材料力學(xué)第03章-06 (2)

； ； ； ptm a xNGIlTWTAF 31 靜矩和形心 32 慣性矩和慣性半徑 33 慣性積 34 平行移軸公式 35 轉(zhuǎn)軸公式 主慣性軸 第三章 截面圖形的幾何性質(zhì) 一、靜矩： Ax AyS d定義： 稱為圖形對 x 和 y軸 的靜矩。 yx SS 、 3-1 靜矩和形心 （面積矩、一次矩） Ay AxS d二、形心： AAxx AdAS yAS xAAyy AdxyC dA y x x y O yAS x 則： xAS y Ax AyS d（ 1）簡單圖形的形心和靜矩： yASxASxy（ 2）組合圖形的靜矩和形心： ASx yASy xy x C yxy x C yx iA Ay d ii yAiiyiixxASyAS y x 1 2 3 AxA ii AyA ii （ 3）圖形有對稱軸時，形心在對稱軸上。 （ 4） 軸過形心。xS x 00 yAS x0 yC x y dA x y y x yC xAAxx ii109011010451090510110109011010510906510110解 ： 組合圖形 ， 圖形分割及坐標(biāo)如圖 90 120 10 10 x y C1 C2 例 試確定下圖的形心。 AAyy ii2121 21AAAxAx2121 21AAAyAy)mm(23)mm(38一、慣性矩： Ax AyI d2dA x y y x 定義： Ix、 Iy稱為圖形對 x軸、 y軸的慣性矩（量綱： 長度 4） 3-2 慣性矩和慣性半徑 Ay AxI d2例 計算矩形對于其對稱軸（形心軸）的慣性矩。 y x C h b dA y d x d yA dAx AyI d2解： Ayxy dd222222 ddbbhhxyy123bh123bhI x 123hbI y Ax AyI d2計算圓形對于其對稱軸（形心軸）的慣性矩。 C d x y 例 d dA ddd A解： s iny A dd)s in( 2d)( s i nd202203 dd22c o s1d 20203 d644dI x Ax AyI d2C d x y dA x y A AI d2p A AyxI )d( 22p AA AyAx dd 22xy III p xII 2p yx II 極慣性矩： 222 yx 計算空心圓對于其對稱軸（形心軸）的慣性矩。 例 D x y C d ddIDdx 202223)( s i nddDd2022322c o s1646444 dDI x)1(6444DI x)( Dd Ax AyI d2 A dd)s in( 2三、慣性半徑 AiI xx 2AiI yy 2ix和 iy分別稱為圖形對于 x軸和 y軸的慣性半徑 。 , AIi xx AIi yy 圓截面 AIi xx 4d46424dd四、組合圖形的慣性矩： C x y ixIC x y 1 2 1 3 Ax AyI d2 iAAy d2 iyy IIixx II y x 33 慣性積 dA x y y x Axy AxyI dIxy稱為圖形對 x、 y軸的慣性積。 如果 x 軸（或 y軸） 是對稱軸，則慣性積 Ixy =0 y y x -x y x C y x C Ixy =0 Ixy =0 dA yC xC C , cccc yxyx III0 Ccx yAS Ax AyI d2 3-4 平行移軸公式 已知： ayybxxCCx a y b xC yC , xI求： AayA C d)( 2 解： Aaayy CA C d)2( 22 AA CA C AaAyaAy dd2d 22AaaSI cc xx 22 AaII cxx 2 ba ,yI xyI注意 : C點必須為形心 AbII cyy 2abAII cycxxy AaII cxx 2dA x y a b C xC yC yC xC 同理： 例 計算圖示圖形對其形心軸 x軸和 y軸的慣性矩。 C x y 15 10 40 20 單位： cm 解： y x1 1 2 AyAy ii212211AAyAyA15402010201540452010c m )(25.26ixx II xx II 例 計算圖示圖形對其形心軸 x軸和 y軸的慣性矩。 C x y 15 10 40 20 單位： cm 解： y x1 1 2 AyAy ii212211AAyAyA15402010201540452010c m )(25.26ixx II xx II 12 10203xI)cm(102.7 44a 2)25.2645(1020 C x y 15 10 40 20 單位： cm y x1 1 2 12 40153xI)cm(103.10 44)cm(105.1710)3.102.7(444a 2)2025.26(4015 xxx III C x y 15 10 40 20 單位： cm y x1 1 2 iyy II 122010 3 yI)cm(1067.0 44)cm(108.110)13.167.0(444121540 3 yI)cm(1013.1 44 yy II yyy III 121612 3xI)cm(10656.2 43例 計算圖示圖形對其形心軸 x軸的慣性矩。 x C y 2 8 6 12 單位： cm 6 8 解： 121210 3s i nc o ss i nc o s11xyyyxx一、 慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式 dA x y y x x1 y1 x1 y1 3-5 轉(zhuǎn)軸公式 主慣性軸 , xyyx III已知： 1111, yxyx III求： 解： Ax AyI d211 Ax AxyI d)s i nc o s( 21 A Axyxy d)c o ss i n2s i nc o s( 2222 x A Ay dc o s 22 Ax AxyI d)s i nc o s( 21 A Axyxy d)c o ss i n2s i nc o s( 2222 2c o sxI 2s i n2c o s22 1 xyyxyxx IIIIII 22c o s1s i n ； 22c o s1c o s 22 2s i n2c o s2 21 xyyxyxy IIIIII 2c o s2s i n211 xyyxyx IIII 同理： A Ax ds in 22 AxyA dco ss in2 2s inyI c o ss in2xyI二、主慣性軸和主慣性矩 0)2c o s2s i n2(2 00 xyyx III 2s i n2c o s22 1 xyyxyxx IIIIII x y x1 y1 x1 令 0dd 1 xI求 Ix1極值 : yxxyIII22t an 0)2(t a n21 10yxxyIII 200 0 x0 y0 與 0 對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)軸為 x0 、 y0 軸， 22m i nm a x )2(2 xyyxyx IIIIIII x y 0 x0 y0 平面圖形對 x0 、 y0軸 慣性矩 為 00 yx II 、000)2c o s2s i n2( xyyxyx IIII 00 yxI平面圖形對 x0 、 y0 軸的慣性積 為 )2c o s2s i n2( 00 xyyx III0平面圖形對 x0 、 y0軸的 慣性積 為零， 00 yxI00 yx II 和稱 x0 、 y0 軸為 主軸 ，稱 為主慣性矩 。 使慣性積為零的坐標(biāo)軸稱為 主軸 。平面圖形對主軸的慣性矩稱為 主慣性矩 。 x y 0 x0 y0 主軸過形心時，稱其為形心主軸。平面圖形對形心主軸之慣性矩，稱為形心主慣性矩。 ccccyxyxIII22t an 0三、圖形的形心主慣性軸和形心主慣性矩 yC 0 xC0 yC0 xC C x y 0 x0 y0 求圖形形心主慣性矩的步驟： (1)建立坐標(biāo)系 (2)計算面積 A和面積矩 Sx、 Sy (3)求形心位置 (4)建立形心坐標(biāo)系；求： IyC ， IxC ， IxCyC (5)求形心主軸方向 0 : (6)求形心主慣性矩 AAyASyAAxASxiixiiy22m i nm a x )2(2 CCCCCCyxyxyx IIIIIIIccccyxyxIII22t a n 0如果圖形有對稱軸，則對稱軸就是形心主慣性軸。 0 xC0 yC0 yC xC y x C 結(jié)論：如果圖形有對稱軸，則對稱軸就是形心主慣性軸。 yC xC 0cc yxIC ccccyxyxIII2 2t a n 0 0圖形有對稱軸 00 即 xc和 yc軸是形心主慣性軸 例 確定圖示圖形的形心主慣性軸的位置，并求形心主慣性矩。 C x y 180 40 360 180 20 40 解：由反對稱性可知形心在反對稱點 1804018012 40180212 40020 233xI)mm(107 5 1.5 481004018012 18040212 20400 233yI)mm(108 3 2.1 48180100401802 xyI180 -100 )mm(10592.2 48C x y 180 40 360 180 20 40 yxxyIII22t an 0 3226.1832.1751.5)592.2(2 , 9.522 0 45.2600yo xo )mm(1004.7 48)mm(105425.0 48= )mm(1004.7 44xoI)mm(105425.0 44yoI maxI )2(222xyyxyx IIIII minI如圖所示圖形，求形心主慣性矩 IxC。 解： （ 2）求形心位置。 （ 3）求： IxC 0xAAyy ii)cm(5.62例 3 （ 1） 建立坐標(biāo)系如圖。 60 45 45 20 80 50 y yx1 xC C 4506090208045450456090100208022 （ 3）求： IxC 60 45 45 20 80 50 y 5.62yx1 xc C 231 )5.62100(2080122080 xI)cm(103.2 46232 )455.62(9060129060 xI2243 )455.62(4506450 xI)cm(1029.5 46)cm(109.0 46321 xxxxc IIII )cm(1069.6 46在矩形內(nèi)挖去一與上邊內(nèi)切的圓，求形心主慣性矩。 (b=1.5d) 解： （ 1） 建立坐標(biāo)系如圖。 （ 2）求形心位置。 （ 3）建立形心坐標(biāo)系；求： IxC ， IyC ， I xCyC 0xd b 2d x O yC 4342332222ddddddAAyy iid823.0xC y例 4 C CCC xxx III 圓矩 )8 2 3.05.1(464)8 2 3.0(312 )2(5.1 224223ddddddddd 4435 1 3.06412 )5.1(2 ddddIII xCxCyC 圓矩 0CC yxC Iy 軸是對稱軸，由于d b 2d x O xC yC x1 C y4685.0 d便是形心主慣性矩軸便是形心主軸和、yCxCCIIyx C 如圖所示圖形，求形心主慣性矩 Ixc。 解： （ 2）求形心位置。 0xAAyy ii例 3 （ 1） 建立坐標(biāo)系如圖。 60 20 100 20 80 20 1