離散數(shù)學課件09代數(shù)系統(tǒng).ppt

1、第9章 代數(shù)系統(tǒng),離 散 數(shù) 學,中國地質(zhì)大學本科生課程,a,2,代數(shù)學的新生,1、近代代數(shù)學的進展,2、代數(shù)方程的可解性,3、群的發(fā)現(xiàn),a,3,1、近代代數(shù)學的進展,al-Kitab al-mukhta sar fi hisab al-jabr wal-muqabala 還原與對消計算概要 （約 820）,Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi, 783-850,al-jabr,algebra,探討了算術問題的一般性解法,a,4,1、近代代數(shù)學的進展,F. Vieta, 1540-1603,韋達把符號性代數(shù)稱作“類的算術”，同時規(guī)定了算術與代數(shù)的分界，認為代數(shù)運算施行

2、于事物的類或形式，算術運算僅施行于具體的數(shù)。這就使代數(shù)成為研究一般類型的形式和方程的學問，因其抽象而應用更為廣泛。,缺點：齊性原則,a,5,1、近代代數(shù)學的進展,基本問題：如何求解三次和四次代數(shù)方程的根,(1515, S. Ferro),x3 + px = q (p, q 0),Tartaglia,1499-1557 Niccolo Fontana,x3 + px2 = q (p, q 0),A. M. Fior,1535,a,6,1、近代代數(shù)學的進展,G. Cardano, 1501-1576,Ars Magna 大法 1545年,包含三次方程和四次方程的代數(shù)解法,根的個數(shù),a,7,2、代數(shù)

3、方程的可解性,18世紀后半葉，數(shù)學內(nèi)部悄悄積累的矛盾已經(jīng)開始醞釀新的變革。當時數(shù)學家們面臨一系列數(shù)學發(fā)展里程中自身提出的、長期懸而未決的問題，其中最突出的是： 高于四次的代數(shù)方程的根式求解問題； 歐幾里得幾何中平行公理的證明問題； 微積分算法的邏輯基礎問題。,a,8,2、代數(shù)方程的可解性,中世紀的阿拉伯數(shù)學家把代數(shù)學看成是解代數(shù)方程的學問，他們系統(tǒng)地解決了二次方程的求根問題；文藝復興時期的歐洲數(shù)學家們繼承了這一傳統(tǒng)，但又有所突破。他們成功地解決了三次和四次代數(shù)方程的求根問題，并將符號與數(shù)字的運算統(tǒng)一起來，創(chuàng)立了類的算術。,基本問題：五次或更高次的代數(shù)方程的根式解。,即在n 5時，對于形如 xn

4、 + a1xn1 + + a n1x + an = 0 的代數(shù)方程，它的解能否通過只對方程的系數(shù)作加、減、乘、除和求正整數(shù)次方根等運算的公式得到。,a,9,2、代數(shù)方程的可解性,J. L. Lagrange 1736-1813,1770年： 關于代數(shù)方程解的思考,不可能用根式解四次以上的方程,a,10,2、代數(shù)方程的可解性,N. H. Abel, 1802-1829,1824年: 論代數(shù)方程， 證明一般五次方程的 不可解性,方程次數(shù)大于等于五時，任何以其系數(shù)符號組成的根式都不可能表示方程的一般解。,阿貝爾方程,a,11,3、群的發(fā)現(xiàn),基本問題：什么樣的特殊方程能夠用根式來求解？,E. Galo

5、is, 1811-1832,置換群,伽羅瓦群,伽羅瓦證明了： 當且僅當方程的群滿足一定條件（即它是可解群）時，方程才是根式可解的。 也就是說，他找到了方程根式可解的充分必要條件。,a,12,3、群的發(fā)現(xiàn),伽羅瓦關于群的發(fā)現(xiàn)工作，可以看成是近世代數(shù)的發(fā)端。這不只是因為它解決了方程根式可解性這樣一個難題，更重要的是群的概念的引進導致了代數(shù)學在對象、內(nèi)容和方法上的深刻變革。,群可以理解為一類對象的集合，這些對象之間存在著類似于加法或乘法那樣的二元運算關系，這種運算使得該集合滿足封閉性、結合性，并在其中存在著單位元和逆元素。,群概念的劃時代意義在于：代數(shù)學由于群的概念的引進和發(fā)展而獲得了新生，它不再僅

6、僅是研究代數(shù)方程，而更多地是研究各種抽象“對象”的運算關系，一方面，數(shù)的概念有了極大推廣，另一方面，許多抽象的對象，在更高層次上與數(shù)的概念獲得了統(tǒng)一。,a,13,代數(shù),方程與根 數(shù)系擴張 行列式與矩陣 布爾代數(shù) 代數(shù)數(shù)論,突破傳統(tǒng),19世紀的代數(shù),a,14,高斯(聯(lián)邦德國, 1955),1799年高斯(德, 1777-1855)代數(shù)基本定理,代數(shù)方程根式解,高斯，數(shù)學家、物理學家和天文學家 1795年進入哥廷根大學 正17邊形尺規(guī)作圖法（1796） 數(shù)論、代數(shù)、非歐幾何、復變函數(shù)和微分幾何等方面做出了開創(chuàng)性的貢獻 近代數(shù)學奠基者之一，“數(shù)學王子” “寧可少些，但要好些?！?a,15,高斯和正十

7、七邊形 (民主德國, 1977),代數(shù)方程根式解,a,16,代數(shù)方程根式解,高斯墓,a,17,1824年阿貝爾(挪, 1802-1829)定理,拉格朗日,1770年拉格朗日(法, 1736-1813)關于代數(shù)方程解的思考：預解式,代數(shù)方程根式解,1799年魯菲尼(意, 1765-1822)定理,魯菲尼,阿貝爾,伽羅瓦,18291831年伽羅瓦(法, 1811-1832)理論,a,18,代數(shù)方程根式解,阿貝爾,阿貝爾（挪，18021829）貢獻：方程論、無窮級數(shù)和橢圓函數(shù)論 16歲開始閱讀牛頓、歐拉、拉格朗日、高斯的著作 1821年，阿貝爾進入奧斯陸大學，1824年，證明了一般五次方程根式解的不

8、可能性 1825.5到柏林，五次方程論文發(fā)表于克雷勒雜志、完成了橢圓函數(shù)的論文 1826.7到巴黎，論文提交法國科學院 1827.5回到奧斯陸 1841年橢圓函數(shù)論論文發(fā)表,1908年維格蘭(挪, 1869-1943)雕塑的阿貝爾塑像,a,19,數(shù)學獎,阿貝爾獎(2003- ),1898年挪威數(shù)學家李(1842-1899)提議設立阿貝爾獎。 挪威政府撥款2億挪威克郎(約合人民幣2.73億元)設立阿貝爾紀念基金，在阿貝爾誕辰200周年之際設立阿貝爾獎, 從2003年起每年頒發(fā)一次。 阿貝爾獎頒發(fā)給那些在數(shù)學領域做出杰出貢獻的數(shù)學家，獎金額為600萬挪威克朗。,阿貝爾的塑像 (挪威, 1983),

9、a,20,數(shù)學獎,阿貝爾獎(2003- ),2003年塞爾(法, 1926- )關于代數(shù)拓撲、代數(shù)幾何獲獎,a,21,數(shù)學獎,阿貝爾獎(2003- ),2003年塞爾(法, 1926- )關于代數(shù)拓撲、代數(shù)幾何獲獎,a,22,伽羅瓦(法,1811-1832) (法國, 1984),代數(shù)方程根式解,伽羅瓦貢獻：群論，宣告方程根式解這一經(jīng)歷了300年問題的徹底解決，及尺規(guī)作圖中“三等分任意角”問題和“倍立方”問題不可能 在中學讀書時，已經(jīng)熟悉歐拉、高斯、雅可比（德，18041851年）的著作 1829年進入巴黎高等師范學校 18291831年提交法國科學院的數(shù)學獎論文，分別交柯西、傅里葉、泊松 1

10、831年1月被校方開除，兩次入獄，死于為“愛情與榮譽”的決斗 1846年論文發(fā)表,伽羅瓦的遺書 我請求我的愛國同胞們，我的朋友們，不要指責我不是為我的國家而死。 我是作為一個不名譽的風騷女人和她的兩個受騙者的犧牲品而死的。我將在可恥的誹謗中結束我的生命。噢！為什么要為這么微不足道的，這么可鄙的事去死呢？我懇求蒼天為我作證，只有武力和強迫才使我在我曾想方設法避開的挑釁中倒下。 我親愛的朋友，我已經(jīng)得到分析學方面的一些新發(fā)現(xiàn)。 在我一生中，我常常敢于預言當時我還不十分有把握的一些命題。但是我在這里寫下的這一切已經(jīng)清清楚楚地在我的腦海里一年多了，我不愿意使人懷疑我宣布了自己未完全證明的定理。 請公開

11、請求雅可比或高斯就這些定理的重要性（不是就定理的正確與否）發(fā)表他們的看法。然后，我希望有人會發(fā)現(xiàn)將這些整理清楚會是很有益處的一件事。 熱烈地擁抱你。 伽羅瓦,a,23,代數(shù)方程根式解,有限置換群 1849-1854年凱萊(英, 1821-1895)引入抽象群,伽羅瓦域 1893年韋伯(德, 1842-1913)抽象域,抽象化嘗試,a,24,1811，1831年高斯(德, 1777-1855)討論了復數(shù)幾何表示,1797年威塞爾(挪, 1745-1818)、1806年阿甘德(瑞, 1768-1822)討論了復數(shù)幾何表示,數(shù)系擴張,1747年達朗貝爾(法, 1717-1783)斷言復數(shù)表示為a+i

12、b， 1777年歐拉(瑞, 1701-1783)支持用i表示虛數(shù)單位,1737年歐拉(瑞, 1701-1783)證明了e是無理數(shù) 1761年蘭伯特(法, 1728-1777)證明了是無理數(shù) 1844年劉維爾(法, 1809-1882)第一次顯示了超越數(shù)的存在 1873年和1882年埃爾米特(法, 1822-1901)和林德曼(德, 1852-1939)分別證明了e和是超越數(shù)，“化圓為方”問題的不可能 歐拉常數(shù) 是否是無理數(shù)?,實數(shù),復數(shù),a,25,1837年哈密頓(愛爾蘭, 1805-1865)表示復數(shù)為有序?qū)崝?shù)對 1843年哈密頓(愛爾蘭, 1805-1865)定義了四元數(shù),數(shù)系擴張,184

13、4年格拉斯曼(德, 1809-1877)引進了n個分量的超復數(shù),1847年凱萊(英, 1821-1895)定義了八元數(shù),麥克斯韋(英, 1831-1879)創(chuàng)造了向量分析,a,26,哈密頓的四元數(shù) (愛爾蘭, 1983),數(shù)系擴張,哈密頓（愛爾蘭，18051865年 ），光學、力學和代數(shù) 自幼聰明，具有非凡的語言能力，“神童” 1820年已閱讀牛頓自然哲學的數(shù)學原理，拉普拉斯的天體力學，1823年進入劍橋大學三一學院 1834年發(fā)表論文“一種動力學的普遍方法” 1843年10月16日定義了四元數(shù)“思想電路接通之火花” 18371845年任愛爾蘭皇家科學院院長 英國聲譽僅次于牛頓的數(shù)學家，物理學

14、家,a,27,1683年關孝和(日, 1642-1708，“算圣”)完成解伏題之法提出行列式理論和代數(shù)方程變換理論 1750年克萊姆(瑞, 1704-1752)法則 1772年范德蒙(法, 1735-1796)、拉普拉斯(法, 1749-1827)行列式展開定理 1841年凱萊(英, 1821-1895)行列式記號 1852年西爾維斯特(英, 1814-1897)慣性定理 1854年埃爾米特(法, 1822-1910)使用了正交矩陣 1858年凱萊證明了凱萊-哈密頓(愛爾蘭, 1805-1865)定理 1870年若爾當(法, 1838-1921)建立了若爾當標準形 1879年弗羅貝尼斯(德,

15、1849-1917)引入矩陣的秩,行列式與矩陣,a,28,凱萊,西爾維斯特,埃爾米特,弗羅貝尼斯,若爾當,行列式與矩陣,克萊姆,拉普拉斯,關孝和,a,29,布爾代數(shù),來源于對數(shù)學和邏輯基礎的探討, 萊布尼茨(德, 1646-1716)提出思維演算和邏輯的數(shù)學化思想 德 摩根(英, 1806-1871)1847年形式邏輯首創(chuàng)關系邏輯研究,德 摩根,布 爾,施羅德,施羅德(德, 1841-1902)邏輯代數(shù)講義(1890-1905)把布爾的邏輯代數(shù)推向頂峰,布爾(英, 1815-1864)用代數(shù)方法建立了邏輯代數(shù), 1847年和1854年布爾出版邏輯的數(shù)學分析和思維規(guī)律研究,a,30,布爾代數(shù),布

16、爾(英, 1815-1864)，數(shù)學、邏輯學家，50篇學術論文和兩部教科書，19世紀數(shù)理邏輯的最杰出代表 “自學成才”著稱于世，掌握了拉丁語、希臘語、意大利語、法語和德語，自學了牛頓自然哲學的數(shù)學原理，拉格朗日解析函數(shù)論和拉普拉斯天體力學 1839年申請進劍橋大學，1844年發(fā)表“關于分析中的一般方法” 1849年愛爾蘭科克皇后學院數(shù)學教授，1857年英國皇家學會會員,a,31,本章說明,本章的主要內(nèi)容 一元和二元運算定義及其實例 二元運算的性質(zhì) 代數(shù)系統(tǒng)定義及其實例 子代數(shù),與后面各章的關系 是后面典型代數(shù)系統(tǒng)的基礎,a,32,9.1 二元運算及其性質(zhì) 9.2 代數(shù)系統(tǒng) 9.3 代數(shù)系統(tǒng)的同

17、態(tài)與同構 本章小結 作 業(yè),本章內(nèi)容,a,33,9.1 二元運算及其性質(zhì),定義9.1 設S為集合，函數(shù) f：SSS 稱為S上的二元運算，簡稱為二元運算。 舉例 f:NNN，f()x +y 是自然數(shù)集合N上的二元運算 f:NNN，f()x - y 不是自然數(shù)集合N上的二元運算 稱N對減法不封閉。,說明,驗證一個運算是否為集合S上的二元運算主要考慮兩點： S中任何兩個元素都可以進行這種運算，且運算的結果是唯一的。 S中任何兩個元素的運算結果都屬于S，即S對該運算是封閉的。,a,34,（1）自然數(shù)集合N上的加法和乘法是N上的二元運算，但減 法和除法不是。 （2）整數(shù)集合Z上的加法、減法和乘法都是Z上

18、的二元運算 ，而除法不是。 （3）非零實數(shù)集R*上的乘法和除法都是R*上的二元運算，加 法、減法不是。 （4）設Sa1,a2,an，aiaj =ai為S上二元運算。,例9.1,a,35,例9.1,（5）設Mn(R)表示所有n階(n2)實矩陣的集合，即,則矩陣加法和乘法都是Mn(R)上的二元運算。 （6）S為任意集合，則、 為P(S)上的二元運算。 （7）SS為S上的所有函數(shù)的集合，則合成運算為SS上的二元運 算。,a,36,一元運算,定義9.2 設S為集合，函數(shù)f：SS稱為S上的一元運算，簡稱為一元運算。 例10.3 （1）求一個數(shù)的相反數(shù)是整數(shù)集合Z、有理數(shù)集合Q和實數(shù)集 合R上的一元運算。

19、 （2）求一個數(shù)的倒數(shù)是非零有理數(shù)集合Q*、非零實數(shù)集合R* 上的一元運算。 （3）求一個復數(shù)的共軛復數(shù)是復數(shù)集合C上的一元運算。,a,37,（4）在冪集P(S)上，如果規(guī)定全集為S，則求集合的絕對補 運算是P(S)上的一元運算。 （5）設S為集合，令A為S上所有雙射函數(shù)的集合，ASS， 求一個雙射函數(shù)的反函數(shù)為A上的一元運算。 （6）在n(n2)階實矩陣的集合Mn(R)上，求一個矩陣的轉(zhuǎn)置 矩陣是Mn(R)上的一元運算。,一元運算舉例,a,38,可以用、等符號表示二元或一元運算，稱為算符。 設f : SSS是S上的二元運算，對任意的x, yS，如果x與y的運算結果為z，即f()z，可以利用算

20、符簡記為 xy = z。 對一元運算，x的運算結果記作x。 例題 設R為實數(shù)集合，如下定義R上的二元運算 ： x,yR，x y = x。 那么 3 4 = 3，0.5 (3) = 0.5。,二元與一元運算的算符,a,39,函數(shù)的解析公式 運算表（表示有窮集上的一元和二元運算）,二元與一元運算的表示,a,40,例9.4 設S=1,2，給出P(S)上的運算和的運算表 ，其中全集為S。,解答,例9.4,a,41,例9.5 設S=1,2,3,4，定義S上的二元運算如下： x y(xy) mod 5， x,yS 求運算的運算表。,解答,例9.5,a,42,定義9.3 設為S上的二元運算，如果對于任意的x

21、,yS都有xy=yx，則稱運算在S上滿足交換律。 定義9.4 設為S上的二元運算，如果對于任意的x,y,zS都有 (xy)z=x(yz)，則稱運算在S上滿足結合律。 說明：若+適合結合律，則有 (x+y)+(u+v) x+y+u+v。 定義9.5 設為S上的二元運算，如果對于任意的xS有xx=x，則稱運算在S上滿足冪等律。如果S中的某些x滿足xx=x，則稱x為運算的冪等元。 舉例：普通的加法和乘法不適合冪等律。但0是加法的冪等元，0和1是乘法的冪等元。,二元運算的性質(zhì),a,43,例題,Z, Q, R分別為整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)集；Mn(R)為n階實矩陣集合, n2；P(B)為冪集；AA為從A到A的

22、函數(shù)集，|A|2 。,a,44,定義9.6 設和為S上兩個二元運算，如果對于任意的x,y,zS，有 x(yz) (xy) (xz)（左分配律）(yz)x (yx) (zx)（右分配律） 則稱運算對運算滿足分配律。 說明：若*對運算分配律成立，則*對運算廣義分配律也成立。 x(y1 y2 yn ) (xy1)(x y2) (x yn) (y1 y2 yn )x (y1x) (y2x) (ynx) 定義9.7 設和為S上兩個可交換的二元運算，如果對于任意的x,yS，都有 x(xy)x x(xy)x 則稱運算和滿足吸收律。,二元運算的性質(zhì),a,45,Z, Q, R分別為整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)集；Mn(R

23、)為n階實矩陣集合，n2；P(B)為冪集；AA為從A到A的函數(shù)集，|A|2 。,例題,a,46,定義9.8 設為S上的二元運算， 如果存在元素el（或er）S，使得對任意xS都有 elx = x (或xer = x) 則稱el (或er)是S中關于運算的一個左單位元(或右單位元)。 若eS關于運算既是左單位元又是右單位元，則稱e為S上關于運算的單位元。單位元也叫做幺元。,運算可以沒有左單位元和右單位元。 運算可以只有左單位元。 運算可以只有右單位元。 運算可以既有左單位元，又有右單位元。,說明,二元運算中的特異元素單位元,a,47,二元運算中的特異元素零元,定義9.9 設為S上的二元運算， 如

24、果存在元素l（或r）S，使得對任意xS都有 lx = l (或xr = r)， 則稱l (或r)是S上關于運算的左零元(或右零元)。 若S關于運算既是左零元又是右零元，則稱為S上關于運算的零元。,運算可以沒有左零元和右零元。 運算可以只有左零元。 運算可以只有右零元。 運算可以既有左零元，又有右零元。,說明,a,48,二元運算中的特異元素逆元,定義9.10 設為S上的二元運算，eS為運算的單位元，對于xS， 如果存在yl（或yr）S使得 ylxe（或xyre） 則稱yl（或yr）是x的左逆元（或右逆元）。 若yS既是x的左逆元又是x的右逆元，則稱y為x的逆元。 如果x的逆元存在，則稱x是可逆的

25、。,運算可以沒有左逆元和右逆元。 運算可以只有左逆元。 運算可以只有右逆元。 運算可以既有左逆元，又有右逆元。,說明,a,49,特異元素的實例,a,50,定理9.1,定理9.1 設為S上的二元運算，el、er分別為運算的左單位元和右單位元，則有 el = er = e 且e 為S上關于運算的唯一的單位元。,el eler (er為右單位元) eler er (el為左單位元) 所以el = er，將這個單位元記作e。 假設e也是S中的單位元，則有 e = ee = e 所以，e 是S中關于運算的唯一的單位元。,證明,a,51,定理9.2,定理9.2 設為S上的二元運算，l和r分別為運算的左零元

26、和右零元，則有 l = r = 且為S上關于運算的唯一的零元。,l lr (r為左零元) lr r (l為右零元) 所以l = r，將這個零元記作 。 假設 也是S中的零元，則有 = = 所以， 是S中關于運算的唯一的零元。,證明,a,52,定理9.3,定理9.3 設為S上的二元運算，e 和分別為運算的單位元和零元，如果S至少有兩個元素，則e。,用反證法。 假設 e = ，則xS有 x x e x 這與S中至少含有兩個元素矛盾。 所以，假設不 成立，即e。,證明,a,53,定理9.4,定理9.4 設為S上可結合的二元運算，e為該運算的單位元，對于xS，如果存在左逆元yl和右逆元yr，則有 yl

27、 = yr= y 且y是x的唯一的逆元。,由 ylx = e 和 xyr = e ，得,證明,yl = yle,令yl = yr = y，則y是x的逆元。,= yl (xyr),= (ylx) yr,= eyr,= yr,假若yS也是x的逆元，則,y= ye,= y (xy),= (yx) y,= ey,= y,所以y是x唯一的逆元，記作x1。,a,54,消去律,定義9.11 設為S上的二元運算，如果對于任意的x,y,zS，滿足以下條件： （1）若xy xz且x ，則y z （左消去律） （2）若yx zx且x ，則yz （右消去律） 則稱運算滿足消去律。 例如： 整數(shù)集合上的加法和乘法都滿足

28、消去律。 冪集P(S)上的并和交運算一般不滿足消去律。,a,55,例9.6,例9.6 對于下面給定的集合和該集合上的二元運算，指出該運算的性質(zhì)，并求出它的單位元、零元和所有可逆元素的逆元。 （1）Z+，x,yZ+，xylcm(x,y)，即求x和y的最小公倍數(shù)。 （2）Q，x,yQ，xy=x+y-xy,解答,（1）運算可交換、可結合、是冪等的。 xZ+，x1=x ， 1x=x ，1為單位元。 不存在零元。 只有1有逆元，是它自己，其他正整數(shù)無逆元。,a,56,例9.6,（2） Q，x,yQ，xy=x+y-xy 運算滿足交換律，因為x,yQ，有 xy =x+y-xy = y+x-yx = yx 運

29、算滿足結合律，因為x,y,zQ，有 (xy)z=(x+y-xy)z=x+y-xy+z-(x+y-xy)z= x+y+z-xy-xz-yz+xyz x(yz)=x(y+z-yz)=x+(y+z-yz)-x(y+z-yz)=x+y+z-xy-xz-yz+xyz 運算不滿足冪等律，因為2Q，但 22 =2+2-2202 運算滿足消去律，因為x,y,zQ，x1(1為零元)，有 xy = xz x+y-xy=x+z-xz y-z = x(y-z) y=z 由于是可交換的，所以右消去律成立。同理可證明左消去律成立，所以消去律成立。,a,57,例9.6,0是運算的單位元，因為 xQ，有 x0=x+0-x0=

30、x=0 x 1是運算的零元，因為 xQ，有 x1=x+1-x1=1=1x xQ，欲使 xy=0和 yx=0成立，即 x+y-xy = 0 得,所以，,a,58,例9.7,例9.7 設A=a,b,c，A上的二元運算、如表所示。 (1)說明、運算是否滿足交換律、結合律、消去律和冪等律。 (2)求出關于、運算的單位元、零元和所有可逆元素的逆元。,運算滿足交換律、結合律和消去律，不滿足冪等律。單位元是a，沒有零元，且a-1=a，b-1=c，c-1=b。 運算滿足交換律、結合律和冪等律，不滿足消去律。單位元是a，零元是b，只有a有逆元，a-1=a。 運算滿足結合律和冪等律，不滿足交換律和消去律。沒有單位

31、元，沒有零元，沒有可逆元。,解答,復習,分析,a,59,9.2 代數(shù)系統(tǒng),定義9.12 非空集合S和S上k個一元或二元運算f1,f2, fk組成的系統(tǒng)稱為一個代數(shù)系統(tǒng)，簡稱代數(shù)，記做。 實例： 、都是代數(shù)系統(tǒng)，其中+和分別表示普通加法和乘法。 是代數(shù)系統(tǒng)，其中和分別表示n階(n2)實矩陣的加法和乘法。 是代數(shù)系統(tǒng)，其中和為并和交，為絕對補。 是代數(shù)系統(tǒng)，其中 Zn0,1,2, ,n-1 和分別表示模n的加法和乘法。,a,60,集合（規(guī)定了參與運算的元素） 運算（只討論有限個二元和一元運算） 代數(shù)常數(shù) 在定義代數(shù)系統(tǒng)的時候，如果把零元和單位元也作為系統(tǒng)的性質(zhì)，稱這些元素為該代數(shù)系統(tǒng)的特異元素或代

32、數(shù)常數(shù)。 有時為了強調(diào)某個代數(shù)系統(tǒng)是含有代數(shù)常數(shù)的系統(tǒng)，也可以把這些代數(shù)常數(shù)列到系統(tǒng)的表達式中。 例如：代數(shù)系統(tǒng)。,代數(shù)系統(tǒng)的成分,a,61,列出所有的成分：集合、運算、代數(shù)常數(shù)（如果存在） 例如 ， 列出集合和運算，在規(guī)定系統(tǒng)性質(zhì)時不涉及具有單位元的性質(zhì)（無代數(shù)常數(shù)） 例如 ， 用集合名稱簡單標記代數(shù)系統(tǒng) 例如 在前面已經(jīng)對代數(shù)系統(tǒng)作了說明的前提下，上述兩個代數(shù)系統(tǒng)可以簡記為Z, P(S),代數(shù)系統(tǒng)的表示,a,62,定義9.13 如果兩個代數(shù)系統(tǒng)中運算的個數(shù)相同，對應運算的元數(shù)相同，且代數(shù)常數(shù)的個數(shù)也相同，則稱這兩個代數(shù)系統(tǒng)具有相同的構成成分，也稱它們是同類型的代數(shù)系統(tǒng)。 例如 V1= V2

33、= V1、V2是同類型的代數(shù)系統(tǒng)，因為它們都含有2個二元運算， 1個一元運算， 2個代數(shù)常數(shù)。但是它們的運算性質(zhì)不一樣。,同類型的代數(shù)系統(tǒng),a,63,在規(guī)定了一個代數(shù)系統(tǒng)的構成成分，即集合、運算以及代數(shù)常數(shù)以后，如果在對這些性質(zhì)所遵從的算律加以限制，那么滿足這些條件的代數(shù)系統(tǒng)就具有完全相同的性質(zhì)，從而構成了一類特殊的代數(shù)系統(tǒng)。 例如：代數(shù)系統(tǒng)V，如果*是可結合的，則稱V為半群。如、等都是半群。 從代數(shù)系統(tǒng)的構成成分和遵從的算律出發(fā)，將代數(shù)系統(tǒng)分類，然后研究每一類代數(shù)系統(tǒng)的共同性質(zhì)，并將研究的結果運用到具體的代數(shù)系統(tǒng)中去。(抽象代數(shù)的基本方法) 以后各章分別就幾類重要的代數(shù)系統(tǒng)進行分析。,代數(shù)系

34、統(tǒng)地說明,a,64,定義9.14設V是代數(shù)系統(tǒng)，BS，如果B對f1, f2, , fk 都是封閉的，且B和S含有相同的代數(shù)常數(shù)，則稱是V的子代數(shù)系統(tǒng)，簡稱子代數(shù)。簡記為B。 例如： N是的子代數(shù)，N也是的子代數(shù)。 N0是的子代數(shù)，但不是的子代數(shù)。,子代數(shù)和原代數(shù)具有相同的成分，運算性質(zhì)也相同，是同類型的代數(shù)系統(tǒng)，在許多方面與原代數(shù)非常相似，不過可能小一些。 對于任何代數(shù)系統(tǒng)，其子代數(shù)一定存在。,說明,子代數(shù),a,65,最大的子代數(shù)：就是V本身。 最小的子代數(shù)：如果令V中所有代數(shù)常數(shù)構成的集合是B，且B對V中所有的運算都是封閉的，則B就構成了V的最小的子代數(shù)。 平凡的子代數(shù)：最大和最小的子代數(shù)稱

35、為V的平凡的子代數(shù)。 真子代數(shù)：若B是S的真子集，則B構成的子代數(shù)稱為V的真子代數(shù)。,子代數(shù)的相關概念,a,66,例9.8 設V=，令 nZ=nz | zZ，n為自然數(shù)， 則nZ是V的子代數(shù)。,任取nZ中的兩個元素nz1和nz2(z1,z2Z )，則有 nz1+nz2 n(z1+z2 )nZ 即nZ對+運算是封閉的。又 0=n0 nZ 所以，nZ是V的子代數(shù)。,證明,當n=1和0時，nZ是V的平凡子代數(shù)，其他的都是V的非平 凡的真子代數(shù)。,說明,例9.8,a,67,積代數(shù),定義9.15 設 V1=和 V2=是代數(shù)系統(tǒng)， 其中和 是二元運算. V1與V2 的積代數(shù)V=, , S1S2 , =,例

36、 V1=, V2=, 積代數(shù) , ZM2(R) , = ,a,68,積代數(shù)的性質(zhì),設 V1=和 V2=是代數(shù)系統(tǒng)，其中和 是二元 運算. V1 與 V2 的積代數(shù)是 V= (1) 若 和 運算是可交換的，那么 運算也是可交換的 (2) 若 和 運算是可結合的，那么 運算也是可結合的 (3) 若 和 運算是冪等的，那么 運算也是冪等的 (4) 若 和 運算分別具有單位元 e1 和 e2，那么 運算 也具有單位元 (5) 若 和 運算分別具有零元 1 和 2，那么 運算 也具有零元 (6) 若 x 關于 的逆元為 x1, y 關于 的逆元為 y1，那么 關于 運算也具有逆元,a,69,9.3 代數(shù)

37、系統(tǒng)的同態(tài)與同構,同態(tài)映射的定義 同態(tài)映射的分類 單同態(tài)、滿同態(tài)、同構 自同態(tài) 同態(tài)映射的實例 滿同態(tài)映射的性質(zhì),a,70,定義9.16 設 V1=和 V2=是代數(shù)系統(tǒng)，其中 和 是二元運算. f : S1S2, 且x,yS1 f (x y) = f(x) f( y) 則稱 f 為V1到 V2 的同態(tài)映射，簡稱同態(tài).,同態(tài)映射的定義,a,71,同態(tài)映射的定義(續(xù)),例1 V=, 判斷下面的哪些函數(shù)是V 的同態(tài)？ (1) f(x)=|x| (2) f(x)=2x (3) f(x)=x2 (4) f(x)=1/x (5) f(x)= x (6) f(x)=x+1,解 (1) 是同態(tài), f(xy)

38、= |xy| = |x| |y| = f(x) f(y),(4) 是同態(tài), f(xy) = 1/(xy) =1/x 1/y = f(x) f(y),(3) 是同態(tài), f(xy) = (xy)2 = x2 y2 = f(x) f(y),(2) 不是同態(tài)，f(22)=f(4)=8, f(2) f(2)=4 4=16,(5) 不是同態(tài)，f(11)=f(1)= 1, f(1) f(1)=(1)(1)=1,(6) 不是同態(tài)，f(11)=f(1)=2, f(1) f(1)=22=4,a,72,特殊同態(tài)映射的分類,同態(tài)映射如果是單射，則稱為單同態(tài)； 如果是滿射，則稱為滿同態(tài)，這時稱V2是V1的同態(tài)像，記作

39、V1V2； 如果是雙射，則稱為同構，也稱代數(shù)系統(tǒng)V1同構于V2，記作 V1V2. 對于代數(shù)系統(tǒng) V，它到自身的同態(tài)稱為自同態(tài). 類似地可以定義單自同態(tài)、滿自同態(tài)和自同構.,a,73,例2 (1) 設V=，aZ，令 fa : ZZ，fa(x)=ax 那么 fa是V的自同態(tài). 因為x,yZ，有 fa(x+y) = a(x+y) = ax+ay = fa(x)+fa(y) 當 a = 0 時稱 f0為零同態(tài)；當a=1時，稱 fa為自同構；除此之外其他的 fa 都是單自同態(tài). (2) 設V1=, V2=，其中Q*=Q0，令 f: QQ*, f(x)=ex 那么 f 是V1到V2的同態(tài)映射，因為x,yQ有 f(x+y)=ex+y=exey=f(x) f(y). 不難看出 f 是單同態(tài).,同態(tài)映射的實例,a,74,(3) V=, fp：ZnZn, fp(x) = (xp) mod n，p = 0, 1, , n1. x, yZn, fp(xy)=(xy)p) mod n = (xp) mod n (yp) mod n = fp(x) fp(y) 例如，n=6. f0(x)=0, f1(x)=x, f2(0) = f2(3) = 0, f2(1) = f2(4) = 2, f2(2) = f2(5)