a 仍是新區(qū)間內(nèi)的一個(gè)黃金分割點(diǎn) )(618.002 abba 因此不論我們?nèi)サ裟囊欢?，在進(jìn)行下一次計(jì)算時(shí)，都只要計(jì)算一個(gè)新的點(diǎn)就可以了。 如此反復(fù)進(jìn)行下去，直到搜索區(qū)間縮小到足夠小，滿(mǎn)足不等式 001abb 時(shí)，我們即可取此區(qū)間的中點(diǎn)作為所要求的最佳步長(zhǎng)的近似值 )(21* aba k 其中 為一個(gè)事先給定的足夠小的正數(shù)。它代表了進(jìn)行一維搜索是精度要求。 3.5.5 約束優(yōu)化方法 淮海工學(xué)院二七屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 - 40 -頁(yè) 共 53 頁(yè) - 40 - 約束優(yōu)化設(shè)計(jì)中的問(wèn)題，大多數(shù)屬于約束優(yōu)化問(wèn)題，其數(shù)學(xué)模型為 minf(x)=f nxxx , 21 s.t mjxxxgxgnjj ,2,10, 21 mkxxxhxhnkk ,2,10, 21 將解上式的方法稱(chēng)為約束優(yōu)化方法。根據(jù)求解方式的不同，可分為直接解法，間接解法等。 直接解法通常適用于僅含不等式約束的問(wèn)題，它的基本思路是在 m 個(gè)不等式約束條件所確定的可行域內(nèi)，選擇一個(gè)初始點(diǎn) 0x ，然后決定可行搜索方向 d，且以適當(dāng)?shù)牟介L(zhǎng) ，沿 d 方向進(jìn)行搜索，得到一個(gè)使目標(biāo)函數(shù)值下降的可行的新點(diǎn) 1x ，即完成一次迭代。再以新點(diǎn)為起點(diǎn)，重復(fù)上述搜索過(guò)程，滿(mǎn)足收斂條件后，迭代終止。每次迭代計(jì)算 均按以下基本迭代格式進(jìn)行 kkkk dxx 1 （ k=1,2,.） 式中 k-步長(zhǎng)； dk -可行搜索方向。 所謂可行搜索方向是指，當(dāng)設(shè)計(jì)點(diǎn)沿該方向作微量移動(dòng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值將下降，且不會(huì)越出可行域。產(chǎn)生可行搜索方向的方法將由直接解法中的各種算法決定。 直接解法的原理簡(jiǎn)單，方法實(shí)用。其特點(diǎn)是： (1) 由于整個(gè)求解過(guò)程在可行域內(nèi)進(jìn) 行，因此，迭代計(jì)算不論何時(shí)終止，都可 獲得一個(gè)比初試點(diǎn)好的設(shè)計(jì)點(diǎn)。 (2) 若目標(biāo)函數(shù)為凸函數(shù)，可行域?yàn)橥辜?，則可保證獲得全域最優(yōu)解。否則，因存在多個(gè)局部最優(yōu)解，當(dāng)選擇的初始點(diǎn)不相同時(shí)，則能搜索到不同的局部最優(yōu)解。為此，常在可行域內(nèi)選擇幾個(gè)差別較大的初始點(diǎn)分別計(jì)算，以便從求得的多個(gè)局部最優(yōu)解中選擇更好的最優(yōu)解。 (3) 要求可行域?yàn)橛薪绲姆强占?，即在有界可行域?nèi)存在滿(mǎn)足全部約束條件的點(diǎn)，且目標(biāo)函數(shù)有定義。 間接解法有不同求解策略，其中一種解法的基本思路是將約束優(yōu)化問(wèn)題中的約束函數(shù)進(jìn)行特殊的加權(quán)處理后，和目標(biāo) 函數(shù)結(jié)合起來(lái)，構(gòu)成一個(gè)新的目標(biāo)函數(shù)，即將原約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為一個(gè)或一系列的無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題。再對(duì)新的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行無(wú)約束優(yōu)化計(jì)算，從而間接地搜索到原約束問(wèn)題的最優(yōu)解。 間接解法的基本迭代過(guò)程是，首先將上式所示的約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化成新的無(wú)淮海工學(xué)院二七屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 - 41 -頁(yè) 共 53 頁(yè) - 41 - 約束目標(biāo)函數(shù) mjlk kjxhHxgGxfx1 1 2121)()(, 式中 21, x-轉(zhuǎn)化后的新目標(biāo)函數(shù)； mj jxgG1 1 ， lk kxhH1 2 -分別為約束函數(shù) xgj ， xhk 經(jīng)過(guò)加權(quán)處理后構(gòu)成的某種形式的復(fù)合函數(shù)或泛函數(shù)； 21, -加權(quán)因子。 然后對(duì) 21 , x 進(jìn)行無(wú)約束極小化計(jì)算。由于在新目標(biāo)函數(shù)中包含了各種 約束，在求極值的過(guò)程中還將改變加權(quán)因子的大小。因此可以不斷地調(diào)整設(shè)計(jì)點(diǎn)，使其逐漸逼近約束邊界。從而間接地求得原約束問(wèn) 題的最優(yōu)解。 例 求約束優(yōu)化問(wèn)題 Minf(x)= 2121 2 xx s.t.h(x)= 022 21 xx 的最優(yōu)解。 解：該問(wèn)題的約束最優(yōu)解 Tx 2.0,6.1* ， 8.0)( * xf 。 由幾何解釋知，約束最優(yōu)點(diǎn) *x 為目標(biāo)函數(shù)等值線(xiàn)與等式約束函數(shù)（直線(xiàn)）的切點(diǎn)。 用 間接解法求解時(shí)，可取 8.02 ，轉(zhuǎn)化后的新目標(biāo)函數(shù)為 228.012, 2122212 xxxxx 可以用解析法求 min 2, x ,即令 0 ，得到方程組 08.02211 xx 06.11222 xx 解此方程組，求得的無(wú)約束最優(yōu)解為： Tx 2.0,6.1* ， 8.0, 2* x 。其結(jié)淮海工學(xué)院二七屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 - 42 -頁(yè) 共 53 頁(yè) - 42 - 果和原約束最優(yōu)解相同。 間接解法是目前在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中得到廣泛應(yīng)用的一種有效方法。其特點(diǎn)是： (1) 由于無(wú)約束優(yōu)化方法的研究日趨成熟。已經(jīng)研究出不少有效的無(wú)約束最佳優(yōu)化方法和程序，使得間接解法有了可靠的基礎(chǔ)。目前，這類(lèi)算法的計(jì)算效率和數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性也都有較大的提高。 (2) 可以有效地處理具有等式約束的約束優(yōu)化問(wèn)題 (3) 間接解法存在的主要問(wèn)題是，選取加權(quán)因子教為困難。加權(quán)因子選取不當(dāng)，不但影響收斂速度和計(jì)算精度，甚至?xí)?dǎo)致計(jì) 算失敗。 隨機(jī)方向法 隨機(jī)方向法是一種原理簡(jiǎn)單的直接解法。它的基本思路是在可行域內(nèi)選擇一個(gè)初試點(diǎn)，利用隨機(jī)數(shù)的概率特性，產(chǎn)生若干個(gè)隨機(jī)方向，并從中選擇一個(gè)能使目標(biāo)函數(shù)值下降最快的隨機(jī)方向，記作0d從初始點(diǎn) 0x 出發(fā)，沿 d 方向以一定的步長(zhǎng)進(jìn)行搜索，得到新點(diǎn) x，新點(diǎn) x 應(yīng)滿(mǎn)足約束條件： mjxgj ,2,10 ，且 f(x)f( 0x ),至此完成一 次迭代。然后，將起始點(diǎn)移至 x,即令 xx 0 。重復(fù)以上過(guò)程，經(jīng)過(guò)若干次迭代計(jì)算后，最終取得約束最優(yōu)解。 隨機(jī)方向法的優(yōu)點(diǎn)是對(duì)目標(biāo)函數(shù)的性態(tài)無(wú)特殊要求，程序設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，使用方便。由于可行搜索方向是從許多隨機(jī)方向中選擇的使目標(biāo)函數(shù)下降最快的方向，加之步長(zhǎng)還可以靈活變動(dòng)，所以此算法的收斂速度比較快。若能取得一個(gè)教好的初始點(diǎn)，迭代次數(shù)可以大大減少。它是求解小型的機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的一種十分有效的算法。 隨機(jī)方向法的計(jì)算步驟： (1) 選擇一個(gè)可行的初始點(diǎn) ox ； (2) 產(chǎn)生 k 個(gè) n維隨機(jī)單位向量 je (j=1,2,3, ,k)； (3) 取試驗(yàn)步長(zhǎng)0 ，計(jì)算出 k 個(gè)隨機(jī)點(diǎn) jx (j=1,2,3, ,k)； (4) 在 k 個(gè)隨機(jī)點(diǎn)中，找出滿(mǎn)足條件的隨機(jī)點(diǎn) Lx ，產(chǎn)生可行搜索方向 0xxd L (5) 從初始點(diǎn) 0x 出發(fā)，沿可行搜索方向 d 以步長(zhǎng) 進(jìn)行迭代計(jì)算，直到搜索到一個(gè)滿(mǎn)足全部約束條件，且目標(biāo)函數(shù)值不再下降的新點(diǎn) x 。 (6) 若收斂條件 淮海工學(xué)院二七屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 - 43 -頁(yè) 共 53 頁(yè) - 43 - 00xxxfxf 得到滿(mǎn)足，迭代終止。約束最優(yōu)解為 xx * ， xfxf * 。否則，令 xx 0 。 例 求約束優(yōu)化問(wèn)題 minf(x)= 221 xx s.t. 0922211 xxxg 01212 xxxg 的最優(yōu)解 解 用隨機(jī)方向法程序，在計(jì)算機(jī)上運(yùn)行，共迭代 13 次，求得約束最優(yōu)解： Tx 0.3,0027.0* ， 3* xf 。 復(fù)合形法 復(fù) 合形法是求解約束優(yōu)化問(wèn)題的一種重要的直接解法。它的基本思路是在可行域內(nèi)構(gòu)造一個(gè)具有 k 個(gè)頂點(diǎn)的初始復(fù)合形。對(duì)該復(fù)合形各頂點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值進(jìn)行比較，找到目標(biāo)函數(shù)值最大的頂點(diǎn)（稱(chēng)最壞點(diǎn)），然后按一定的法則求出目標(biāo)函數(shù)值有所下降的可行的新點(diǎn)，并用此點(diǎn)代替最壞點(diǎn)，構(gòu)成新的復(fù)合形，復(fù)合形的形狀沒(méi)改變一次，就向最優(yōu)點(diǎn)移動(dòng)一步，直至逼近最優(yōu)點(diǎn)。 由于復(fù)合形的形狀不必保持規(guī)則的圖形，對(duì)目標(biāo)函數(shù)及約束函數(shù)的性狀又無(wú)特殊要求，因此該法的適應(yīng)性較強(qiáng)，在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中得到廣泛應(yīng)用。 初始復(fù)合的形成 復(fù)合形法是在可行域內(nèi)直接搜索最 優(yōu)點(diǎn)，因此，要求初試復(fù)合形在可行域內(nèi)生成，即復(fù)合形的 k 個(gè)頂點(diǎn)必須都是可行點(diǎn)。 生成初始復(fù)合形的方法有以下幾種： (1) 由設(shè)計(jì)者決定 k 個(gè)可行點(diǎn)，構(gòu)成初始復(fù)合形。當(dāng)設(shè)計(jì)變量較多或約束函數(shù)復(fù)雜時(shí)，由設(shè)計(jì)者決定 k 個(gè)可行點(diǎn)常常很困難。只有在設(shè)計(jì)變量少，約束函數(shù)簡(jiǎn)單的情況下，這種方法才被采用。 (2) 由設(shè)計(jì)者選定一個(gè)可行點(diǎn)，其余的 (k-1)個(gè)可行點(diǎn)用隨機(jī)法產(chǎn)生。各頂點(diǎn)按下式計(jì)算 )( abrxjj (j=1， 2， ， k) 式中 jx-復(fù)合形中的第 j 個(gè)頂點(diǎn)； 淮海工學(xué)院二七屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 - 44 -頁(yè) 共 53 頁(yè) - 44 - a、 b-實(shí)際變量的下限和上限； jr-在 (0,1)區(qū)間內(nèi)的偽隨機(jī)數(shù)。 用上式計(jì)算得到的 (k-1)個(gè)隨機(jī)點(diǎn)不一定都在可行域內(nèi)，因此要設(shè)法將非可行點(diǎn)移到可行域內(nèi)。通常采用的方法是，求出已經(jīng)在可行域內(nèi)的 L 個(gè)頂點(diǎn)的中心cx LjcjLx11 然后將非可行點(diǎn)向中心點(diǎn)移動(dòng) ，即 cLcL xxxx 11 5.0 若 1Lx 仍為不行點(diǎn)，則利用上式，使其繼續(xù)向中心點(diǎn)移動(dòng)。顯然，重要中心點(diǎn)可行， 1Lx 點(diǎn)一定可以移動(dòng)到可行域內(nèi)。隨機(jī)產(chǎn)生的 (k-1)個(gè)點(diǎn)經(jīng)過(guò)這樣的處理后，全部成為可行點(diǎn)，并構(gòu)成初始復(fù)合形。 事實(shí)上，只要可行域?yàn)橥辜?，其中心點(diǎn)必為可行點(diǎn)，用上述方法可以成功地在可行域內(nèi)構(gòu)成初始復(fù)合形。如果可行域?yàn)榉峭辜?，中心點(diǎn)不一定在可行域之內(nèi)，則上述方法可能失敗。此時(shí)可以通過(guò)改變?cè)O(shè)計(jì)變量 的上下限，重新產(chǎn)生各頂點(diǎn)。經(jīng)過(guò)多次試算，有可能在可行域內(nèi)生成初始復(fù)合形。 (3) 由計(jì)算機(jī)自動(dòng)生成初始復(fù)合行的全部頂點(diǎn)。其方法是首先隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)可行點(diǎn)，然后按第二種方法產(chǎn)生其余的 (k-1)個(gè)可行點(diǎn)。這種方法對(duì)設(shè)計(jì)者來(lái)說(shuō)最為簡(jiǎn)單，但因初始復(fù)合形在可行域內(nèi)的位置不能控制，可能會(huì)給以后的計(jì)算帶來(lái)麻煩。 復(fù)合形法的搜索方法 在可行域內(nèi)生成初始復(fù)合行后，將采用不同的搜索方法來(lái)改變其形狀，使復(fù)合形逐步向約束最優(yōu)點(diǎn)趨近。改變復(fù)合形形狀的搜索方法主要有以下幾種： (1) 反射 反射是改變復(fù)合形形狀的一種主要策略 ,其計(jì)算 步驟為 : 計(jì)算復(fù)合形各頂點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值 ,并比較其大小 ,求出最好點(diǎn) LX ,最壞點(diǎn) HX 及次壞點(diǎn)GX,即 LX : LXf =min kjjxf ,.,2,1 HX : kjjH xfXf , . . . ,2,1m a x 計(jì)算除去最 壞點(diǎn) ux 外的 (k-1)個(gè)頂點(diǎn)的中心 cx 淮海工學(xué)院二七屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 - 45 -頁(yè) 共 53 頁(yè) - 45 - kj jcxkx111 從統(tǒng)計(jì)的觀(guān)點(diǎn)來(lái)看 ,一般情況下 ,最壞點(diǎn)Hx和中心點(diǎn)Gx的連線(xiàn)方向?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)下降的方向。為此，以cx點(diǎn)為中心，將最壞點(diǎn)Hx按一定比例進(jìn)行反射，有希望找到一個(gè)比最壞 點(diǎn)Hx的目標(biāo)函數(shù)值為小的新點(diǎn)Rx，Rx為反射點(diǎn)。其計(jì)算公式為 HCcR xxxx 176 式中 反射系數(shù)，一般取 3.1 。 反射點(diǎn) Rx 與最 壞點(diǎn) Hx ，中心點(diǎn)cx的相對(duì)位置如圖 4 所示。 判別反射點(diǎn) Rx 的位置： 若 Rx 為可行點(diǎn)，則比較 Rx 和 Hx 兩點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，如果 HR xfxf ，則 R x 取代 Hx ，構(gòu)成新的復(fù)合形，完成一次 圖 4 相對(duì)位置 迭代；如果 HR xfxf ，則將 縮小 0.7 倍，用式（ 6-17）重新計(jì)算新的反射點(diǎn)，若仍不可行，繼續(xù)縮小 ，直至 HR xfxf 為止。 若 Rx 為非可行點(diǎn)，則將 縮小 0.7 倍，仍用式（ 6-17）計(jì)算反射點(diǎn) Rx ，直至可行為止。然后重復(fù)以上步驟，即判別 Rxf 和 Hxf 的大小，一旦 HR xfxf ，就用 Rx 取代 Hx 完成依次迭代。 綜上所述，反射成功的條件是： HR Rj xfxf mjxg ,2,10 淮海工學(xué)院二七屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 - 46 -頁(yè) 共 53 頁(yè) - 46 - (2) 擴(kuò)張 當(dāng)求得的 反射點(diǎn)Rx為可行點(diǎn) ，且目 標(biāo)函數(shù) 值下降較 多（例 如： cR xfxf ），則沿反射方向繼續(xù)移動(dòng)，即采用擴(kuò)張的方法，可能找到更好的新點(diǎn)Ex，Ex稱(chēng)為擴(kuò)張點(diǎn)。其計(jì)算公式為 cRRE xxxx 式中 -擴(kuò)張系數(shù)，一般取 1 。 擴(kuò)張點(diǎn) Ex 與中心點(diǎn)Cx、反射點(diǎn) Rx 的相對(duì)位置如圖所示。 若擴(kuò)張點(diǎn) Ex 為可行點(diǎn)，且 )()( RE xfxf ,則稱(chēng)擴(kuò)張成功，用 Ex 取代 Rx ，構(gòu)成新的復(fù)合形。否則稱(chēng)擴(kuò)張失敗，放棄擴(kuò)張，讓用原反射點(diǎn) Rx 取代 Hx ，構(gòu)成新的復(fù)合形。 (3) 收縮 若在中心點(diǎn)Cx以外找不到好的反射點(diǎn)，還可以在Cx以?xún)?nèi)，即采用收縮的方法尋找較好的新點(diǎn)kx，kx稱(chēng)為收縮點(diǎn)。其計(jì)算公式為 )(HCHk xxxx 式中 收縮 系數(shù)，一般取 7.0 。 收縮點(diǎn)kx與最壞點(diǎn) Hx 、中心點(diǎn)Cx的相對(duì)位置如圖 5所示。 若 )()(Hk xfxf ，則稱(chēng)為收縮成功，用kx取代 Hx ，構(gòu)成新的 復(fù)合形。 圖 5 相對(duì)位置 (4) 壓縮 若采用上述各種 方法均無(wú)效，還可以采取將復(fù)合形各頂點(diǎn)項(xiàng)最好點(diǎn)靠攏，即采用壓縮的方法來(lái)改變復(fù)合形的形狀。壓縮后的各頂點(diǎn)的計(jì)算公式為 jLLj xxxx 5.0 Ljkj ；,. .,2,1 淮海工學(xué)院二七屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 - 47 -頁(yè) 共 53 頁(yè) - 47 - 壓縮后的復(fù)合形各項(xiàng)點(diǎn)的相對(duì)位置如圖 6所示。 然后，在對(duì)壓縮后的復(fù)合型采用反射、擴(kuò)張或收縮等方法，繼續(xù)改變復(fù)合形的形狀。 除此之外，還可以 圖 6 復(fù)合形的壓縮變形 采用旋轉(zhuǎn)等方法來(lái)改變復(fù)合形形狀。應(yīng)當(dāng)指出的事，采用改變復(fù)合形形狀的方法越多，程序設(shè)計(jì)越復(fù)雜，有可能降低計(jì)算 效率可靠性。因此，程序設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)針對(duì)具體情況，采用某些有效的方法。 復(fù)合形法的計(jì)算步驟 基本的復(fù)合形法（只含反射）的計(jì)算步驟為： (1) 選擇復(fù)合形的頂點(diǎn)數(shù) k，一般取 nkn 21 ，在可行域內(nèi)構(gòu)成具有 k 個(gè)頂點(diǎn)的初始復(fù)合形。 (2) 計(jì)算復(fù)合形各頂點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，比較其大小，找出最好點(diǎn) Lx 、最壞點(diǎn) Hx及次壞點(diǎn)Gx。 (3) 計(jì)算除去最壞點(diǎn) Hx 以外的 (k-1)個(gè)頂點(diǎn)的中心Cx。判別Cx是否可行，若Cx顆星點(diǎn)，則轉(zhuǎn)步驟 (4)；若Cx為非可行點(diǎn)，則重新確定設(shè)計(jì)變量的下限和上限制，即令 Lx ， cxb 然后轉(zhuǎn)步驟 (1)，重新構(gòu)造初始復(fù)合形。 (4) 按式（ 6-17）計(jì)算反射 點(diǎn) Rx ，必要時(shí)，改變反射系數(shù) a 的值，直至反射成功，既滿(mǎn)足式（ 6-18）。然后以 Rx 取代 Hx ，構(gòu)成新的復(fù)合形。 (5) 若收斂條件 211211 kjLj xfxfk 得到滿(mǎn)足，計(jì)算終止。約束最優(yōu)解為 : Lxx * , Lxfxf * 。否則，轉(zhuǎn)步驟 (2)。 淮海工學(xué)院二七屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 - 48 -頁(yè) 共 53 頁(yè) - 48 - 3.5.6