高中數(shù)學 1.2.2 集合的運算 課件一 新人教B版必修1.ppt

1 2 2集合的運算 知識整合 1 交集對于兩個給定的集合a b 由屬于a又屬于b的所有元素所構(gòu)成的集合 叫做a和b的 記作 2 并集一般地 對于兩個給定的集合a b 由兩個集合的所有元素構(gòu)成的集合 叫做a與b的 記作a b 3 全集在研究集合與集合之間的關(guān)系時 如果 那么稱這個給定的集合為全集 通常用u表示 特別警示 1 全集決定了我們所研究的其他集合都是它的子集 2 全集選擇的不同 則運算的結(jié)果就有可能不同 4 補集如果給定集合a是全集u的一個子集 由 叫做a在全集u中的補集 記作 ua 5 交集的運算性質(zhì)對于任何集合a b 有 1 a b b a 2 a a 3 a 4 a b a a b b 5 a b a 6 并集的運算性質(zhì) 1 a b b a 2 a a 3 a 4 a b a a b b 5 a b b 7 交集 并集 補集的關(guān)系a ua a ua u 8 常見結(jié)論 1 a b a a b a b a a b 2 a ua u a ua 9 經(jīng)驗公式 1 u a b ua ub u a b ua ub 2 card a b card a card b card a b 其中card a 表示集合a中的元素的個數(shù) 對于 1 可理解 并之補 等于 補之交 交之補 等于 補之并 可通過venn圖加以記憶 答案 1 交集a b2 并集3 所要研究的集合都是某一給定集合的子集4 u中不屬于a的所有元素構(gòu)成的集合5 a a b6 aa a b 名師解答 1 可否用venn圖理解a與b的交集及a與b的并集的幾種情況 1 用venn圖表示a b有下列幾種情況 陰影部分為a b a與b相交 有公共元素 但互不包含 a與b分離 無公共元素 2 用venn圖表示a b有下列幾種情況 陰影部分為a b a與b相交 有公共元素 但互不包含 a與b分離 無公共元素 2 設(shè)集合u為全集 集合a b是全集u的子集 則有以下兩個重要結(jié)論 u a b ua ub u a b ua ub 這兩個結(jié)論 可否通過venn圖清楚明了地表示出來呢 1 用venn圖表示 u a b ua ub 2 用venn圖表示 u a b ua ub 深入學習 答案 1 c 2 a分析 注意集合m p中的元素 確定出m p 再求m p 1 解法一 m中x 1 0 x 1 即m x x 1 p中x 3 0 x 3 即p x x 3 m p x 1 x 3 故選c 解法二 m p的元素不是 x y 排除a 比較b與c 取x 1 1 m 1 p 1 m p 排除b 比較c與d 取x 2 2 m 排除d 故選c 評析 解法一是直接法 求交集 并集時一般需先具體確定集合再求 解法二是排除法 即抓住選擇項之間的差異 采用取特殊值或舉反例等辦法排除錯選擇項 達到去偽存真的目的 此法對求解選擇題很有效 評析 本節(jié)重點是交集 并集的概念 正確理解概念是進行集合間的交 并運算的關(guān)鍵 關(guān)于定義需注意 a b中 或 的意義與日常用語中的 或 的意義不盡相同 用它連接的并列成分之間不一定是互相排斥的 x a 或x b 包括下列三種情況 x a 但x b x b 但x a x a 且x b 因為并不是任何兩個集合總有公共元素 當a與b沒有公共元素時 不能說a與b的交集不存在 而應(yīng)說a b 變式訓(xùn)練1集合a x x2 3x 2 0 b x x2 ax a 1 0 c x x2 mx 2 0 已知a b a a c c 求實數(shù)a m的值 解 a b a b a 又a c c c a a x x2 3x 2 0 1 2 b x x2 ax a 1 0 x x a 1 x 1 0 又 b a a 1 2或a 1 1 即a 3或a 2 當a 3時 b 1 2 當a 2時 b 1 題型二集合的運算 例2 設(shè)u r 已知集合a x 5 x 5 b x 0 x 7 求 1 a b 2 a b 3 a ub 4 b ua 5 ua ub 分析 本題是不等式問題 凡不等式中的交 并 補問題 可以畫數(shù)軸解決 解 如下圖 1 a b x 0 x 5 2 a b x 5 x 7 3 如下圖 ub x x 0 或x 7 a ub x x 5 或x 7 4 如下圖 ua x x 5 或x 5 b ua x 5 x 7 5 解法一 ub x x 0 或x 7 ua x x 5 或x 5 如下圖 ua ub x x 5 或x 7 解法二 ua ub u a b x x 5 或x 7 評析 1 數(shù)軸法的特點是簡單直觀 因此 要注意將數(shù)軸畫出來 只有對數(shù)軸的運用達到熟練掌握了 就可以不必畫數(shù)軸了 但也應(yīng)在草稿上或自己的頭腦中畫出數(shù)軸 避免出錯 2 要注意各個端點的畫法 能取到端點的值時 用實心的點在數(shù)軸上表示 取不到端點的值時 用空心的圈在數(shù)軸上表示 3 一定要注意a ua u a ua 從而決定端點的去留 題型三利用韋恩圖解題 例3 已知全集u 不大于20的質(zhì)數(shù) m n是u的子集 且滿足m un 3 5 um n 7 19 um un 2 17 求m n 解 m un 3 5 3 m 5 m 3 n 5 n 又 um n 7 19 7 m 19 m 7 n 19 n 又 um un u m n 2 17 2 m 2 n 17 m 17 n 由以上分析 畫出圖 又 11 u m n 11 m n 11 m un 11 n 或11 m n 又 11 um n 11 m 或11 m n 11既不在m un 中 同時又不在 um n中 所以即11 m n 同理 13 m n m 3 5 11 13 n 7 11 13 19 評析 對于一些與數(shù)集有關(guān)的問題 直接憑空去想 很容易陷入誤區(qū) 理不清頭緒 如果采用韋恩圖來分析問題 則題目會變得很直觀 很容易理清思路 使問題獲解 變式訓(xùn)練3某班舉行數(shù)理化競賽 每人至少參加一科 已知參加數(shù)學競賽的有27人 參加物理競賽的有25人 參加化學競賽的有27人 其中參加數(shù)學 物理兩科的有10人 參加物理 化學兩科的有7人 參加數(shù)學 化學兩科的有11人 而參加數(shù) 理 化三科的有4人 求出全班人數(shù) 分析 本題考查集合的運算 解題的關(guān)鍵是把文字語言轉(zhuǎn)化成集合語言 借助于韋恩圖的直觀性把它表示出來 再根據(jù)集合中元素的互異性求出問題的解 解 設(shè)參加數(shù)學 物理 化學三科競賽的同學組成的集合分別為a b c 由題意可知a b c三集合中元素個數(shù)分別為27 25 27 a b b c a c a b c的元素個數(shù)分別為10 7 11 4 畫出韋恩圖 如圖可知全班人數(shù)為10 13 12 6 4 7 3 55 人 評析 1 能正確使用一些集合符號把文字語言轉(zhuǎn)化成集合語言 圖形語言是我們把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題的重要一步 它實現(xiàn)了實際問題向數(shù)學問題的轉(zhuǎn)化 2 一般地 用card a card b card c 分別表示集合a b c中元素的個數(shù) 則有card a b c card a card b card c card a b card b c card a c card a b c 題型四利用集合運算性質(zhì)求參數(shù)的取值范圍 例4 已知集合a x x2 4x 3 0 b x x2 ax 1 a 0 c x x2 mx 1 0 且a b a a c c 求a m的取值或取值范圍 分析 可知求集合a 再由a b a b a a c c c a 然后根據(jù)方程根的情況進行討論 解 a 1 3 b x x 1 x 1 a 0 a b a b a a 1 3 或a 1 1 a 4 或a 2 又a c c c a 若c 則 m2 4 0 2 m 2 若1 c 則12 m 1 0 m 2 此時c 1 a c c 評析 分類討論在中學數(shù)學中有著極其重要的地位 在本章應(yīng)用廣泛 本題中易犯的錯誤是忽略對c 的討論 變式訓(xùn)練4已知集合a x x2 ax a2 19 0 b x x2 5x 6 0 c x x2 2x 8 0 1 若a b a b 求實數(shù)a的值 2 a b a c 求實數(shù)a的值 分析 集合a b c的關(guān)系比較明確 從代數(shù)角度看 它們分別是方程x2 ax a2 19 0 x2 5x 6 0和x2 2x 8 0的解集 由于集合a所對應(yīng)的方程含有字母 因此本題宜先考慮的b c再由 1 中a b b a 2 中 a b a c 等條件出發(fā) 確定a的值 評析 對于 1 必須理解a b a b的意義 由a a b a b b a b b a b a b a b a 所以a b 對于 2 關(guān)鍵在于抓住空集這個特殊集合的含義和性質(zhì) 即由 a b a b 整體探究解讀 題型一集合的運算問題集合的基本運算廣泛地用于函數(shù) 方程 不等式 三角函數(shù) 解析幾何等知識中 在高考中占有相當重要的地位 要熟練掌握交 并 補的含義及運算性質(zhì) 學會用venn圖 數(shù)軸工具來解決問題 例1 已知集合p x x a2 4a 1 a r q y y b2 2b 3 b r 求p q和p rq 分析 集合p q分別是指對應(yīng)的自變量a b在實數(shù)范圍內(nèi)變化時 函數(shù)值的變化范圍 解 因為x a2 4a 1 a 2 2 3 3 所以p x x 3 又因為y b2 2b 3 b 1 2 4 4 所以q y y 4 利用數(shù)軸表示可知 p q x 3 x 4 如下圖 1 又因為 rq y y 4 所以p rq p x x 3 如下圖 2 評析 1 在求集合的交集 并集 補集時 應(yīng)首先求出各集合 本題中 雖然表示集合元素的字母不同 但它們都是數(shù)集 2 在求集合的補集時要注意邊界 3 求數(shù)集的交集 并集 補集往往借助于數(shù)軸 例2 設(shè)a x a x a 3 b x x5 當a為何值時 1 a b 2 a b 3 a b a 4 a rb rb 2 由補集的定義可知 a b 的反面就是a b 當a2時 a b 3 a b a a b 由下圖得 a 35 即a5時 a b a 題型二解探索性問題 例3 已知a x y x n y an b n z b x y x m y 3m2 15 m z c x y x2 y2 144 問是否存在實數(shù)a b使得 1 a b 2 a b c同時成立 分析 假設(shè)存在a b 使得 1 成立 得到a與b的關(guān)系后與a2 b2 144聯(lián)立 然后討論聯(lián)立的不等式組 評析 此解法中 0 僅是一個方程有解的必要條件 也就是說 0只能保證直線與拋物線有公共點 但這個公共點不一定是整數(shù)點 進而再利用另一個條件 由于求得的a b不能使兩曲線的交點為整數(shù)點 所以符合題意的a b就不存在了 解答探索性數(shù)學問題 凡是涉及 是否存在 是否具有某種性質(zhì) 等這一類的未定結(jié)論的討論式探索性問題 我們總是先假定結(jié)論成立 進而進行演繹推理 在推導(dǎo)過程中 若出現(xiàn)矛盾 即可否定我們的假設(shè) 則問題的另一面成立 如果推導(dǎo)過程流暢 沒有受阻 沒有矛盾成立 一直能推導(dǎo)到符合已知的真理 公理 定理等 或已知條件 這時我們說假設(shè)存在 題型三用 正難則反 的策略解題 正難則反 策略是指某一類問題從正面解決比較困難時 我們可以反面入手解決 這種 正難則反 的解題方法 運用的就是補集思想 設(shè)全集為u 求子集a 若直接求a困難 可先求 ua 再由 u ua a求a 例4 若三個方程x2 4ax 4a 3 0 x2 a 1 x a2 0 x2 2ax 2a 0至少有一個方程有實數(shù)解 求實數(shù)a的取值范圍 分析 此題若從正面入手 需對各種可能情況一一討論 非常繁瑣 若考慮反面 則只有一種情況 三個方程都沒有實數(shù)解 利用判別式去求解 然后取補集即可 評析 一般地 如果一個數(shù)學問題從正面入手困難可作逆向思考則?？勺嘈?如含有 至多 至少 等條件的題目 不要忘記取其補集 1 進行集合的運算時應(yīng)當注意 1 勿忘對空集情形的討論 2 勿忘集合中元素的互異性 3 對于集合a的補集進行運算 勿忘a必須是全集的子集 4 對于含參數(shù) 或特定系數(shù) 的集合問題 勿忘對所求數(shù)值進行合理取舍 2 在集合運算過程中應(yīng)力求做到 三化 1 意義化 即首先分清集合的類型 是表示數(shù)集 點集 還是某類圖形 是表示函數(shù)的自變量的取值范圍 或因變量的取值范圍 還是表示方程或不等式的解集 2 具體化 具體求出相關(guān)集合中函數(shù)的自變量 因變量的范圍或方程 不等式的解集等 不能具體求出的 也應(yīng)力求將相關(guān)集合轉(zhuǎn)化為最簡形式 3 直觀化 借助數(shù)軸 直角坐標平面 韋恩圖等將有關(guān)集合直觀地表示出來 從而借助數(shù)形結(jié)合思想解決問題 例5 已知集合a x x2 4ax 2a 6 0 b x x 0 若a b 求a的取值范圍 解 由b x x 0 a b 可知 方程x2 4ax 2a 6 0至少有一個負根 因此本題要分 有兩個負根 一負根一零根 一負根一正根這三種情況求解 比較麻煩 這時 我們不妨考慮問題的反面 方程x2 4ax 2a 6 0沒有負根的情形 評析 1 對于一些解題過程繁瑣 難以從正面解決的問題 不妨從問題的反面入手 探求已知和未知的聯(lián)系 用間接的方法將問題解決 我們稱這種解決問題的策略為 正難則反 的策略 其實質(zhì)是運用了 補集思想 2 由于 ua是a的補集 因此在解題時 遇到比較困難的問題 可以轉(zhuǎn)化為求問題的反面 采用間接的方法將問題解決 題型四數(shù)學在日常生活中的應(yīng)用 例6 某地對農(nóng)戶抽樣調(diào)查 結(jié)果如下 電冰箱擁有率為49 電視機擁有率為85 洗衣機擁有率為44 至少擁有上述三種電器中兩種以上的占63 三種電器齊全的為25 那么一種電器也沒有的相對貧困戶所占比例為 a 10 b 12 c 15 d 27 答案 a分析 這是一個小型應(yīng)用題 把各種人群看做集合 本題就是已知全集元素個數(shù) 求其某個子集的元素個數(shù) 可借助venn圖解決 解 不妨設(shè)調(diào)查了100戶農(nóng)戶 u 被調(diào)查的100戶農(nóng)戶 a 100戶中擁有電冰箱的農(nóng)戶 b 100戶中擁有電視機的農(nóng)戶 c