高三數(shù)學第二篇第三節(jié)函數(shù)的奇偶性課件理北師大

第三節(jié)函數(shù)的奇偶性,1.函數(shù)的奇偶性,1.奇偶函數(shù)的定義域有何特點？提示：由于定義中對任意一個x都有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)，說明定義域中任意一個x都有一個關(guān)于原點對稱的-x在定義域中，即說明奇偶函數(shù)的定義域必關(guān)于原點對稱.2.是否存在既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)？提示：存在既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)，它們的特點是定義域關(guān)于原點對稱，且解析式化簡后等于零.,2奇偶函數(shù)的性質(zhì)(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性(填“相同”、“相反”)(2)在公共定義域內(nèi)，兩個奇函數(shù)的和函數(shù)是，兩個奇函數(shù)的積函數(shù)是偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)的和函數(shù)、積函數(shù)是；一個奇函數(shù)，一個偶函數(shù)的積函數(shù)是(3)若f(x)是奇函數(shù)且在x0處有定義，則f(0)0.,相同,相反,奇函數(shù),偶函數(shù),奇函數(shù),1設(shè)f(x)是R上的任意函數(shù)，則下列敘述正確的是()Af(x)f(x)是奇函數(shù)Bf(x)|f(x)|是奇函數(shù)Cf(x)f(x)是偶函數(shù)Df(x)f(x)是偶函數(shù)【解析】令F(x)f(x)f(x)，則F(x)f(x)f(x)，即F(x)F(x)，故D正確【答案】D,2對任意實數(shù)x，下列函數(shù)為奇函數(shù)的是()Ay2x3By3x2Cyln5xDy|x|cosx【解析】A為非奇非偶函數(shù)，B、D為偶函數(shù)，C為奇函數(shù)設(shè)yf(x)ln5xxln5，f(x)xln5f(x)【答案】C,3對于定義在R上的任何奇函數(shù)，均有()Af(x)f(x)0Bf(x)f(x)0Cf(x)f(x)0Df(x)f(x)0【解析】f(x)f(x)，f(x)f(x)f(x)20.【答案】A,4已知函數(shù)yf(x)為奇函數(shù)，若f(3)f(2)1，則f(2)f(3)_.【解析】f(x)為奇函數(shù)且f(3)f(2)1，f(2)f(3)f(3)f(2)1【答案】1,5下面四個命題：偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交；奇函數(shù)的圖象一定通過原點；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f(x)0(xR)其中正確的命題序號為_【解析】當yf(x)在x0處無定義時，都不正確；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，正確；既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)可以寫成f(x)0，xa，a(其中a可為任一確定的正實數(shù))，錯誤【答案】,函數(shù)奇偶性的判定,討論下列函數(shù)的奇偶性：【思路點撥】首先判斷函數(shù)的定義域，若可能具有奇偶性，則在定義域的條件下對函數(shù)式進行適當?shù)幕?；最后判斷f(x)與f(x)間的關(guān)系(相等還是互為相反數(shù)),【自主探究】(1)要使f(x)有意義，則0，解得1x1，顯然f(x)的定義域不關(guān)于原點對稱，f(x)不存在奇偶性(2)2x2且x0，函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱f(x)f(x)，即函數(shù)f(x)是奇函數(shù),【方法點評】1.判斷函數(shù)奇偶性的一般步驟(1)首先確定函數(shù)的定義域，看它是否關(guān)于原點對稱若不對稱，則既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)(2)若定義域關(guān)于原點對稱，再判定f(x)與f(x)之間的關(guān)系若f(x)f(x)(或f(x)f(x)0)，則f(x)為奇函數(shù)；若f(x)f(x)(或f(x)f(x)0)，則f(x)為偶函數(shù)；若f(x)f(x)且f(x)f(x)，則f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；若f(x)f(x)且f(x)f(x)，則f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù),2一些重要類型的奇偶函數(shù)：(1)函數(shù)f(x)axax為偶函數(shù)，函數(shù)f(x)axax為奇函數(shù)；,1判斷下列函數(shù)的奇偶性：(3)f(x)|xa|(常數(shù)aR),【解析】(1)f(x)的定義域為x|x0不關(guān)于原點對稱，故f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)(2)f(x)的定義域為1,1關(guān)于原點對稱，此時f(x)0，即f(x)f(x)且f(x)f(x)，f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù),(3)f(x)的定義域為R.當a0時，f(x)|x|，f(x)f(x)，此時f(x)為偶函數(shù)當a0時，f(a)0，f(a)2|a|，f(a)f(a)且f(a)f(a)，此時f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)綜上可知，a0時，f(x)為偶函數(shù)；a0時，f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù),分數(shù)函數(shù)的奇偶性,已知函數(shù)f(x)試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性,【思路點撥】,【自主探究】由題設(shè)可知函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱當x0時，x0，f(x)f(x)當x0時，x0，f(x)f(x)綜上所述，對于x0都有f(x)f(x)成立，f(x)為偶函數(shù),【方法點評】分段函數(shù)奇偶性的判定步驟：(1)分析其定義域是否關(guān)于原點對稱；(2)對x的值進行分段討論，尋求f(x)與f(x)在各段上的關(guān)系；(3)綜合(2)在定義域內(nèi)f(x)與f(x)的關(guān)系，從而判斷f(x)的奇偶性,【解析】當x1時，f(x)x2，x1，f(x)(x)2x2f(x)當x1時，f(x)x2，x1，f(x)(x)2x2f(x)當1x1時，f(x)0，1x1，f(x)0f(x)綜上可知，對于定義域內(nèi)的每一個x都有f(x)f(x)，f(x)為偶函數(shù),2判斷函數(shù)f(x),抽象函數(shù)的奇偶性,已知函數(shù)f(x)對一切x、yR，都有f(xy)f(x)f(y)(1)試判斷f(x)的奇偶性；(2)若f(3)a，用a表示f(12)【思路點撥】(1)判斷f(x)的奇偶性，即找f(x)與f(x)之間的關(guān)系，令yx，有f(0)f(x)f(x)，再想法求f(0)即可；(2)尋找f(12)與f(3)之間的關(guān)系，注意用(1)問的結(jié)論,【自主探究】(1)顯然f(x)的定義域是R，關(guān)于原點對稱又函數(shù)f(x)對一切x、yR都有f(xy)f(x)f(y)，令xy0，得f(0)2f(0)，f(0)0.再令yx，得f(0)f(x)f(x)，f(x)f(x)，f(x)為奇函數(shù)(2)f(3)a且f(x)為奇函數(shù)，f(3)f(3)a.又f(xy)f(x)f(y)，x、yR，f(12)f(66)f(6)f(6)2f(6)2f(33)4f(3)4a.,【方法點評】判斷(或證明)抽象函數(shù)的奇偶性的步驟(1)利用函數(shù)奇偶性的定義，找準方向(想辦法出現(xiàn)f(x)，f(x)；(2)巧妙賦值，合理、靈活變形配湊；(3)找出f(x)與f(x)的關(guān)系，得出結(jié)論,3函數(shù)f(x)，xR，若對于任意實數(shù)x1，x2都有f(x1x2)f(x1x2)2f(x1)f(x2)試判斷函數(shù)yf(x)的奇偶性【解析】對于任意實數(shù)x1，x2都有f(x1x2)f(x1x2)2f(x1)f(x2)，令x10，x2x，得f(x)f(x)2f(0)f(x)令x1x，x20，得f(x)f(x)2f(0)f(x)由得，f(x)f(x)，yf(x)為偶函數(shù),1(2009年重慶高考)若f(x)a是奇函數(shù)，則a_.,【解析】f(x)為奇函數(shù)，f(x)f(x)，即a，得：2a1，a.,【答案】,2(2009年山東高考)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x)，且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)若方程f(x)m(m0)在區(qū)間8,8上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，則x1x2x3x4_.【解析】由已知，定義在R上的奇函數(shù)f(x)圖象一定過原點，又f(x)在0,2區(qū)間上為增函數(shù)，所以方程f(x)m(m0)在0,2區(qū)間上有且只有一個根，不妨設(shè)為x1；,f(x1)f(x1)f(x14)f(x14)，x142,4也是一個根，記為x2，x2x14x1x24.又f(x4)f(x)，f(x)是周期為8的周期函數(shù)，f(x18)f(x1)m，不妨將此根記為x3，且x3x188，6；同理可知x4x286，4，x1x2x3x4x1x2x18x288.【答案】8,3(2009年全國高考)函數(shù)f(x)的定義域為R.若f(x1)與f(x1)都是奇函數(shù)，則()Af(x)是偶函數(shù)Bf(x)是奇函數(shù)Cf(x)f(x2)Df(x3)是奇函數(shù)【解析】由于f(x1)是奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)的對稱中心為(1,0)，f(1x)f(1x)，即f(x)f(2x)又f(x1)是奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)的對稱中心為(1,0)，f(1x)f(1x)，即f(x)f(2x)，f(2x)f(2x)，f(4x)f(x)可知4為函數(shù)f(x)的周期，則f(x3)是奇函數(shù)故選D.【答案】D,4(2009年陜西高考)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足：對任意的x1，x2(，0(x1x2)，有(x2x1)(f(x2)f(x1)0.則當nN*時，有()Af(n)f(n1)f(n1)Bf(n1)f(n)f(n1)Cf(n1)f(n)f(n1)Df(n1)f(n1)f(n),【解析】由(x2x1)f(x2)f(x1)0得f(x)在x(，0為增函數(shù)又f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)在x0，)為減函數(shù)又f(n)f(n)且0n1nn1，f(n1)f(n)f(n1)，即f(n1)f(n)f(n1)故選C.【答案】C,5(2009年江蘇高考)已知函數(shù)f(x)是(，)上的偶函數(shù)，若對于x0，都有f(x2)f(x)，且當x0,2)時，f(x)log2(x1)，則f(2008)f(2009)的值為()A2B1C1D2【解析】f(x)是偶函數(shù)，f(2008)f(2008)f(x)在x0時f(x2)f(x)，f(x)周期為2.f(2008)f(2009)f(2008)f(2009)f(0)f(1)log21log22010.故選C.【答案】C,1奇偶性定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要方法，為了便于判斷，有時需要將函數(shù)進行化簡，或