2017二項分布及其應用學案

12.5二項分布及其應用考情分析本節(jié)內容主要以解答題的形式與分布列、期望等結合，考查條件概率、相互獨立事件的概率，n次獨立重復試驗及二項分布基礎知識1、 條件概率：（1）定義：對于任何兩個事件A和B，在已知A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號來表示，其公式為（2） 條件概率具有的性質：（1）非負性：；（2）可加性：如果B和C是兩個互斥事件，則2、 相互獨立事件（1）定義：對于事件A和B，若A的發(fā)生與B的發(fā)生互不影響，則稱A,B為相互獨立事件（2） 相互獨立事件的概率性質：若A與B相互獨立，則如果事件相互獨立，則這n個事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生概率的積，即若A與B相互獨立，則A與，與B，與也都相互獨立3、 獨立重復試驗與二項分布：獨立重復試驗：一般的，在相同條件下重復做的n次試驗稱為n次獨立重復試驗二項分布：一般的，在n次獨立重復試驗中，設事件A發(fā)生的次數X，在每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為，此時稱隨機變量X服從二項分布，記作，并稱p為成功概率。 注意事項1.可先定義條件概率P(B|A)，當P(B|A)P(B)即P(AB)P(A)P(B)時，事件B與事件A獨立但是要注意事件A、B、C兩兩獨立，但事件A、B、C不一定相互獨立 2.計算條件概率有兩種方法(1)利用定義P(B|A)；(2)若n(C)表示試驗中事件C包含的基本事件的個數，則P(B|A).題型一條件概率【例1】從1,2,3,4,5中任取2個不同的數，事件A“取到的2個數之和為偶數”，事件B“取到的2個數均為偶數”，則P(B|A)等于()A. B. C. D.解析P(A)，P(AB).由條件概率計算公式，得P(B|A).答案B【變式1】如圖，EFGH是以O為圓心，半徑為1的圓的內接正方形將一顆豆子隨機地扔到該圓內，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(陰影部分)內”，則(1)P(A)_；(2)P(B|A)_.解析圓的面積是，正方形的面積是2，扇形的面積是，根據幾何概型的概率計算公式得P(A)，根據條件概率的公式得P(B|A).答案題型二獨立事件的概率【例2】某品牌汽車的4S店，對最近100位采用分期付款的購車者進行了統(tǒng)計，統(tǒng)計結果如下表所示：已知分3期付款的頻率為0.2，且4S店經銷一輛該品牌的汽車，顧客分1期付款，其利潤為1萬元；分2期或3期付款其利潤為1.5萬元；分4期或5期付款，其利潤為2萬元用表示經銷一輛汽車的利潤.付款方式分1期分2期分3期分4期分5期頻數4020a10b(1)若以頻率作為概率，求事件A：“購買該品牌汽車的3位顧客中，至多有1位采用分3期付款”的概率P(A)；(2)求的分布列及其數學期望E()解：(1)由題意可知“購買該品牌汽車的3位顧客中有1位采用分3期付款”的概率為0.2，所以P(A)0.83C0.2(10.2)20.896.(2)由0.2得a20，4020a10b100，b10.記分期付款的期數為，依題意得：P(1)0.4，P(2)0.2，P(3)0.2，P(4)0.1，P(5)0.1.由題意知的可能取值為：1,1.5,2(單位：萬元)P(1)P(1)0.4，P(1.5)P(2)P(3)0.4；P(2)P(4)P(5)0.10.10.2.的分布列為：11.52P0.40.40.2的數學期望E()10.41.50.420.21.4(萬元)要判斷事件的性質(是互斥還是相互獨立)，再選擇相應的公式計算求解【變式2】紅隊隊員甲、乙、丙與藍隊隊員A、B、C進行圍棋比賽，甲對A、乙對B，丙對C各一盤已知甲勝A、乙勝B、丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5，假設各盤比賽結果相互獨立(1)求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率；(2)用表示紅隊隊員獲勝的總盤數，求的分布列和數學期望E()解(1)設甲勝A的事件為D，乙勝B的事件為E，丙勝C的事件為F，則，分別表示甲不勝A、乙不勝B、丙不勝C的事件因為P(D)0.6， P(E)0.5，P(F)0.5，由對立事件的概率公式知P()0.4，P()0.5，P()0.5.紅隊至少兩人獲勝的事件有：DE，DF，EF，DEF.由于以上四個事件兩兩互斥且各盤比賽的結果相互獨立，因此紅隊至少兩人獲勝的概率為PP(DE)P(DF)P(EF)P(DEF)0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60. 50.50.55.(2)由題意知可能的取值為0,1,2,3.又由(1)知F，E，D是兩兩互斥事件，且各盤比賽的結果相互獨立，因此P(0)P()0.40.50.50.1，P(1)P(F)P(E)P(D)0.40.50.50.40.50.50.60.50.50.35，P(3)P(DEF)0.60.50.50.15.由對立事件的概率公式得P(2)1P(0)P(1)P(3)0.4.所以的分布列為：0123P0.10.350.40.15因此E()00.110.3520.430.151.6.題型三獨立重復試驗與二項分布【例3】今天你低碳了嗎？近來，國內網站流行一種名為“碳排放計算器”的軟件，人們可以由此計算出自己每天的碳排放量例如：家居用電的碳排放量(千克)耗電度數0.785，汽車的碳排放量(千克)油耗公升數0.785等某班同學利用寒假在兩個小區(qū)逐戶進行了一次生活習慣是否符合低碳觀念的調查若生活習慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”這二族人數占各自小區(qū)總人數的比例P數據如下：A小區(qū)低碳族非低碳族比例PB小區(qū)低碳族非低碳族比例P(1)如果甲、乙來自A小區(qū)，丙、丁來自B小區(qū)，求這4人中恰有2人是低碳族的概率；(2)A小區(qū)經過大力宣傳，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列如果2周后隨機地從A小區(qū)中任選25人，記表示25個人中低碳族人數，求E()解：(1)記這4人中恰好有2人是低碳族為事件A，P(A)4.(2)設A小區(qū)有a人，2周后非低碳族的概率P，2周后低碳族的概率P1，依題意B(25，)，所以E()2517.【變式3】 某地區(qū)為下崗人員免費提供財會和計算機培訓，以提高下崗人員的再就業(yè)能力，每名下崗人員可以選擇參加一項培訓、參加兩項培訓或不參加培訓，已知參加過財會培訓的有60%，參加過計算機培訓的有75%，假設每個人對培訓項目的選擇是相互獨立的，且各人的選擇相互之間沒有影響(1)任選1名下崗人員，求該人參加過培訓的概率；(2)任選3名下崗人員，記X為3人中參加過培訓的人數，求X的分布列解(1)任選1名下崗人員，記“該人參加過財會培訓”為事件A，“該人參加過計算機培訓”為事件B，由題設知，事件A與B相互獨立，且P(A)0.6，P(B)0.75.所以，該下崗人員沒有參加過培訓的概率是P( )P()P()(10.6)(10.75)0.1.該人參加過培訓的概率為10.10.9.(2)因為每個人的選擇是相互獨立的，所以3人中參加過培訓的人數X服從二項分布XB(3,0.9)，P(Xk)C0.9k0.13k，k0,1,2,3，X的分布列是X0123P0.0010.0270.2430.729重難點突破【例4】某氣象站天氣預報的準確率為80%，計算(結果保留到小數點后面第2位)(1)5次預報中恰有2次準確的概率；(2)5次預報中至少有2次準確的概率；(3)5次預報中恰有2次準確，且其中第3次預報準確的概率解析設“5次預報中恰有2次準確”為事件A，“5次預報中至少有2次準確”為事件B，“5次預報恰有2次準確，且其中第3次預報準確”為事件C. (1)P(A)C23100.05.(2)P(B)1C05C40.99.(3)P(C)C30.02.鞏固提高1若隨機變量X的分布列如下表，則E(X)等于()X012345P2x3x7x2x3xxA.B.C. D.解析：由分布列的性質可得2x3x7x2x3xx1，x.E(X)02x13x27x32x43x5x40x.答案：C2設X為隨機變量，XB，若隨機變量X的數學期望E(X)2，則P(X2)等于()A. B.C. D.解析：XB，E(X)2.n6.P(X2)C24.答案：D3已知隨機變量XB(6，)，則P(2X5.5)()A. B.C. D.解析：依題意，P(2X5.5)P(X0,1,2,3,4,5)1P(X6)1C()6.答案：A4已知拋物線yax2bxc(a0)的對稱軸在y軸的左側其中a，b，c3，2，1,0,1,2,3，在這些拋物線中，若隨機變量X|ab|的取值，則X的數學期望E(X)()A. B.C. D.解析：對稱軸在y軸的左側(a與b同號)的拋物線有2CCC126條，X的可