深圳市寶安區(qū)2015-2016年高二上期末數學試卷(理)含答案解析

第 1 頁（共 18 頁） 2015年廣東省深圳市寶安區(qū)高二（上）期末數學試卷（理科） 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，滿分 60 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1不等式 2x 5 2x 的解集是（ ） A x|x 5 或 x 1 B x|x 5 或 x 1 C x| 1 x 5 D x| 1x 5 2已知向量 ，且 相互垂直，則 k 值為（ ） A B C D 1 3 “x2= “x=y”的（ ） A充分不必要條件 B充分必要條件 C必要不充分條件 D既不充分也不必要條件 4若方程 E： =1 表示焦點在 y 軸上的雙曲線，則實數 m 的取值范圍為（ ） A（ 1， 2） B（ ， 1） （ 2， +） C（ ， 2） D（ 1， +） 5在 ， a= ， b= ， B=45，則 A 等于（ ） A 30 B 60 C 60或 120 D 30或 150 6已知 1， 8 成等差數列， 1， 4 成等比數列，那么 的值為（ ） A 5 B 5 C D 7若動點 M（ x， y）始終滿足關系式 + =8，則動點 N 的軌跡方程為（ ） A =1 B =1 C =1 D =1 8已知等差數列 前 n 項和 滿足 ，則 ） A 4 B 2 C 0 D 2 第 2 頁（共 18 頁） 9已知 x， y 滿足約束條件 ，若 z=ax+y 的最大值為 4，則 a=（ ） A 3 B 2 C 2 D 3 10在 ， a=2， c=1，則角 C 的取值范圍是（ ） A（ 0， ） B（ ， ） C（ ， ） D（ 0， 11已知直線 l： y=k+1 與拋物線 C： x，若 l 與 C 有且僅有一個公共點，則實數 ） A B 1， 0 C D 12已知圓 x2+y2=橢圓 =1，若在橢圓 存在一點 P，使得由點 1 的兩條切線互相垂直，則橢圓 離心率的取值范圍是（ ） A B C D 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，滿分 20 分 13已知命題 p： x R， m；命題 q：指數函數 f（ x） =（ 3 m） x 是增函數若 “p q”為假命題且 “p q”為真命題，則實數 m 的取值范圍為 14已知點 M， N 分別是空間四面體 邊 中點， P 為線段 中點，若 ，則實數 += 15設數列 前 n 項和為 1， =n+1，則數列 通項公式 16已知雙曲線 C： =1，點 M 與曲線 C 的焦點不重合，若點 M 關于曲線 C 的兩個焦點的對稱點分別為 A， B， M， N 是坐標平面內的兩點，且線段 中點 P 恰好在雙曲線 C 上，則 | 三、解答題：本大題 6 小題，滿分 70 分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟 17設命題 p： 40（其中 a 0， x R），命題 q： x 6 0， x R （ 1）若 a=1，且 p q 為真，求實數 x 的取值范圍； （ 2）若 p 是 q 的充分不必要條件，求實數 a 的取值范圍 18已知函數 f（ x） =g（ x） =x，數列 前 n 項和記為 數列 通項， n N*點（ n）和（ n， 別在函數 f（ x）和 g（ x）的圖象上 （ 1）求數列 通項公式； （ 2）令 ，求數列 前 n 項和 19已知 a、 b、 c 分別是 三個內角 A、 B、 C 的對邊 （ 1）若 積 S ， c=2， A=60，求 a、 b 的值； 第 3 頁（共 18 頁） （ 2）若 a= b=判斷 形狀 20已知直線 l 過點 M（ 1， 1），且與 x 軸， y 軸的正半軸分別相交于 A， B 兩點， O 為坐標原點求： （ 1）當 | |得最小值時，直線 l 的方程； （ 2）當 |+| 取得最小值時，直線 l 的方程 21如圖所示，在長方體 ， D=1， E 為 中點 （ 1）求證： 2）若二面角 A 大小為 30，求 長 22如圖示， A， B 分別是橢圓 C： + =1（ a b 0）的左右頂點， F 為其右焦點， 2是 | |等差中項， 是 | |等比中項點 P 是橢圓 C 上異于 A、 B 的任一動點，過點 A 作直線 l x 軸以線段 直徑的圓交直線 點 A， M，連接 l 于點 Q （ 1）求橢圓 C 的方程； （ 2）試問在 x 軸上是否存在一個定點 N，使得直線 過該定點 N？若存在，求出 N 點的坐標，若不存在，說明理由 第 4 頁（共 18 頁） 2015年廣東省深圳市寶安區(qū)高二（上）期末數學試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，滿分 60 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1不等式 2x 5 2x 的解集 是（ ） A x|x 5 或 x 1 B x|x 5 或 x 1 C x| 1 x 5 D x| 1x 5 【考點】 一元二次不等式的解法 【分析】 將不等式轉化為一元二次不等式，利用因式分解法，可求得結論 【解答】 解：不等式 2x 5 2x4x 5 0（ x 5）（ x+1） 0x 5 或 x 1， 故選 B 2已知向量 ，且 相互垂直，則 k 值為（ ） A B C D 1 【考點】 空間向量的數量積運算 【分析】 再利用向量坐標運算法則分別求出 和 2 ，再由 相互垂直，可求出 k 【 解答】 解： 向量 ， =（ 1+k， k， 2）， 2 =（ 3， 2， 2）， 相互垂直， （ ） （ 2 ） =3（ 1+k） +2k 4=0， 解得 k= 故選： A 3 “x2= “x=y”的（ ） A充分不必要條件 B充分必要條件 C必要不充分條件 D既不充分也不必要條件 【考點】 必要條件、充分條件與充要條件的判斷 【分析】 由 x2=得 x= y，即可判斷出結論 【解答】 解：由 x2=得 x= y， 可得： “x2= “x=y”的必要不充分條件 故選： C 第 5 頁（共 18 頁） 4若方程 E： =1 表示焦點在 y 軸上的雙曲線，則實數 m 的取值范圍為（ ） A（ 1， 2） B（ ， 1） （ 2， +） C（ ， 2） D（ 1， +） 【考點】 雙曲線的標準方程 【分析】 利用雙曲線的性質直接求解 【解答】 解： 方程 E： =1 表示焦點在 y 軸上的雙曲線， ，解得 1 m 2 實數 m 的取值范圍為（ 1， 2） 故選： A 5在 ， a= ， b= ， B=45，則 A 等于（ ） A 30 B 60 C 60或 120 D 30或 150 【考點】 正弦定理 【分析】 由正弦定理可得 ，再由大邊對大角可得 A B=45，從而求得 A 的值 【解答】 解：由正弦定理可得 = ， B=45， a b，再由大邊對大角可得 A B， 故 B=60或 120， 故選， C 6已知 1， 8 成等差數列， 1， 4 成等比數列，那么 的值為（ ） A 5 B 5 C D 【考點】 等比數列的性質；等差數列 的性質 【分析】 由 1， 8 成等差數列，利用等差數列的性質列出關于 兩個關系式，聯(lián)立組成方程組，求出方程組的解得到 值，再由 1， 4 成等比數列，利用等比數列的性質求出 ，再根據等比數列的性質得到 0，可得出于 0，開方求出 值，把 值代入所求式子中，化簡即可求出值 【解答】 解： 1， 8 成等差數列， 2 1+ 2a2=， 由 得： 8， 代入 得： 2（ 28） = 1+ 解得： ， 8=10 8=2， 第 6 頁（共 18 頁） 又 1， 4 成等比數列， 0，即 0， 1） （ 4） =4， 開方得： 2， 則 = = 5 故選 A 7若動點 M（ x， y）始終滿足關系式 + =8，則動點 N 的軌跡方程為（ ） A =1 B =1 C =1 D =1 【考點】 軌跡方程 【分析】 由 + =8 的幾何意義，即 動點 M（ x， y）到兩定點（ 0， 2）和（ 0， 2）的距離和為定長 8，可知動點 M 的關鍵為焦點在 y 軸上的橢圓，且求出 a，c 的值，結合隱含條件求得 b 值，則橢圓方程可求 【解答】 解： + =8 的幾何意義為動點 M（ x， y）到兩定點（ 0， 2）和（ 0， 2）的距離和為定長 8， 兩定點距離為 4，且 8 4， 動點 M 的軌跡是以（ 0， 2）和（ 0， 2）為焦點，長軸長是 8 的橢圓， 則 a=4， c=2， b2=6 4=12， 則動點 M 的軌跡方程為 故選： B 8已知等差數列 前 n 項和 滿足 ，則 ） A 4 B 2 C 0 D 2 【考點】 等差數列的前 n 項和 【分析】 根據等差數列 前 n 項和 定義，利用 1，即可求出結果 【解答】 解： 等差數列 前 n 項和為 且滿足 ， n 1） 2（ n 1） =3n+2 1=12 3 1+2=0 第 7 頁（共 18 頁） 故選： C 9已知 x， y 滿足約束條件 ，若 z=ax+y 的最大值為 4，則 a=（ ） A 3 B 2 C 2 D 3 【考點】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數的幾何意義，利用數形結合確定 【解答】 解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：（陰影部分） 則 A（ 2， 0）， B（ 1， 1）， 若 z=ax+y 過 A 時取得最大值為 4，則 2a=4，解得 a=2， 此時，目標函數為 z=2x+y， 即 y= 2x+z， 平移直線 y= 2x+z，當直線經過 A（ 2， 0）時，截距最大，此時 z 最大為 4，滿足條件， 若 z=ax+y 過 B 時取得最大值為 4，則 a+1=4，解得 a=3， 此時，目標函數為 z=3x+y， 即 y= 3x+z， 平移直線 y= 3x+z，當直線經過 A（ 2， 0）時，截距最大，此時 z 最大為 6，不滿足條件， 故 a=2， 故選： B 10在 ， a=2， c=1，則角 C 的取值范圍是（ ） A（ 0， ） B（ ， ） C（ ， ） D（ 0， 【考點】 余弦定理 【分析】 根據正弦定理，代入題中數據得 結合 A 為三角形內角算出 （ 0，根據正弦函數的圖象，可得 C （ 0， ， ），注意到 a c 得 C 不是最大角，因此得到 C （ 0， 第 8 頁（共 18 頁） 【解答】 解： ， a=2， c=1， 由正弦定理 ，得 由此可得 A （ 0， ），可得 0 1， （ 0， ， 結合函數 y=圖象，可得 C （ 0， ， ） 又 a c，可得角 C 是銳角， C （ 0， 故選： D 11已知直線 l： y=k+1 與拋物線 C： x，若 l 與 C 有且僅有一個公共點，則實數 ） A B 1， 0 C D 【考點】 拋物線的簡單性質 【分析】 當斜率 k=0 時，直線 l： y=k+1 平行于 x 軸，與拋物線 x 僅有一個公共點，當斜率 不等于 0 時，把 l： y=k+1 代入拋物線的方程化簡，由判別式 =0 求得實數 k 的值 【解答】 解：當斜率 k=0 時，直線 l： y=k+1 平行于 x 軸，與拋物線 x 僅有一個公共點 當斜率不等于 0 時，把直線 l： y=k+1 代入拋物線 x 得 4k 4） x+（ 2k+1）2=0， 由題意可得，此方程有唯一解， 故判別式 =（ 4k 4） 2 42k+1） 2=0， k= 1 或 ， 故選： C 12已知 圓 x2+y2=橢圓 =1，若在橢圓 存在一點 P，使得由點 1 的兩條切線互相垂直，則橢圓 離心率的取值范圍是（ ） A B C D 【考點】 橢圓的簡單性質 第 9 頁（共 18 頁） 【分析】 設 P（ m， n），由題意 列出方程組求出 = ，從而 = ，由此能求出橢圓 離心率的取值范圍 【解答】 解：設 P（ m， n），由題意知 ， ， = ， = = = ， a m a， m=b 時， =1， m=a 時， = ， = ， = ， 又 0 e 1， 橢圓 離心率的取值范圍是 ， 1） 故選： D 二、填空題：本大題共 4 小題，每小 題 5 分，滿分 20 分 13已知命題 p： x R， m；命題 q：指數函數 f（ x） =（ 3 m） x 是增函數若 “p q”為假命題且 “p q”為真命題，則實數 m 的取值范圍為 1， 2） 【考點】 復合命題的真假 【分析】 分別求出 p， q 為真時的 m 的范圍，通過討論 p， q 的真假，從而求出 m 的范圍即可 【解答】 解：命題 p： x R， m，解得： m 1； 命題 q：指數函數 f（ x） =（ 3 m） x 是增函數， 則 3 m 1，解得： m 2， 若 “p q”為假命題且 “p q”為真命題， 則 p， q 一真一假， p 真 q 假時： 無解， p 假 q 真時： ，解得： 1 m 2， 第 10 頁（共 18 頁） 故答案為： 1， 2） 14已知點 M， N 分別是空間四面體 邊 中點， P 為線段 中點，若 ，則實數 += 【考點】 空間向量的基本定理及其意義 【分析】 要充分利用圖形的直觀性，熟練利用向量加法的三角形法 則進行運算 【解答】 解：如圖，連接 ，點 P 是 點， 則由平行四邊形法則得 = （ + ） = + = + （ + ） = + + ， += ， 故答案為： 15設數列 前 n 項和為 1， =n+1， 則數列 通項公式 【考點】 數列遞推式 【分析】 由已知數列遞推式可得數列 是以 1 為首項，以 1 為公差的等差數列，求其通項公式后，利用 n 1 求得數列 通項公式 【解答】 解：由 =n+1，得： n， 即 ， 數列 是以 1 為首項，以 1 為公差的等差數列， 則 ， 當 n 2 時， 第 11 頁（共 18 頁） n=1 時上式不成立， 故答案為： 16已知雙曲線 C： =1，點 M 與曲線 C 的焦點 不重合，若點 M 關于曲線 C 的兩個焦點的對稱點分別為 A， B， M， N 是坐標平面內的兩點，且線段 中點 P 恰好在雙曲線 C 上，則 | 12 【考點】 雙曲線的簡單性質 【分析】 根據已知條件，作出圖形， 中點連接雙曲線的兩個焦點，便會得到三角形的中位線，根據中位線的性質及雙曲線上的點到兩焦點的距離之差的絕對值為 2a，即可求出| | 【解答】 解：雙曲線 C： =1 的 a=3， 設雙曲線 C 的左右焦點分別為 圖， 連接 中點， P 是 中點， 中位線， | | 同理 | | | |=2| |， P 在雙曲線上， 根據雙曲線的定義知： | |=2a=6， | |=12 故答案為： 12 三、解答題： 本大題 6 小題，滿分 70 分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟 第 12 頁（共 18 頁） 17設命題 p： 40（其中 a 0， x R），命題 q： x 6 0， x R （ 1）若 a=1，且 p q 為真，求實數 x 的取值范圍； （ 2）若 p 是 q 的充分不必要條件，求實數 a 的取值范圍 【考點】 必要條件、充分條件與充要條件的判斷；復合命題的真假 【分析】 （ 1）將 a=1 代入，分別求出 p， q 為真時的 x 的范圍，取交集即可； （ 2）解出關于 p 的不等式， p 是 q 的充分不必要條件結合集合的包含關系得到關于 出即可 【解答】 解：（ 1）當 a=1 時，由 4x+3 0，得 1 x 3， 即命題 p 為真時有 1 x 3 命題 q 為真時， 2 x 3 由 p q 為真命題知， p 與 q 同時為真命題，則有 2 x 3 即實數 x 的取值范圍是（ 2， 3） （ 2）由 40，得（ x 3a）（ x a） 0 又 a 0，所以 a x 3a， 由 p 是 q 的充分不必要條件知， q 是 p 的充分不必要條件 則有 2 x 3x|a x 3a 所以 解得 1 a 2 即實 數 a 的取值范圍是（ 1， 2） 18已知函數 f（ x） =g（ x） =x，數列 前 n 項和記為 數列 通項， n N*點（ n）和（ n， 別在函數 f（ x）和 g（ x）的圖象上 （ 1）求數列 通項公式； （ 2）令 ，求數列 前 n 項和 【考點】 數列的求和；數列遞推式；數列與函數的綜合 【分析】 （ 1）由題意可得： n=得 n Sn=n，當 n 2 時， n 1，即可得出 （ 2） f（ 1） = =2n 1可得 ，利用 “裂項求和 ”即可得出 【解答】 解：（ 1）由題意可得： n=得 n Sn=n，當 n 2 時， 1=（ n 1） 2+2（ n 1）， n 1=2n+1 當 n=1 時也成立， n+1 （ 2） f（ 1） = =2n 1 = = ， 第 13 頁（共 18 頁） 數列 前 n 項和 + += = 19已知 a、 b、 c 分別是 三個內角 A、 B、 C 的對邊 （ 1）若 積 S ， c=2， A=60，求 a、 b 的值； （ 2）若 a= b=判斷 形狀 【考點】 余弦定理；三角形的形狀判斷 【分析】 （ 1）由 A 的度數求出 值，再由 c 及三角形的面積，利用三角形的面積公式求出 b 的值，然后由 b， c 及 值，利用余弦定理即可求出 a 的值； （ 2）由三角形的三邊 a， b 及 c，利用余弦定理表示出 入已知的 a=簡可得出 a2+b2=用勾股定理的逆定理即可判斷出三角形為直角三角形，在直角三角形 用銳角三角函數定義表示出 入 b=簡可得 b=a，從而得到三角形 【解答】 解：（ 1） ， ，得 b=1， 由余弦定理得： a2=b2+22+22 2 1 23， 所以 （ 2）由余弦定理得： ， a2+b2= 所以 C=90； 在 ， ，所以 ， 所以 等腰直角三角形 20已知直線 l 過點 M（ 1， 1），且與 x 軸， y 軸的正半軸分別相交于 A， B 兩點， O 為坐標原點求： （ 1）當 | |得最小值時，直線 l 的方程 ； （ 2）當 |+| 取得最小值時，直線 l 的方程 【考點】 直線的點斜式方程 【分析】 （ 1）設出點 A 的坐標，寫出直線 方程，利用基本不等式求出 a+b=|最小值，寫出對應的直線方程； （ 2）設出直線方程為 y 1=k（ x 1）（ k 0），求出 |+| 的最小值，寫出對應的直線方程 【解答】 解：（ 1）設點 A（ a， 0）， B（ 0， b），且 a 0， b 0， 直線 l 的方程為： + =1， 且直線 l 過點 M（ 1， 1）， + =1； 第 14 頁（共 18 頁） a+b=（ a+b） （ + ） =2+ + 2+2 =4， 當 且僅當 = ，即 a=b 時取 “=”， 將 a=b 代入 式得 a=2， b=2； 直線 l 的方程為 x+y 2=0， 即 |最小值 4 時， l 的方程為 x+y 2=0； （ 2）設直線方程為 y 1=k（ x 1）（ k 0）， 則 A（ +1， 0）， B（ 0， 1 k）， |+|=（ ） 2+1+1+（ k） 2=2+ 2+2=4， 當且僅當 k= 1 時取 “=”； 當 |+| 取得最小值 4 時，直線 l 的方程為 y 1=（ x 1），即 x+y 2=0 21如圖所示，在長方體 ， D=1， E 為 中點 （ 1）求證： 2）若二面角 A 大小為 30，求 長 【考點】 二面角的平面角及求法 【分析】 （ 1）以 A 為原點， ， ， 的方向分別為 x 軸， y 軸， z 軸的正方向，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明 （ 2）求出平面 一個法向量和平面 法向量，由二面角 A 大小為 30，利用向量法能求出 長 【解答】 證明：（ 1）以 A 為原點 ， ， ， 的方向分別為 x 軸， y 軸， z 軸的正方向， 建立如圖所示的空間直角坐標系 設 AB=a，則 A（ 0， 0， 0）， D（ 0， 1， 0）， 0， 1， 1）， E（ ， 1， 0）， a， 0， 1）， =（ a， 0， 1）， =（ ， 1， 0）， =（ 0， 1， 1）， =（ ， 1， 1） = 0+1 1+（ 1） 1=0， 解：（ 2）連結 長方體 D=1，得 又由（ 1）知 1E= 平面 第 15 頁（共 18 頁）