統(tǒng)計與概率.doc

初中數(shù)學(xué)統(tǒng)計與概率 王尚志（首都師范大學(xué)，教授） 張飴慈（首都師范大學(xué)，教授） 鮑敬誼（北京大學(xué)附屬中學(xué)，初中部主任） 一、第三學(xué)段概率統(tǒng)計的定位 （一）概率的定位 1經(jīng)歷收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)的活動，了解數(shù)據(jù)處理的過程；能用計算器處理較為復(fù)雜的數(shù)據(jù)。 統(tǒng)計最重要的是整個過程，統(tǒng)計就是要從數(shù)據(jù)里得到信息，在這個過程中收集、整理、描述、分析都是必須的。在教學(xué)中學(xué)生應(yīng)該了解并學(xué)會如何處理統(tǒng)計的整個過程，不能很片面的認(rèn)為統(tǒng)計僅僅是對內(nèi)容的分析。 在小學(xué)的第一學(xué)段，即小學(xué)一到三年級，要幫助學(xué)生學(xué)會對于一些事物進(jìn)行分類，其中包括一些對數(shù)據(jù)的分類，這種分類討論，對于將來處理數(shù)據(jù)，是一個非常重要的基礎(chǔ)。到了第二學(xué)段，學(xué)生應(yīng)該不僅會收集數(shù)據(jù)，還應(yīng)該可以處理一些數(shù)據(jù)，這就需要把數(shù)據(jù)用某種方式表達(dá)出來，比如說統(tǒng)計圖表。學(xué)生經(jīng)過整理數(shù)據(jù)，然后描述數(shù)據(jù)，最后分析數(shù)據(jù)的整個過程。 所以整個這個過程，就像張老師強調(diào)的。在不同的年齡段，我們分析的對象不一樣，分析的復(fù)雜程度不一樣，但是這個基本過程始終是一樣的。 在初中收集數(shù)據(jù)和在小學(xué)收集數(shù)據(jù)有什么差異。在小學(xué)收集數(shù)據(jù)，學(xué)生可能更多的是自己去收集，比如收集全班同學(xué)的身高，或者視力情況，那么到中學(xué)以后，學(xué)生不僅可以自己去收集，還可以去查閱資料，因為他學(xué)的知識多了，他可以利用現(xiàn)成的數(shù)據(jù)，比如說利用家長的資源，利用網(wǎng)絡(luò)的資源，利用報紙上的一些信息，這樣他數(shù)據(jù)的來源，就不僅僅是自己去調(diào)查，去收集，還有從別人那現(xiàn)成拿來使用的。從數(shù)據(jù)來看，比小學(xué)生就靈活多了、數(shù)據(jù)的來源也豐富多了。小學(xué)一個是自己收集，一個是老師提供他一些可以供他分析的數(shù)據(jù)，在初中，希望孩子接觸的數(shù)據(jù)更多一些，所以他得到數(shù)據(jù)的來源，可能就豐富一點，這是和小學(xué)一個很大的差別。 2體會抽樣的必要性，通過案例了解簡單隨機抽樣（參見例 68 ）。 體會抽象的必要性，通過案例了解簡單數(shù)據(jù)抽象，也是到了第三學(xué)段特別突出的一點。當(dāng)我們面對這個對象，比如說從特別特別大的時候，想了解整個北京市 18 歲男孩的身高，特別大的時候就使得誤差程度，這就抽象數(shù)據(jù)，其次一個我想就是有一些抽樣的破壞性的實驗，我要了解燈泡的壽命，我很長時間就要點，點完以后就會報廢掉，點完就會報廢掉，也是不可能做的，所以這個抽樣的必要性呢，要通過一些實例才能夠了解。 除了抽樣的必要性以外，我們還應(yīng)該理解抽樣的合理性。抽樣如果做的不好，沒有代表性，得到的結(jié)論就會有所歪曲，有所看法，所以我們通過案例了解簡單抽樣不僅是了解這種做法，實際上了解簡單數(shù)據(jù)抽樣，它是比較合理的。 在初中階段和小學(xué)階段，一個明顯的差異在收集數(shù)據(jù)上，就是我們要抽取樣本。原來是以普查為主，現(xiàn)在要既會普查，通過普查的方式，來得到數(shù)據(jù)，又要初步的學(xué)會通過抽樣的方式，特別是隨機抽樣的方式，來體會抽樣的必要性和合理性。比如說破壞性的東西，你總是要抽取其中一部分，來替代這個整體，要去體會抽樣的必要性。另外，我們要體會隨機的必要性，隨機的必要性的核心是合理。所謂合理，就是能反應(yīng)整體的面貌。如果不能反應(yīng)整體的面貌，顯然就不合理，比如：你了解成績只了解實驗班的成績就不太不合理；你調(diào)查大家是不是喜歡看哪個電視劇，你只招年齡低段的人去調(diào)查，也不合理，因為隨著年齡的不同，大家的愛好會發(fā)生變化。所以怎么樣合理的進(jìn)行抽樣，是我們在初中需要體會的一件很重要的事情，這樣的一個變化老師在教學(xué)中應(yīng)該清楚。 3會制作扇形統(tǒng)計圖，能用統(tǒng)計圖直觀、有效地描述數(shù)據(jù)。 第二學(xué)段要求學(xué)生認(rèn)識這些圖的意義。但在第三學(xué)段要求學(xué)生會制作這些圖，包括直方圖。那么在這里頭繪畫圖我想怎么理解？用這個怎么定理？包括前面用計算器處理復(fù)雜的數(shù)據(jù)，怎么理解，就是說這個繪畫圖我覺得第一位，就是我要畫一個，我要什么目的，我要反應(yīng)什么信息，根據(jù)這個信息，我來選擇畫什么樣的圖，比如說我要反應(yīng)他的百分之比是多少？比如說這個 08 年奧運競賽上，如果你想反應(yīng)中國第一，美國第二，多少那可能是一個條形圖，你要反應(yīng)一下中國金牌整個金牌，那可能扇形圖，所以這個繪制圖的話，第一位的是，在繪畫圖時，根據(jù)目的選擇合適的圖是最重要的。 關(guān)于圖表制作方面，對于圖的處理方面，希望老師清楚，第一，不同的統(tǒng)計圖表，可以幫助我們整理和描述數(shù)據(jù)；第二，初中和小學(xué)的差異是什么？小學(xué)階段要讓學(xué)生會看懂、識別。初中階段就要求學(xué)生會制作圖，如制作扇形圖和直方圖；第三，為何要畫這個圖，目的是什么？制作圖表的目的不是僅僅會畫這個圖，而是希望把這些數(shù)據(jù)中的某些信息凸現(xiàn)出來，所以不僅要會畫扇形圖和直方圖，還要理解這些圖表對展示信息有什么作用？第四，自己選擇統(tǒng)計圖表，用合適的方式最好的表達(dá)數(shù)據(jù)中所蘊含的信息。畫圖的目的，不是為了畫圖而畫圖，而是為了把數(shù)據(jù)中蘊含的重要信息凸現(xiàn)出來，讓你們看的清楚，一目了然，讀圖在這個過程中仍然是重要的。 4理解平均數(shù)的意義，能計算中位數(shù)、眾數(shù)、加權(quán)平均數(shù)，了解它們是數(shù)據(jù)集中趨勢的描述（參見例 69 ）。 我們把數(shù)據(jù)進(jìn)行加工后，構(gòu)成了一些數(shù)字特征，其中平均數(shù)是最重要的。在這一階段，可對平均要求最高的，了解他們是數(shù)據(jù)，幾種趨勢方法，第一，最重要還是要平均數(shù)，其次就是眾數(shù)和中位數(shù)。 刻畫集中趨勢的參數(shù)中最核心的是平均數(shù)，我們對平均數(shù)作一點拓展，即加權(quán)平均數(shù)。對于加權(quán)平均數(shù)，它的出現(xiàn)是很自然的，在教學(xué)時要讓學(xué)生比較自然的認(rèn)識它。簡單的講，加權(quán)平均數(shù)就是反應(yīng)大家做的貢獻(xiàn)不一樣，有的貢獻(xiàn)大一點，有的貢獻(xiàn)小一點。比如在一組分?jǐn)?shù)中 95 分的多，那么 95 分在平均分里就貢獻(xiàn)大一點，一百分的少，那么一百分在整個平均分中，做的貢獻(xiàn)就小一點，占的成分多一點，權(quán)重大一點，從而拓展到我們對事物的看重程度。這樣的理解是循序漸進(jìn)的。對于加權(quán)的認(rèn)識，在高中和大學(xué)仍然是我們要不斷學(xué)習(xí)的。 5體會刻畫數(shù)據(jù)離中程度的意義，會計算簡單數(shù)據(jù)的方差（參見例 70 ）。 第一，在所有的數(shù)據(jù)特征數(shù)里，可以分成兩類，一類是反映這個數(shù)據(jù)集中程度的特征數(shù)，一類是反映數(shù)據(jù)離中程度的特征數(shù)，這是反映數(shù)據(jù)性質(zhì)的兩類不同的特征數(shù)，學(xué)生能夠理解他們的差異，而平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)，它反映的意思比較接近。 第二，教師不要從抽象的定義出發(fā)來講解，要通過具體的實例幫助學(xué)生去感悟，去認(rèn)識，去理解。 6通過實例，了解頻數(shù)和頻數(shù)分布的意義，能畫頻數(shù)直方圖，能利用頻數(shù)直方圖解釋數(shù)據(jù)中蘊涵的信息（參見例 71 ）。 90 分到 100 分之間，我們班里多少個人？85 分到 90 分有多少人？這就是在算頻數(shù)。我們把它畫成頻數(shù)直方圖，這樣可以了解分布的意義，頻數(shù)分布也就是落在各個段這個頻數(shù)所占的分布。比起條形圖的直觀，頻數(shù)直方圖對信息的反應(yīng)是比較全面的。它也是將來高中學(xué)習(xí)頻率直方圖的一個基礎(chǔ)。學(xué)生在畫圖的基礎(chǔ)上更應(yīng)該通過尺度的度量來了解頻數(shù)和頻數(shù)分布的意義。 頻數(shù)和頻數(shù)分布的意義，全面地反映了這個數(shù)據(jù)帶來的信息。我們要不斷地理解這些數(shù)據(jù)所反映的是全面還是分布，他把整個數(shù)據(jù)的基本狀況展示出來我們要把握整體。 7體會樣本與總體關(guān)系，知道可以通過樣本平均數(shù)、樣本方差推斷總體平均數(shù)、總體方差。 我們可以用樣本平均數(shù)和樣本方差來推斷總體平均數(shù)。在學(xué)習(xí)總體方差的時候，很多學(xué)生會有些困惑，他會認(rèn)為算出來的樣本平均數(shù)就是總體平均數(shù)。但事實上樣本平均數(shù)和總體平均數(shù)是不一樣的。我們應(yīng)該讓學(xué)生理解樣本可以反映總體的某些問題，但是它和總體的還是有差異的。 8能解釋統(tǒng)計結(jié)果，根據(jù)結(jié)果做出簡單的判斷和預(yù)測，并能進(jìn)行交流（參見例 71 ）。 9通過表格、折線圖、趨勢圖等，感受隨機現(xiàn)象的變化趨勢（參見例 72 ）。 國民經(jīng)濟總產(chǎn)值，調(diào)查了經(jīng)濟發(fā)展中的物價上升趨勢，根據(jù)這些數(shù)值可以做解釋。比如這幾個月，通貨膨脹上升的趨勢，它是隨機測的，并沒有把所有的消費水平，物價都算進(jìn)去，但是我們要根據(jù)所得到的這些數(shù)據(jù)，作出一些簡單的判斷和預(yù)測，而基礎(chǔ)就建立在我們的樣本、圖表和數(shù)據(jù)特征上。當(dāng)然我們要認(rèn)識到，這樣的預(yù)測是有誤差的，甚至還會有扭曲。 （二）事件的概率 1能通過列表、畫樹狀圖等方法列出簡單隨機事件所有可能的結(jié)果，以及指定事件發(fā)生的所有可能結(jié)果，了解事件的概率（參看例 73 、例 74 ）。 在某種意義上，所謂簡單隨機事件，就是指古典概型。首先，我們要了解一個古典概率模型，我們可以列表，畫圖，把所有的結(jié)果都列出來，這是一個計算的過程，方法。雖然計算方法很重要，但是了解古典概率這種等和的模式是非常必要的。第二，教師應(yīng)該通過實驗來讓孩子認(rèn)識到，通過大量地重復(fù)實驗，可以用頻率來估計概率。也是要來首先應(yīng)該是不確定和隨機的，其次才是定性，大量重復(fù)實驗體現(xiàn)頻率問題，即頻率穩(wěn)定性。所以你不能指望向全班咱們?nèi)佑矌湃右话俅尉统霈F(xiàn) 50 次正面，有的老師就不知道怎么處理的，處理的次數(shù)一次，孩子就不對，就不應(yīng)該，實際上第一位是隨機的，這東西太正常了，其次呢，這是怎么樣，大量重復(fù)實驗體現(xiàn)頻率問題，頻率穩(wěn)定性，比如說擲出現(xiàn)正負(fù)二分之一，擲一個色子出現(xiàn)六分之一，這個二分之一，還是兩次，出現(xiàn)一次，六分之一，也不是六次出現(xiàn)一次，他是大量地實驗，所以我想我們老師在這些把握上，可能還不夠，否則給孩子帶來些誤導(dǎo)。 第一，初步地理解古典概型，古典概型怎么樣進(jìn)行計算；第二，理解隨機現(xiàn)象。什么樣的現(xiàn)象是隨機現(xiàn)象呢？一個最重要的特征，就是可以重復(fù)，經(jīng)過大量重復(fù)，得到一個估計概率的一個重要概念頻率。那么這個頻率是估計概率的一個重要的概念。小學(xué)階段，某些隨機現(xiàn)象的可能性是不一樣的。初中階段，要理解一個特殊的隨機現(xiàn)象，對概率的一個基本定位分為兩種。一個是具體的古典概型，一個是一般的，即通過大量重復(fù)實驗用頻率去估計概率。 二、統(tǒng)計概率的本質(zhì) （一）統(tǒng)計 要了解統(tǒng)計這門課程，需要先理解統(tǒng)計的概念。一般來說，統(tǒng)計主要研究如何搜集數(shù)據(jù)，如果整理數(shù)據(jù)，以及如何從數(shù)據(jù)得到我們所需要的信息。所以統(tǒng)計的核心詞是信息，一切都是為了尋找并得到所需的信息。研究如何搜集數(shù)據(jù)，如何整理所收集的數(shù)據(jù)來凸現(xiàn)這個信息，無論是算平面數(shù)、算中位數(shù)，還是畫圖表、頻數(shù)分布直方圖，都是為了需要凸顯的信息，判斷是否能夠通過統(tǒng)計得到所需的信息，而以此得出的統(tǒng)計推斷靠性有多大等等。所以它的核心問題就是信息，而要得到這樣的信息，我們就要關(guān)注整個過程。因此它跟我們其他的那些數(shù)學(xué)上的定義、定理、證明不太一樣，它是一個從數(shù)據(jù)里歸納出結(jié)論的過程。 統(tǒng)計課程有以下幾個關(guān)鍵詞。第一，從數(shù)據(jù)中提取信息，是統(tǒng)計的第一要務(wù)。我們圍繞著要得到的信息去收集數(shù)據(jù)，設(shè)計整理描述數(shù)據(jù)的方法，比如說選擇不同的圖式，無論是直方圖、扇形圖、折線圖，還是其他的圖式，都是希望通過它們將信息清晰、準(zhǔn)確、直觀地反映出來。第二，統(tǒng)計解決問題是靠一個過程來解決的，這個過程包括數(shù)據(jù)的收集、描述、整理，以及從數(shù)據(jù)中提取信息，并且用這些信息來說明問題的過程。第三，統(tǒng)計處理問題是一個歸納的過程，特別是在初中階段，我們不僅要會搜集所有的數(shù)據(jù)，整個收集過程都是去體現(xiàn)一個歸納的思維，用部分去說明整體，這樣才能解決問題。這是解決問題的一種重要的方法，也是一種重要的思維，更是一種重要的推理。 （二）概率 概率研究的是隨機現(xiàn)象。隨機現(xiàn)象實際就是在相同條件下，可以做大量地重復(fù)實驗，其結(jié)果不確定，但是在大量實驗中呈現(xiàn)出一種規(guī)律性，我想這三點是隨機現(xiàn)象的根本特點。所以不用去給概率下定義，概率的定義也不在我們討論的范圍，但是有幾個要界定清楚的問題，比如說結(jié)果是在實驗之前無法確定的，一些老師如果把握不好，就會把一些在實驗之前結(jié)果就完全確定的現(xiàn)象當(dāng)做隨機現(xiàn)象來處理。例如，火星上有沒有生命，這是完全確定的，要么就有，要么就沒有，只是我們不知道，這是未知現(xiàn)象，必須跟隨機現(xiàn)象區(qū)分開來。 在中學(xué)階段，我們的老師要幫助我們的學(xué)生學(xué)會識別，什么是隨機現(xiàn)象。隨機現(xiàn)象有三個基本特征。第一個特征就是在一定條件下，可以重復(fù)實驗。凡是不能重復(fù)的，條件不確定的，就不是隨機的。第二個特點，就是在我們研究實驗之前，無法知道這次實驗的結(jié)果。凡是能知道結(jié)果的，一定不是隨機的。第三個特點，就是由前兩個特點衍生出的一個概念頻率，即大量實驗?zāi)骋粋€結(jié)果出現(xiàn)的次數(shù)。我們說在大量實驗的前提下，這個頻率將穩(wěn)定在某一個數(shù)值，這是反映了我們隨機現(xiàn)象的規(guī)律性，它的規(guī)律性就是穩(wěn)定。這三個基本條件，是我們對隨機現(xiàn)象進(jìn)行基本判定的基礎(chǔ)。 隨機性跟頻率穩(wěn)定性相比，隨機性是第一位的，所以教師要和孩子們做一些探究，比如扔 100 次硬幣，出現(xiàn) 41 次正面，這是非常正常的，不能指望每次一扔都出現(xiàn) 50 次頻率。 三、統(tǒng)計概率教學(xué)中的困惑 1關(guān)于概率的定義的問題。有很多老師感覺沒有定義不踏實，于是要摳這個定義，結(jié)果越摳越亂。 概率的確切定義是一個很難說清楚的問題，從某種意義上來說，它是一個哲學(xué)問題而非數(shù)學(xué)問題。所以在數(shù)學(xué)上對它進(jìn)行的是一個公平化的定義，所謂的公平化，就是把它定義成一個具有可加性和非負(fù)性的量，也就是說把它跟長度、面積、質(zhì)量、體積之類等同起來。這樣的做法實際上在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里是很常見的，比如在幾何中，我們不討論線和點的定義，只討論它們之間的關(guān)系。既然在數(shù)學(xué)里有這樣一個處理定義問題的方法，我們就只強調(diào)和把握概率最基本的特點在相同條件下做重復(fù)實驗，實驗之前其結(jié)果不可預(yù)料，而它的頻率則是穩(wěn)定的。我想這樣對我們理解、計算和應(yīng)用概率，都是很有幫助的。而具體去摳什么是概率，甚至去摳什么是實驗，不但無助于我們對概率的理解，反而會造成學(xué)生的迷惑。所以說雖然定義在數(shù)學(xué)里非常重要，但不能把它絕對化，因為它是一個無限上推，不可能完成的任務(wù)。所以我們在這里講概率統(tǒng)計，特別強調(diào)案例的教學(xué)，希望通過大量例子來幫助大家理解其實質(zhì)，而不是去苛求準(zhǔn)確的定義。 2天氣預(yù)報經(jīng)常說，降水概率是 80% ，學(xué)生的理解有很大的偏差 在杭州問一個老太太，說下雨概率是 80% 怎么理解，她說 80% 地區(qū)下雨，實際上你要理解什么，我們談到概率，就是說在相同條件下，也就是說明天如果預(yù)報降雨的概率是 80% ，一定是我觀測的氣象條件，在我歷史上的資料里頭，有跟明天近似，幾乎相等的情況下，那在歷史中記錄了，凡是這樣天氣里頭，大概有 80% 都是下雨了，有 20% 沒下雨，因此我就說，又出現(xiàn)這樣情況了，那么根據(jù)歷史的資料，那么我應(yīng)該是 80% ，也就是說一定是在相應(yīng)條件下，做重復(fù)實驗的這些頻率穩(wěn)定性來看的，所以一定不是去摳這樣一些東西。 關(guān)于概率的幾個基本特征，對這幾個基本特征的認(rèn)識，就足以使我們能夠很好地區(qū)分什么是隨機現(xiàn)象，什么不是隨機現(xiàn)象，并且如何用隨機現(xiàn)象來幫助我們解決一些問題，就夠了，那么對于我們的學(xué)生和老師來說，沒有必要他們必須建立起一個完整地確切的一個定義，專門研究數(shù)學(xué)的人，或者專門研究概率的人，他們會以某種公平的形勢，給出一個自圓其說的定義，有了這三個特征，我們就可以去解釋這些現(xiàn)象。在概率里面呢，一定是重視，而不是在所謂嚴(yán)格性去摳，就是說這個必然事件，什么不可能事件，是不是隨機事件呢，都是隨機性特定的，我覺得像這些東西，其實很清楚，我們把它規(guī)定進(jìn)來了，我們在算時間概率，它也算是其中的一員對不對，就是像這樣的一些東西的話，都沒有必要在這使勁去摳它。 整個統(tǒng)計，對于定義的看法，都是應(yīng)該這樣，就是你要關(guān)注他的意義，比如說中位數(shù)，中位數(shù)的特征，就在于比它多的那一半，比它少的，那么如果你是偶數(shù)個，你這中位數(shù)定這么一點，定這么一點，都是無所謂的，因為我最關(guān)注的就是比他多的那一半，比他少的那一半，假設(shè) 10 數(shù)，從這，這樣它的缺點就在于它不為 1 ，我們有時候把這兩數(shù)求一下，統(tǒng)計一下，但是你事情擱在這兒了，因為我們關(guān)注的是有一半比他多的，有一半比它說的。這是最關(guān)注的，摳這些東西就沒有太大的意思。這樣就等于把這個變成算術(shù)了，完全失去了，我們引入中位數(shù)這個概念的實質(zhì)性的作用，所以有中位數(shù)，也可能產(chǎn)生四分位數(shù)，也可能產(chǎn)生八分位數(shù)，那都是根據(jù)在具體情景的需要，引入的這些概念，來反映集中的程度，或者集中偏差的程度等等等等。同樣像眾數(shù)，出現(xiàn)最多的那數(shù)，眾數(shù)，它是反映這個數(shù)據(jù)里的一個信息。 3有時候考試的時候，畫圖，對于這個直方圖有一個數(shù)，屬于它好，什么半開半避這些怎么看待這件事情。 畫圖的基本方法，當(dāng)然要會，分組畫圖，但是呢，在很多細(xì)節(jié)里頭，都不是很多，特別是我們數(shù)據(jù)中，抽樣地來，有它的隨機性，有誤差，你說是左邊避右邊開，還是右邊避左邊開，都是問題不大，你比如說這個直方圖，我們有了直方圖以后，我們有時候把那個每一個小矩形的中間，連成一個折線，那么有的學(xué)生，有的老師就問了，這個我最右邊這是在那兒，這邊就沒有了，這點要不要連呢，下面要不要連，就爭吵這個問題，但是你要知道，比如說我考慮的是這個身高，比如說，我量初三人的身高，這一塊是 1 米 4 到 1 米 65 的，那么為什么不可能就這個別還會有 1 米 3 ，未嘗估計一下是不可以的，還是可以的，但是如果我考慮這個，我這預(yù)期這孩子的年齡，他是從 0 開始的，0 到 5 ，5 到 10 的話，你再連著這邊出現(xiàn)負(fù)的就沒有意義了。 統(tǒng)計它有很強的實際背景，但這實際背景需要結(jié)合，比如說出了一個礦難，我就非常關(guān)心死亡的人數(shù)，或者出了一個禽流感，這個人數(shù)，這個頻數(shù)，這個數(shù)就變得非常平等，你說百分比就不行，一般人也不接受，但是如果從我考察一個學(xué)校里頭，這老年人里頭多少高血壓的，可能百分比比那個頻數(shù)，頻率比頻數(shù)就更重要了，在不同情況下，我關(guān)注的東西都是跟實際聯(lián)系的，所以絕對不是直接地就抽象去做一個定義的。 4有一些教學(xué)中，討論所謂用概率來討論公平性的問題這個問題怎么看？ 我們并沒有給公平在數(shù)學(xué)上給一個很明確的意思，不太主張在我們這個大量地去來討論這個問題，現(xiàn)在這些問題問得越來越復(fù)雜了。比如說咱們兩個人說這有一張票，我們兩個人要一張票，只能有一個人去，我們就開始扔硬幣，或者說擲一個色子，二四六我就去，這個顯得就很公平，因為我們的機會是一樣的，你看擲出一三五我去，擲出六他去，就不公平了，但是公平程度應(yīng)該可能不止在這個概率的問題，還應(yīng)該有一個得到的好處有多少的問題，比如說咱倆概率都一樣，扔出正面你拿走，扔出反面，這有兩張票，扔出正面你拿走這個，扔出反面我拿走這個，這兩票的價值非常非常不一樣，我們倆概率當(dāng)然相等，但是這個也是不一樣。所以這東西我覺得是一個比較復(fù)雜的問題，在現(xiàn)實中，所以我覺得沒有在這個必要，雖然我們非常主張我們概率的一些應(yīng)用，包括你在班上組織一些活動，抽簽什么的，但是過分地去討論公平問題。 決定公平的因素是多方面的，其中概率相等是影響公平的一個因素，在不同情況下，影響公平的主要因素是誰，我們要清楚，也許并不一定是概率相等不相等是主要因素，如果兩張票的面額不一樣，那么你這個概率相等不相等的作用就沒有那么大了，所以公平是一個相對復(fù)雜一點的問題，如果我們老師一定愿意用這樣的一個情景來理解概率，一定要界定清楚，讓學(xué)生體會到，在這個情景中，這個概率是起了主要作用的，而不要讓學(xué)生產(chǎn)生誤解，只有概率是決定公平性唯一標(biāo)準(zhǔn)，那么這樣就誤導(dǎo)了學(xué)生的理解。 5老師舉出來的例子，引入的例子，可能不是我們所謂隨機現(xiàn)象，對這樣的一些情況有什么樣的建議？ 概率的最基本的三條，相同條件下做重復(fù)實驗，結(jié)果不確定，和頻率穩(wěn)定性，把這三條我覺得我們把握住了，這樣我們就不會出現(xiàn)大的偏差，否則有時候我們老師自己也有講糊涂，把這些東西全都混在一起，我覺得，因為在初中我沒有怎么教，但是我非常希望在初中開發(fā)一些好的例子，這些例子不一定是很難，但是呢，比如說要讓他覺得還是有用的，別管你是估計魚也好，估計什么，有用，另外讓他知道，因為概率嘛，他既然結(jié)果不確定，很多人就覺得，學(xué)概率有什么用啊，但實際上你要讓他體會，你比如說有兩個工廠，這個工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品，四平米只有百萬分之一，那個四平米只有十分之一對不對，那么如果我不知道，我去買那十分之一的產(chǎn)品，我可能買到好的，十分之一，如果我告訴你概率了，說這個百萬分之一，你去上這買去，偏偏那個百萬分之一就讓你給買到了，好像學(xué)到概率沒什么，知道以后也沒什么用，但是首先我們要知道，第一這是隨機現(xiàn)象，本性無法避免的，現(xiàn)實，這隨機現(xiàn)象就是這樣，但是他對我們還是有指導(dǎo)作用，也就是說如果我是買，還是要去買這個產(chǎn)品，也就是說我們能通過一些簡單的例子，讓孩子對這個了解的隨機現(xiàn)象。 6通過活動的形式，來幫助我們學(xué)生去理解和認(rèn)識，統(tǒng)計和隨機現(xiàn)象，這樣是不是一種好的處理方式? 用活動的方式來讓學(xué)生做能非常好地發(fā)揮學(xué)生的積極性，他的熱情非常非常好，自己去搜集數(shù)據(jù)，自己去先設(shè)計搜集方案，搜集數(shù)據(jù)，去查資料，然后來做，然后互相之間評價，評比，他就特別能容易挑出別人的毛病，這毛病實際上也可能就是他自己也有的毛病，然后有一個區(qū)分提高，我覺得這樣一個過程，能讓他終身不忘，他這樣統(tǒng)計的結(jié)果。而我們要講這個步驟，第一步怎么做，第二步怎么做，這東西我想就喪失掉了這樣的意義了。 四、教師專業(yè)發(fā)展的有關(guān)問題 概率統(tǒng)計進(jìn)入中小學(xué)課程，對于教師的專業(yè)發(fā)展提出了挑戰(zhàn)。那么我們老師應(yīng)該如何不斷地提高自己來應(yīng)對挑戰(zhàn)呢？以下