2007年湖北省-高考理科數(shù)學(xué)試題(真題與答案解析)

20072007 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 湖北卷 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 湖北卷 數(shù)學(xué) 理工農(nóng)醫(yī)類 一 選擇題 本大題共一 選擇題 本大題共 10 小題 每小題小題 每小題 5 分 共分 共 50 分 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 只分 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 只 有一項(xiàng)是符合題目要求的 有一項(xiàng)是符合題目要求的 1 如果的展開式中含有非零常數(shù)項(xiàng) 則正整數(shù)的最小值為 2 3 2 3 n x x n 3 5 6 10 2 將的圖象按向量平移 則平移后所得圖象的解析式為 2cos 36 x y 2 4 且a 2cos2 34 x y 2cos2 34 x y 2cos2 312 x y 2cos2 312 x y 3 設(shè)和是兩個(gè)集合 定義集合 如果 PQ PQx xPxQ 且且 2 log1Pxx 那么等于 21Qx x PQ 01xx 01xx 12xx 23xx 4 平面外有兩條直線和 如果和在平面內(nèi)的射影分別是和 給出下列 mnmn m n 四個(gè)命題 mnmn mnmn 與相交與相交或重合 m n mn 與平行與平行或重合 m n mn 其中不正確的命題個(gè)數(shù)是 1 2 3 4 5 已知和是兩個(gè)不相等的正整數(shù) 且 則 pq2q 1 11 lim 1 11 p q n n n A 0B 1C D p q 1 1 p q 6 若數(shù)列滿足 為正常數(shù) 則稱為 等方比數(shù)列 n a 2 1 2 n n a p a pn N n a 甲 數(shù)列是等方比數(shù)列 乙 數(shù)列是等比數(shù)列 則 n a n a A 甲是乙的充分條件但不是必要條件 B 甲是乙的必要條件但不是充分條件 C 甲是乙的充要條件 D 甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件 7 雙曲線的左準(zhǔn)線為 左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為和 22 1 22 1 00 xy Cab ab l 1 F 2 F 拋物線的準(zhǔn)線為 焦點(diǎn)為與的一個(gè)交點(diǎn)為 則等于 2 Cl 21 FC 2 CM 121 12 FFMF MFMF A B C D 1 1 1 2 1 2 8 已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為 A 和 且 則使得 n a n bn nn B 745 3 n n An Bn 為整數(shù)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)是 n n a b n A 2B 3C 4D 5 9 連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為和 記向量與向量的夾角mn mn a 11 b 為 則的概率是 0 A B C D 5 12 1 2 7 12 5 6 10 已知直線 是非零常數(shù) 與圓有公共點(diǎn) 且公共點(diǎn)的橫1 xy ab ab 22 100 xy 坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù) 那么這樣的直線共有 A 60 條B 66 條C 72 條D 78 條 二 填空題 本大題共二 填空題 本大題共 5 小題 每小題小題 每小題 5 分 共分 共 25 分 把答案填在答題卡相應(yīng)位置上 分 把答案填在答題卡相應(yīng)位置上 11 已知函數(shù)的反函數(shù)是 則 2yxa 3ybx a b 12 復(fù)數(shù) 且 若是實(shí)數(shù) 則有序?qū)崝?shù)對(duì)可izabab R 0b 2 4zbz ab 以是 寫出一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)即可 13 設(shè)變量滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為xy 0 23 xy x 2xy 14 某籃運(yùn)動(dòng)員在三分線投球的命中率是 他投球 10 次 恰好投進(jìn) 3 個(gè)球的概率 1 2 用數(shù)值作答 15 為了預(yù)防流感 某學(xué)校對(duì)教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒 已知 藥物釋放過程中 室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量 毫克 與時(shí)y 間 小時(shí) 成正比 藥物釋放完畢后 與 的函數(shù)關(guān)系式為tyt 為常數(shù) 如圖所示 據(jù)圖中提供的信息 回答 1 16 t a y a 下列問題 I 從藥物釋放開始 每立方米空氣中的含藥量 毫克 與y 時(shí)間 小時(shí) 之間的函數(shù)關(guān)系式為 t II 據(jù)測(cè)定 當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到毫克以下時(shí) 學(xué)生方可進(jìn)教室 那0 25 么藥物釋放開始 至少需要經(jīng)過小時(shí)后 學(xué)生才能回到教室 三 三 解答題 本大題共解答題 本大題共 6 小題 共小題 共 75 分 解答應(yīng)寫出文字說明 證明過程或演算步分 解答應(yīng)寫出文字說明 證明過程或演算步 驟 驟 16 本小題滿分 12 分 已知的面積為 且滿足 設(shè)和的夾角為 ABC 306AB AC A AB AC I 求的取值范圍 II 求函數(shù)的最大 2 2sin3cos2 4 f 值與最小值 17 本小題滿分 12 分 在生產(chǎn)過程中 測(cè)得纖維產(chǎn)品的纖度 表示纖維粗細(xì) 的一種量 共有 100 個(gè)數(shù)據(jù) 將數(shù)據(jù)分組如右表 I 在答題卡上完成頻率分布表 并在給定的坐標(biāo)系 中畫出頻率分布直方圖 II 估計(jì)纖度落在中的概率及纖度小于 1 381 50 的概率是多少 1 40 III 統(tǒng)計(jì)方法中 同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn) 值 例如區(qū)間的中點(diǎn)值是 作為代 1 301 34 1 32 表 據(jù)此 估計(jì)纖度的期望 18 本小題滿分 12 分 如圖 在三棱錐中 底面 是的中點(diǎn) 且VABC VC ABCACBC DAB ACBCa VDC 0 2 分組頻數(shù) 1 301 34 4 1 341 38 25 1 381 42 30 1 421 46 29 1 461 50 10 1 501 54 2 合計(jì)100 O 0 1 1 毫克 y 小時(shí) t I 求證 平面 VAB VCD II 當(dāng)解變化時(shí) 求直線與平面所成的角的取值范圍 BCVAB B V A D C 19 本小題滿分 12 分 在平面直角坐標(biāo)系中 過定點(diǎn)作直線與拋物線 相交于xOy 0 Cp 2 2xpy 0p 兩點(diǎn) AB I 若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn) 求面積的最小值 NCOANB II 是否存在垂直于軸的直線 使得 被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值 若yllAC 存在 求出 的方程 若不存在 說明理由 l A B x y N C O 此題不要求在答題卡上畫圖 20 本小題滿分 13 分 已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù) 其中 設(shè) 2 1 2 2 f xxax 2 3lng xaxb 0a 兩曲線 有公共點(diǎn) 且在該點(diǎn)處的切線相同 yf x yg x I 用表示 并求的最大值 abb II 求證 f xg x 0 x 21 本小題滿分 14 分 已知為正整數(shù) mn I 用數(shù)學(xué)歸納法證明 當(dāng)時(shí) 1x 1 1 m xmx II 對(duì)于 已知 求證 6n 11 1 32 m n 1 1 32 m m m 求證 1 1 32 mm m n 12mn III 求出滿足等式的所有正整數(shù) 34 2 3 nnnm nn n 參考答案與解析參考答案與解析 一 選擇題 本題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算 每小題一 選擇題 本題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算 每小題 5 分 滿分分 滿分 50 分 分 1 答案 選 解析 由展開式通項(xiàng)有 2 1 3 2 3 r n r r rn TCx x 25 32 r rn rnr n Cx 由題意得 5 2500 1 2 1 2 nrnr rn 故當(dāng)2r 時(shí) 正整數(shù)n的最 小值為 5 故選 點(diǎn)評(píng) 本題主要考察二項(xiàng)式定理的基本知識(shí) 以通項(xiàng)公式切入探索 由整數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)易 得所求 本題中 非零常數(shù)項(xiàng) 為干擾條件 易錯(cuò)點(diǎn) 將通項(xiàng)公式中 r n C誤記為 1r n C 以及忽略0 1 2 1rn 為整數(shù)的條件 2 答案 選 解析 法一 由向量平移的定義 在平移前 后的圖像上任意取一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn) Px y P x y 則 2 4 a P Pxx yy 2 4 xxyy 帶入 到已知解析式中可得選 法二 由 2 4 且a平移的意義可知 先向左平移 4 個(gè)單位 再向下平移 2 個(gè)單 位 點(diǎn)評(píng) 本題主要考察向量與三角函數(shù)圖像的平移的基本知識(shí) 以平移公式切入 為簡單題 易錯(cuò)點(diǎn) 將向量與對(duì)應(yīng)點(diǎn)的順序搞反了 或死記硬背以為是先向右平移 4 個(gè)單位 再向下 平移 2 個(gè)單位 誤選 3 答案 選 解析 先解兩個(gè)不等式得 02Pxx 13Qxx 由PQ 定義 故選 點(diǎn)評(píng) 本題通過考察兩類簡單不等式的求解 進(jìn)一步考察對(duì)集合的理解和新定義的一種運(yùn) 算的應(yīng)用 體現(xiàn)了高考命題的創(chuàng)新趨向 此處的新定義一般稱為兩個(gè)集合的差 易錯(cuò)點(diǎn) 對(duì)新定義理解不全 忽略端點(diǎn)值而誤選 以及解 2 log1Pxx 時(shí)出錯(cuò) 4 答案 選 解析 由射影的概念以及線線垂直關(guān)系的判定方法 可知 均錯(cuò) 具體可觀察如圖的正方體 ACBD 但 11 AC BD不垂直 故 錯(cuò) 11 ABAB 但在底面上的射影都是AB 故 錯(cuò) AC BD相交 但 1 AC BD異面 故 錯(cuò) ABCD但 11 AB C D異面 故 錯(cuò) 點(diǎn)評(píng) 本題主要考察空間線面之間位置關(guān)系 以及射影的意義理解 關(guān)鍵是要理解同一條 直線在不同平面上的射影不同 線在面內(nèi) 線面平行 線面相交的不同位置下 射 影也不相同 要從不用的方向看三垂線定理 充分發(fā)揮空間想象力 易錯(cuò)點(diǎn) 空間想象力不夠 容易誤判 正確 而錯(cuò)選 或 5 答案 選 C 解析 法一 特殊值法 由題意取1 2pq 則 2 1 1 11 1 limlimlim 12 122 1 11 p q nnn npn n nq nn n 可見應(yīng)選 C 法二 21 11 1111 11 m m x xxx x 21 111111 mm xxxxx 令 1 x n m分別取p和q 則原式化為 21 21 1111 1 1111 11 limlim 11111 111111 p p q q nn nnnn n nnnnn 21 111 lim 11 lim 11 lim 11 p nnn nnn 所以原式 1 11 1 11 p q 分子 分母 1 的個(gè)數(shù)分別為p個(gè) q個(gè) 點(diǎn)評(píng) 本題考察數(shù)列的極限和運(yùn)算法則 可用特殊值探索結(jié)論 即同時(shí)考察學(xué)生思維的靈 活性 當(dāng)不能直接運(yùn)用極限運(yùn)算法則時(shí) 首先化簡變形 后用法則即可 本題也體 現(xiàn)了等比數(shù)列求和公式的逆用 易錯(cuò)點(diǎn) 取特值時(shí)忽略p和q是兩個(gè)不相等的正整數(shù)的條件 誤選 B 或不知變形而無法 求解 或者認(rèn)為是 0 0 型而誤選 B 看錯(cuò)項(xiàng)數(shù)而錯(cuò)選 D 6 答案 選 B 解析 由等比數(shù)列的定義數(shù)列 若乙 n a是等比數(shù)列 公比為q 即 2 211 2 1 nn nn aa qq aa 則甲命題成立 反之 若甲 數(shù)列 n a是等方比數(shù)列 即 2 211 2 1 nn nn aa qq aa 即公比不一定為q 則命題乙不成立 故選 B 點(diǎn)評(píng) 本題主要考察等比數(shù)列的定義和創(chuàng)新定義的理解 轉(zhuǎn)換 要是等比數(shù)列 則公比應(yīng) 唯一確定 易錯(cuò)點(diǎn) 本題是易錯(cuò)題 由 2 11 2 nn nn aa pp aa 得到的是兩個(gè)等比數(shù)列 而命題乙 是指一個(gè)等比數(shù)列 忽略等比數(shù)列的確定性 容易錯(cuò)選 C 7 答案 選 A 解析 由題設(shè)可知點(diǎn)M同時(shí)滿足雙曲線和拋物線的定義 且在雙曲線右支上 故 由定義可得 12 2 1 2MFMFa MFMD c MFMD a 2 12 22 aca MFMF caca 故原式 2 2 2 1 2 2 ac ccac ca ac aaa ca ca 選 A 點(diǎn)評(píng) 本題主要考察雙曲線和拋物線的定義和性質(zhì) 幾何條件列方程組 消元后化歸曲線 的基本量的計(jì)算 體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合方法的重要性 易錯(cuò)點(diǎn) 由于畏懼心理而胡亂選擇 不能將幾何條件有機(jī)聯(lián)系轉(zhuǎn)化 缺乏消元意識(shí) 8 答案 選 D 解析 由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及等差中項(xiàng) 可得 121121 121121 11 21 22 11 21 22 nn n n nn aanaa a b bbnbb 21 21 7 2145143871912 7 2132211 n n nAnn Bnnnn nN 故1 2 3 5 11n 時(shí) n n a b 為整數(shù) 故選 D 點(diǎn)評(píng) 本題主要考察等差數(shù)列的性質(zhì) 等差中項(xiàng)的綜合應(yīng)用 以及部分分式法 數(shù)的整除 性 是傳統(tǒng)問題的進(jìn)一步深化 對(duì)教學(xué)研究有很好的啟示作用 易錯(cuò)點(diǎn) 不能將等差數(shù)列的項(xiàng)與前n項(xiàng)和進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化 胡亂選擇 9 答案 選 C 解析 由向量夾角的定義 圖形直觀可得 當(dāng)點(diǎn) A m n位于直線yx 上及其下方時(shí) 滿足0 點(diǎn) A m n的總個(gè)數(shù)為6 6 個(gè) 而位于直線yx 上及其下方的 點(diǎn) A m n有 1111 2345 6 121CCCC 個(gè) 故所求概率 217 3612 選 C 點(diǎn)評(píng) 本題綜合考察向量夾角 等可能事件概率的計(jì)算以及數(shù)形結(jié)合的知識(shí)和方法 易錯(cuò)點(diǎn) 不能數(shù)形直觀 確定點(diǎn)的位置 或忽略夾角范圍中的 2 而誤選 A 10 答案 選 A 解析 可知直線的橫 縱截距都不為零 即與坐標(biāo)軸不垂直 不過坐標(biāo)原點(diǎn) 而圓 22 100 xy 上的整數(shù)點(diǎn)共有 12 個(gè) 分別為 6 8 6 8 8 6 8 6 10 0 0 10 前 8 個(gè)點(diǎn)中 過任意一點(diǎn)的圓的切線滿足 有 8 條 12 個(gè)點(diǎn)中過任意兩點(diǎn) 構(gòu)成 2 12 66C 條直線 其中有 4 條直線垂直x軸 有 4 條直 線垂直y軸 還有 6 條過原點(diǎn) 圓上點(diǎn)的對(duì)稱性 故滿足題設(shè)的直線有 52 條 綜上 可知滿足題設(shè)的直線共有52860 條 選 A 點(diǎn)評(píng) 本題主要考察直線與圓的概念 以及組合的知識(shí) 既要數(shù)形結(jié)合 又要分類考慮 要結(jié)合圓上點(diǎn)的對(duì)稱性來考慮過點(diǎn)的直線的特征 是較難問題 易錯(cuò)點(diǎn) 不能準(zhǔn)確理解題意 甚至混淆 對(duì)直線截距式方程認(rèn)識(shí)不明確 認(rèn)識(shí)不到三類特 殊直線不能用截距式方程表示 對(duì)圓上的整數(shù)點(diǎn)探索不準(zhǔn)確 或分類不明確 都 會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤 胡亂選擇 二 填空題 本大題共二 填空題 本大題共 5 小題 每小題小題 每小題 5 分 共分 共 25 分 把答案填在答題卡相應(yīng)位置上 分 把答案填在答題卡相應(yīng)位置上 11 答案 1 6 2 ab 解析 由互反函數(shù)點(diǎn)之間的對(duì)稱關(guān)系 取特殊點(diǎn)求解 在3ybx 上取點(diǎn) 0 3 得點(diǎn) 3 0 在2yxa 上 故得6a 又26yx 上有點(diǎn) 0 6 則點(diǎn) 6 0 在 3ybx 點(diǎn)評(píng) 本題主要考察反函數(shù)的概念及其對(duì)稱性的應(yīng)用 直接求反函數(shù)也可 較為簡單 易錯(cuò)點(diǎn) 運(yùn)算錯(cuò)誤導(dǎo)致填寫其他錯(cuò)誤答案 12 答案 2 1或滿足2ab 的任意一對(duì)非零實(shí)數(shù)對(duì) 解析 由復(fù)數(shù)運(yùn)算法則可知 2222 4424zbzabababbi 由題意得 2 2400 20 0abbbab ab 答案眾多 如 2 1 也可 點(diǎn)評(píng) 本題主要考察復(fù)數(shù)的基本概念和運(yùn)算 有一般結(jié)論需要寫出一個(gè)具體結(jié)果 屬開放 性問題 易錯(cuò)點(diǎn) 復(fù)數(shù)運(yùn)算出錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)果寫錯(cuò) 或?qū)忣}馬虎 只寫出2ab 不合題意要求 13 答案 3 2 解析 由約束條件得如圖所示的三角形區(qū)域 令2 2xyz yxz 顯然當(dāng)平行直線過點(diǎn) 3 3 2 2 時(shí) z取得最小值為 3 2 點(diǎn)評(píng) 本題主要考察線性規(guī)劃的基本知識(shí) 考察學(xué)生的動(dòng)手能力 作圖觀察能力 易錯(cuò)點(diǎn) 不能準(zhǔn)確畫出不等式組的平面區(qū)域 把上下位置搞錯(cuò) 以及把直線間的相對(duì)位置 搞錯(cuò) 找錯(cuò)點(diǎn)的位置而得到錯(cuò)誤結(jié)果 14 答案 15 128 解析 由題意知所求概率 37 3 10 1115 22128 pC 點(diǎn)評(píng) 本題考察n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中 某事件恰好發(fā)生k次的概率 直接用公式解決 易錯(cuò)點(diǎn) 把 恰好投進(jìn) 3 個(gè)球 錯(cuò)誤理解為某三次投進(jìn)球 忽略 三次 的任意性 15 答案 I 1 10 1000 1 1 0 1 16 t tt y t II 0 6 解析 I 由題意和圖示 當(dāng)00 1t 時(shí) 可設(shè)ykt k為待定系數(shù) 由于點(diǎn) 0 1 1在直線上 10k 同理 當(dāng)0 1t 時(shí) 可得 0 1 11 10 10 1610 a aa II 由題意可得 1 0 25 4 y 即得 1 10 4 00 1 t t 或 1 10 11 164 0 1 t t 1 0 40 t 或 0 6t 由題意至少需要經(jīng)過0 6小時(shí)后 學(xué)生才能回到教室 點(diǎn)評(píng) 本題考察函數(shù) 不等式的實(shí)際應(yīng)用 以及識(shí)圖和理解能力 易錯(cuò)點(diǎn) 只單純解不等式 而忽略題意 在 II 中填寫了其他錯(cuò)誤答案 三 解答題 本大題共三 解答題 本大題共 6 小題 共小題 共 75 分 分 16 本小題主要考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算 解三角形 三角公式 三角函數(shù)的性質(zhì)等基 本知識(shí) 考查推理和運(yùn)算能力 解 設(shè)中角的對(duì)邊分別為 ABC ABC且且abc且且 則由 可得 1 sin3 2 bc 0cos6bc 0cot1 4 2 且 2 2sin3cos2 4 f 1 cos23cos2 2 1 sin2 3cos2 sin23cos212sin 21 3 4 2 且 2 2 363 且 22sin 213 3 即當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí) 5 12 max 3f 4 min 2f 17 本小題主要考查頻率分布直方圖 概率 期望等概念和用樣本頻率估計(jì)總體分布的統(tǒng) 計(jì)方法 考查運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力 解 分組頻數(shù)頻率 1 301 34且 40 04 1 341 38且 250 25 1 381 42且 300 30 1 421 46且 290 29 1 461 50且 100 10 1 501 54且 20 02 合計(jì)1001 00 樣本數(shù)據(jù) 頻率 組距 1 30 1 34 1 38 1 42 1 46 1 50 1 54 纖度落在中的概率約為 纖度小于 1 40 的概 1 381 50且0 300 290 100 69 率約為 1 0 040 250 300 44 2 總體數(shù)據(jù)的期望約為 1 32 0 04 1 36 0 25 1 40 0 30 1 44 0 29 1 48 0 10 1 52 0 021 4088 18 本小題主要考查線面關(guān)系 直線與平面所成角的有關(guān)知識(shí) 考查空間想象能力和推理 運(yùn)算能力以及應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的能力 解法 1 是等腰三角形 又是的中點(diǎn) ACBCa ACB DAB 又底面 于是平面 CDAB VC ABCVCAB AB VCD 又平面 平面平面 AB VAB VAB VCD 過點(diǎn)在平面內(nèi)作于 則由 知平面 CVCDCHVD HCD VAB 連接 于是就是直線與平面所成的角 BHCBH BCVAB 在中 CHDRt 2 sin 2 CHa 設(shè) 在中 CBH BHCRt sinCHa 2 sinsin 2 0 2 0sin1 2 0sin 2 又 0 2 0 4 即直線與平面所成角的取值范圍為 BCVAB 0 4 且 解法 2 以所在的直線分別為軸 軸 軸 建立如圖所示的空CACBCV且且xyz 間直角坐標(biāo)系 則 2 0 0 0 0 0 00 00 0tan 2 22 a a CA aBaDVa 且且且且且且且且且且且且且且 A D B C H V 于是 2 tan 2 22 a a VDa 且且0 2 2 a a CD 且且 0 ABaa 且且 從而 即 22 11 0 000 2 222 a a AB CDaaaa 且且且且 ABCD 同理 22 211 0 tan00 2 2222 a a AB VDaaaaa 且且且且 即 又 平面 ABVD CDVDD AB VCD 又平面 AB VAB 平面平面 VAB VCD 設(shè)直線與平面所成的角為 平面的一個(gè)法向量為 BCVAB VAB xyz 且且n 則由 00ABVD 且nn 得 0 2 tan0 222 axay aa xyaz 且 且 可取 又 112cot 且且n 00 BCa 且且 于是 2 2 sinsin 2 22cot BCa BCa n n 0 2 0sin1 2 0sin 2 又 0 2 0 4 即直線與平面所成角的取值范圍為 BCVAB 0 4 且 解法 3 以點(diǎn)為原點(diǎn) 以所在的直線分別為軸 軸 建立如圖所DDCDB且xy 示的空間直角坐標(biāo)系 則 222 0 0 0 00000 0 222 DAaBaCa 且且且且且且且且且且且 于是 22 0tan 22 Vaa 且且 22 0tan 22 DVaa 且且 2 0 0 2 DCa 且且 02 0 ABa 且且 A D B C V x y z 從而 即 02 0 AB DCa 且且 2 0 00 2 a 且且 ABDC 同理 即 22 02 0 0tan0 22 AB DVaaa 且且且且 ABDV 又 平面 DCDVD AB VCD 又平面 AB VAB 平面平面 VAB VCD 設(shè)直線與平面所成的角為 平面的一個(gè)法向量為 BCVAB VAB xyz 且且n 則由 得00ABDV 且 nn 20 22 tan0 22 ay axaz 且 且 可取 又 tan01 且且n 22 0 22 BCaa 且且 于是 2 tan 2 2 sinsin 21tan a BC aBC n n 0 2 0sin1 2 0sin 2 又 0 2 0 4 即直線與平面所成角的取值范圍為 BCVAB 0 4 且 解法 4 以所在直線分別為軸 軸 軸 建立如圖所示的空間直角坐CACBCV且且xyz 標(biāo)系 則 0 0 0 0 0 00 0 2 2 a a CA aBaD 且且且且且且且且且且且 設(shè) 0 0 0 Vt t 且且 0 0 0 0 2 2 a a CVt CDABaa 且且且且且且且且 0 0 0 0000AB CVaat 且且且且 A D B C V x y A D B C V x y z 即 ABCV 22 0 000 2 222 a aaa AB CDaa 且且且且 即 ABCD 又 平面 CVCDC AB VCD 又平面 AB VAB 平面平面 VAB VCD 設(shè)直線與平面所成的角為 BCVAB 設(shè)是平面的一個(gè)非零法向量 xyz 且且nVAB 則取 得 0 0 0 0 ABxyzaaaxay AVxyzataxtz 且且且且且 且且且且且 n n za xyt 可取 又 tta 且且n 00 CBa 且且 于是 22222 1 sin 2 2 taCBt CBattata a t n n 關(guān)于 遞增 0 t 且 sin t 1 0sin 2 0 4 且 即直線與平面所成角的取值范圍為 BCVAB 0 4 且 19 本小題主要考查直線 圓和拋物線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí) 考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知 識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問題的能力 解法 1 依題意 點(diǎn)的坐標(biāo)為 可設(shè) N 0 Np 且 1122 A xyB xy且且且 直線的方程為 與聯(lián)立得消去得ABykxp 2 2xpy 2 2xpy ykxp 且 且 y 22 220 xpkxp 由韋達(dá)定理得 12 2xxpk 2 12 2x xp 于是 12 1 2 2 ABNBCNACN SSSp xx N O A C B y x 2 121212 4p xxpxxx x 22222 4822pp kppk 當(dāng)時(shí) 0k 2 min 2 2 ABN Sp 假設(shè)滿足條件的直線 存在 其方程為 lya 的中點(diǎn)為 與為直徑的圓相交于點(diǎn) 的中點(diǎn)為 AC O lACPQPQ且H 則 點(diǎn)的坐標(biāo)為 O HPQ Q 11 22 xyp 且 2222 111 111 222 O PACxypyp 1 1 1 2 22 yp O Haayp 222 PHO PO H 222 11 11 2 44 ypayp 1 2 p aya pa 2 2 2 PQPH 1 4 2 p aya pa 令 得 此時(shí)為定值 故滿足條件的直線 存在 其方程為0 2 p a 2 p a PQp l 2 p y 即拋物線的通徑所在的直線 解法 2 前同解法 1 再由弦長公式得 2222222 121212 11 4148ABkxxkxxx xkp kp 22 212pkk 又由點(diǎn)到直線的距離公式得 2 2 1 p d k 從而 2222 2 112 21222 22 1 ABN p Sd ABpkkpk k 當(dāng)時(shí) 0k 2 min 2 2 ABN Sp N O A C B y x O l 假設(shè)滿足條件的直線 存在 其方程為 則以為直徑的圓的方程為lya AC 11 0 0 xxxypyy 將直線方程代入得 ya 2 11 0 xx xap ay 則 2 111 4 4 2 p xap ayaya pa 設(shè)直線 與以為直徑的圓的交點(diǎn)為 lAC 3344 P xyQ xy且且且 則有 3411 4 2 22 pp PQxxaya paaya pa 令 得 此時(shí)為定值 故滿足條件的直線 存在 其方程為0 2 p a 2 p a PQp l 2 p y 即拋物線的通徑所在的直線 20 本小題主要考查函數(shù) 不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí) 考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題 的能力 解 設(shè)與在公共點(diǎn)處的切線相同 yf x 0 yg x x 00 xy且 由題意 2fxxa 2 3 a g x x 00 f xg x 00 fxg x 即由得 或 舍去 22 000 2 0 0 1 23ln 2 3 2 xaxaxb a xa x 且 且 2 0 0 3 2 a xa x 0 xa 0 3xa 即有 22222 15 23ln3ln 22 baaaaaaa 令 則 于是 22 5 3ln 0 2 h tttt t 2 1 3ln h ttt 當(dāng) 即時(shí) 1 3ln 0tt 1 3 0te 0h t 當(dāng) 即時(shí) 1 3ln 0tt 1 3 te 0h t 故在為增函數(shù) 在為減函數(shù) h t 1 3 0e 且 1 3 e 且 于是在的最大值為 h t 0 且 12 33 3 2 h ee 設(shè) 22 1 23ln 0 2 F xf xg xxaxaxb x 則 F x 2 3 3 2 0 axa xa xax xx 故在為減函數(shù) 在為增函數(shù) F x 0 a且 a 且 于是函數(shù)在上的最小值是 F x 0 且 000 0F aF xf xg x 故當(dāng)時(shí) 有 即當(dāng)時(shí) 0 x 0f xg x 0 x f xg x 21 本小題主要考查數(shù)學(xué)歸納法 數(shù)列求和 不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和