陜西西安地區(qū)陜師大附中、西安高級中學(xué)、高新一中、鐵一中學(xué)、西工大附中等八校高三數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷文

陜西省西安地區(qū)陜師大附中、西安高級中學(xué)、高新一中、鐵一中學(xué)、西工大附中等八校2019屆高三3月聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）1.已知集合2，3，6，則A. 2，B. 6，C. D. 【答案】D【解析】【分析】先分別求出集合A，B，C，由此能求出【詳解】集合2，3，6，6，9，18，2，故選：D【點睛】本題考查交集的求法，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題2.如圖是甲乙兩位同學(xué)某次考試各科成績轉(zhuǎn)化為了標(biāo)準(zhǔn)分，滿分900分的條形統(tǒng)計圖（甲為黑色條框，乙為淺色條框），設(shè)甲乙兩位同學(xué)成績的平均值分別為x-甲,x-乙，標(biāo)準(zhǔn)差分別為甲，乙，則A. x-甲x-乙,甲x-乙,甲乙C. x-甲乙D. x-甲x-乙,甲x乙-，甲x乙-，甲乙故選：A【點睛】本題考查命題真假的判斷，考查條形圖、平均值、標(biāo)準(zhǔn)差等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題3.1748年，瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫出以下公式eix=cosx+isinx，這個公式在復(fù)變論中占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，根據(jù)此公式可知，e2i表示的復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點在復(fù)平面中位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限【答案】B【解析】【分析】由已知可得e2i=cos2+isin2，再由三角函數(shù)的象限符號得答案【詳解】由題意可得，e2i=cos2+isin2，22，cos20，則e2i表示的復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點在復(fù)平面中位于第二象限故選：B【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題4.設(shè)M為ABC所在平面內(nèi)一點BC=3CM，則（ ）A. AM=13AB+43ACB. AM=13AB43ACC. AM=43AB+13ACD. AM=43AB13AC【答案】A【解析】【分析】由BC=3CM利用平面向量幾何運算的三角形法則，可得AB-AC=3（AC-AM），化簡即可得結(jié)果.【詳解】因為BC=3CM，所以AC-AB=3（AM-AC），可得13AC-13AB=AM-AC，化為AM=-13AB+43AC，故選A.【點睛】本題主要考查平面向量的幾何運算，屬于基礎(chǔ)題向量的幾何運算往往結(jié)合平面幾何知識和三角函數(shù)知識解答，運算法則是：（）平行四邊形法則（平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差）；（）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）.5.張丘建算經(jīng)卷上第22題為：“今有女善織，日益功疾，且從第2天起，每天比前一天多織相同量的布，若第一天織5尺布，現(xiàn)有一月（按30天計），共織390尺布”，則該女最后一天織多少尺布？A. 18B. 20C. 21D. 25【答案】C【解析】由題意設(shè)從第二天開始，每一天比前一天多織d 尺布，則305+30292d=390 ，解得d=1629 ，所以a30=5+(301)1629=21 ，故選C.6.設(shè)兩個變量x和y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，它們的相關(guān)系數(shù)為r，y關(guān)于x的回歸直線方程為y=kx+b，則A. k與r的符號相同B. b與r的符號相同C. k與r的符號相反D. b與r的符號相反【答案】A【解析】【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)知相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：|r|1，且|r|越接近1，相關(guān)程度越大；且|r|越接近0，相關(guān)程度越小.r為正，表示正相關(guān)，回歸直線方程上升，選出正確結(jié)果【詳解】相關(guān)系數(shù)r為正，表示正相關(guān)，回歸直線方程上升，r為負(fù)，表示負(fù)相關(guān)，回歸直線方程下降，k與r的符號相同故選：A【點睛】本題考查用相關(guān)系數(shù)來衡量兩個變量之間相關(guān)關(guān)系的方法，當(dāng)相關(guān)系數(shù)為正時，表示兩個變量正相關(guān)，當(dāng)相關(guān)系數(shù)大于0.75時，表示兩個變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系7.如果對定義在R上的奇函數(shù)y=f(x)，對任意兩個不相鄰的實數(shù)x1，x2，所有x1f(x1)+x2f(x2)x1f(x2)+x2f(x1)，則稱函數(shù)y=f(x)為“H函數(shù)”，下列函數(shù)為H函數(shù)的是A. f(x)=sinxB. f(x)=exC. f(x)=x3-3xD. f(x)=x|x|【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，不等式x1f(x1)+x2f(x2)x1f(x2)+x2f(x1)等價為(x1-x2)f(x1)-f(x2)0，即滿足條件的函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，即可得“H函數(shù)”為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù)，據(jù)此依次分析選項：綜合可得答案【詳解】根據(jù)題意，對于所有的不相等實數(shù)x1，x2，則x1f(x1)+x2f(x2)x1f(x2)+x2f(x1)恒成立，則有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0恒成立，即函數(shù)f(x)是定義在R上的增函數(shù)，則“H函數(shù)”為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù)，據(jù)此依次分析選項：對于A，f(x)=sinx，為正弦函數(shù)，為奇函數(shù)但不是增函數(shù)，不符合題意；對于B，f(x)=ex，為指數(shù)函數(shù)，不是奇函數(shù)，不符合題意；對于C，f(x)=x3-3x，為奇函數(shù)，但在R上不是增函數(shù)，不符合題意；對于D，f(x)=x|x|=-x2,x0,b0)的右焦點為F2，若C的左支上存在點M，使得直線bx-ay=0是線段MF2的垂直平分線，則C的離心率為A. 2B. 2C. 5D. 5【答案】C【解析】【分析】設(shè)P為直線bx-ay=0與MF2的交點，則OP為MF1F2的中位線，求得F2到漸近線的距離為b，運用中位線定理和雙曲線的定義，以及離心率的公式，計算可得所求值【詳解】設(shè)P為直線bx-ay=0與MF2的交點，則OP為MF1F2的中位線，F(xiàn)2(c,0)，直線bx-ay=0是線段MF2的垂直平分線，可得F2到漸近線的距離為|F2P|=bcb2+a2=b，且|OP|=c2-b2=a，|MF1|=2|OP|=2a，|MF2|=2b，可得|MF2|-|MF1|=2a，即為2b-2a=2a，即b=2a，可得e=ca=1+b2a2=1+4=5故選：C【點睛】本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查三角形的中位線定理，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知F是拋物線C：y=2x2的焦點，點P(x,y)在拋物線C上，且x=1，則|PF|=_【答案】178【解析】【分析】利用拋物線方程求出p，利用拋物線的性質(zhì)列出方程求解即可【詳解】由y=2x2，得x2=12y，則p=14；由x=1得y=2，由拋物線的性質(zhì)可得|PF|=2+p2=2+18=178，故答案為：178【點睛】本題考查拋物線的定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題14.已知實數(shù)x，y滿足約束條件x+4y+204x+y-70x-y+20，則z=-5x+y的最大值為_【答案】10【解析】【分析】作出約束條件表示的可行域，判斷目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過的點，然后求解目標(biāo)函數(shù)的最值即可【詳解】作出實數(shù)x，y滿足約束條件x+4y+204x+y-70x-y+20的可行域如圖所示：作直線l0：-5x+y=0，再作一組平行于l0的直線l：-5x+y=z，當(dāng)直線l經(jīng)過點A時，z=-5x+y取得最大值，由x-y+2=0x+4y+2=0，得點A的坐標(biāo)為(-2,0)，所以zmax=-5(-2)+0=10z=-5x+y的最大值為：10故答案為：10【點睛】本題考查線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合的綜合應(yīng)用，考查計算能力15.設(shè)函數(shù)f(x)=f(x-1),x12x-1,x1，則函數(shù)f(log210)=_【答案】14【解析】【分析】推導(dǎo)出函數(shù)f(log210)=f(log210-1)=f(log210-2)=f(log210-3)=2log210-3-1，由此能求出結(jié)果【詳解】函數(shù)f(x)=f(x-1),x12x-1,x1，函數(shù)f(log210)=f(log210-1)=f(log210-2)=f(log210-3)=2log210-3-1=1023-1=14故答案為：14【點睛】本題考查函數(shù)值的求法，考查函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題16.如圖，已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1和半徑為3的半球O，底面ABCD在半球O底面所在平面上，A1，B1，C1，D1四點均在球面上，則該正四棱柱的體積的最大值為_【答案】4【解析】【分析】設(shè)該正四棱柱的高為h，底面邊長為a，計算出底面外接圓的半徑r=22a，利用勾股定理h2+r2=3，得出a2=6-2h2，利用柱體體積公式得出柱體體積V關(guān)于h的函數(shù)關(guān)系式，然后利用導(dǎo)數(shù)可求出V的最大值【詳解】設(shè)正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高為h，底面棱長為a，則正四棱柱的底面外接圓直徑為2r=2a，所以，r=22a由勾股定理得h2+r2=(3)2，即h2+a22=3，得a2=6-2h2，其中0h3，所以，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積為V=a2h=(6-2h2)h=-2h3+6h，其中0h3，構(gòu)造函數(shù)f(h)=-2h3+6h，其中0h3，則f(h)=-6h2+6，令f(h)=0，得h=1當(dāng)0h0；當(dāng)1h3時，f(h)0所以，函數(shù)V=f(h)在h=1處取得極大值，亦即最大值，則Vmax=f(1)=4因此，該正四棱柱的體積的最大值為4【點睛】本題考查球體內(nèi)接幾何體的相關(guān)計算，解決本題的關(guān)鍵在于找出相應(yīng)幾何量所滿足的關(guān)系式，考查計算能力，屬于中等題三、解答題（本大題共7小題，共82.0分）17.ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a,b,c,a=23，且(23+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC(1)求角A的大??；(2)求ABC的面積的最大值【答案】（1）3； （2）33.【解析】【分析】1直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換和余弦定理和正弦定理的應(yīng)用求出結(jié)果2利用1的結(jié)論和余弦定理及基本不等式的應(yīng)用求出結(jié)果【詳解】1在ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a,b,c,a=23，且23+bsinAsinB=cbsinC整理得：a+bsinAsinB=cbsinC，利用正弦定理得：a2b2=c2bc，即：cosA=b2+c2a22bc=12，由于：0Ab0)，半焦距c.可得c=26，(26)2a2+22b2=1，a2=b2+c2.聯(lián)立解出即可得出(2)直線l與x軸平行時，把y=3代入橢圓方程可得：x236+912=1，解得x，可得AOB面積S=9.直線l的斜率不為0時，設(shè)直線l的方程為：x=ty+m，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2).原點到直線AB的距離d=|m|1+t2=3，化為：m2=9(1+t2).直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為：(t2+3)y2+2tmy+m2-36=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得|AB|=(1+t2)(y1+y2)2-4y1y2，令t2+3=n3，可得AOB面積S=12d|AB|【詳解】(1)由題意可設(shè)橢圓方程為：x2a2+y2b2=1(ab0)，半焦距c則c=26，(26)2a2+22b2=1，a2=b2+c2聯(lián)立解得：c=26，a=6，b2=12橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x236+y212=1(2)直線l與x軸平行時，把y=3代入橢圓方程可得：x236+912=1，解得x=3，可得AOB面積S=1263=9直線l的斜率不為0時，設(shè)直線l的方程為：x=ty+m，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2).原點到直線AB的距離d=|m|1+t2=3，化為：m2=9(1+t2).聯(lián)立x2+3y2=36x=ty+m，化為：(t2+3)y2+2tmy+m2-36=0，=4t2m2-4(t2+3)(m2-36)0，y1+y2=-2tmt2+3，y1y2=m2-36t2+3則|AB|=(1+t2)(y1+y2)2-4y1y2=(1+t2)4t2m2(t2+3)2-4(m2-36)t2+3=6(t2+1)(t2+9)(t2+3)2，令t2+3=n3，則AOB面積S=12d|AB|=1236(t2+1)(t2+9)(t2+3)2=9(n-2)(n+6)n2=9-12(1n-16)2+43943=63，當(dāng)且僅當(dāng)n=6，t=3時，AOB面積取得最大值63【點睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題21.已知函數(shù)f(x)=ex-ax(aR)有兩個零點(1)求實數(shù)a的取值范圍；(2)若函數(shù)f(x)的兩個零點分別為x1，x2，求證：x1+x22【答案】（1）(e,+)； （2）見解析.【解析】【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及結(jié)合零點定理即可求出a的范圍；(2)由ex1=ax1，ex2=ax2得x1=lna+lnx1，x2=lna+lnx2；得到所以x1+x2=(t+1)lntt-1；構(gòu)造函數(shù)h(t)=lnt-2(t-1)t+1，求證即可【詳解】(1)由f(x)=ex-ax，得fx=ex-a，當(dāng)a0時，f(x)在R上為增函數(shù)，函數(shù)f(x)最多有一個零點，不符合題意，所以a0當(dāng)a0時，fx=ex-a=ex-elna，fx0x0xlna；所以f(x)在(-,lna)上為減函數(shù)，在(lna,+)上為增函數(shù)；所以f(x)min=f(lna)=a-alna；若函數(shù)f(x)有兩個零點，則f(lna)e；當(dāng)ae時，f(0)=10，f(1)=e-a0；由零點存在定理，函數(shù)f(x)在(0,1)和(1,3a)上各有一個零點結(jié)合函數(shù)f(x)的單調(diào)性，當(dāng)ae時，函數(shù)f(x)有且僅有兩個零點，所以，a的取值范圍為(e,+)(2)證明：由(1)得ae，0x11)，則x2-x1=lntx2=tx1，解得x1=lntt-1，x2=tlntt-1；所以x1+x2=(t+1)lntt-1，當(dāng)t1時，x1+x22(t+1)lntt-12lnt-2(t-1)t+10；設(shè)h(t)=lnt-2(t-1)t+1，則ht=(t-1)2t(t+1)2 ，當(dāng)t1時，ht0，于是h(t)在(1,+)上為增函數(shù)；所以，當(dāng)t1時，h(t)h(1)=0，即lnt-2(t-1)t+10；所以x1+x22【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及零點定理應(yīng)用與構(gòu)造函數(shù)等知識點，屬較難題22.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線C的極坐標(biāo)方程為=4cossin2，直線的參數(shù)方程為x=tcosa,y=1+tsina（為參數(shù)，0a）.（）把曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并說明曲線C的形狀；（）若直線經(jīng)過點(1,0)，求直線被曲線C截得的線段AB的長.【答案】（1）詳見解析；（2）8【解析】試題分析：（1）對曲線C的極坐標(biāo)方程兩邊乘以，可化得其直角坐標(biāo)方程為y2=4x，這是頂點在原點，焦點為(1,0)的拋物線；（2）根據(jù)直線參數(shù)方程的定義可知，直線過點(0,1)，依題意直線又過點(1,0)，由此求得直線方程為y=x+1，傾斜角為34，故直線的參數(shù)方程為x=tcos34=22ty=1+tsin34=1+22t，代入拋物線的直角坐標(biāo)方程，寫出韋達(dá)定理，利用|AB|=|t1t2|求得弦長為8.試題解析：（1）曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2=4x，故曲線C是頂點為O(0，0)，焦點為F(1，0