高三數(shù)學(xué)第三模塊第8節(jié)正弦余弦定理的應(yīng)用課件新人教A

1實(shí)際應(yīng)用問題中的基本概念和術(shù)語(1)仰角和俯角：與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方時叫，目標(biāo)視線在水平視線下方時叫(如下圖),仰角,俯角,(2)方位角：一般指北方向線到目標(biāo)方向線的水平角(3)方向角：以某一正方向(正南、正北、正東、正西)為角的始邊，旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的銳角(4)坡角：坡面與水平面的,順時針旋轉(zhuǎn),夾角,2解斜三角形應(yīng)用題應(yīng)遵循以下步驟：(1)分析：準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞術(shù)語，如坡度、仰角、俯角、視角、方向角、方位角等，必要時，畫出示意圖，化實(shí)際問題為數(shù)學(xué)問題；(2)建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學(xué)模型；,(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解；(4)檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解.,3解斜三角形應(yīng)用題常有以下幾種情形：(1)實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，再用正弦定理或余弦定理解之(2)實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個三角形或多個三角形，這時需按順序逐步在幾個三角形中求出問題的解(3)實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，涉及的三角形只有一個，但由題目已知條件解此三角形需連續(xù)使用正弦定理或余弦定理,4.運(yùn)用正弦定理和余弦定理解決幾何計(jì)算問題，要抓住條件和待求式子的特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)剡x擇定理運(yùn)用正弦定理一般是將邊轉(zhuǎn)化為角，而條件中給出三邊關(guān)系時，往往考慮用余弦定理求角,1如下圖，在河岸AC測量河的寬度BC，圖中所標(biāo)的數(shù)據(jù)a，b，c，是可供測量的數(shù)據(jù)下面給出的四組數(shù)據(jù)中，對測量河寬較適宜的是(),Ac和aBc和bCc和Db和答案：D,2從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則，之間的關(guān)系是()ABC90D180,解析：如下圖，可知.答案：B,3有一長為1千米的斜坡，它的傾斜角為20，現(xiàn)要將傾斜角改為10，則斜坡長為_千米()A1B2sin10C2cos10Dcos20,解析：如下圖，CBDAACB20，AACB10.ABBC1千米由余弦定理，知答案：C,4我艦在敵島A南偏西50方向相距12海里的B處，發(fā)現(xiàn)敵艦正由島A沿北偏西10的方向以10海里/時的速度航行，我艦要用2小時追上敵艦，則需要的速度大小為_答案：14海里/時,5一人在C處看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在西北方向，此人向北偏西75方向前進(jìn)km到達(dá)D，看到A在他的東北方向，B在其北偏東75方向試求這兩座建筑物AB間的距離,【例1】如圖，港口B在港口O正東120海里處，小島C在港口O北偏東60方向，港口B北偏西30方向上一艘科學(xué)考察船從港口O出發(fā)，沿北偏東30的OA方向以20海里/小時的速度駛離港口O，一艘快艇從港口B出發(fā)，以60海里/小時的速度駛向小島C，在C島裝運(yùn)補(bǔ)給物資后給考察船送去現(xiàn)兩船同時出發(fā)，補(bǔ)給物資的裝船時間為1小時，問快艇駛離港口B后，最少要經(jīng)過多少小時才能和考察船相遇？,解：設(shè)快艇駛離港口B后，最少要經(jīng)過x小時，在OA上的點(diǎn)D處與考察船相遇如右圖，連結(jié)CD.則快艇沿線段BC，CD航行,在OBC中，BOC30，CBO60，BCO90.又BO120，BC60，OC60.故快艇從港口B到小島C需要1小時在OCD中，COD30，OD20 x，CD60(x2)由余弦定理知，CD2OD2OC22ODOCcosCOD，,變式遷移1某觀測站C在城A的南偏西20的方向(如右圖)，由城出發(fā)的一條公路，走向是南偏東40，在C處測得公路上B處有一人距C為31公里，正沿公路向A城走去，走了20公里后到達(dá)D處，此時CD間的距離為21公里，問這個人還要走多少公里才能到達(dá)A城？,【例2】(2009遼寧卷)如右圖所示，A、B、C、D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi)，B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂測量船于水面A處測得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為75，30，于水面C處測得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為60，AC0.1km.試探究圖中B、D間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等，然后求B、D的距離(計(jì)算結(jié)果精確到0.01km，1.414，2.449),思路分析：根據(jù)圖中的已知條件求出一些點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，結(jié)合圖形和計(jì)算出的距離作出判斷，然后把B、D間距離的計(jì)算轉(zhuǎn)化為找到的與B、D間距離相等的另外兩點(diǎn)之間的距離解：在ACD中，DAC30，ADC60DAC30，所以CDAC0.1.又BCD180606060，故CB是CAD底邊AD的中垂線，所以BDBA.,求解這類問題，實(shí)際上就是解三角形，三角形可解的前提是：(1)知道兩個邊和一個邊的對角(用正弦定理)，(2)知道一個邊和兩個內(nèi)角(用正弦定理或余弦定理)在求解時要尋找這些三角形可解的條件，如本題中，如果直接求解B、D兩點(diǎn)之間的距離，而沒有探索出BC是AD的中垂線的話，在ABD中，就只能知道BAD和邊AD的長，不具備三角形可解的條件，就不好直接求解了所以在用正弦定理、余弦定理解決測量問題時要學(xué)會尋找三角形可解的條件.,變式遷移2如下圖，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點(diǎn)C與D.現(xiàn)測得BCD，BDC，CDs，并在點(diǎn)C測得塔頂A的仰角為，求塔高AB.,【例3】如下圖，在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45方向，距A處(1)海里的B處有一艘走私船在A處北偏西75方向，距A處2海里的C處的我方緝私船奉命以10海里/小時的速度追截走私船，此時走私船正以10海里/小時的速度，從B處向北偏東30方向逃竄問：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時間,緝私船應(yīng)沿北偏東60的方向行駛，才能最快截獲走私船，大約需要15分鐘,應(yīng)用解三角形的知識解決實(shí)際問題的基本步驟是：(1)根據(jù)題意，抽象或者構(gòu)造出三角形；(2)確定實(shí)際問題所涉及的數(shù)據(jù)以及要求解的結(jié)論與所構(gòu)造的三角形的邊和角的對應(yīng)關(guān)系；(3)選用正弦定理或余弦定理或者二者相結(jié)合求解；(4)給出結(jié)論.,變式遷移3沿一條小路前進(jìn)，從A到B，方位角(從正北方向順時針轉(zhuǎn)到AB方向所成的角)是50，距離是3km，從B到C，方位角是110，距離是3km，從C到D，方位角是140，距離是(93)km.試畫出示意圖，并計(jì)算出從A到D的方位角和距離(結(jié)果保留根號),解：示意圖，如右圖所示，連接AC，在ABC中，ABC50(180110)120，又ABBC3，BACBCA30.由余弦定理可得,【例4】(2009寧夏、海南卷)為了測量兩山頂M，N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A、B兩點(diǎn)進(jìn)行測量A，B，M，N在同一個鉛垂平面內(nèi)(如下圖所示)飛機(jī)能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離請?jiān)O(shè)計(jì)一個方案，包括：指出需要測量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標(biāo)出)；用文字和公式寫出計(jì)算M、N間的距離的步驟,解：方案一：需要測量的數(shù)據(jù)有：A點(diǎn)到M，N點(diǎn)的俯角1，1，B點(diǎn)到M，N的俯角2，2；A，B間的距離d(如右圖所示),本題并沒有直接給出測量數(shù)據(jù)讓考生直接計(jì)算，而是要求考生親臨實(shí)際問題的環(huán)境里進(jìn)行具體操作，找到解決問題的方案，并設(shè)計(jì)出計(jì)算步驟，可以說本題是一道真正意義上的應(yīng)用題.,變式遷移4如右圖，某小區(qū)準(zhǔn)備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，ABC外的地方種草，ABC的內(nèi)接正方形PQRS為一水池，其余地方種花若BCa.ABC，設(shè)ABC的面積為S1，正方形PQRS的面積為S2，將比值稱為“規(guī)劃合理度”(1)試用a，表示S1和S2.(2)當(dāng)a為定值，變化時，求“規(guī)劃合理度”取得最小值時的角的大小,1解三角形問題在實(shí)際生活中的應(yīng)用數(shù)學(xué)知識來源于現(xiàn)實(shí)生活解三角形的知識在社會實(shí)踐中有著廣泛的應(yīng)用常見題型有：測量距離問題、測量高度問題、測量角度問題、計(jì)算面積問題、航行問題、物理問題等,(1)測量距離問題：這類問題的情境一般屬于“測量有障礙物相隔的兩點(diǎn)間的距離”在測量過程中，要根據(jù)實(shí)際需要選取合適的基線長度，測量工具要有較高的精確度(2)測量高度問題：這類問題的情境屬于“測量底(頂)部不能到達(dá)的物體的高度”測量過程中，要注意選取適當(dāng)不同的測量點(diǎn)，