2014-2015年高中數(shù)學(xué)選修2-1-2課時(shí)提升作業(yè)(十六) 2.3.2.2.doc

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X k B 1 . c o m2.(2014長(zhǎng)春高二檢測(cè))已知雙曲線(xiàn)E的中心在原點(diǎn),F(3,0)是E的焦點(diǎn),過(guò)F的直線(xiàn)l與E相交于A,B兩點(diǎn),且AB中點(diǎn)為N(-12,-15),則E的方程為()A.x23-y26=1B.x24-y25=1C.x26-y23=1D.x25-y24=1【解析】選B.由已知條件易得直線(xiàn)l的斜率k=-15-0-12-3=1,設(shè)雙曲線(xiàn)方程為x2a2-y2b2=1(a0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),則x12a2-y12b2=1,x22a2-y22b2=1,兩式相減并結(jié)合x(chóng)1+x2=-24,y1+y2=-30得y1-y2x1-x2=4b25a2,從而4b25a2=1,又因?yàn)閍2+b2=c2=9,故a2=4,b2=5,所以E的方程為x24-y25=1.【拓展延伸】解決與雙曲線(xiàn)弦的中點(diǎn)有關(guān)問(wèn)題的兩種方法(1)根與系數(shù)的關(guān)系法:聯(lián)立直線(xiàn)方程和雙曲線(xiàn)方程構(gòu)成方程組,消去一個(gè)未知數(shù),利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決.(2)點(diǎn)差法:利用端點(diǎn)在曲線(xiàn)上,坐標(biāo)滿(mǎn)足方程,將端點(diǎn)坐標(biāo)分別代入雙曲線(xiàn)方程,然后作差,構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系,可求斜率k=y1-y2x1-x2.這是解決與中點(diǎn)有關(guān)問(wèn)題的簡(jiǎn)便而有效的方法.求弦中點(diǎn)軌跡問(wèn)題,此方法依然有效.3.(2014鄭州高二檢測(cè))雙曲線(xiàn)x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1,F2,過(guò)F1作傾斜角為30的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)右支于M點(diǎn),若MF2x軸,則雙曲線(xiàn)的離心率為()A.6B.3C.4D.33【解題指南】將x=c代入雙曲線(xiàn)方程求出點(diǎn)M的坐標(biāo),通過(guò)解直角三角形列出三參數(shù)a,b,c的關(guān)系,求出離心率的值.【解析】選B.將x=c代入雙曲線(xiàn)的方程得y=b2a,即Mc,b2a,在MF1F2中,x kb 1tan30=b2a2c,即c2-a22ac=33,解得e=ca=3.4.F1,F2是雙曲線(xiàn)x23-y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn),過(guò)右焦點(diǎn)F2作傾斜角為4的弦AB,則F1AB的面積為()A.6B.2C.233D.433【解析】選B.由雙曲線(xiàn)x23-y2=1,得a2=3,b2=1,c2=a2+b2=4,所以c=2,F1(-2,0),F2(2,0),直線(xiàn)AB:y=x-2.由y=x-2,x23-y2=1得2x2-12x+15=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=6,x1x2=152,所以|AB|=2|x1-x2|=2(x1+x2)2-4x1x2=23.又F1到直線(xiàn)AB:x-y-2=0的距離為:d=|-2-2|2=22,所以SF1AB=12d|AB|=122223=26.5.(2014攀枝花高二檢測(cè))P是雙曲線(xiàn)x29-y216=1右支上的一點(diǎn),M,N分別是圓(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的點(diǎn),則|PM|-|PN|的最大值為()A.9B.8C.7D.6【解析】選A.由雙曲線(xiàn)x29-y216=1,知a2=9,b2=16,所以c2=25,所以c=5.因此雙曲線(xiàn)左、右焦點(diǎn)分別是F1(-5,0),F2(5,0),由圓的方程知,兩圓的圓心分別為左、右焦點(diǎn),由雙曲線(xiàn)的定義知|PF1|-|PF2|=2a=6,結(jié)合圖形當(dāng)M為PF1延長(zhǎng)線(xiàn)與圓交點(diǎn)時(shí)PM最長(zhǎng),當(dāng)N為PF2與圓交點(diǎn)時(shí)PN最短,此時(shí)|PM|-|PN|最大,故最大值為6+2+1=9.6.(2014天津高二檢測(cè))已知雙曲線(xiàn)的方程為x2a2-y2b2=1(a0,b0),過(guò)左焦點(diǎn)F1作斜率為33的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)的右支于點(diǎn)P,且y軸平分線(xiàn)段F1P,則雙曲線(xiàn)的離心率為()A.3B.5+1C.2D.2+3【解析】選A.由雙曲線(xiàn)x2a2-y2b2=1(a0,b0),得左焦點(diǎn)F1(-c,0),則直線(xiàn)方程為y=33(x+c).又PF1的中點(diǎn)在y軸上,故P點(diǎn)橫坐標(biāo)為xP=c,代入直線(xiàn)y=33(x+c),得yP=233c,又點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上,故c2a2-43c2b2=1,即c4-103a2c2+a4=0,所以e4-103e2+1=0,解得e=3或e=33(舍).二、填空題(每小題4分,共12分)7.過(guò)點(diǎn)A(6,1)作直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)x2-4y2=16相交于兩點(diǎn)B,C,且A為線(xiàn)段BC的中點(diǎn),則直線(xiàn)的方程為.【解題指南】根據(jù)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(6,1),設(shè)出直線(xiàn)方程y-1=k(x-6);根據(jù)點(diǎn)A(6,1)為線(xiàn)段BC的中點(diǎn),應(yīng)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式,確定B,C的坐標(biāo)關(guān)系;應(yīng)用“點(diǎn)差法”確定直線(xiàn)的斜率.【解析】依題意可得直線(xiàn)的斜率存在,設(shè)為k(k0),則直線(xiàn)的方程為y-1=k(x-6).設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),因?yàn)辄c(diǎn)A(6,1)為線(xiàn)段BC的中點(diǎn),所以x1+x2=12,y1+y2=2.因?yàn)辄c(diǎn)B,C在雙曲線(xiàn)x2-4y2=16上,所以x12-4y12=16,x22-4y22=16,由-得:(x2-x1)(x2+x1)-4(y2-y1)(y2+y1)=0,所以k=y2-y1x2-x1=x2+x14(y2+y1)=1242=32,所以經(jīng)檢驗(yàn),直線(xiàn)的方程為y-1=32(x-6),即3x-2y-16=0.答案:3x-2y-16=08.(2014福州高二檢測(cè))設(shè)雙曲線(xiàn)x29-y216=1的右頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F.過(guò)點(diǎn)F且與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)平行的直線(xiàn)與另一條漸近線(xiàn)交于點(diǎn)B,則AFB的面積為.【解題指南】由雙曲線(xiàn)的方程可得a,b的值,進(jìn)而可得c的值,得到A,F兩點(diǎn)的坐標(biāo).因此可設(shè)BF的方程為y=43(x-5),與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程聯(lián)立,得到點(diǎn)B的坐標(biāo),即可算出AFB的面積.【解析】根據(jù)題意,得a2=9,b2=16,所以c=a2+b2=5,且A(3,0),F(5,0).因?yàn)殡p曲線(xiàn)x29-y216=1的漸近線(xiàn)方程為y=43x.所以直線(xiàn)BF的方程為y=43(x-5).若直線(xiàn)BF的方程為y=43(x-5),與漸近線(xiàn)y=-43x交于點(diǎn)B52,-103,此時(shí)SAFB=12|AF|yB|=122103=103;若直線(xiàn)BF的方程為y=-43(x-5),與漸近線(xiàn)y=43x交于點(diǎn)B52,103.此時(shí)SAFB=12|AF|yB|=122103=103.因此,AFB的面積為103.答案:1039.(2014景德鎮(zhèn)高二檢測(cè))已知雙曲線(xiàn)C:x2a2-y2b2=1(a0,b0),若存在過(guò)右焦點(diǎn)F的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)C相交于A,B兩點(diǎn),且AF=3BF,則雙曲線(xiàn)離心率的最小值為.【解析】因?yàn)檫^(guò)右焦點(diǎn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)C相交于A,B兩點(diǎn)且AF=3BF,故直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交只能是如圖所示的情況,即A點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的左支,B點(diǎn)在右支,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),右焦點(diǎn)F(c,0),因?yàn)锳F=3BF,所以c-x1=3(c-x2),3x2-x1=2c,由圖可知,x1-a,x2a,所以-x1a,3x23a,故3x2-x14a,即2c4a,ca2,即e2,所以離心率的最小值為2.答案:2三、解答題(每小題10分,共20分)10.(2014遵義高二檢測(cè))設(shè)雙曲線(xiàn)C:x2a2-y2=1(a0)與直線(xiàn)l:x+y=1交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A,B,求雙曲線(xiàn)C的離心率e的取值范圍. X k B 1 . c o m【解析】由C與l相交于兩個(gè)不同的點(diǎn),可知方程組x2a2-y2=1,x+y=1有兩組不同的解,消去y,并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0,w w w .x k b 1.c o m所以1-a20,4a4+8a2(1-a2)0,解得0a62,且e2,即雙曲線(xiàn)C的離心率e的取值范圍為62,2(2,+).【舉一反三】本題若加上條件“設(shè)直線(xiàn)l與y軸交于點(diǎn)P,且PA=512PB”.求a的值.【解析】設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),且P(0,1),因?yàn)镻A=512PB,所以(x1,y1-1)=512(x2,y2-1),得x1=512x2.由于x1,x2是方程的兩個(gè)根,所以x1+x2=-2a21-a2,x1x2=-2a21-a2,即1712x2=-2a21-a2,512x22=-2a21-a2,消去x2,得-2a21-a2=28960,解得a=1713.11.(2014荊州高二檢測(cè))雙曲線(xiàn)C的中點(diǎn)在原點(diǎn),右焦點(diǎn)為F233,0,漸近線(xiàn)方程為y=3x.(1)求雙曲線(xiàn)C的方程. (2)設(shè)直線(xiàn)L:y=kx+1與雙曲線(xiàn)交于A,B兩點(diǎn),問(wèn):當(dāng)k為何值時(shí),以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)?【解題指南】(1)設(shè)出雙曲線(xiàn)方程x2a2-y2b2=1,由條件建立關(guān)于a,b的方程組求解.(2)只需根據(jù)OAOB,即x1x2+y1y2=0求出k的值.【解析】(1)設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為x2a2-y2b2=1,由焦點(diǎn)坐標(biāo)得c=233,漸近線(xiàn)方程為y=bax=3x,結(jié)合c2=a2+b2得a2=13,b2=1x213-y2=1.(2)由y=kx+1,3x2-y2=1,得(3-k2)x2-2kx-2=0,由0,且3-k20,得-6k0)的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為雙曲線(xiàn)右支上的一點(diǎn),并且P點(diǎn)與右焦點(diǎn)F2的連線(xiàn)垂直x軸,則線(xiàn)段OP的長(zhǎng)為()A.133B.393C.73D.213【解析】選B.由條件知a2+1=4,因?yàn)閍0,所以a=3,又PF2x軸,把x=2代入x23-y2=1得y2=13.所以|OP|=22+13=393.【舉一反三】若本題條件不變時(shí),點(diǎn)P是右支上任意一點(diǎn),求OPF1P的取值范圍.【解析】設(shè)P(x0,y0),由題目可知x023-y02=1,且x03,又F1(-2,0),所以O(shè)PF1P=(x0,y0)(x0+2,y0)=x02+2x0+y02=x02+2x0+x023-1=43x02+2x0-1=43x0+342-74.因?yàn)閤03,所以x0=3時(shí),OPF1P最小,其值為3+23.即OPF1P3+23,+).2.(2014蘭州高二檢測(cè))直線(xiàn)y=kx+2與雙曲線(xiàn)x2-y2=2有且只有一個(gè)交點(diǎn),那么k的值是()A.k=1B.k=3C.k=1或k=3D.k=2【解析】選C.聯(lián)立直線(xiàn)y=kx+2與雙曲線(xiàn)x2-y2=2,消元,得:(1-k2)x2-4kx-6=0,當(dāng)1-k2=0時(shí),k=1,此時(shí)方程只有一解;當(dāng)1-k20時(shí),要滿(mǎn)足題意,=16k2+24(1-k2)=0,即k=3.綜上知:k的值是k=1或k=3.3.(2014溫州高二檢測(cè))F是雙曲線(xiàn)x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一個(gè)焦點(diǎn),過(guò)F作直線(xiàn)l與一條漸近線(xiàn)平行,直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)N,若FM=12MN,則雙曲線(xiàn)的離心率為()A.2B.3C.5D.10【解析】選B.不妨設(shè)F為右焦點(diǎn),則F(c,0),直線(xiàn)l與直線(xiàn)y=bax平行,則l方程為:y=ba(x-c),設(shè)l與雙曲線(xiàn)的交點(diǎn)M坐標(biāo)為(x1,y1),與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為N(0,y0),則FM=(x1-c,y1),MN=(-x1,y0-y1).由FM=12MN,得x1=23c,代入直線(xiàn)l方程得y1=-bc3a.又M在雙曲線(xiàn)上,故23c2a2-bc3a2b2=1,解得c2=3a2,所以e=3.【變式訓(xùn)練】已知點(diǎn)F1,F2是雙曲線(xiàn)x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn),過(guò)F2且垂直于x軸的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于A,B兩點(diǎn),若ABF1是銳角三角形,則該雙曲線(xiàn)的離心率e的取值范圍是()A.(2+1,+)B.(1,3)C.(1,1+2)D.(3,+)【解析】選C.設(shè)F2(c,0),將x=c代入雙曲線(xiàn)方程,得y=b2a,令A(yù)c,b2a,Bc,-b2a,由ABF1是銳角三角形,可得tanAF1F2=b2a2c1,故b22ac,所以c2-2ac-a20,兩邊同除以a2可得e2-2e-10,可解得1-2e1,故1e0).對(duì)于,聯(lián)立x29-y216=1,y=x+1,消y得7x2-18x-153=0,因?yàn)?(-18)2-47(-153)0,所以y=x+1是“單曲型直線(xiàn)”.對(duì)于,聯(lián)立x29-y216=1,y=2,消y得x2=454,所以y=2是“單曲型直線(xiàn)”.對(duì)于,聯(lián)立x29-y216=1,y=43x,整理得0=1,不成立,所以y=43x不是“單曲型直線(xiàn)”.對(duì)于,聯(lián)立x29-y216=1,y=2x+1,消y得20x2+36x+153=0,因?yàn)?362-4201530,b0),則兩條漸近線(xiàn)方程分別為l1:y=bax,l2:y=-bax.w w w .x k b 1.c o m因?yàn)閨OA|=2|FA|,所以ba=|FA|OA|=12,即c2-a2a=12,所以e=52.答案:526.(2014莆田高二檢測(cè))已知直線(xiàn)x=3與雙曲線(xiàn)C:x29-y24=1的漸近線(xiàn)交于E1,E2兩點(diǎn),記OE1=e1,OE2=e2,任取雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)P,若OP=ae1+be2(a,bR),則下列關(guān)于a,b的表述:4ab=1;0a2+b20,b0),如圖,B是右頂點(diǎn),F是右焦點(diǎn),點(diǎn)A在x軸正半軸上,且滿(mǎn)足:|OA|,|OB|,|OF|成等比數(shù)列,過(guò)F作雙曲線(xiàn)C在第一、三象限的漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)l,垂足為P.(1)求證:PAOP=PAFP.(2)若l與雙曲線(xiàn)C的左右兩支分別相交于點(diǎn)E,D,求雙曲線(xiàn)離心率e的取值范圍.【解析】(1)雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為y=bax,F(c,0),所以直線(xiàn)l的斜率為:-ab,所以直線(xiàn)l:y=-ab(x-c).由y=-ab(x-c),y=bax,得Pa2c,abc,因?yàn)閨OA|,|OB|,|OF|成等比數(shù)列,所以xAc=a2,所以xA=a2c,Aa2c,0,PA=0,-abc,OP=a2c,abc,FP=-b2c,abc所以PAOP=-a2b2c2,PAFP=-a2b2c2,則PAOP=PAFP.(2)由y=-ab(x-c),b2x2-a2y2=a2b2得,b2-a4b2x2+2