高三數學第三模塊第8節(jié)正弦余弦定理的應用課件新人教A

1實際應用問題中的基本概念和術語(1)仰角和俯角：與目標視線在同一鉛垂平面內的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方時叫，目標視線在水平視線下方時叫(如下圖),仰角,俯角,(2)方位角：一般指北方向線到目標方向線的水平角(3)方向角：以某一正方向(正南、正北、正東、正西)為角的始邊，旋轉到目標方向線的銳角(4)坡角：坡面與水平面的,順時針旋轉,夾角,2解斜三角形應用題應遵循以下步驟：(1)分析：準確理解題意，分清已知與所求，尤其要理解應用題中的有關名詞術語，如坡度、仰角、俯角、視角、方向角、方位角等，必要時，畫出示意圖，化實際問題為數學問題；(2)建模：根據已知條件與求解目標，把已知量與求解量盡量集中在有關的三角形中，建立一個解斜三角形的數學模型；,(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數學模型的解；(4)檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解.,3解斜三角形應用題常有以下幾種情形：(1)實際問題經抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，再用正弦定理或余弦定理解之(2)實際問題經抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個三角形或多個三角形，這時需按順序逐步在幾個三角形中求出問題的解(3)實際問題經抽象概括后，涉及的三角形只有一個，但由題目已知條件解此三角形需連續(xù)使用正弦定理或余弦定理,4.運用正弦定理和余弦定理解決幾何計算問題，要抓住條件和待求式子的特點，恰當地選擇定理運用正弦定理一般是將邊轉化為角，而條件中給出三邊關系時，往往考慮用余弦定理求角,1如下圖，在河岸AC測量河的寬度BC，圖中所標的數據a，b，c，是可供測量的數據下面給出的四組數據中，對測量河寬較適宜的是(),Ac和aBc和bCc和Db和答案：D,2從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則，之間的關系是()ABC90D180,解析：如下圖，可知.答案：B,3有一長為1千米的斜坡，它的傾斜角為20，現要將傾斜角改為10，則斜坡長為_千米()A1B2sin10C2cos10Dcos20,解析：如下圖，CBDAACB20，AACB10.ABBC1千米由余弦定理，知答案：C,4我艦在敵島A南偏西50方向相距12海里的B處，發(fā)現敵艦正由島A沿北偏西10的方向以10海里/時的速度航行，我艦要用2小時追上敵艦，則需要的速度大小為_答案：14海里/時,5一人在C處看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在西北方向，此人向北偏西75方向前進km到達D，看到A在他的東北方向，B在其北偏東75方向試求這兩座建筑物AB間的距離,【例1】如圖，港口B在港口O正東120海里處，小島C在港口O北偏東60方向，港口B北偏西30方向上一艘科學考察船從港口O出發(fā)，沿北偏東30的OA方向以20海里/小時的速度駛離港口O，一艘快艇從港口B出發(fā)，以60海里/小時的速度駛向小島C，在C島裝運補給物資后給考察船送去現兩船同時出發(fā)，補給物資的裝船時間為1小時，問快艇駛離港口B后，最少要經過多少小時才能和考察船相遇？,解：設快艇駛離港口B后，最少要經過x小時，在OA上的點D處與考察船相遇如右圖，連結CD.則快艇沿線段BC，CD航行,在OBC中，BOC30，CBO60，BCO90.又BO120，BC60，OC60.故快艇從港口B到小島C需要1小時在OCD中，COD30，OD20 x，CD60(x2)由余弦定理知，CD2OD2OC22ODOCcosCOD，,變式遷移1某觀測站C在城A的南偏西20的方向(如右圖)，由城出發(fā)的一條公路，走向是南偏東40，在C處測得公路上B處有一人距C為31公里，正沿公路向A城走去，走了20公里后到達D處，此時CD間的距離為21公里，問這個人還要走多少公里才能到達A城？,【例2】(2009遼寧卷)如右圖所示，A、B、C、D都在同一個與水平面垂直的平面內，B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為75，30，于水面C處測得B點和D點的仰角均為60，AC0.1km.試探究圖中B、D間距離與另外哪兩點間距離相等，然后求B、D的距離(計算結果精確到0.01km，1.414，2.449),思路分析：根據圖中的已知條件求出一些點與點之間的距離，結合圖形和計算出的距離作出判斷，然后把B、D間距離的計算轉化為找到的與B、D間距離相等的另外兩點之間的距離解：在ACD中，DAC30，ADC60DAC30，所以CDAC0.1.又BCD180606060，故CB是CAD底邊AD的中垂線，所以BDBA.,求解這類問題，實際上就是解三角形，三角形可解的前提是：(1)知道兩個邊和一個邊的對角(用正弦定理)，(2)知道一個邊和兩個內角(用正弦定理或余弦定理)在求解時要尋找這些三角形可解的條件，如本題中，如果直接求解B、D兩點之間的距離，而沒有探索出BC是AD的中垂線的話，在ABD中，就只能知道BAD和邊AD的長，不具備三角形可解的條件，就不好直接求解了所以在用正弦定理、余弦定理解決測量問題時要學會尋找三角形可解的條件.,變式遷移2如下圖，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內的兩個測點C與D.現測得BCD，BDC，CDs，并在點C測得塔頂A的仰角為，求塔高AB.,【例3】如下圖，在海岸A處發(fā)現北偏東45方向，距A處(1)海里的B處有一艘走私船在A處北偏西75方向，距A處2海里的C處的我方緝私船奉命以10海里/小時的速度追截走私船，此時走私船正以10海里/小時的速度，從B處向北偏東30方向逃竄問：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時間,緝私船應沿北偏東60的方向行駛，才能最快截獲走私船，大約需要15分鐘,應用解三角形的知識解決實際問題的基本步驟是：(1)根據題意，抽象或者構造出三角形；(2)確定實際問題所涉及的數據以及要求解的結論與所構造的三角形的邊和角的對應關系；(3)選用正弦定理或余弦定理或者二者相結合求解；(4)給出結論.,變式遷移3沿一條小路前進，從A到B，方位角(從正北方向順時針轉到AB方向所成的角)是50，距離是3km，從B到C，方位角是110，距離是3km，從C到D，方位角是140，距離是(93)km.試畫出示意圖，并計算出從A到D的方位角和距離(結果保留根號),解：示意圖，如右圖所示，連接AC，在ABC中，ABC50(180110)120，又ABBC3，BACBCA30.由余弦定理可得,【例4】(2009寧夏、海南卷)為了測量兩山頂M，N間的距離，飛機沿水平方向在A、B兩點進行測量A，B，M，N在同一個鉛垂平面內(如下圖所示)飛機能夠測量的數據有俯角和A，B間的距離請設計一個方案，包括：指出需要測量的數據(用字母表示，并在圖中標出)；用文字和公式寫出計算M、N間的距離的步驟,解：方案一：需要測量的數據有：A點到M，N點的俯角1，1，B點到M，N的俯角2，2；A，B間的距離d(如右圖所示),本題并沒有直接給出測量數據讓考生直接計算，而是要求考生親臨實際問題的環(huán)境里進行具體操作，找到解決問題的方案，并設計出計算步驟，可以說本題是一道真正意義上的應用題.,變式遷移4如右圖，某小區(qū)準備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，ABC外的地方種草，ABC的內接正方形PQRS為一水池，其余地方種花若BCa.ABC，設ABC的面積為S1，正方形PQRS的面積為S2，將比值稱為“規(guī)劃合理度”(1)試用a，表示S1和S2.(2)當a為定值，變化時，求“規(guī)劃合理度”取得最小值時的角的大小,1解三角形問題在實際生活中的應用數學知識來源于現實生活解三角形的知識在社會實踐中有著廣泛的應用常見題型有：測量距離問題、測量高度問題、測量角度問題、計算面積問題、航行問題、物理問題等,(1)測量距離問題：這類問題的情境一般屬于“測量有障礙物相隔的兩點間的距離”在測量過程中，要根據實際需要選取合適的基線長度，測量工具要有較高的精確度(2)測量高度問題：這類問題的情境屬于“測量底(頂)部不能到達的物體的高度”測量過程中，要注意選取適當不同的測量點，