2019高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.3雙曲線2.3.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程課件北師大版.pptx

1、3雙曲線,3.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程,1.雙曲線的定義 (1)定義:在平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)(大于0且小于|F1F2|)的點(diǎn)的集合叫作雙曲線. (2)符號(hào)表示:|MF1|-|MF2|=2a(常數(shù))(02a|F1F2|). (3)焦點(diǎn):兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2. (4)焦距:兩焦點(diǎn)之間的距離,表示為|F1F2|.,名師點(diǎn)撥定義中為何強(qiáng)調(diào)“絕對(duì)值”和“0|F1F2|,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在. (2)雙曲線定義中應(yīng)注意關(guān)鍵詞“絕對(duì)值”,若去掉定義中“絕對(duì)值”三個(gè)字,動(dòng)點(diǎn)軌跡只能是雙曲線的一支. 平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1,F2的距離的差的絕對(duì)值為非零常數(shù),即|MF1|-|MF2|=2a,關(guān)鍵

2、詞“平面內(nèi)”. 當(dāng)2a|F1F2|時(shí),軌跡不存在.,【做一做1】 已知兩定點(diǎn)F1(-3,0),F2(3,0),在滿足下列條件的平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡中,是雙曲線的是() A.|PF1|-|PF2|=5B.|PF1|-|PF2|=6 C.|PF1|-|PF2|=7D.|PF1|-|PF2|=0 解析:A中,|F1F2|=6,|PF1|-|PF2|=5|F1F2|,動(dòng)點(diǎn)P的軌跡不存在; D中,|PF1|-|PF2|=0,即|PF1|=|PF2|,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì),動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是線段F1F2的垂直平分線.故選A. 答案:A,2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,特別提醒(1)標(biāo)準(zhǔn)方程的代數(shù)特征:方程右邊是1,左

3、邊是關(guān)于x,y的平方差,并且分母大小關(guān)系不確定. (2)a,b,c三個(gè)量的關(guān)系: 標(biāo)準(zhǔn)方程中的兩個(gè)參數(shù)a和b確定了雙曲線的形狀和大小,是雙曲線的定形條件,這里b2=c2-a2,與橢圓中b2=a2-c2相區(qū)別,且橢圓中ab0,而雙曲線中,a,b大小不確定.,A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件 答案:A,思考辨析 判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“”,錯(cuò)誤的打“”. (1)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的差等于常數(shù)(小于兩定點(diǎn)間距離)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.() 答案:(1)(2)(3)(4),探究一,探究二,探究三,思維辨析,分析可先設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

4、,再構(gòu)造關(guān)于a,b的方程組,求得a,b,從而求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,反思感悟1.雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種求法 (1)定義法:根據(jù)雙曲線的定義得到相應(yīng)的a,b,c,再寫(xiě)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程. 特別地,若已知雙曲線上兩點(diǎn)的坐標(biāo),則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能有兩個(gè),把點(diǎn)的坐標(biāo)代入,得到關(guān)于a,b的兩個(gè)關(guān)系式,由此求解.也可設(shè)雙曲線方程為Ax2+By2=1(AB0),把點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出A,B的值,此種方法計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單,也避免了分類討論.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,2.待定系數(shù)法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的四個(gè)步驟,

5、探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,【例2】 如圖,在ABC中,已知|AB|=4 ,且三個(gè)內(nèi)角A,B,C滿足2sin A+sin C=2sin B,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求頂點(diǎn)C的軌跡方程.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,反思感悟(1)求解與雙曲線有關(guān)的點(diǎn)的軌跡問(wèn)題,常見(jiàn)的方法有兩種:列出等量關(guān)系,化簡(jiǎn)得到方程;尋找?guī)缀侮P(guān)系,由雙曲線的定義,得出對(duì)應(yīng)的方程. (2)求解雙曲線的軌跡問(wèn)題時(shí)要特別注意:雙曲線的焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸;檢驗(yàn)所求的軌跡對(duì)應(yīng)的是雙曲線的一支還是兩支.,探究一,探究二,探究三,思

6、維辨析,變式訓(xùn)練2已知雙曲線的方程是 ,點(diǎn)P在雙曲線上,且到其中一個(gè)焦點(diǎn)F1的距離為10,點(diǎn)N是PF1的中點(diǎn),求|ON|的大小(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).,探究一,探究二,探究三,思維辨析,(1)若雙曲線上一點(diǎn)M到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于16,求點(diǎn)M到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離; (2)如圖,若P是雙曲線左支上的點(diǎn),且|PF1|PF2|=32,試求F1PF2的面積. 分析(1)雙曲線的定義中,|MF1|-|MF2|=2a=6;(2)利用雙曲線的定義和|PF2|F1F2|=32,可利用余弦定理求夾角,然后計(jì)算面積.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,由雙曲線的定義得|MF1|-|MF2|=2a=6,又雙曲線上一點(diǎn)M到

7、它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于16,假設(shè)點(diǎn)M到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于x,則|16-x|=6,解得x=10或x=22. 故點(diǎn)M到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為10或22.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,反思感悟(1)求雙曲線上一點(diǎn)到某一焦點(diǎn)的距離時(shí),若已知該點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo),則根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可求結(jié)果;若已知該點(diǎn)到另一焦點(diǎn)的距離,則根據(jù)|PF1|-|PF2|=2a求解,注意對(duì)所求結(jié)果進(jìn)行必要的驗(yàn)證(負(fù)數(shù)應(yīng)該舍去,且所求距離應(yīng)該不小于c-a). (2)在解決雙曲線中與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問(wèn)題時(shí),要注意兩點(diǎn):定義中的條件|PF1|-|PF2|=2a的應(yīng)用;要利用余弦定理、勾股定理或三角形

8、面積公式等知識(shí)進(jìn)行運(yùn)算,在運(yùn)算中要注意整體思想和一些變形技巧的應(yīng)用,如|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|PF2|.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,(1)若F1PF2=90,求F1PF2的面積. (2)若F1PF2=60,F1PF2的面積是多少?若F1PF2=120,F1PF2的面積又是多少?,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,因忽視隱含條件導(dǎo)致所求軌跡方程錯(cuò)誤 【典例】 已知定點(diǎn)A(-3,0)和定圓C:(x-3)2+y2=16,動(dòng)圓和圓C相外切,并且過(guò)定點(diǎn)A,求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程. 易錯(cuò)分析求解中易把動(dòng)點(diǎn)的軌跡看成雙曲

9、線,忽視了雙曲線定義中“距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)”這一條件,動(dòng)點(diǎn)軌跡實(shí)際上是雙曲線的一支. 解設(shè)M(x,y),設(shè)動(dòng)圓與圓C的切點(diǎn)為B,|BC|=4,則|MC|=|MB|+|BC|,|MA|=|MB|,所以|MC|=|MA|+|BC|,即|MC|-|MA|=|BC|=4|AC|.所以由雙曲線的定義知,M點(diǎn)軌跡是以A,C為焦點(diǎn)的雙曲線的左支,且a=2,c=3,所以b2=5.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,糾錯(cuò)心得在求解與雙曲線有關(guān)的軌跡問(wèn)題時(shí),準(zhǔn)確理解雙曲線的定義,才能保證解題的正確性.當(dāng)|PF1|-|PF2|=2a0),即|PF1|-|PF2|=2a(02a|F1F2|)時(shí),P點(diǎn)的軌跡是雙曲線

10、,其中取正號(hào)時(shí)為雙曲線的右支,取負(fù)號(hào)時(shí)為雙曲線的左支.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓(xùn)練如圖所示,已知定圓F1:(x+5)2+y2=1,定圓F2:(x-5)2+y2=42,動(dòng)圓M與定圓F1,F2都外切,求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程. 解圓F1:(x+5)2+y2=1,圓心F1(-5,0),半徑r1=1; 圓F2:(x-5)2+y2=42,圓心F2(5,0),半徑r2=4. 設(shè)動(dòng)圓M的半徑為R, 則有|MF1|=R+1,|MF2|=R+4, |MF2|-|MF1|=310=|F1F2|.,1 2 3 4 5,解析:由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知,a2=10,b2=2. 于是有c2=a2+b2=12,則2c=4 . 答案:D,1 2 3 4 5,2.已知雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中,a=5,c=7,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為() 答案:C,1 2 3 4 5,答案:(1,2),1 2 3 4 5,4.P是雙