2017二項(xiàng)分布及其應(yīng)用學(xué)案

12.5二項(xiàng)分布及其應(yīng)用考情分析本節(jié)內(nèi)容主要以解答題的形式與分布列、期望等結(jié)合，考查條件概率、相互獨(dú)立事件的概率，n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)及二項(xiàng)分布基礎(chǔ)知識(shí)1、 條件概率：（1）定義：對(duì)于任何兩個(gè)事件A和B，在已知A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號(hào)來(lái)表示，其公式為（2） 條件概率具有的性質(zhì)：（1）非負(fù)性：；（2）可加性：如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則2、 相互獨(dú)立事件（1）定義：對(duì)于事件A和B，若A的發(fā)生與B的發(fā)生互不影響，則稱A,B為相互獨(dú)立事件（2） 相互獨(dú)立事件的概率性質(zhì)：若A與B相互獨(dú)立，則如果事件相互獨(dú)立，則這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生概率的積，即若A與B相互獨(dú)立，則A與，與B，與也都相互獨(dú)立3、 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布：獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)：一般的，在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)二項(xiàng)分布：一般的，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)X，在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為，此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作，并稱p為成功概率。 注意事項(xiàng)1.可先定義條件概率P(B|A)，當(dāng)P(B|A)P(B)即P(AB)P(A)P(B)時(shí)，事件B與事件A獨(dú)立但是要注意事件A、B、C兩兩獨(dú)立，但事件A、B、C不一定相互獨(dú)立 2.計(jì)算條件概率有兩種方法(1)利用定義P(B|A)；(2)若n(C)表示試驗(yàn)中事件C包含的基本事件的個(gè)數(shù)，則P(B|A).題型一條件概率【例1】從1,2,3,4,5中任取2個(gè)不同的數(shù)，事件A“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)等于()A. B. C. D.解析P(A)，P(AB).由條件概率計(jì)算公式，得P(B|A).答案B【變式1】如圖，EFGH是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)接正方形將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(陰影部分)內(nèi)”，則(1)P(A)_；(2)P(B|A)_.解析圓的面積是，正方形的面積是2，扇形的面積是，根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式得P(A)，根據(jù)條件概率的公式得P(B|A).答案題型二獨(dú)立事件的概率【例2】某品牌汽車的4S店，對(duì)最近100位采用分期付款的購(gòu)車者進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：已知分3期付款的頻率為0.2，且4S店經(jīng)銷一輛該品牌的汽車，顧客分1期付款，其利潤(rùn)為1萬(wàn)元；分2期或3期付款其利潤(rùn)為1.5萬(wàn)元；分4期或5期付款，其利潤(rùn)為2萬(wàn)元用表示經(jīng)銷一輛汽車的利潤(rùn).付款方式分1期分2期分3期分4期分5期頻數(shù)4020a10b(1)若以頻率作為概率，求事件A：“購(gòu)買該品牌汽車的3位顧客中，至多有1位采用分3期付款”的概率P(A)；(2)求的分布列及其數(shù)學(xué)期望E()解：(1)由題意可知“購(gòu)買該品牌汽車的3位顧客中有1位采用分3期付款”的概率為0.2，所以P(A)0.83C0.2(10.2)20.896.(2)由0.2得a20，4020a10b100，b10.記分期付款的期數(shù)為，依題意得：P(1)0.4，P(2)0.2，P(3)0.2，P(4)0.1，P(5)0.1.由題意知的可能取值為：1,1.5,2(單位：萬(wàn)元)P(1)P(1)0.4，P(1.5)P(2)P(3)0.4；P(2)P(4)P(5)0.10.10.2.的分布列為：11.52P0.40.40.2的數(shù)學(xué)期望E()10.41.50.420.21.4(萬(wàn)元)要判斷事件的性質(zhì)(是互斥還是相互獨(dú)立)，再選擇相應(yīng)的公式計(jì)算求解【變式2】紅隊(duì)隊(duì)員甲、乙、丙與藍(lán)隊(duì)隊(duì)員A、B、C進(jìn)行圍棋比賽，甲對(duì)A、乙對(duì)B，丙對(duì)C各一盤已知甲勝A、乙勝B、丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5，假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立(1)求紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率；(2)用表示紅隊(duì)隊(duì)員獲勝的總盤數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望E()解(1)設(shè)甲勝A的事件為D，乙勝B的事件為E，丙勝C的事件為F，則，分別表示甲不勝A、乙不勝B、丙不勝C的事件因?yàn)镻(D)0.6， P(E)0.5，P(F)0.5，由對(duì)立事件的概率公式知P()0.4，P()0.5，P()0.5.紅隊(duì)至少兩人獲勝的事件有：DE，DF，EF，DEF.由于以上四個(gè)事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，因此紅隊(duì)至少兩人獲勝的概率為PP(DE)P(DF)P(EF)P(DEF)0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60. 50.50.55.(2)由題意知可能的取值為0,1,2,3.又由(1)知F，E，D是兩兩互斥事件，且各盤比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，因此P(0)P()0.40.50.50.1，P(1)P(F)P(E)P(D)0.40.50.50.40.50.50.60.50.50.35，P(3)P(DEF)0.60.50.50.15.由對(duì)立事件的概率公式得P(2)1P(0)P(1)P(3)0.4.所以的分布列為：0123P0.10.350.40.15因此E()00.110.3520.430.151.6.題型三獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布【例3】今天你低碳了嗎？近來(lái)，國(guó)內(nèi)網(wǎng)站流行一種名為“碳排放計(jì)算器”的軟件，人們可以由此計(jì)算出自己每天的碳排放量例如：家居用電的碳排放量(千克)耗電度數(shù)0.785，汽車的碳排放量(千克)油耗公升數(shù)0.785等某班同學(xué)利用寒假在兩個(gè)小區(qū)逐戶進(jìn)行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào)查若生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”這二族人數(shù)占各自小區(qū)總?cè)藬?shù)的比例P數(shù)據(jù)如下：A小區(qū)低碳族非低碳族比例PB小區(qū)低碳族非低碳族比例P(1)如果甲、乙來(lái)自A小區(qū)，丙、丁來(lái)自B小區(qū)，求這4人中恰有2人是低碳族的概率；(2)A小區(qū)經(jīng)過(guò)大力宣傳，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列如果2周后隨機(jī)地從A小區(qū)中任選25人，記表示25個(gè)人中低碳族人數(shù)，求E()解：(1)記這4人中恰好有2人是低碳族為事件A，P(A)4.(2)設(shè)A小區(qū)有a人，2周后非低碳族的概率P，2周后低碳族的概率P1，依題意B(25，)，所以E()2517.【變式3】 某地區(qū)為下崗人員免費(fèi)提供財(cái)會(huì)和計(jì)算機(jī)培訓(xùn)，以提高下崗人員的再就業(yè)能力，每名下崗人員可以選擇參加一項(xiàng)培訓(xùn)、參加兩項(xiàng)培訓(xùn)或不參加培訓(xùn)，已知參加過(guò)財(cái)會(huì)培訓(xùn)的有60%，參加過(guò)計(jì)算機(jī)培訓(xùn)的有75%，假設(shè)每個(gè)人對(duì)培訓(xùn)項(xiàng)目的選擇是相互獨(dú)立的，且各人的選擇相互之間沒(méi)有影響(1)任選1名下崗人員，求該人參加過(guò)培訓(xùn)的概率；(2)任選3名下崗人員，記X為3人中參加過(guò)培訓(xùn)的人數(shù)，求X的分布列解(1)任選1名下崗人員，記“該人參加過(guò)財(cái)會(huì)培訓(xùn)”為事件A，“該人參加過(guò)計(jì)算機(jī)培訓(xùn)”為事件B，由題設(shè)知，事件A與B相互獨(dú)立，且P(A)0.6，P(B)0.75.所以，該下崗人員沒(méi)有參加過(guò)培訓(xùn)的概率是P( )P()P()(10.6)(10.75)0.1.該人參加過(guò)培訓(xùn)的概率為10.10.9.(2)因?yàn)槊總€(gè)人的選擇是相互獨(dú)立的，所以3人中參加過(guò)培訓(xùn)的人數(shù)X服從二項(xiàng)分布XB(3,0.9)，P(Xk)C0.9k0.13k，k0,1,2,3，X的分布列是X0123P0.0010.0270.2430.729重難點(diǎn)突破【例4】某氣象站天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率為80%，計(jì)算(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后面第2位)(1)5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確的概率；(2)5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確的概率；(3)5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確，且其中第3次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率解析設(shè)“5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確”為事件A，“5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確”為事件B，“5次預(yù)報(bào)恰有2次準(zhǔn)確，且其中第3次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確”為事件C. (1)P(A)C23100.05.(2)P(B)1C05C40.99.(3)P(C)C30.02.鞏固提高1若隨機(jī)變量X的分布列如下表，則E(X)等于()X012345P2x3x7x2x3xxA.B.C. D.解析：由分布列的性質(zhì)可得2x3x7x2x3xx1，x.E(X)02x13x27x32x43x5x40x.答案：C2設(shè)X為隨機(jī)變量，XB，若隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)2，則P(X2)等于()A. B.C. D.解析：XB，E(X)2.n6.P(X2)C24.答案：D3已知隨機(jī)變量XB(6，)，則P(2X5.5)()A. B.C. D.解析：依題意，P(2X5.5)P(X0,1,2,3,4,5)1P(X6)1C()6.答案：A4已知拋物線yax2bxc(a0)的對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)其中a，b，c3，2，1,0,1,2,3，在這些拋物線中，若隨機(jī)變量X|ab|的取值，則X的數(shù)學(xué)期望E(X)()A. B.C. D.解析：對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)(a與b同號(hào))的拋物線有2CCC126條，X的可