蘇教版選修41 圓的切線 學(xué)案.doc

1.2.2 圓的切線自主整理1.當(dāng)直線與圓有2個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線與圓_;當(dāng)直線與圓有且只有1個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線與圓_,此時(shí)直線是圓的_,公共點(diǎn)稱為_;當(dāng)直線與圓沒有公共點(diǎn)時(shí)，直線與圓相離.2.設(shè)o的半徑為r，直線l與圓心o的距離oh為d,則dr直線與圓_;d=r直線與圓_;dr直線與圓_.3.切線的判定定理：過半徑外端且與這條半徑_的直線是圓的切線.切線的性質(zhì)定理：圓的切線_于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.4.切點(diǎn)與圓心的連線與圓的切線_，過切點(diǎn)且與圓的切線垂直的直線過_.5.切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線長_.6.弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于所夾弧的度數(shù)的_.7.同?。ɑ虻然。┥系南仪薪莀，同?。ɑ虻然。┥系南仪薪桥c圓周角_.8.三角形的三內(nèi)角平分線的交點(diǎn)到三角形三邊的距離，若以此交點(diǎn)為圓心，該點(diǎn)到邊的距離為半徑作圓，該圓必與三角形的三邊都_,該圓就是三角形的_，三角形則是圓的_三角形，該點(diǎn)稱為三角形的_.高手筆記1.圓的切線的性質(zhì)定理及推論（1）圓的切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.此定理強(qiáng)調(diào)半徑必須經(jīng)過切點(diǎn)，否則結(jié)論不成立.由于過已知點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，所以經(jīng)過圓心垂直于切線的直線一定過切點(diǎn)；反過來，過切點(diǎn)垂直于切線的直線一定經(jīng)過圓心，因此可以得到兩個(gè)推論：推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)；推論2：經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.(2)分析性質(zhì)定理及兩個(gè)推論的條件和結(jié)論間的關(guān)系，可得出如下結(jié)論：如果一條直線具備下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，就可推出第三個(gè).垂直于切線；過切點(diǎn)；過圓心.于是在利用切線性質(zhì)時(shí)，過切點(diǎn)的半徑是常作的輔助線.(3)另外，圓的切線還有兩條性質(zhì)應(yīng)當(dāng)注意:一是切線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；二是切線和圓心的距離等于圓的半徑.在許多實(shí)際問題中，我們也利用它們來解決.2.切線的判定定理(1)切線的判定定理是經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.在定理中要分清定理的題設(shè)和結(jié)論,強(qiáng)調(diào)“經(jīng)過半徑外端”和“垂直于這條半徑”這兩個(gè)條件缺一不可，否則就不是圓的切線，如圖1.2-36的例子就不同時(shí)滿足兩個(gè)條件，所以都不是圓的切線 . 圖1.2-36(2)用判定定理證明一直線與圓相切時(shí)，必須滿足兩個(gè)條件：過半徑的外端；垂直于這條半徑.因此在解決相關(guān)問題時(shí)，若已知要證的切線經(jīng)過圓上一點(diǎn)，則需把這點(diǎn)與圓心相連，證這條直線與此半徑垂直；否則需先向這條直線作垂線，再證此垂線段是圓的半徑.3.切線長定理（1）我們知道，過圓外一點(diǎn)可以引兩條直線與圓相切，在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長稱為切線長.切線長是一條線段的長，而這條線段的兩端分別是圓外的已知點(diǎn)和切點(diǎn).注意切線是一條直線，而切線長是切線上一條線段的長，屬于切線的一部分.（2）切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分這兩條切線的夾角.圖1.2-37（3）如圖1.2-37，pa、pb是o外一點(diǎn)向圓作的兩條切線，切點(diǎn)分別為a和b，那么連結(jié)oa、ob、op，因?yàn)閜a、pb與o相切于a、b兩點(diǎn)，則有oaap，obbp，于是oap、obp都是直角.又oa=ob，op=op，所以rtaoprtbop,所以pa=pb，apo=bpo.(4)由切線長定理，可以得到圓外切四邊形的一個(gè)重要性質(zhì)：圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊和相等.利用這一性質(zhì)可以方便地解決許多問題.4.弦切角（1）定義：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角.(2)弦切角的特點(diǎn)：頂點(diǎn)在圓周上；一邊與圓相交；一邊與圓相切.(3)弦切角定義中的三個(gè)條件缺一不可.圖1.2-38各圖中的角都不是弦切角.圖（1）中，缺少“頂點(diǎn)在圓上”的條件；圖（2）中，缺少“一邊和圓相交”的條件；圖（3）中，缺少“一邊和圓相切”的條件；圖（4）中，缺少“頂點(diǎn)在圓上”和“一邊和圓相切”兩個(gè)條件.圖1.2-38(4)如圖1.2-39所示，弦切角可分為三類：圓心在角的外部；圓心在角的一邊上；圓心在角的內(nèi)部.圖1.2-395.弦切角定理（1）弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角.(2)定理的證明：由于弦切角可分為三類，即圖1.2-40所示的情況，所以在證明定理時(shí)分三種情況加以討論：當(dāng)弦切角一邊通過圓心時(shí)圖1.2-40(1)，顯然弦切角與其所夾弧所對(duì)的圓周角都是直角；當(dāng)圓心o在cab外時(shí)圖1.2-40(2)，作o的直徑aq，連結(jié)pq，則bac=baq-1=apq-2=apc；當(dāng)圓心o在cab內(nèi)時(shí)圖1.2-40(3)作o的直徑aq，連結(jié)pq，則bac=qab+1=qpa+2=apc.圖1.2-40(3)在證明弦切角定理的過程中，我們從特殊情況入手，通過猜想、分析、證明和歸納，從而證明了弦切角定理.通過弦切角定理的證明過程，要明確用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)觀察問題，進(jìn)而理解從一般到特殊，從特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律.（4）由弦切角定理，可以直接得出一個(gè)結(jié)論：若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個(gè)弦切角也相等，我們把這一結(jié)論稱為弦切角定理的推論，它也是角的變換的依據(jù).(5)弦切角定理也可以表述為弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半.這就建立了弦切角與弧的數(shù)量之間的關(guān)系，它為直接依據(jù)弧進(jìn)行角的轉(zhuǎn)換確立了基礎(chǔ).名師解惑1.判斷一條直線是否是圓的切線，通常有哪些方法？一般如何選取合適的方法？剖析:判定切線通常有三種方法：（1）和圓有唯一一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線；（2）到圓心距離等于半徑的直線是圓的切線；（3）過半徑外端且和半徑垂直的直線是圓的切線.“過半徑外端，垂直于這條半徑的直線是圓的切線”只是把“到圓心距離等于半徑的直線是圓的切線”的定理具體化，在使用時(shí)要根據(jù)題目的具體要求選取合適的方法，如果涉及到數(shù)值計(jì)算或距離問題，通常利用（2），如果涉及到線段的位置關(guān)系等，通常選取（3）.2.到目前為止，對(duì)于圓中有關(guān)的角我們已學(xué)過圓心角、圓周角、弦切角，它們各自有定義、定理及和它所對(duì)的弧的度數(shù)關(guān)系，這三種角在證明題和計(jì)算題中經(jīng)常用到，它們是幾何綜合題中不可缺少的知識(shí)點(diǎn).它們相互之間有哪些聯(lián)系和區(qū)別？如何把握這些聯(lián)系和區(qū)別？剖析:圓心角、圓周角、弦切角是圓中三類重要的角，準(zhǔn)確理解它們的定義、定理及與所對(duì)、所夾的弧的關(guān)系，對(duì)于我們?cè)趫A中的計(jì)算、證明，起著舉足輕重的作用，將這些知識(shí)總結(jié)對(duì)比列表如下，你可以在比較中把握其異同點(diǎn)，從而快速、準(zhǔn)確的應(yīng)用.名稱圓心角圓周角弦切角定義頂點(diǎn)在圓心的角頂點(diǎn)在圓上的；兩邊和圓相交頂點(diǎn)在圓上；一邊和圓相交；另一邊和圓相切圖形有關(guān)定理圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)在同圓或等圓中相等的圓心角所對(duì)弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)弦的弦心距相等同弧所對(duì)圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半弦切角等于它所夾弧所對(duì)的圓周角有關(guān)推論四者關(guān)系定理的推論圓周角定理推論弦切角定理的推論角與弧的關(guān)系aob的度數(shù)=的度數(shù)acb的度數(shù)=的度數(shù)acb的度數(shù)=的度數(shù)講練互動(dòng)圖1.2-41【例1】如圖1.2-41所示，梯形abcd中，adbc，c=90,且ad+bc=ab，ab為o的直徑.求證：o與cd相切.分析：欲證o與cd相切只需證明圓心o到直線cd的距離等于o的半徑即可.證明：過o點(diǎn)作oecd，垂足為e，adoebc.o為ab的中點(diǎn)，e為cd的中點(diǎn).oe=（ad+bc）.又ad+bc=ab,oe=ab=o的半徑.o與cd相切.綠色通道 在不知道圓與直線是否有公共點(diǎn)的情況下通常過圓心作直線的垂線段，然后證垂線段的長等于半徑，即“作垂直，證半徑”，這是證直線與圓相切的常用方法之一.變式訓(xùn)練圖1.2-421.如圖1.2-42,已知：直線ab經(jīng)過o上的點(diǎn)c，并且oa=ob，ca=cb.求證：直線ab是o的切線.證明:連結(jié)oc.oa=ob，ca=cb，oc是等腰三角形oab底邊ab上的中線.aboc.直線ab經(jīng)過半徑oc的外端c，并且垂直于半徑oc，所以ab是o的切線.圖1.2-43【例2】如圖1.2-43所示，已知ab為半圓o的直徑，直線mn切半圓于點(diǎn)c，admn于點(diǎn)d，bemn于點(diǎn)e，be交半圓于點(diǎn)f，ad=3 cm,be=7 cm.(1)求o的半徑；（2）求線段de的長.分析:（1）連結(jié)oc，證c為de的中點(diǎn).在解有關(guān)圓的切線問題時(shí)，常常需要作出過切點(diǎn)的半徑.對(duì)于（2）則連結(jié)af，證四邊形adef為矩形，從而得到ad=ef，de=af，然后在rtabf中運(yùn)用勾股定理，求af的長.解：（1）連結(jié)oc.mn切半圓于點(diǎn)c，ocmn.admn,bemn,adocbe.oa=ob,cd=ce.oc=(ad+be)=5（cm）.o的半徑為5 cm.(2)連結(jié)af.ab為半圓o的直徑，afb=90,afe=90.又ade=def=90,四邊形adef為矩形.de=af，ad=ef=3（cm）.在rtabf中，bf=be-ef=4（cm）,ab=2oc=10（cm）.由勾股定理，得af=，de=（cm）.綠色通道 在梯形當(dāng)中，最常見的輔助線是高，通過作高，可以構(gòu)造出直角三角形，然后在直角三角形中進(jìn)行相關(guān)計(jì)算；當(dāng)題目中涉及圓的切線問題時(shí)，常常需要作出過切點(diǎn)的半徑，通過它可以構(gòu)建有用的垂直關(guān)系.變式訓(xùn)練圖1.2-442.如圖1.2-44,已知兩個(gè)同心圓o，大圓的直徑ab交小圓于c、d，大圓的弦ef切小圓于c，ed交小圓于g，若小圓的半徑為2，ef=4，試求eg的長.解:連結(jié)gc，則gced.ef和小圓切于c,efcd,ec=ef=2.又cd=4，在rtecd中，有ed=.ec2=eged，eg=圖1.2-45【例3】如圖1.2-45,ad是o的切線，ac是o的弦，過c作ad的垂線，垂足為b，cb與o相交于點(diǎn)e，ae平分cab，且ae=2，求abc各邊的長.分析：bae為弦切角，于是bae=c，再由ae平分cab和abc是直角三角形可得c的度數(shù)，進(jìn)而解直角三角形即可.解：ad為o的切線，bae=c.ae平分cab，bac=2bae.又c+bac=90,bae=c=30.則有be=1，ab=，bc=，ac=2.綠色通道 本題應(yīng)用弦切角、解直角三角形的知識(shí)，此題為基礎(chǔ)題型，求解此類題時(shí)，要注意弦切角在角的轉(zhuǎn)換中的作用，本題正是由于這一條件，溝通了角之間的數(shù)量關(guān)系.變式訓(xùn)練圖1.2-463.如圖1.2-46，ad是abc中bac的平分線，經(jīng)過點(diǎn)a的o與bc切于點(diǎn)d，與ab、ac分別相交于e、f.求證：efbc.證明:連結(jié)df.ad是bac的平分線，bad=dac.efd=bad,efd=dac.o切bc于d，fdc=dac.efd=fdc.efbc.圖1.2-47【例4】如圖1.2-47,abc內(nèi)接于o，ab=ac，直線xy切o于點(diǎn)c，弦bdxy，ac、bd相交于點(diǎn)e.(1)求證：abeacd；（2）若ab=6 cm，bc=4 cm，求ae的長.分析：第（1）問中的全等已經(jīng)具備了ab=ac，再利用弦切角定理與圓周角定理可以得角的相等關(guān)系；對(duì)于（2），則利用bceacb建立比例式，解方程獲得ae的長.(1)證明：xy是o的切線，1=2.bdxy，1=3.2=3.3=4,2=4.abd=acd,又ab=ac,abeacd.(2)解：3=2,bce=acb,bceacb.acce=bc2,即ac(ac-ae)=bc2.ab=ac=6,bc=4,6(6-ae)=16.ae=(cm).綠色通道 本題利用平行線、弦切角、圓周角等進(jìn)行了角的轉(zhuǎn)換，利用相似建立方程求線段的長度，綜合應(yīng)用時(shí)，必須非常熟悉圖形中的各個(gè)量，盯準(zhǔn)要求的數(shù)值，向圖形和已知索取條件.變式訓(xùn)練4.如圖1.2-48，半徑為3 cm和2 cm的o1和o2外切于點(diǎn)p，ab是兩圓的外公切線，a、b為切點(diǎn)，兩圓的內(nèi)公切線交ab于點(diǎn)q.求pq的長.圖1.2-48解法一:連結(jié)ap，bp，則在apb中有qa=qp=qb,1=2，3=4.1+2+3+4=180,即2（1+4）=180,1+4=90,pq是rtapb斜邊上的中線.過o2作o2ho1a于點(diǎn)h，即可解得pq=6（cm）.解法二:如圖所示，連結(jié)qo1，qo2.qp、qa分別切o1于p，a1=2，同理3=4,1+2+3+4=180,即2（2+3）=180,2+3=90,o1qo2=90.又qpo1o2,2+5=90,3=5,rto1pqrtqpo2,pq2=po1po2=6,pq=6（cm）.【例5】如圖1.2-49所示，ab為o的直徑，bc、cd為o的切線，b、d為切點(diǎn).（1）求證：adoc；（2）若o的半徑為1，求adoc的值.圖1.2-49分析：對(duì)于（1），連結(jié)od、bd，證adbd，ocbd；對(duì)于（2），連結(jié)bd，證abdocb即可.(1)證明：連結(jié)od、bd.bc、cd是o的切線，obbc，odcd.obc=odc=90.又ob=od,oc=oc,rtobcrtodc,bc=cd.ob=od,ocbd.又ab為o的直徑，adb=90，即adbd.adoc.(2)解：adoc,a=boc.又adb=obc=90,abdocb.,adoc=abob=21=2.綠色通道 兩直線平行的判定可以利用同位角相等證明，而求兩個(gè)線段的乘積通常利用三角形相似得出比例式,然后利用比例的性質(zhì)求解.變式訓(xùn)練圖1.2-505.如圖1.2-50，已知o的弦ab的延長線和切線ep交于點(diǎn)p，e為切點(diǎn)，連結(jié)ea、eb，過點(diǎn)p的一條直線交ea、eb于c、d，若ec=ed.求證：（1）apc=cp